高二数学下学期期末模拟卷（人教B版）

**基本信息** 立足高二选择性必修二、三册，以统计概率、数列、导数为核心，通过中学生追星调查、景区游客量分析等现实情境，考查数学建模与数据分析能力，体现用数学眼光观察、思维思考、语言表达现实世界的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|残差、等差数列、条件概率、二项式定理、正态分布|基础题（如残差计算）与能力题（如信道传输概率）梯度分布| |填空题|3题/15分|排列组合、独立性检验、不等式恒成立|结合实际问题（如人员分配）考查应用能力| |解答题|5题/77分|统计案例、数列通项与求和、线性回归、概率模型、导数应用|大衍数列（文化传承）、食堂选择概率（生活情境）等综合题，突出数学建模与逻辑推理|

2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点得到y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为（   ） A． B． C．1 D．4 【答案】A 【详解】经验回归方程为，当时，可得预测值； 由样本点，得观测值； 残差. 2．已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知是公差不为0的等差数列，首项为，设公差为， 则， ， 已知成等比数列， 则， 展开整理得，解得（舍去）或， ， ． 3．已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，， 所以，则， 所以. 4．的展开式中常数项为（    ） A．252 B．264 C．248 D．240 【答案】A 【详解】由题意可知此二项式展开的通项公式为：， 令，解得， 所以原式二项式展开式中的常数项为. 5．模型构建常需要进行正态检验．记随机变量X服从标准正态分布，给定区间，若，则称区间具有较好构建度，则下列命题为假命题的为（    ） 附：若随机变量Y服从正态分布，则，，． A． B． C．区间具有较好构建度 D．区间具有较好构建度 【答案】C 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，因此，B正确； 对于C，，， 因此区间不具有较好构建度，C错误； 对于D，，而， 因此区间具有较好构建度，D正确. 6．信道中可传输的数字信号为三种之一，传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为．由于信道噪声干扰，每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为，且各位置上数字的接收过程相互独立，则接收的数字序列为的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为， 每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为， 若发送，接收为，则概率， 若发送，接收为，则概率， 若发送，接收为，则概率， 接收的数字序列为的概率为： ． 7．某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】用表示第一次取到个新球的事件，用表示第二次训练时恰好取到1个新球的事件， 则，且两两互斥， ，，， ，，， 因此 ； 所以第二次训练时恰好取到1个新球的概率为． 8．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，的定义域为. ，为奇函数，图象关于原点对称. ，恰有4个零点， 可得时，恰有2个零点；时，恰有2个零点，且这4个零点关于原点对称. ， 当时，，得. 时，， 当且时，令，得，即. 时，恰有2个零点，等价于且时，有2个解； 即与在且时有两个交点. 令（且），则； ； ，； 当且时，，即在和上单调递减； 当时，；时，；，；时，；如图所示： 由图可知，当时，与有两个交点； 恰有4个零点时，实数k的取值范围是． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，，则下列选项正确的是（     ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 【答案】AD 【详解】对于A，由可知，故A正确； 对于B，因为，所以的分布比的分布更分散，故B不正确； 对于C，因，则， 而,故C不正确， 对于D，由可知， 所以，故D正确． 10．已知函数，则（        ） A．为奇函数 B．的单调递增区间为 C．的极小值为 D．若关于的方程恰有三个不等的实数根，则的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A，由函数，可得，其定义域为， 且，所以函数为奇函数，所以A正确； 对于B，由函数，可得， 令，即，解得或； 令，即，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以B错误； 对于C，由B项知：函数在处取得极小值，极小值为，故C正确； 对于D，由B项知：函数极大值为，极小值为， 且当时，；当时，； 要使得方程恰有三个不等的实数根， 即与的图象有三个不同的交点，则满足， 所以实数的取值范围是，所以D正确. 11．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意可得，， ，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 又因为为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 因为为奇数，所以， 所以，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为， 则 ，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．现有4男4女共8人，从中选取6人分配到A，B两个单位，每个单位3人，其中A单位要求接收的3人中，女性的人数多于男性，B单位要求接收的3人中，至少有1名女性，则不同的分配方法数为______. 【答案】240 【详解】分三类： 第一类：A组2女1男，B组1女2男，此时分配方法有：； 第二类：A组2女1男，B组2女1男，此时分配方法有：； 第三类：A组3女0男，B组1女2男，此时分配方法有：， 所以分配方法共有. 13．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 【答案】48 【详解】设男生人数为，依题意可得列联表为 喜欢追星 不喜欢追星 总计 男生 女生 总计 根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关， 则， 由，解得. 由题意知，应为6的整数倍， 所以若根据小概率值的独立性检验， 判断中学生追星与性别有关，则男生至少有48人. 故答案为：48. 14．若对任意,均有不等式成立，则实数的取值范围是 ____. 【答案】 【详解】要使得对任意,均有不等式成立，即恒成立， 令函数，则导数， 当时，导数，则函数在上单调递增， 所以函数的最小值为，最大值， 需满足，∴，即； 当时，函数，当时，，满足条件； 当时，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 极小值为，端点值，， 所以令，所以，所以； 当时，在上单调递减，值域为，满足题意； 当时，函数在上单调递减，最小值，不满足题意. 综上所述：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）小新为调查学生数学建模能力的总体水平，随机抽取了100名高中生参加数学建模能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名．根据竞赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为“优秀”与“合格”两级． (1)若男生和女生中分别有25名和35名被评为“优秀”，是否有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？ (2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49；女生成绩的均值为75，方差为64，求全体参赛学生成绩的均值及方差． (3)在（2）的条件下，若所有参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在范围内的学生人数（四舍五入精确到个位）． 参考：①，其中；； ②、、． 【详解】（1）提出零假设：该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别无关， 1分 显著性水平， 计算， 3分 因为，所以接受原假设， 即没有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关； 5分 （2）， 7分 故； 9分 （3）由（2），得， 设，则， 11分 故， 故成绩在范围内的学生约为82人． 13分 16．（15分）已知数列的前项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)对于，恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）， 当时，， 1分 两式相减得， 3分 当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． 5分 （2）由（1）可知， 所以，， 7分 则， 所以数列的前项和. 9分 （3）当为偶数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， 10分 ，当为偶数时，单调递增， 所以，则， 12分 当为奇数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为奇数时，单调递增， 所以，则，则， 综上所述， 所以实数的取值范围为. 15分 17．（15分）某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 【详解】（1）由表格中的数据可得，， 1分 ， ， ， 4分 则， 6分 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. 7分 （2） ， 8分 ， 9分 故经验回归方程为. 10分 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） 12分 （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， 13分 . 15分 18．（17分）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列； ②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 【详解】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”， 则为“第1天不选择食堂”， 1分 根据题意，，，， 由全概率公式得：． 4分 （2）①设为“第天选择食堂”，则，， 5分 根据题意，， 由全概率公式得： ， 8分 则． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 11分 ②由①得，， 当为正奇数时，，， 当为正偶数时，． 综上，当时，， 14分 存在，使得成立，则，所以， 所以实数m的取值范围是． 17分 19．（17分）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求整数的最大值； (3)设有两个极值点，求的范围． 【详解】（1）当时，函数，求导得，则， 2分 而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 4分 （2）对任意的，不等式恒成立， 5分 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 8分 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 10分 则，， 所以整数的最大值是3. 12分 （3）函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得方程有两个不等的正根， 13分 则，即，且， ， 15分 令函数， 求导得，函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 17分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A B D C A D A B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ACD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．240 13．48 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【详解】（1）提出零假设：该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别无关， 1分 显著性水平， 计算， 3分 因为，所以接受原假设， 即没有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关； 5分 （2）， 7分 故； 9分 （3）由（2），得， 设，则， 11分 故， 故成绩在范围内的学生约为82人． 13分 16．【详解】（1）， 当时，， 1分 两式相减得， 3分 当时，， 当时，，上式也成立， 综上，数列的通项公式为． 5分 （2）由（1）可知， 所以，， 7分 则， 所以数列的前项和. 9分 （3）当为偶数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， 10分 ，当为偶数时，单调递增， 所以，则， 12分 当为奇数时，， 因为对于，恒成立，即对于，恒成立， ，当为奇数时，单调递增， 所以，则，则， 综上所述， 所以实数的取值范围为. 15分 17．【详解】（1）由表格中的数据可得，， 1分 ， ， ， 4分 则， 6分 由相关系数，可以推断入园游客量与活动开展第天相关程度很强. 7分 （2） ， 8分 ， 9分 故经验回归方程为. 10分 对于表中第个观测，入园游客量为（百人）， 预测值为（百人），残差为（百人） 12分 （3）记从通道入园的事件为，从通道离园的事件为， 由题意可得，，，， 13分 . 15分 18．【详解】（1）设为“第1天选择食堂”，为“第2天选择食堂”， 则为“第1天不选择食堂”， 1分 根据题意，，，， 由全概率公式得：． 4分 （2）①设为“第天选择食堂”，则，， 5分 根据题意，， 由全概率公式得： ， 8分 则． 因为， 所以是以为首项，为公比的等比数列． 11分 ②由①得，， 当为正奇数时，，， 当为正偶数时，． 综上，当时，， 14分 存在，使得成立，则，所以， 所以实数m的取值范围是． 17分 19．【详解】（1）当时，函数，求导得，则， 2分 而， 所以函数的图象在处的切线方程为，即. 4分 （2）对任意的，不等式恒成立， 5分 令函数，求导得， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 8分 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 10分 则，， 所以整数的最大值是3. 12分 （3）函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得方程有两个不等的正根， 13分 则，即，且， ， 15分 令函数， 求导得，函数在上单调递减，则， 所以的取值范围是. 17分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版选择性必修第二+三册全册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点得到y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为（   ） A． B． C．1 D．4 2．已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 3．已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 4．的展开式中常数项为（    ） A．252 B．264 C．248 D．240 5．模型构建常需要进行正态检验．记随机变量X服从标准正态分布，给定区间，若，则称区间具有较好构建度，则下列命题为假命题的为（    ） 附：若随机变量Y服从正态分布，则，，． A． B． C．区间具有较好构建度 D．区间具有较好构建度 6．信道中可传输的数字信号为三种之一，传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为．由于信道噪声干扰，每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为，且各位置上数字的接收过程相互独立，则接收的数字序列为的概率是（   ） A． B． C． D． 7．某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，，则下列选项正确的是（     ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 10．已知函数，则（        ） A．为奇函数 B．的单调递增区间为 C．的极小值为 D．若关于的方程恰有三个不等的实数根，则的取值范围是 11．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．现有4男4女共8人，从中选取6人分配到A，B两个单位，每个单位3人，其中A单位要求接收的3人中，女性的人数多于男性，B单位要求接收的3人中，至少有1名女性，则不同的分配方法数为______. 13．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 14．若对任意,均有不等式成立，则实数的取值范围是 ____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）小新为调查学生数学建模能力的总体水平，随机抽取了100名高中生参加数学建模能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名．根据竞赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为“优秀”与“合格”两级． (1)若男生和女生中分别有25名和35名被评为“优秀”，是否有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？ (2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49；女生成绩的均值为75，方差为64，求全体参赛学生成绩的均值及方差． (3)在（2）的条件下，若所有参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在范围内的学生人数（四舍五入精确到个位）． 参考：①，其中；； ②、、． 16．（15分）已知数列的前项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)对于，恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 18．（17分）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列；②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 19．（17分）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求整数的最大值； (3)设有两个极值点，求的范围． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教B版选择性必修第二+三册全册 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知变量x，y具有线性相关关系，根据样本点得到y关于x的经验回归方程为，则样本点的残差为（   ） A． B． C．1 D．4 2．已知是公差不为0的等差数列，若成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 3．已知随机事件A，B，，，，则＝（　　） A． B． C． D． 4．的展开式中常数项为（    ） A．252 B．264 C．248 D．240 5．模型构建常需要进行正态检验．记随机变量X服从标准正态分布，给定区间，若，则称区间具有较好构建度，则下列命题为假命题的为（    ） 附：若随机变量Y服从正态分布，则，，． A． B． C．区间具有较好构建度 D．区间具有较好构建度 6．信道中可传输的数字信号为三种之一，传输的概率为，传输的概率为，传输的概率为．由于信道噪声干扰，每个数字被正确接收的概率为，被误收为另外两种数字的概率均为，且各位置上数字的接收过程相互独立，则接收的数字序列为的概率是（   ） A． B． C． D． 7．某校中学生篮球队集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练都从中任意取出2个球，用完后放回．已知第一次训练时用过的球放回后都当作旧球，则第二次训练时恰好取到1个新球的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若恰有4个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某中学高一、高二两个年级学生参加体育测试，其中高一男生的成绩与高二男生的成绩均服从正态分布，且，，则下列选项正确的是（     ） A． B．的分布比的分布更集中 C． D． 10．已知函数，则（        ） A．为奇函数 B．的单调递增区间为 C．的极小值为 D．若关于的方程恰有三个不等的实数根，则的取值范围是 11．大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前20项和为110 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．现有4男4女共8人，从中选取6人分配到A，B两个单位，每个单位3人，其中A单位要求接收的3人中，女性的人数多于男性，B单位要求接收的3人中，至少有1名女性，则不同的分配方法数为______. 13．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若根据小概率值的独立性检验，判断中学生追星与性别有关，则男生至少有________人 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 参考数据及公式如下：参考公式：，其中. 14．若对任意,均有不等式成立，则实数的取值范围是 ____. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）小新为调查学生数学建模能力的总体水平，随机抽取了100名高中生参加数学建模能力竞赛活动，其中男生40名，女生60名．根据竞赛成绩，将参赛学生数学建模能力分为“优秀”与“合格”两级． (1)若男生和女生中分别有25名和35名被评为“优秀”，是否有95%的把握认为该地区高中生的数学建模能力优秀与否和性别有关？ (2)经统计，男生成绩的均值为80，方差为49；女生成绩的均值为75，方差为64，求全体参赛学生成绩的均值及方差． (3)在（2）的条件下，若所有参赛学生的成绩服从正态分布，试估计成绩在范围内的学生人数（四舍五入精确到个位）． 参考：①，其中；； ②、、． 16．（15分）已知数列的前项和为，，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)对于，恒成立，求实数的取值范围． 17．（15分）某景区在五一劳动节期间开展“致敬最美劳动者”主题游园活动，天的入园游客量统计数据如下： 活动开展第天 入园游客量（百人） (1)由数据看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请计算相关系数（保留小数点后两位），并推断相关程度的强弱； (2)求经验回归方程以及表中第个观测的残差；（观测值减去预测值称为残差） (3)该景区在活动期间设置个打卡通道，记为通道①、通道②、通道③，游客入园时选择通道①、②、③的概率依次为、、；游客离园时，从原先入园通道离园的概率为，从另两个通道离园的概率均为，求游客从通道①离园的概率. 附：参考公式：相关系数；回归直线方程，其中，；； 18．（17分）小明同学上学期间每天都在学校食堂用午餐．学校食堂有、两家餐厅，已知他第一天选择食堂的概率为，而前一天选择了食堂后一天继续选择食堂的概率为，前一天选择食堂后继续选择食堂的概率为，如此往复． (1)求该同学第2天中午选择食堂就餐的概率： (2)记该同学第天选择食堂就餐的概率为； ①证明：为等比数列；②若存在n∈N*，使得成立，求实数m的取值范围． 19．（17分）已知函数． (1)若，求函数在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求整数的最大值； (3)设有两个极值点，求的范围． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 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