专题01 数列专题 期末复习训练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

**基本信息** 以“求通项-求和-应用”为主线，系统构建数列解题方法体系，逻辑递进，兼顾知识迁移与高考对接。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求通项公式|5方法各1典例|定义法、与前n项和关系法、累加法、累乘法、构造法|从已知类型到递推关系逐步深化| |数列求和|5方法各1典例|公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法|从基本公式到特殊通项特征方法递进| |应用拓展|几何+生活应用+高考/教材题|问题转化、模型构建|知识迁移与高考、教材深度对接|

数列专题 一、求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的重要内容，同时是数列一种直观的表达方式，是数列函数特性的一种体现，常见的求通项公式的方法有以下几种： 1、 定义法： 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项公式，这种方法适用于已知数列类型的题目。 例1、已知数列满足，求数列的通项公式； 例1解：由可知数列是等差数列。 公差d=1=2+n-1=n+1，数列的通项公式为。 2、 与的关系法（作差法）： 为数列的前项和，则有 已知的具体关系式，即，可以，这里求出来的通项公式不包括，所以还要对进行检验。 例2、 已知数列的前项的和，求数列的通项公式。 例2解：当 n=1时，， n≥2时， =,满足该式子 数列的通项公式为。 3、 累加法： 递推关系式为型，可以用累加法，如下式 ，注意首项是否满足通项公式. 例3、 .在数列中，，，求数列的通项公式。 例3解：当 n=1时：， 当 n=2时：， 当 n=3时：， …… 当 n=n-1时: 将以上(n-1)个式子相加，可得：3+5+7+……+（2n-1） 即3+5+7+……+（2n-1）=当n=1时，符合该式子， 所以，数列的通项公式为 。 4、累乘法 递推关系式为型，可以用累乘法，如下式 ，注意首项是否满足通项公式 例4、 在数列中，，，求数列的通项公式。 例4解：由递推公式可得: , 令n=1,2,3.....(n-1)代入式子可得： = = 所以 。当n=1时，满足该式子。 所以，数列的通项公式为 。 5、构造法 递推关系式形如，可用构造法，构造出等比数列，即，由常数部分相等，则数列是首项为，公比为的等比数列，即 例5、 已知数列满足，，求数列通项公式。 例5解：由化简得，通过对比系数可知=1，即， 所以是以+1=2 为首项，以q=2 为公比的等比数列。 所以+1= ，即-1 。 2、 数列求和方法 1、 公式法： （1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： 例1、已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和. 例1解：（1）等差数列中，，解得，而，则数列的公差，于是得，所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，，即数列是等比数列，首项，公比，所以数列的前n项和. 2、错位相减法 通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法 例2、已知数列的前n项和为，且，. (1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项和. 例2解：（1）因为，所以（），故， 即（） 又，故，即，因此（） 故是以2为首项，3为公比的等比数列.因此（） （2） 因为 ① 故 ② 1- ②： 即 . 3、裂项相消法 通项公式特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多 例3、记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式；(2)证明：． 例3解(1)∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列， ∴,∴,∴当时，， ∴,整理得：,即, ∴，显然对于也成立， ∴的通项公式； (2) ∴ 4、分组求和法 分组求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。 例4、已知数列{}满足，． (1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；(2)求数列的前n项和． 例4解：(1)由题意可得：∵ 所以是首项为2，公比为2的等比数列 则，即因此{}的通项公式为 (2)由（1）知，令则 所以． ．综上． 5、并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。形如的类型，可采用两项合并求解。 例5、已知的通项公式为，求的前n项和． 例5解：当n为偶数时，； 当n为奇数时，． 综上：. 3、 数列的迁移应用 1、 等比数列在几何中的应用 例1、 （选择性必修二教材P38例10）如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依次方法一直继续下去。 （1） 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2） 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 例1、 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。 解：设正方形ABCD的面积为，后继各正方形的面积依次为，，...... ,......则 由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以= 因此，是以25为首项，为公比的等比数列。 设的前n项和为 （1） 。 所以，前10个正方形的面积之和为 。 （2） 当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和+.....+.+.... 而 随着n的无限增大，将趋近于50.所以这些正方形的面积之和将趋近于50. 方法技巧：求解等比数列在几何中的应用问题的策略 （1） 分析题中的条件，将几何问题转化成数列问题，并根据题中的几何关系得出数列的结构特点. （2） 根据所得到的数列的结构特点，结合数列有关知识求解. （3）将所求得的数列的结果翻译成几何语言，进而解决几何问题. 2、 数列在生活实际中的应用 例2、（选择性必修二教材P40练习第2题）某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标(精确到1万元)？ 例2解：设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金，则 2015年底剩余资金是; 2016年底剩余资金是 ； ......5年后达到资金； 由题意，得 . 解得.所以该牛奶厂每年应最多扣除458万元消费基金，才能实现预期目标。 四、对接高考 1.（2025全国1卷）已知数列中，，． 证明：数列为等差数列 给定正整数，设函数，求． 1.解析：【小问1详解】 由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 五、回归教材 1、（选择性必修二教材P41第7题）已知数列的首项=1，且满足+=3x . （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前n项和 . 1、解：（1）由+=3x，可得，因为=1，所以-2=-1. 从而 于是所以是首项和公比均为-1的等比数列. （3） 设的前n项和为，则， 故= 2、（选择性必修二教材P41第11题）已知数列的首项，且满足 （1） 求证：数列为等比数列. （2） 若，求满足条件的最大整数n. 2、解：（1）而，， 所以是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 所以 + .而 +随着n的增大而增大，当n=99时满足题意，当n=100时不合题意。所以满足条件的最大整数n=99. 3、 （选择性必修二教材P57第14题）在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球对撑若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就1个球，第2,3,4，...堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球。记第n堆的乒乓球总数为f(n)。 （1） 求出f(3) ; （2） 试归纳出f(n+1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式探求f(n)的表达式. 参考公式： 3、解：（1）易得 ； （2）由题意知，，，， ， .... 注意到 ，把上面n个式子相加，得 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列专题 一、求数列的通项公式 数列的通项公式是数列的重要内容，同时是数列一种直观的表达方式，是数列函数特性的一种体现，常见的求通项公式的方法有以下几种： 1、 定义法： 直接利用等差数列或等比数列的定义求通项公式，这种方法适用于已知数列类型的题目。 例1、已知数列满足，求数列的通项公式； 2、 与的关系法（作差法）： 为数列的前项和，则有 已知的具体关系式，即，可以，这里求出来的通项公式不包括，所以还要对进行检验。 例2、 已知数列的前项的和，求数列的通项公式。 3、 累加法： 递推关系式为型，可以用累加法，如下式 ，注意首项是否满足通项公式. 例3、 .在数列中，，，求数列的通项公式。 4、累乘法 递推关系式为型，可以用累乘法，如下式 ，注意首项是否满足通项公式 例4、 在数列中，，，求数列的通项公式。 5、构造法 递推关系式形如，可用构造法，构造出等比数列，即，由常数部分相等，则数列是首项为，公比为的等比数列，即 例5、 已知数列满足，，求数列通项公式。 2、 数列求和方法 1、 公式法： （1）等差数列求和公式： （2）等比数列求和公式： 例1、已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和. 2、错位相减法 通项公式特点：等差等比，比如，其中代表一个等差数列的通项公式（关于的一次函数），代表一个等比数列的通项公式（关于的指数型函数），那么便可以使用错位相减法 例2、已知数列的前n项和为，且，. (1)证明：为等比数列，并求的通项公式；(2)求数列的前n项和. 3、裂项相消法 通项公式特点：的表达式能够拆成形如的形式（），从而在求和时可以进行相邻项（或相隔几项）的相消。从而结果只存在有限几项，达到求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多 例3、记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式；(2)证明：． 4、分组求和法 分组求和：如果通项公式是前几种可求和形式的和与差，那么在求和时可将通项公式的项分成这几部分分别求和后，再将结果进行相加。 例4、已知数列{}满足，． (1)证明{}是等比数列，并求{}的通项公式；(2)求数列的前n项和． 5、并项求和法 一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。形如的类型，可采用两项合并求解。 例5、已知的通项公式为，求的前n项和． 3、 数列的迁移应用 1、 等比数列在几何中的应用 例1、 （选择性必修二教材P38例10）如图，正方形ABCD的边长为5cm，取正方形ABCD各边的中点E，F，G，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依次方法一直继续下去。 （1） 求从正方形ABCD开始，连续10个正方形的面积之和； （2） 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么这些正方形的面积之和将趋近于多少？ 方法技巧：求解等比数列在几何中的应用问题的策略 （1） 分析题中的条件，将几何问题转化成数列问题，并根据题中的几何关系得出数列的结构特点. （2） 根据所得到的数列的结构特点，结合数列有关知识求解. （3）将所求得的数列的结果翻译成几何语言，进而解决几何问题. 2、 数列在生活实际中的应用 例2、（选择性必修二教材P40练习第2题）某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%，每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标(精确到1万元)？ 四、对接高考 1.（2025全国1卷）已知数列中，，． 证明：数列为等差数列 给定正整数，设函数，求． 五、回归教材 1、（选择性必修二教材P41第7题）已知数列的首项=1，且满足+=3x . （1）求证：是等比数列. （2）求数列的前n项和 . 2、（选择性必修二教材P41第11题）已知数列的首项，且满足 （1） 求证：数列为等比数列. （2） 若，求满足条件的最大整数n. 3、 （选择性必修二教材P57第14题）在2015年苏州世乒赛期间，某景点用乒乓球对撑若干堆“正三棱锥”形的装饰品，其中第1堆只有1层，就1个球，第2,3,4，...堆最底层（第一层）分别按图中所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球。记第n堆的乒乓球总数为f(n)。 （1） 求出f(3) ; （2） 试归纳出f(n+1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式探求f(n)的表达式. 参考公式： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列专题参考答案 一、求数列的通项公式 例1解： 例1解：由可知数列是等差数列。 公差d=1=2+n-1=n+1，数列的通项公式为。 例2解： 当 n=1时，， n≥2时， =,满足该式子 数列的通项公式为。 例3解： 当 n=1时：， 当 n=2时：， 当 n=3时：， …… 当 n=n-1时: 将以上(n-1)个式子相加，可得：3+5+7+……+（2n-1） 即3+5+7+……+（2n-1）=当n=1时，符合该式子， 所以，数列的通项公式为 。 例4解： 由递推公式可得: , 令n=1,2,3.....(n-1)代入式子可得： = = 所以 。当n=1时，满足该式子。 所以，数列的通项公式为 。 例5解： 由化简得，通过对比系数可知=1，即， 所以是以+1=2 为首项，以q=2 为公比的等比数列。 所以+1= ，即-1 。 2、 数列求和方法 例1解： （1）等差数列中，，解得，而，则数列的公差，于是得，所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，，，即数列是等比数列，首项，公比，所以数列的前n项和. 例2解： （1）因为，所以（），故， 即（） 又，故，即，因此（） 故是以2为首项，3为公比的等比数列.因此（） （2） 因为 ① 故 ② 1- ②： 即 . 例3解： (1)∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列， ∴,∴,∴当时，， ∴,整理得：,即, ∴，显然对于也成立， ∴的通项公式； (2) ∴ 例4解： (1)由题意可得：∵ 所以是首项为2，公比为2的等比数列 则，即因此{}的通项公式为 (2)由（1）知，令则 所以． ．综上． 例5解： 当n为偶数时，； 当n为奇数时，． 综上：. 3、 数列的迁移应用 例1、 分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。 解：设正方形ABCD的面积为，后继各正方形的面积依次为，，...... ,......则 由于第k+1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点，所以= 因此，是以25为首项，为公比的等比数列。 设的前n项和为 （1） 。 所以，前10个正方形的面积之和为 。 （2） 当n无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和+.....+.+.... 而 随着n的无限增大，将趋近于50.所以这些正方形的面积之和将趋近于50. 例2解： 设这家牛奶厂每年应扣除x万元消费基金，则 2015年底剩余资金是; 2016年底剩余资金是 ； ......5年后达到资金； 由题意，得 . 解得.所以该牛奶厂每年应最多扣除458万元消费基金，才能实现预期目标。 四、对接高考 1.解析： 【小问1详解】 由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 五、回归教材 1、解： （1）由+=3x，可得，因为=1，所以-2=-1. 从而 于是所以是首项和公比均为-1的等比数列. （1） 设的前n项和为，则， 故= 2、 解： （1）而，， 所以是以为首项，以为公比的等比数列. （2）由（1）可得， 所以 + .而 +随着n的增大而增大，当n=99时满足题意，当n=100时不合题意。所以满足条件的最大整数n=99. 3、 解： （1）易得 ； （2）由题意知，，，， ， .... 注意到 ，把上面n个式子相加，得 1 学科网（北京）股份有限公司 $