高二数学下学期期末真题重组卷（人教B版）

**基本信息** 高二数学期末真题重组卷，精选多地区期末真题，覆盖数列、统计、概率、函数等核心知识，通过真实情境与梯度问题考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|等差数列（第1题）、线性回归（第2题）、事件独立性（第3题）|结合技术改造能耗（第2题）等现实情境，设置单选基础与多选综合（第9题函数性质）| |填空题|3题15分|概率计算（第12题）、排列组合（第13题）、数列单调性（第14题）|聚焦数学应用，如工厂生产抽样（第12题）、竞赛报名方案（第13题）| |解答题|5题77分|独立性检验与分布列（第15题）、导数应用（第17题）、正态分布与方案设计（第18题）|注重综合能力，鼻骨缺失胎儿统计分析（第15题）考查数据意识，函数零点证明（第19题）体现逻辑推理，梯度从基础证明到创新应用|

高二数学下学期期末真题重组卷 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024·25高二下·陕西西安·期末）已知等差数列中，，，则（    ） A．26 B．24 C．20 D．30 【答案】A 【详解】由题意可知，解得， 故. 2．（2024·25高二下·吉林·期末）某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 【答案】D 【详解】对于A，因回归方程斜率为负值，则变量y与x负相关，故A正确； 对于B，，， 因回归方程过，则，故B正确； 对于C，当时，由B分析，，则残差为： 故C正确； 对于D，当，由B分析，，故D错误. 故选：D 3．（2024·25高二下·甘肃临夏·期末）已知事件满足，则下列结论正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 【答案】D 【详解】对于A，若互斥，则，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若与相互独立，则与相互独立，所以，故C错误； 对于D，若，则，所以与相互独立，故D正确. 故选：D 4．（2024·25高二下·吉林长春·期末）的展开式中，的系数与常数项之差为（   ） A．20 B．19 C． D． 【答案】B 【详解】，展开式中的系数为， 常数项为2，故的系数与常数项之差为． 故选：B． 5．（2024·25高二下·福建漳州·期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由随机变量服从正态分布，其正态分布分布曲线的对称轴为直线， 则， 所以， 且，，即， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：A. 6．（2024·25高二下·吉林长春·期末）如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为.根据以上规定，的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，我们第一次抛掷正方体骰子，为奇数的概率为， 此时第二次抛掷正四面体骰子，的概率为， 而两次抛掷骰子相互独立，故为奇数时的概率为， 我们，第一次抛掷正方体骰子，为偶数的概率为， 此时第二次抛掷正八面体骰子，的概率为， 而两次抛掷骰子相互独立，故为偶数时的概率为， 而为奇数时和为偶数时互斥， 由互斥事件加法公式得的概率为，故C正确. 故选：C 7．（2025·26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】数列中，，当时，， 当时，，两式相减得， 则，而不满足此式，因此， 当时，，当时，满足上式； 因此，由对任意恒成立，得， 所以的最小值为． 故选：B 8．（2024·25高二下·湖北武汉·期末）关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题，将不等式变形得，令，则原不等式等价于， 当时，，此时不等式恒成立； 当时，，当时，，单调递减；当时，，单调递增； 因为，所以，，不等式转化为，即（＊）； 令，则，在单调递增，则，且当时，所以为使（＊）对于对恒成立，必须且只需. 综上所述，. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在点处的切线方程为 C．函数在上的值域为 D．若关于x的方程有3个不同的根，则 【答案】BCD 【详解】对于A，由题， 所以当时，当时， 所以函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B，，所以函数在点处的切线方程为，即，故B正确； 对于C，由上可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以函数在上的值域为，故C正确； 对于D，因为函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且， 所以若关于x的方程有3个不同的根，则，故D正确. 故选：BCD 10．（2024·25高二下·甘肃白银·期末）某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束．甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 若比赛结束时甲队获胜的场数为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意可得: 时，前三场甲输，未进行后两场比赛， 所以，则．A正确 时，前3场甲1胜2负，第4场甲负，未进行第五场 ，解得．B错误 由题意知所有的可能取值为0，1，2，3，则 ， 甲胜率表如下所示： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 时，前4场甲2胜2负（含1和3胜；2和4胜；1，3中胜一场，2，4中胜一场三大类），第5场甲负 ， 时，前3局全胜未进行后2场比赛；前3局甲胜2场，第4场甲胜，未进行第五场比赛；前4场甲2胜2负，第5场甲胜（因第5场甲胜负概率相同，所以此时概率等于） ，C正确 所以的分布列为 0 1 2 3 故．D错误 故选：AC 11．（2025·26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）对于正项数列，定义：为数列的“匀称值”．已知数列的“匀称值”为，前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递减数列 C． D．记，则数列有最大项 【答案】AD 【详解】因为数列的“匀称值”为， 即， 所以①. 当时，②， 当时，①减去②可得 ， 两边同时除以，可得. 当时，由①可得，符合上式， 所以数列的通项公式为. 因为， 所以数列是以1为公差的等差数列，故A正确； 因为公差，所以数列为递增数列，故B错误； 因为等差数列的前项和， 所以，所以，故C错误； 因为， 所以若数列有最大项，则有， 即，化简得， 解得，所以为数列有最大项，故D正确. 故选：AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 【答案】/ 【详解】由题意可得日生产件数之和的所有可能取值为190，150，110， 则可知. 故答案为： 13．（2024·25高二下·贵州安顺·期末）某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加．若有5名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有______种（用数字作答）． 【答案】62 【详解】这5名学生中，若化学竞赛只有1人报名，则报名方案有种； 若化学竞赛有2人报名，则报名方案有种； 若化学竞赛有3人报名，则报名方案有种． 故该班这5名学生不同的报名方案共有种． 故答案为：62. 14．（2024·25高二下·广东汕头·期末）已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为______． 【答案】 【详解】由题意， 当时，，可得或， 此时，时，恒有或，故或， 同时，由，而， 所以， 所以或，故或， 当时，在上单调递减，则，显然， 且在上单调递增，则，依次类推知时恒有， 由在上单调递增，则恒成立， 所以是严格增数列，满足； 当时，在上单调递增，则，依次类推知恒有， 由在上单调递增，则恒成立， 所以是严格增数列，满足； 所以或 当时，，可得，不合前提； 综上，. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024·25高二下·重庆沙坪坝·期末）（13分）部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超声异常），有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常．某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表：      是否合并其他超声异常染色体是否异常 不合并 合并 合计 正常 72 6 78 异常 3 19 22 合计 75 25 100 (1)根据小概率值的独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系； (2)现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【详解】（1）解：设零假设：鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体异常无关. 1分 由题知. 3分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为胎儿鼻骨缺失合并其他超声异常与胎儿染色体异常有关，此推断犯错误概率不大于. 5分 （2）由列联表所给频数可得鼻骨缺失的胎儿中合并其他超声异常的频率为, 以此估计鼻骨缺失的胎儿的中合并其他超声异常的概率为， 即一例鼻骨缺失胎儿合并其他超声异常的概率为 7分 为3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，所以的所有可能取值为, 且，故. 9分 则的分布列如下 0 1 2 3 12分 故的数学期望. 13分 16．（2025·吉林长春·模拟预测）（15分）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 【详解】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 2分 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 4分 将两式相减，可得， 即， 6分 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． 8分 （2）解：由（1）可得，， 所以． 10分 ① ② 12分 ①②得 ， 14分 所以． 15分 17．（2024·25高二下·北京怀柔·期末）（15分）已知函数． (1)若函数在处的切线与直线平行，求的值； (2)当时，证明； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【详解】（1）易知函数的定义域为， ∵， 2分 ∴. ∴. 3分 （2）证明：当时，， 要证，即证恒成立， 令， 则， 4分 当时，，当时，， ∴在单调递减，在单调递增， 6分 ∴当时，取得极小值，也是最小值，即， 即恒成立，故原结论成立； 8分 （3）若函数在区间上单调递增， 即当时，恒成立恒成立， 即恒成立，即， 10分 令， 当时，，当时，， ∴在单调递增，在单调递减， 12分 又当时，，当时，， ∴， ∴， 即的取值范围为． 15分 18．（2024·25高二下·重庆沙坪坝·期末）（17分）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 【详解】（1）因为抽样比为， 所以从中抽取（人），从中抽取（人）， 从中抽取（人）． 1分 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 4分 故的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 5分 ． 6分 （2）（ⅰ），， 8分 所以，，，． 10分 所以． 12分 （ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为，则可取． ， ， ． 15分 ， 因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 17分 19．（2024·25高二下·四川德阳·期末）（17分）已知函数（，为常数）． (1)若是偶函数，求的极值； (2)若函数有2个零点，． ①求的取值范围． ②求证． 【详解】（1）由题意知的定义域为， 是偶函数，故，即， 即得，而不恒等于0， 故，即； 2分 此时，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故在时取得极大值，极大值为，无极小值； 4分 （2）①，定义域为， 且，则， ，由于，故， 5分 令 ，则， 当时，，此时对恒成立， 则在上单调递增，此时至多有1个零点，不符合题意； 6分 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 且当和时，， 则在时取极大值，也是最大值， 即， 9分 要使有2个零点，．需 ， 解得，即的取值范围为． 10分 ②由题意可设，其中，， 由于，在上单调递减，可知， 若，则，此时成立， 若，且， 要证，即证，由于在上单调递增， 12分 只需证， 又因为，所以只需证，即 ， 设， ， 14分 因为，故，由，故，则， 故 ，即得 ， 由于，故，结合，得 ， 则可得此时成立， 综合可知. 17分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学下学期期末真题重组卷 数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024·25高二下·陕西西安·期末）已知等差数列中，，，则（    ） A．26 B．24 C．20 D．30 2．（2024·25高二下·吉林·期末）某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 3．（2024·25高二下·甘肃临夏·期末）已知事件满足，则下列结论正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 4．（2024·25高二下·吉林长春·期末）的展开式中，的系数与常数项之差为（   ） A．20 B．19 C． D． 5．（2024·25高二下·福建漳州·期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．（2024·25高二下·吉林长春·期末）如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为.根据以上规定，的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（2024·25高二下·湖北武汉·期末）关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在点处的切线方程为 C．函数在上的值域为 D．若关于x的方程有3个不同的根，则 10．（2024·25高二下·甘肃白银·期末）某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束．甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 若比赛结束时甲队获胜的场数为，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）对于正项数列，定义：为数列的“匀称值”．已知数列的“匀称值”为，前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递减数列 C． D．记，则数列有最大项 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 13．（2024·25高二下·贵州安顺·期末）某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加．若有5名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有______种（用数字作答）． 14．（2024·25高二下·广东汕头·期末）已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024·25高二下·重庆沙坪坝·期末）（13分）部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超声异常），有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常．某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表： 是否合并其他超声异常染色体是否异常 不合并 合并 合计 正常 72 6 78 异常 3 19 22 合计 75 25 100 (1)根据小概率值的独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系； (2)现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（2025·吉林长春·模拟预测）（15分）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 17．（2024·25高二下·北京怀柔·期末）（15分）已知函数． (1)若函数在处的切线与直线平行，求的值； (2)当时，证明； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 18．（2024·25高二下·重庆沙坪坝·期末）（17分）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 19．（2024·25高二下·四川德阳·期末）（17分）已知函数（，为常数）． (1)若是偶函数，求的极值； (2)若函数有2个零点，． ①求的取值范围． ②求证． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学下学期期末真题重组卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D B A C B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD AC AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．/ 13．62 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【详解】（1）解：设零假设：鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体异常无关. 1分 由题知. 3分 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为胎儿鼻骨缺失合并其他超声异常与胎儿染色体异常有关，此推断犯错误概率不大于. 5分 （2）由列联表所给频数可得鼻骨缺失的胎儿中合并其他超声异常的频率为, 以此估计鼻骨缺失的胎儿的中合并其他超声异常的概率为， 即一例鼻骨缺失胎儿合并其他超声异常的概率为 7分 为3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，所以的所有可能取值为, 且，故. 9分 则的分布列如下 0 1 2 3 12分 故的数学期望. 13分 16．【详解】（1）证明：因为，， 则将两式相加，可得， 2分 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列． 4分 将两式相减，可得， 即， 6分 又， 所以数列是首项为，公差为的等差数列． 8分 （2）解：由（1）可得，， 所以． 10分 ① ② 12分 ①②得 ， 14分 所以． 15分 17．【详解】（1）易知函数的定义域为， ∵， 2分 ∴. ∴. 3分 （2）证明：当时，， 要证，即证恒成立， 令， 则， 4分 当时，，当时，， ∴在单调递减，在单调递增， 6分 ∴当时，取得极小值，也是最小值，即， 即恒成立，故原结论成立； 8分 （3）若函数在区间上单调递增， 即当时，恒成立恒成立， 即恒成立，即， 10分 令， 当时，，当时，， ∴在单调递增，在单调递减， 12分 又当时，，当时，， ∴， ∴， 即的取值范围为． 15分 18．【详解】（1）因为抽样比为， 所以从中抽取（人），从中抽取（人）， 从中抽取（人）． 1分 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 4分 故的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 5分 ． 6分 （2）（ⅰ），， 8分 所以，，，． 10分 所以． 12分 （ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为，则可取． ， ， ． 15分 ， 因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 17分 19．【详解】（1）由题意知的定义域为， 是偶函数，故，即， 即得，而不恒等于0， 故，即； 2分 此时，则， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 故在时取得极大值，极大值为，无极小值； 4分 （2）①，定义域为， 且，则， ，由于，故， 5分 令 ，则， 当时，，此时对恒成立， 则在上单调递增，此时至多有1个零点，不符合题意； 6分 当时，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 且当和时，， 则在时取极大值，也是最大值， 即， 9分 要使有2个零点，．需 ， 解得，即的取值范围为． 10分 ②由题意可设，其中，， 由于，在上单调递减，可知， 若，则，此时成立， 若，且， 要证，即证，由于在上单调递增， 12分 只需证， 又因为，所以只需证，即 ， 设， ， 14分 因为，故，由，故，则， 故 ，即得 ， 由于，故，结合，得 ， 则可得此时成立， 综合可知. 17分 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 高二数学下学期期末真题重组卷 数学 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2024·25高二下·陕西西安·期末）已知等差数列中，，，则（    ） A．26 B．24 C．20 D．30 2．（2024·25高二下·吉林·期末）某厂进行技术改造后，生产产品过程中记录的时间x（单位：天）与相应的生产能耗y（单位：吨）的几组数据，如下表所示.若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（   ） 时间x 1 2 3 4 5 生产能耗y/吨 5 4.5 4 3.5 2.5 A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．线性回归方程中 C．当时，残差为- D．可以预测当时能耗约为2.2吨 3．（2024·25高二下·甘肃临夏·期末）已知事件满足，则下列结论正确的是（    ） A．若互斥，则 B．若，则 C．若与相互独立，则 D．若，则与相互独立 4．（2024·25高二下·吉林长春·期末）的展开式中，的系数与常数项之差为（   ） A．20 B．19 C． D． 5．（2024·25高二下·福建漳州·期末）已知随机变量，，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．（2024·25高二下·吉林长春·期末）如图，现有三个质地均匀的骰子，其中正方体骰子六个面分别标以数字1到6、正四面体骰子四个面分别标以数字1到4，正八面体骰子八个面分别标以数字1到8.现进行抛骰子游戏，规定：第一次抛掷正方体骰子，记骰子朝上的面上的数字为a，若a为奇数，则第二次抛掷正四面体骰子，若为偶数，则第二次抛掷正八面体骰子，记第二次抛掷的骰子与地面接触的面上的数字为.根据以上规定，的概率为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·26高二上·甘肃兰州·期中）已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的最小值为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 8．（2024·25高二下·湖北武汉·期末）关于的不等式对恒成立，实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2024·25高二下·甘肃临夏·期末）已知函数，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数在点处的切线方程为 C．函数在上的值域为 D．若关于x的方程有3个不同的根，则 10．（2024·25高二下·甘肃白银·期末）某次体育比赛团体决赛实行五场三胜制，且任何一方获胜三场即比赛结束．甲、乙两个代表队最终进入决赛，根据双方排定的出场顺序及以往战绩统计分析，甲队依次派出的五位选手分别战胜对手的概率如下表： 出场顺序 1号 2号 3号 4号 5号 获胜概率 若比赛结束时甲队获胜的场数为，且，则（    ） A． B． C． D． 11．（2025·26高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）对于正项数列，定义：为数列的“匀称值”．已知数列的“匀称值”为，前项和为，则下列关于数列的描述正确的有（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递减数列 C． D．记，则数列有最大项 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·25高二下·江苏南京·期末）某工厂生产车间有日生产件数为95件的“生产标兵”3人，有日生产件数为55件的“新手”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和为150件的概率为__________． 13．（2024·25高二下·贵州安顺·期末）某校组织学生参加数学、物理、化学三项学科竞赛，要求每名学生只报名一项竞赛，且每项竞赛至少有一人参加．若有5名学生报名，其中甲、乙都不参加化学竞赛，则不同的报名方案共有______种（用数字作答）． 14．（2024·25高二下·广东汕头·期末）已知数列满足（为正整数），若是严格增数列，则首项的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（2024·25高二下·重庆沙坪坝·期末）（13分）部分胎儿在B超检查时会检测出鼻骨缺失，其中有的胎儿是孤立性鼻骨缺失（不合并其他超声异常），有的胎儿是鼻骨缺失的同时合并了其他超声异常．某儿科医院统计了100名鼻骨缺失胎儿的染色体检测结果，得到如下列联表： 是否合并其他超声异常染色体是否异常 不合并 合并 合计 正常 72 6 78 异常 3 19 22 合计 75 25 100 (1)根据小概率值的独立性检验，分析鼻骨缺失的胎儿是否合并其他超声异常与胎儿染色体是否异常有没有关系； (2)现有3例鼻骨缺失胎儿，以频率估计概率，记为这3例鼻骨缺失胎儿中合并其他超声异常的人数，求的分布列和数学期望． 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16．（2025·吉林长春·模拟预测）（15分）已知数列和满足． (1)求证：数列是等比数列，数列是等差数列： (2)求数列的前项和． 17．（2024·25高二下·北京怀柔·期末）（15分）已知函数． (1)若函数在处的切线与直线平行，求的值； (2)当时，证明； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 18．（2024·25高二下·重庆沙坪坝·期末）（17分）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 19．（2024·25高二下·四川德阳·期末）（17分）已知函数（，为常数）． (1)若是偶函数，求的极值； (2)若函数有2个零点，． ①求的取值范围． ②求证． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $