2025-2026学年高一下学期数学（人教A版必修第二册）期末考试模拟试卷三

**基本信息** 本试卷为人教A版必修第二册高一下学期期末模拟卷，涵盖向量、立体几何、概率统计等核心内容，通过四棱锥体积计算（空间观念）、离子残留直方图分析（数据意识）等题，实现知识综合与素养考查的统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|正四面体异面直线成角、独立事件概率|基础概念辨析，如向量垂直条件判断| |多选题|3/18|样本数据特征、正方体截面与体积|多维度能力考查，如动态点体积定值分析| |填空题|3/15|圆台降水量计算、概率综合|实际情境应用，如编程竞赛获奖概率| |解答题|5/77|复数分类、解三角形面积、四棱锥二面角|梯度设计，从复数基础到立体几何综合，体现逻辑推理与数学表达|

人教A版必修第二册 高一下学期期末考试模拟试卷三 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则（   ） A． B． C． D．1 2．若是非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．在正四面体ABCD中，M，N分别是棱AB，CD的中点，则直线AN与CM所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊区，各区的人口比例为．现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研．已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为（    ） A．90 B．120 C．180 D．200 5．已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 6．已知事件A、B相互独立，事件A发生的概率为，事件B发生的概率为，则事件发生的概率为（   ） A． B． C． D．0 7．在中，角的边分别为，已知，其外接圆半径，则下列判断中错误的是（    ） A．若，则 B．若，则该三角形有两解 C．周长的最小值为6 D．面积的最大值 8．已知三棱锥S－ABC中，∠BAC=，SB⊥AB，SC⊥AC，SB=SC=3，，三棱锥体积为，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为（    ） A．5π B．20π C．25π D．100π 二、多选题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．设，则（     ） A． B． C． D． 10．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中(为非零常数，则（    ） A．两组样本数据的样本平均数相同 B．两组样本数据的样本中位数相同 C．两组样本数据的样本标准差相同 D．两组样本数据的样本极差相同 11．正方体的棱长为2，E，F，G分别为BC，，的中点，点P为线段上的动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面AEF截正方体所得的截面周长为 D．直线AF与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12．降水量是指水平地面上单位面积的降水深度．用上口直径为20cm、底面直径为12cm，母线长为的圆台型水桶来测量降水量，如果一次降水过程中用此桶接得的雨水是桶深的，则本次降雨的降水量是_______mm． 13．某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 14．已知在中， ，且的最小值为，若为边上任意一点，则的最小值为__________． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤 15．（本小题满分13分）实数分别取什么数值时，复数是： (1)纯虚数； (2)与复数互为共轭复数. 16．（本小题满分15分）已知与的夹角是 (1)计算； (2)求和的夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成两组，每组100只，其中组小鼠给服甲离子溶液，组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图： 记为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于”，根据直方图得到的估计值为. （1）求乙离子残留百分比直方图中的值； （2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 18．（本小题满分17分）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 19．（本小题满分17分）如图，四棱锥中，底面，，，，，M是上一点，且，N是中点. (1)求证：； (2)若二面角大小为，求棱锥的体积. 第1页，共2页 第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年高一下学期数学期末考试模拟试卷三》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C D A B C C ACD CD 题号 11 答案 BC 1．A 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2．D 【分析】结合，设，，根据充分性和必要性两个角度分别判断即得. 【详解】如图作，设，， 由向量加法的平行四边形法则知：由可得是菱形， 因菱形的对角线不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立； 又由可得是矩形，因矩形的一组邻边不一定相等， 故也不一定成立，即必要性不成立. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 3．C 【分析】将正四面体ABCD中置于正方体中，分析易得，可得为直线AN与CM所成角（或补角），进而结合余弦定理求解即可. 【详解】将正四面体ABCD中置于正方体中，如图， 易得，， 所以四边形为平行四边形，则， 则异面直线AN与CM所成角即为直线AN与NE所成角， 即为直线AN与CM所成角（或补角）， 设正方体的棱长为2，则，， 在中，由余弦定理可得，， 因此直线AN与CM所成角的余弦值为. 故选：C. 4．D 【分析】设从核心区抽取的人数为人，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设从核心区抽取的人数为人， 因为各区的人口比例为，且从开发区抽取的人数为300， 可得，解得，即从核心区抽取的人数为人. 故选：D. 5．A 【详解】因为，所以 ， 展开整理得， 又因为， 故，， ， 代入等式得：，解得. 6．B 【分析】根据独立事件的概率公式可求. 【详解】因为相互独立，故， 故选：B. 7．C 【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由面积公式及正弦定理结合基本不等式解决即可. 【详解】对于A，由正弦定理得，解得，所以，故A正确； 对于B，由正弦定理得，所以， 因为，，，所以，所以该三角形有两解，故B正确； 对于C，由，得 ， 所以，当且仅当时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大值为6，故C错误； 对于D，由选项C知，，当且仅当时取等号， 故，所以面积的最大值为，故D正确. 8．C 【分析】观察△SBA、△SCA均为直角三角形，得到点P为三棱锥S－ABC外接球的球心，且棱锥P－ABC为正三棱锥，可以通过设高|PO|结合求得底面正△ABC的边长a，从而得到外接球半径|PA|，最后求得表面积． 【详解】解：如图，取SA中点P，SB⊥AB，SC⊥AC，则△SBA，△SCA均为直角三角形， PA=PB=PC=PS，即点P为三棱锥S－ABC外接球球心，PA即为外接球半径， 又SB=SC，故AB=AC且为等边三角形 又PA=PB=PC三棱锥P－ABC为正三棱锥； 作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接OA 则O为△ABC的外心， 设正三角形ABC的边长为a， 则， 即，外接球表面积为，故排除A； ∴，故排除D； 若，则，代入方程不成立，故排除B； 若，则，代入方程成立，所以C正确， 故选：C 9．ACD 【详解】对于A选项，复数的共轭复数，因此，A选项正确. 对于B选项，复数的模，因此，B选项错误. 对于C选项，∵ ， ∴ ，该选项正确. 对于D选项， ∵ 分子，分母， ∴ ，是实数，故，该选项正确. 10．CD 【分析】A、C利用两组数据的线性关系有、，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B、D的正误. 【详解】A：且，故平均数不相同，错误； B：若第一组中位数为，则第二组的中位数为，显然不相同，错误； C：，故方差相同，正确； D：由极差的定义知：若第一组的极差为，则第二组的极差为，故极差相同，正确； 故选：CD 11．BC 【分析】确定外接球并求出表面积判断A；证明线面平行并结合等体积法判断B；求出截面周长判断C；求出线面角的正弦判断D. 【详解】对于A，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，则该外接球的直径为， 因此三棱锥的外接球表面积为，A错误； 对于B，连接，由且，得四边形是平行四边形， 则，又，于是，四边形是平面截正方体所得的截面图形， 连接，则由、均为所在棱的中点，得，， 则四边形是平行四边形，，又平面，平面， 因此平面，点到平面的距离即为到平面的距离， 为定值，即三棱锥的体积为定值，B正确； 对于C，由选项B知，平面截正方体所得的截面图形为四边形， 而，，， 平面截正方体所得的截面周长为，C正确； 对于D，连接，由平面，得是直线与平面所成的角， 又，，，， 因此直线与平面所成角的正弦值为，D错误． 故选：BC 12．29.6 【分析】根据台体的体积公式即可求解. 【详解】设水面的半径为，水深为，因为上口半径为，底面半径，则，故， 雨水的体积为， 又,故, 故答案为：29.6 13． 【详解】设事件甲、乙、丙获奖分别为A，B，C，至少两位员工获奖有如下情况： 甲、乙获奖丙未获奖，甲、丙获奖乙未获奖，乙、丙获奖甲未获奖，甲、乙、丙三人均获奖， 则． 14． 【分析】利用向量的平方求模，借助二次函数求最小值，然后可求得角，再由余弦定理求边，由正弦定理求角，再进行向量的数量积运算可求得最小值. 【详解】设，对平方得： ， 由于, ，所以当时，取到最小值， 即， 因为，所以， 由余弦定理可得：， 取中点为，则， 因为为边上任意一点，则的最小值为点到的距离， 再由正弦定理可得：， 所以，即的最小值为. 15．(1) (2) 【分析】根据纯虚数和共轭复数概念分别列出关于的方程或方程组，然后求解的值. 【详解】（1）根据纯虚数的定义，可列出方程组. 解方程，得或. 解不等式，得且. 综合方程和不等式的解，可得. （2）根据共轭复数的定义，可列出方程组. 解方程，得或. 解方程，得. 综合两个方程的解，可得. 16．(1)，； (2) 【分析】（1）利用向量数量积的定义和运算律求解即得； （2）利用向量数量积的运算律和两向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）因为与的夹角是 所以， （2）因为， 设和的夹角为， 则. 17．(1) ，；(2) ，. 【分析】(1)由及频率和为1可解得和的值；(2)根据公式求平均数. 【详解】(1)由题得，解得，由，解得. (2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为， 乙离子残留百分比的平均值为 【点睛】本题考查频率分布直方图和平均数，属于基础题. 18．(1) (2) 【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方关系求得，再由面积公式求解即可； （2）由正弦定理得，即可求解. 【详解】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1在中，由正弦定理求得，在中，由余弦定理得求得， 由勾股定理得，由此得四边形ABCD是以AC为直径的圆的内接四边形，根据圆的垂径定理证得，由线面垂直的性质证得，根据线面垂直的判定和性质可得证. （2）由二面角的定义得就是二面角的平面角，再运用等体积法可求得三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：在中，，，，，由正弦定理得， ，即，解得，所以， 在中，由余弦定理得， ，即，所以， 所以，所以，所以四边形ABCD是以AC为直径的圆的内接四边形，所以， 又底面，底面，所以， 又，所以面，所以. （2）解：又底面，底面，所以，由（1）知，又，所以 面， 又面，所以，又，所以就是二面角的平面角，所以 所以为等腰直角三角形，所以， 在中，，，所以是正三角形，所以， 由（1）得面，又M是上一点，且， 所以M点到平面PAC的距离d等于点B到平面PAC的距离的，所以， 因为N是中点.所以， 所以， 所以棱锥的体积为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $