专题05 立体几何初步（期末复习知识清单）高一数学下学期人教B版

专题05 立体几何初步 斜二测画法与面积关系 1.斜二测画法规则 第一步：在原图中作互相垂直的轴、轴；画直观图时，两轴夹角画为或。 第二步：原图中平行于坐标轴的线段，在直观图中仍对应平行于新坐标轴。 第三步：平行于轴的线段长度保持不变；平行于轴的线段长度变为原来的。 2.原图与直观图面积关系 原图面积倍直观图面积 直观图面积倍原图面积 空间几何体基本元素 1.平面 平面具有无限延展、无厚度的特点；通常用平行四边形表示。 点、直线、平面位置关系：点用；直线与平面用。 2.空间线、面位置关系 直线与直线：平行、相交、异面 直线与平面：平行、相交、直线在平面内 平面与平面：平行、相交 3.线面垂直 直线与平面内任意直线都垂直，则线面垂直。 点到平面、平行线面、平行面面之间的距离，均为垂线段长度。 多面体与旋转体 一、多面体 1.基本概念：由平面多边形围成，包含面、棱、顶点、对角线、截面。 2.棱柱 有两组互相平行的面，侧面均为平行四边形；直棱柱侧棱垂直底面，正棱柱底面为正多边形的直棱柱。 分类：按底面边数、按侧棱与底面位置划分。 3.棱锥 一个面为多边形，其余面是共顶点的三角形；正棱锥底面为正多边形。 4.棱台 用平行于棱锥底面的平面截取得到；上下底面相似，侧棱延长线交于一点。 二、旋转体 1.定义：平面图形绕定直线旋转形成的几何体，包含轴、母线、轴截面等概念。 2.圆柱、圆锥、圆台 圆柱：矩形旋转而成，轴截面为矩形，上下底面全等且平行。 圆锥：直角三角形旋转而成，轴截面为等腰三角形，母线长度相等。 圆台：平行于圆锥底面截取得到，轴截面为等腰梯形。 3.球：半圆绕直径旋转而成，包含球心、半径、直径。 三、表面积公式 设圆柱底面半径、母线长；圆锥底面半径、母线长；圆台上下底半径、母线长；球半径。 1.圆柱侧面积：，表面积： 2.圆锥侧面积：，表面积： 3.圆台侧面积： 4.球表面积： 祖暅原理与体积公式 1.祖暅原理 幂势既同，则积不容异。等高、等截面面积的两个几何体，体积相等。 2.体积公式（为底面积，为高；台体为上下底面积，球半径） 柱体： 锥体： 台体： 球： 平面的基本事实与推论 1.三大基本事实 基本1：不共线三点确定一个平面。 基本2：直线上两点在平面内，则整条直线在平面内。 基本3：两平面有一个公共点，则两平面有且仅有一条过该点的公共交线。 2.三个推论 ①直线+直线外一点，确定一个平面 ②两条相交直线，确定一个平面 ③两条平行直线，确定一个平面 空间平行关系 1.平行线传递性：平行于同一直线的两直线互相平行。 2.等角定理：空间两角两边分别平行，两角相等或互补。 3.异面直线：空间中不平行、不相交的直线。 4.判定与性质（核心转化关系） 线面平行判定：线线平行线面平行 线面平行性质：线面平行线线平行 面面平行判定：两组相交线分别平行于另一平面面面平行 面面平行性质：面面平行交线平行 5.常用结论：面面平行，则一个平面内所有直线平行于另一平面；平行平面间平行线段相等。 空间垂直关系 1.异面直线所成角：取值范围，夹角为直角则两异面直线垂直。 2.线面垂直 判定：一条直线垂直平面内两条相交直线线面垂直 性质：垂直同一平面的两条直线互相平行 推论：线面垂直，则直线垂直平面内所有直线。 3.直线与平面所成角：范围。 4.二面角：由一条直线出发的两个半平面组成；平面角为直角时为直二面角，两平面互相垂直。 5.面面垂直 判定：一个平面过另一平面的垂线面面垂直 性质：两平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面。 斜二测画法及其计算 【例1】已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（    ）． A．3 B．2 C． D．1 【答案】A 【详解】如图，根据直观图还原平面图形OABC，，，且. 所以． 【例2】如图，是水平放置的的直观图，，，则原平面图形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直观图可得， 则. 【变式1-1】如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 【答案】A 【详解】由题意知，， 如图，将直观图复原为四边形，则四边形为平行四边形， 因为，是的中点，所以，且， 故，故， 所以四边形的周长为. 【变式1-2】水平放置的的斜二测直观图如图所示，且，，则=_____． 【答案】 【详解】由直观图可知，在轴上，在轴上，且（或）. 所以原图形中，在轴上，且； 在轴上，且. 所以，即. 所以 . 几何体展开图的最短路径问题 【变式1-3】某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】圆柱的侧面展开图及，的位置（为的四等分点）如图所示， 底面周长为展开矩形的长，故，圆柱高为展开矩形的高，故， 所以，连接，则图中即为到的最短路径， . 故选: B. 【例3】如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________．    【答案】/ 【详解】把圆锥侧面沿母线展开如图所示的扇形，则为小虫爬行的最短路径. 由题意可知，，， 则在等腰三角形中得，则，， 则弧长为， 设圆锥底面半径为，则，得， 则圆锥的侧面积为    【例4】如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 【答案】 【详解】正三棱锥的侧面展开图如下图所示， 因为为正三棱锥，所以， 依题意可知，所以三角形是等腰直角三角形， 在中，由余弦定理可得：， 所以，解得：， 所以. 所以最短路程为. 【变式2-1】已知正三棱柱，底面边长为1，高为8． (1)一点自点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达点的最短路线长； (2)一点自点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达点的最短路线长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）将三棱柱侧面沿侧棱剪开，展成平面图形如图所示，则即为所求的最短路线． 在中，，， ∴． （2） 将三棱柱的侧面都沿剪开，然后展开并拼接成如图所示，则即为所求的最短路线． 在中，，， ∴． 简单几何体的表面积与体积 【变式2-2】已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积等于（   ） A．12 B．15 C．36 D．45 【答案】A 【详解】由题意，圆锥的高为， 所以该圆锥的体积为. 【变式2-3】某同学做了一个木制陀螺，该陀螺由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两个圆锥的体积之比为1∶3．上面圆锥的高与其底面半径相等，则上、下两个圆锥的母线长之比为__________ 【答案】 【详解】设两个圆锥的底面半径为，上面圆锥的高为，下面圆锥的高为. 由题意，上面圆锥的高与底面半径相等，即. 设上下圆锥体积分别为，所以， 已知，所以，又， 代入得：. 设上下圆锥母线分别为， 则， 所以母线之比为：. 【例5】“端午节”为我国传统节日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子也是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同，如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有一个装满（不冒尖）馅料的米斗，其形状可近似看作为上底面圆半径为8cm，下底面圆半径为6cm，高为3cm的圆台，则这些馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的个数为（    ）（参考数据：） A．18，10 B．18，11 C．19，10 D．19，11 【答案】A 【详解】因为 ， 其中 ， ， ，代入得： , ，其中棱长 ，代入得： ， 所以可包个数： =18, 因为 ，其中 ， ，代入得： , 所以可包个数： , 综上，最多可包三角粽 个，竹筒粽 个. 【例6】如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如），另外两条相对的侧棱交于一点（如）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，两个正四棱柱重叠部分为多面体， 取的中点I，则多面体可以分成8个全等小三棱锥， 例如三棱锥， 则，且平面， 则， 所以“垂直贯穿”构成多面体的体积为 .    共点、共线、共面问题证明 【变式3-1】已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：因为EF是的中位线，所以． 在正方体中，，所以． 所以EF、BD确定一个平面，即D、B、F、E四点共面． （2）在正方体中，设平面为、平面BDEF为． 因为，所以．又，所以．所以Q是与的公共点． 同理，P也是与的公共点．所以． 又，所以，，且．则， 故P、Q、R三点共线． （3）因为且，所以DE与BF相交， 设交点为M，则由，平面，得平面， 同理，点平面．又平面平面， 所以．所以DE、BF、三线交于一点M． 【变式3-2】如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：显然、、在正方体的上底面，且三点不共线，不在正方体的上底面， 所以、、、四点不共面，故A错误； 对于B： 如图，，即、、、四点共面，即、、三点共面，且三点不共线， 又平面，所以、、、四点不共面，故B错误； 对于C：显然、、在正方体的下底面，且三点不共线，不在正方体的下底面， 所以、、、四点不共面，故C错误； 对于D： 如图，连接，则，又，所以， 所以、、、四点共面，故D正确. 故选：D 【变式3-3】如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，．证明：点在平面中. 【答案】证明见解析 【详解】取中点，中点，连接，，， 则，， 由正四棱柱，可得， 则，又点为中点， 所以，即四边形为平行四边形， 同理可得，四边形为平行四边形， 所以且， 则，所以四边形为平行四边形，所以， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面，即点在平面中． 【例7】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1） 连接、，， 由，分别为，中点，则， 又，，则， ， 、、、四点共面. （2） 由，， 易知， 又，分别为，中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线、不平行， 设它们交点为，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即、必相交且交点在直线上． 线面位置关系的命题判断 【例8】设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若⊥，m，则m⊥ C．若m⊥，mn，n，则⊥ D．若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 【答案】C 【详解】平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误； 当两个平面垂直时，一个平面内的直线只有垂直于交线才垂直于另一个平面，故B错误； 若m⊥，，则n⊥，又，可得⊥，故C正确； ＝m，n，n⊥m，但不一定垂直于平面内的其他直线， 故不一定垂直于，故D错误． 【变式4-1】已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则，共面 B．若，则与有公共点 C．若与无公共点，且，则 D．若存在平面，使得，，，则 【答案】D 【详解】当与相交时，因为，，所以，异面，A错误； 当，时，因为，所以，此时与没有公共点，B错误； 若与无公共点，则，因为，如图， 但与不垂直，C错误； 因为存在平面，使得，，所以， 因为，，所以，，所以，D正确. 【变式4-2】若是异面直线，下列四个命题中正确的是（   ） A．过不在上任一点，必可作直线与都平行 B．过不在上任一点，必可作直线与都相交 C．过不在上任一点，必可作平面与都平行 D．过可以并且只可以作一个平面与平行 【答案】D 【详解】如图， ，是异面直线，设不在，上的任意一点为． 假设过点可作直线，，则．这与已知，是异面直线相矛盾．所以假设不成立，即不存在过点的直线与，都平行．故A错误； 若点或（P不在直线上），则不能够作直线与，都相交，故B错误； 若点或，则不能够作平面与，都平行，故C错误； 在直线上取，点，过，分别作直线，与直线平行，，可确定平面， 即平行于，此时在平面上，故D正确． 【变式4-3】设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．，，则 B．，， C．，，则 D．，，则 【答案】B 【详解】对于A，若，，则与平面平行或或相交，故A错误； 对于B，因为，，故，而，故，故B正确； 对于C，，，则或，故C错误； 对于D，若，，则与平面的位置关系不确定（可能平行、相交或在平面内），故D错误. 空间平行关系的证明 【例9】如图，且且且，平面ABCD，，若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE． 【答案】设是的中点，连接，， 由于是的中点，所以， 由于平面，平面，所以平面． 由于是的中点，所以， 由于平面，平面，所以平面． 由于，所以平面平面， 由于平面，所以平面． 【详解】略 【例10】（多选）如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断正确的是（    ） A． B．平面ADE C．平面平面AFN D．是异面直线 【答案】BCD 【详解】将给定的平面图形还原成正方体，如图， 对于A，CN与DE是异面直线，而不是平行关系，在正方体中，CN与DE既不相交也不平行，A错误； 对于B，在正方体中，，平面ADE，平面ADE，则平面ADE，B正确； 对于C，在正方体中，，，平面BDM，平面BDM， 则平面BDM，同理平面BDM，而平面，则平面平面AFN，C正确； 对于D，在正方体中，DM与BF既不相交也不平行，满足异面直线的定义，DM，BF是异面直线，D正确． 故选：BCD 【变式5-1】如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：平面． 【答案】证明见解析 【详解】由题意可知，，两两垂直，则以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系．设，则． 由题中数量关系可得，，，，， 则，，． 设平面AEG的法向量为， 则，令，得． 因为， 所以，又平面，所以平面． 【变式5-2】如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是PB，PC，AE，BF的中点．证明：直线平面．    【答案】证明见解析 【详解】如图，取BE的中点M，连接GM，HM，EF，      因为为的中点， 所以是的中位线，所以， 同理，是的中位线，是的中位线， 所以，，所以， 由，平面,平面，得平面， 同理，平面， 又，平面，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 空间垂直关系的证明 【变式5-3】（多选）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将折起到，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为在平面BCD上的射影O恰好在CD上， 所以平面BCD．又平面BCD，所以． 因为四边形ABCD是矩形，所以， 又，CD，平面，所以平面． 因为，平面，所以，． 显然，由折叠而成，所以由知，故B，C，D正确； 假设，因为平面BCD，平面BCD，所以． 又，，平面，则得平面． 因为平面，所以，显然不成立. 所以假设不成立，故A错误． 【例11】如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，M为的中点，Q为上一动点，若平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示， 因为平面⊥平面，平面平面，平面，， 所以平面，又平面，所以， 又，M为的中点，所以， 因为， 平面，所以平面， 又平面，所以， 当时，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 因为，，所以为等腰直角三角形，则， 所以． 【例12】（多选）已知三棱台的上、下底面相似比为1:2.在中，，侧棱，且与下底面所成的角为60°.则（）． A．直线与直线相互垂直 B．直线与直线相互垂直 C．侧面与底面相互垂直 D．侧面与侧面相互垂直 【答案】ABD 【详解】将直线与以及延长交于点，由上下底面相似比为. 所以，，分别为，，的中点. 因为，所以. 在中，由，可得, 取的中点，连接与， 且. 在等腰三角形中，且. 因为，所以平面，平面. 所以平面平面，两平面的交线为. 过点作于点，则平面，所以或120°（舍）. 在中，由余弦定理得到. 所以，解得，此时. 所以，又，且. 所以平面，故且，即与以及两两垂直． 由平面得到，即直线直线，A正确； 由且，故平面. 因为平面，所以，即直线直线，故B正确； 侧面所在平面即平面，二面角的平面角为. 在直角中，，所以. 即二面角的平面角为，侧面与底面不垂直，C错误； 侧面与所在平面即平面与平面. 由平面且平面，得到两平面相互垂直，故D正确． 【变式6-1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1) 证明：连接交于点，连接； 因为底面是矩形，故为中点； 又因为M是PD的中点，故； 因为平面，平面， 故平面； (2)证明：因为平面，平面，故； 因为底面是矩形，故； 因为，且平面； 故平面，因为平面，故； 又因为，且M是PD的中点，故； 因为，且平面， 故平面． 【分析】 【详解】（1）略． （2）略． 异面直线所成角的求解 【变式6-2】在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的正弦值为_____ 【答案】 【详解】连接， 在正方体中，因为是的中点，是的中点， 所以，， 则，， 所以四边形为平行四边形，则， 所以（或其补角）为直线和所成角， 设正方体的棱长为2， 则， 所以， 在中，由余弦定理得， ∴ 则异面直线和所成角的正弦值为. 【变式6-3】如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以是异面直线和所成角或其补角， 所以在中，，所以， 即异面直线和所成角的大小是. 【例13】在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______ 【答案】 【详解】由已知得此三棱锥为正四面体，不妨设棱长为2，记中点为F， 因为点E是棱的中点，根据三角形中位线性质可知， 所以与夹角的余弦值即为异面直线和所成角的余弦值. 在中，，，由余弦定理． 所以异面直线和所成角的余弦值为.    【例14】如图，在长方体中，，，点为棱中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 【答案】(1) 设与相交于点，连接， 因为点为的中点，点为的中点， 所以为中位线，则， 平面，平面 所以，平面 (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）知，，所以即为异面直线与所成角或其补角. 因为，所以，， 且， 所以，在中，. 又，所以. 故异面直线与所成角的大小为. 直线与平面所成角的求解 【变式7-1】如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，为的中点，平面. (1)求证：； (2)求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面， 而平面，平面平面，所以. （2）如图，连接， 因为平面，平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面. 由（1）得，且，则， 所以平面，又平面，所以. 因为为的中点，且，所以， 又平面，所以平面， 所以是在平面内的射影，为与平面所成角. 由且，为的中点，得， 因为平面，所以，故，即， 又因为且，所以， 所以， 所以与平面所成角的余弦值为. 【变式7-2】如图，在三棱锥中，等边三角形的边长为2，平面，且，则直线与平面所成角的余弦值为______. 【答案】 【详解】如图，取的中点，连接，， 由是等边三角形，则， 因为平面，平面，所以， 又因为，，平面，所以平面， 所以是与平面所成的角，又是等边三角形，， 为的中点，所以，， 因为平面，，所以，， 则，即直线与平面所成角的余弦值为. 【变式7-3】如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. （2）如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面上的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为． 【例15】如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，，，． (1)求证：平面； (2)求证： 平面； (3)若 ，求直线 BC与平面BDE所成角的余弦值． 【答案】(1)设正方形对角线的交点为，连接， 由题可知，所以，又因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； (2)连接，因为，且， 所以四边形为平行四边形， 又，所以四边形为菱形，所以， 因为平面平面，平面平面，， 平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以 平面； (3) 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 （3）设菱形对角线交点为，连接，由（2）知平面， 所以直线与平面所成的角为， 因为，所以，又，所以为等边三角形， 所以，所以，所以， 所以. 平面与平面所成角的求解 【例16】如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明：因为四边形为菱形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面. (2)2 【分析】 【详解】（1）略； （2）解：如图，设与交于点，连接， 由（1）知平面，因为平面，平面， 所以，，因此是二面角的平面角， 因为，四边形为菱形，， 所以为等边三角形，则，所以， 所以，在中，， 即二面角的正切值为2. 【变式8-1】已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则侧面与底面所成二面角的正切值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】如图所示，连接交于点，则为正方形的中心. 连接，则平面，所以. 取的中点，连接， 则，且. 因为平面，所以. 由，得； 所以为侧面与底面所成二面角的平面角. 所以. 【变式8-2】某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知轴截面等腰梯形中，上底，下底，腰长为， 因此圆台的高（即等腰梯形的高） 为下底圆的直径，故下底圆半径， 因为在下底圆周上，是直径，所以， ，在中，， 过作下底面的垂线，垂足为（在轴截面上，故在直径上）， 得，且下底面， 过作，垂足为，连接， 则就是二面角的平面角， 因为的面积， 其中（为下底圆心），是到的距离， 又， 所以，解得， 在中，， 因此二面角的余弦值. 【变式8-3】如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)因为圆O直径，则， 又，，平面， 则平面，结合平面，则平面平面； (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）取中点为，连接，因是正三角形，则， 又平面平面．平面平面，平面， 则平面，结合平面，可得. 如图，作，因，平面，则平面， 结合平面，可得，从而可得为二面角平面角. 因正三角形边长为2，则.因，则, 作，则，注意到，为AC中点，从而. 又易得，则. 空间距离的求解 【例17】某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【答案】 【详解】如图，设AD与BC的中点分别为M，N，连接EM，MN，NF， 因为侧面是等腰直角三角形，所以， 又N为中点，所以，则， 因为平面，平面侧面，平面，则， 又底面是正方形，所以，则， 因为M，N分别为AD与BC的中点，所以，故四点共面， 又平面，则平面， 因为平面，所以平面与底面垂直， 作，垂足为G，则FG的长度就是EF与MN的距离，即EF与平面ABCD的距离， 由已知，可得，所以， 则EF到平面ABCD的距离为． 【例18】已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】连接，交于点，连接，则为的中点. 因为平面，平面， 所以. 所以， 所以. 所以， 所以的面积为. 因为平面，， 所以. 设到平面的距离为， 由，得. 【变式9-1】在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为的面积为.则点到平面的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由侧棱底面，则， 由题意，知为直三棱柱，则为矩形， 根据其对角线相互平分，且平面， 所以点到平面的距离，即为点到平面的距离， 由，则，得    故选：A 【变式9-2】在各棱长均为1的正三棱柱中，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【详解】如图所示，取的中点，连接， 在正三棱柱中，可得平面，且平面，所以， 在等边中，因为为的中点，所以， 因为，且平面，所以平面， 所以点到平面的距离，即为， 又因为正三棱柱的各棱长均为，可得, 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 几何体的外接球与内切球 【变式9-3】已知，平面，若，则四面体的外接球(顶点都在球面上)的体积为__________. 【答案】/ 【详解】如图，取的中点，连接，，由题意得， 又因为，，平面，平面, 所以平面，平面，所以， 在中，，同理，所以， 因此，，，四点在以球心的球面上， 在中，， 在中，， 球的半径， 所以球的体积为. 故答案为：. 【例19】《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由平面，，得, 因为且平面，所以平面, 又平面，得. 由，得. 于是将三棱锥放入正方体中，如下图： 三棱锥 的外接球即为正方体的外接球，其设外接球的半径为， 则，解得. 设内切球的球心为，半径为， 因为内切球的球心到各个面的距离等于半径， 所以，， ， ， ，得. 所以. 故选：B 【例20】已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，设圆锥外接球的半径为，则有，解得， 则该圆锥的外接球表面积． 【变式10-1】在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面，若，，则这个四棱锥的外接球表面积为______. 【答案】 【详解】取BC中点E，连接EA、ED，取PC中点H，连接EH、BH， 等腰梯形中，，， 则有，则四边形为平行四边形， 则，又，则为等边三角形， 则，则为等边三角形 则，故点E为等腰梯形的外接圆圆心， 中，，则 又底面，则底面， 又， ， 即， 故点H为四棱锥的外接球球心， 球半径 则四棱锥外接球表面积为 故答案为：. 几何体中的动点探索问题 【变式10-2】如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点． (1)证明：平面； (2)在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)由正三棱柱的定义可知是等边三角形， 因为D为AB的中点，所以． 又平面ABC，平面ABC，所以． 因为，平面，且， 所以平面 (2)存在点E， 【分析】 【详解】（1）略. （2）存在．在中，作，垂足为E，连接BE． 由（1）知平面，所以． 因为AB，平面，且，所以平面． 因为平面BCE，所以平面平面． 设，则，，故． 因为，所以， 则，， 所以． 故在上存在点E，使得平面平面，此时． 【变式10-3】如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)试作出二面角，并求二面角的正切值； (3)在棱上是否存在点，使得与底面所成角的正切值等于，如果存在求出；如果不存在，说明理由．（注：本题建系不得分） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，证明见解析 【分析】 【详解】（1） ，，，， ，，， 又，面，面， 面，面， 面面. （2） 由题意知侧棱，为中点，所以，且，所以为正三角形， 如图所示，作中点,连接，过作交延长线于，连接， 可知，因为面面，面面，，面， 所以面，又，面，面， 所以面，又因为面，所以， 所以即为二面角的平面角， , . （3） 如图所示，作面，因为面，所以，所以为在面上的射影，所以三点共线，连接，再过作于. 所以为与底面所成角的平面角， 因为面，所以，在矩形中， 因为，面，面， 所以面，所以，因为，所以. 设， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，则， 在中，， 可得， 当时，即，平方后化简得， 解得或（舍）， 当时，即时，， 所以当时与底面所成角的正切值等于. 【例21】如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2）过，垂足为， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 得  又，平面， 则平面，为与平面所在角，， 因此，所以与平面所成角为. （3）三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形， 由平面，平面，得平面平面，取中点， 则，而平面平面，平面，则平面， 作交于，则平面，而平面，则， 作于，连接，即在平面上的射影，    又，平面，则平面， 又平面，于是，为二面角的平面角， 若存在使得二面角的大小为，即， 设，则，， 即，解得，，， 因此，， 所以存在满足题意的点. 【例22】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使平面？若存在，请找出具体位置，予以证明，并求点到平面的距离；若不存在，请分析说明理由． 【答案】(1)证明：在平行四边形中，，所以，所以， 因为平面平面，平面底面，所以平面，所以， 又因为，平面， 所以平面. (2)存在，F为中点， 点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）假设线段上是否存在一点，使平面，连接交于O， 平面，平面平面， 所以，在中，O为中点，所以F为中点，假设成立，F为中点； 由（1）可知，两两垂直，，所以建立如图所示空间直角坐标系， ，，，，， 所以，，， 设为平面的一个法向量， 所以，即，令得，，所以， 点到平面的距离为.    斜二测画法中长度规则记混、面积换算误用 1．如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形的直观图不是全等三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据斜二测画法知在选项A，B，D中，正三角形的顶点都在轴上， 点由边上的高线确定，所得直观图是全等的； 对于选项C，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的边长， 但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长相等，由此可知不全等． 2．（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（     ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【答案】BC 【详解】作出如图所示，由图可得是等腰直角三角形，A错误； ，，所以的周长为，B正确； 的面积为，C正确；的面积为，D错误． 台体公式结构复杂，经常漏项、写错系数。 3．已知一圆台上底面直径为，下底面半径为，母线长为上底面半径的二倍，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知一圆台上底面直径为，则半径，下底面半径为，即，母线， 圆台的轴截面如图所示，其中，， 由题意可知圆台的高， 则根据圆台的体积公式得圆台的体积，故D正确. 4．在正四棱台中，，该正四棱台的侧面积为，则该正四棱台的体积为____________． 【答案】 【详解】设，则， 由正棱台的结构特征可知四边形，均为等腰梯形， 如图，在等腰梯形中，过点作于点，则， 所以由勾股定理知， 由该正四棱台的侧面积为，得，解得， 则． 连接，在等腰梯形中，过点作于点，则为该正四棱台的高，且， 所以，则该正四棱台的体积．    空间平行关系判定与性质颠倒 5．如图，在四棱锥中，底面是矩形，M，N分别在棱，上，且，平面，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，连接，与交于点，连接，交于点， 连接，因为平面，平面， 平面平面， 所以，由于是的中点，所以. 过点作，交于点，则， 因为，所以， 所以，即. 6．如图，在正方体中，过的截面与底面交于，，分别为，的中点． (1)证明：； (2)若为的中点，证明：平面平面． 【答案】(1)在正方体中，平面， 所以平面， 又为过的截面与底面的交线， 所以平面， 所以. (2)因为，由（1）得， 在中，F为的中点，所以E为的中点， 又M为中点，所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 平面，所以平面, 又因为分别为的中点，所以, 平面，所以平面， ，平面， 所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 空间角各类角范围记混 7．如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．是边长为2的等边三角形． (1)证明：平面面； (2)若，求直线和所成角的余弦值； (3)点在棱上，如图2，，三棱锥的体积为4，求二面角平面角的正切值． 【答案】(1)因为，为的中点，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面面． (2) (3) 【分析】 【详解】（1）略． （2）如下图，分别取的中点M、N，连接， 因为O为中点，所以且， 所以异面直线和所成角（或为邻补角）即为， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 由（1）知，平面，因为平面，所以， 由，得，得． 在直角三角形中，则， 在中， 所以直线和所成角的余弦值为． （3）如下图，过点E作交于N．过点N作交于点M，连接， 因为且，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以，， 在中，因为，所以，而，则， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以，所以为二面角的平面角， 因为， 因为，所以， 又因为，所以，得， 因为，所以， 因为，所以， 所以． 所以二面角平面角的正切值为． 8．如图，在三棱柱中，为正三角形，，平面，，是延长线上一点，且. (1)设中点为，求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）如图，取的中点，连接， 因为中点，则，又，则， 因，则，可得，故， 又平面，而平面，故平面. （2）过点作平面的垂线，垂足为，连接， 因，则直线与平面所成的角即直线与平面所成的角，即， 因平面，，则平面，， 在中，，由余弦定理，， 则，因， 由可得，解得， 在中，，即直线与平面夹角的正弦值为. 面面垂直性质不会用 9．如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面PAD； (2)若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：取AD的中点O，连接PO, 因为为等边三角形，且O为AD中点， 所以 又平面平面， 平面平面，平面， 所以平面 . 又平面，因而 因为，，所以 由平面，平面PAD，， 所以平面 . （2）连接PC、OC，由题（1）可知，平面ABCD， 所以PC在平面ABCD内的投影为OC， 故是与平面所成的角，即 ，由题得，， 因为平面PAD，，所以平面PAD，所以． 因此，， 取CD的中点M，连接BM、QM， 则 所以多面体PQABCD的体积是. 10．如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）在直角三角形中， ∵， ∴， ∴． 又三角形的面积， 由（1）知，平面，所以三棱锥的高为， 设点到平面的距离为, 由，，而， 则， 所以,则，即， 则， 由，得， 则， 即点到平面的距离为. （3）过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示：    因为平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 立体几何初步 斜二测画法与面积关系 1.斜二测画法规则 第一步：在原图中作互相垂直的轴、轴；画直观图时，两轴夹角画为或。 第二步：原图中平行于坐标轴的线段，在直观图中仍对应平行于新坐标轴。 第三步：平行于轴的线段长度保持不变；平行于轴的线段长度变为原来的。 2.原图与直观图面积关系 原图面积倍直观图面积 直观图面积倍原图面积 空间几何体基本元素 1.平面 平面具有无限延展、无厚度的特点；通常用平行四边形表示。 点、直线、平面位置关系：点用；直线与平面用。 2.空间线、面位置关系 直线与直线：平行、相交、异面 直线与平面：平行、相交、直线在平面内 平面与平面：平行、相交 3.线面垂直 直线与平面内任意直线都垂直，则线面垂直。 点到平面、平行线面、平行面面之间的距离，均为垂线段长度。 多面体与旋转体 一、多面体 1.基本概念：由平面多边形围成，包含面、棱、顶点、对角线、截面。 2.棱柱 有两组互相平行的面，侧面均为平行四边形；直棱柱侧棱垂直底面，正棱柱底面为正多边形的直棱柱。 分类：按底面边数、按侧棱与底面位置划分。 3.棱锥 一个面为多边形，其余面是共顶点的三角形；正棱锥底面为正多边形。 4.棱台 用平行于棱锥底面的平面截取得到；上下底面相似，侧棱延长线交于一点。 二、旋转体 1.定义：平面图形绕定直线旋转形成的几何体，包含轴、母线、轴截面等概念。 2.圆柱、圆锥、圆台 圆柱：矩形旋转而成，轴截面为矩形，上下底面全等且平行。 圆锥：直角三角形旋转而成，轴截面为等腰三角形，母线长度相等。 圆台：平行于圆锥底面截取得到，轴截面为等腰梯形。 3.球：半圆绕直径旋转而成，包含球心、半径、直径。 三、表面积公式 设圆柱底面半径、母线长；圆锥底面半径、母线长；圆台上下底半径、母线长；球半径。 1.圆柱侧面积：，表面积： 2.圆锥侧面积：，表面积： 3.圆台侧面积： 4.球表面积： 祖暅原理与体积公式 1.祖暅原理 幂势既同，则积不容异。等高、等截面面积的两个几何体，体积相等。 2.体积公式（为底面积，为高；台体为上下底面积，球半径） 柱体： 锥体： 台体： 球： 平面的基本事实与推论 1.三大基本事实 基本1：不共线三点确定一个平面。 基本2：直线上两点在平面内，则整条直线在平面内。 基本3：两平面有一个公共点，则两平面有且仅有一条过该点的公共交线。 2.三个推论 ①直线+直线外一点，确定一个平面 ②两条相交直线，确定一个平面 ③两条平行直线，确定一个平面 空间平行关系 1.平行线传递性：平行于同一直线的两直线互相平行。 2.等角定理：空间两角两边分别平行，两角相等或互补。 3.异面直线：空间中不平行、不相交的直线。 4.判定与性质（核心转化关系） 线面平行判定：线线平行线面平行 线面平行性质：线面平行线线平行 面面平行判定：两组相交线分别平行于另一平面面面平行 面面平行性质：面面平行交线平行 5.常用结论：面面平行，则一个平面内所有直线平行于另一平面；平行平面间平行线段相等。 空间垂直关系 1.异面直线所成角：取值范围，夹角为直角则两异面直线垂直。 2.线面垂直 判定：一条直线垂直平面内两条相交直线线面垂直 性质：垂直同一平面的两条直线互相平行 推论：线面垂直，则直线垂直平面内所有直线。 3.直线与平面所成角：范围。 4.二面角：由一条直线出发的两个半平面组成；平面角为直角时为直二面角，两平面互相垂直。 5.面面垂直 判定：一个平面过另一平面的垂线面面垂直 性质：两平面垂直，一个平面内垂直于交线的直线，垂直于另一平面。 斜二测画法及其计算 【例1】已知一个平面图形OABC的直观图是边长为1的正方形，如图所示，那么在这个平面图形中（    ）． A．3 B．2 C． D．1 【例2】如图，是水平放置的的直观图，，，则原平面图形的面积为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，水平放置的四边形的斜二测画法的直观图为矩形，已知，是的中点，则四边形的周长为（   ） A．10 B．12 C．14 D．18 【变式1-2】水平放置的的斜二测直观图如图所示，且，，则=_____． 几何体展开图的最短路径问题 【变式1-3】某圆柱的高为，底面周长为，，分别是圆柱上、下底面圆周上的两点，其中，如图所示，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【例3】如图，圆锥的母线长为1，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P处出发，绕圆锥面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的侧面积为_________．    【例4】如图，正三棱锥的底边长为2，. 一只小虫从点出发，沿三个侧面爬行一周，回到点. 则爬行的路径最短为________. 【变式2-1】已知正三棱柱，底面边长为1，高为8． (1)一点自点出发沿着三棱柱的侧面绕行一周后到达点的最短路线长； (2)一点自点出发沿着三棱柱的侧面绕行两周后到达点的最短路线长． 简单几何体的表面积与体积 【变式2-2】已知一个圆锥的底面半径是3，母线长是5，则该圆锥的体积等于（   ） A．12 B．15 C．36 D．45 【变式2-3】某同学做了一个木制陀螺，该陀螺由两个底面重合的圆锥组成．已知该陀螺上、下两个圆锥的体积之比为1∶3．上面圆锥的高与其底面半径相等，则上、下两个圆锥的母线长之比为__________ 【例5】“端午节”为我国传统节日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子也是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同，如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有一个装满（不冒尖）馅料的米斗，其形状可近似看作为上底面圆半径为8cm，下底面圆半径为6cm，高为3cm的圆台，则这些馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的个数为（    ）（参考数据：） A．18，10 B．18，11 C．19，10 D．19，11 【例6】如图，两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成一个多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点（如），另外两条相对的侧棱交于一点（如）.已知正四棱柱底面边长为，侧棱长为3，则该多面体的体积为（    ）    A． B． C． D． 共点、共线、共面问题证明 【变式3-1】已知在正方体中，E、F分别为、的中点，，．求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若交平面DBFE于R点，则P、Q、R三点共线； (3)DE、BF、三线交于一点． 【变式3-2】如图，在下列正方体中，M，N为正方体的两个顶点，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，M，N，P，Q四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】如图，在正四棱柱中，，，点分别在棱，，，上，，，．证明：点在平面中. 【例7】如图，为空间四边形，点、分别是、的中点，点、分别在、上，且，．求证： (1)、、、四点共面； (2)、必相交且交点在直线上． 线面位置关系的命题判断 【例8】设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若⊥，m，则m⊥ C．若m⊥，mn，n，则⊥ D．若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 【变式4-1】已知，是两条不同的直线，平面，满足，则下列说法正确的是（    ） A．若，则，共面 B．若，则与有公共点 C．若与无公共点，且，则 D．若存在平面，使得，，，则 【变式4-2】若是异面直线，下列四个命题中正确的是（   ） A．过不在上任一点，必可作直线与都平行 B．过不在上任一点，必可作直线与都相交 C．过不在上任一点，必可作平面与都平行 D．过可以并且只可以作一个平面与平行 【变式4-3】设，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．，，则 B．，， C．，，则 D．，，则 空间平行关系的证明 【例9】如图，且且且，平面ABCD，，若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面CDE． 【例10】（多选）如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，以下判断正确的是（    ） A． B．平面ADE C．平面平面AFN D．是异面直线 【变式5-1】如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，，的中点，点G在棱上，且．证明：平面． 【变式5-2】如图，在三棱锥中，E，F，G，H分别是PB，PC，AE，BF的中点．证明：直线平面．    空间垂直关系的证明 【变式5-3】（多选）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将折起到，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【例11】如图，已知四棱锥的底面为矩形，平面平面，，，M为的中点，Q为上一动点，若平面平面，则（    ） A． B． C． D． 【例12】（多选）已知三棱台的上、下底面相似比为1:2.在中，，侧棱，且与下底面所成的角为60°.则（）． A．直线与直线相互垂直 B．直线与直线相互垂直 C．侧面与底面相互垂直 D．侧面与侧面相互垂直 【变式6-1】如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 异面直线所成角的求解 【变式6-2】在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线和所成角的正弦值为_____ 【变式6-3】如图，在长方体中，，，则异面直线和所成角的大小是（    ） A． B． C． D． 【例13】在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______ 【例14】如图，在长方体中，，，点为棱中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的大小. 直线与平面所成角的求解 【变式7-1】如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，为的中点，平面. (1)求证：； (2)求与平面所成角的余弦值. 【变式7-2】如图，在三棱锥中，等边三角形的边长为2，平面，且，则直线与平面所成角的余弦值为______. 【变式7-3】如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【例15】如图所示，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，，，． (1)求证：平面； (2)求证： 平面； (3)若 ，求直线 BC与平面BDE所成角的余弦值． 平面与平面所成角的求解 【例16】如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【变式8-1】已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则侧面与底面所成二面角的正切值为（    ） A． B．1 C． D．2 【变式8-2】某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【变式8-3】如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． 空间距离的求解 【例17】某景区一座仿古建筑的屋顶是中国传统建筑中常见的“庑殿顶”，其顶盖几何模型如图所示，平面ABCD，底面ABCD是边长为18的正方形，侧面ABFE与CDEF是全等的等腰梯形，侧面ADE与BCF是等腰直角三角形，若，则EF到平面ABCD的距离为______. 【例18】已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，平面，，则到平面的距离为（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】在三棱柱中，侧棱底面，且三棱柱的体积为的面积为.则点到平面的距离为（    ） A． B．2 C． D． 【变式9-2】在各棱长均为1的正三棱柱中，则点到平面的距离为__________. 几何体的外接球与内切球 【变式9-3】已知，平面，若，则四面体的外接球(顶点都在球面上)的体积为__________. 【例19】《九章算术·商功》中定义的鳖臑，是指四个面都是直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑中，平面，，则鳖臑的外接球和内切球的半径之比为（    ） A． B． C． D． 【例20】已知某圆锥底面半径为，高为，则该圆锥的外接球表面积为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面，若，，则这个四棱锥的外接球表面积为______. 几何体中的动点探索问题 【变式10-2】如图，在正三棱柱中，，D为AB的中点． (1)证明：平面； (2)在上是否存在点E，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式10-3】如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱，且，，，点为中点． (1)求证：平面平面； (2)试作出二面角，并求二面角的正切值； (3)在棱上是否存在点，使得与底面所成角的正切值等于，如果存在求出；如果不存在，说明理由． 【例21】如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【例22】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面底面，，，，．    (1)求证：平面； (2)线段上是否存在一点，使平面？若存在，请找出具体位置，予以证明，并求点到平面的距离；若不存在，请分析说明理由． 斜二测画法中长度规则记混、面积换算误用 1．如图，在斜二测画法下，两个边长为1的正三角形的直观图不是全等三角形的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（     ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 台体公式结构复杂，经常漏项、写错系数。 3．已知一圆台上底面直径为，下底面半径为，母线长为上底面半径的二倍，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 4．在正四棱台中，，该正四棱台的侧面积为，则该正四棱台的体积为____________． 空间平行关系判定与性质颠倒 5．如图，在四棱锥中，底面是矩形，M，N分别在棱，上，且，平面，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方体中，过的截面与底面交于，，分别为，的中点． (1)证明：； (2)若为的中点，证明：平面平面． 空间角各类角范围记混 7．如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．是边长为2的等边三角形． (1)证明：平面面； (2)若，求直线和所成角的余弦值； (3)点在棱上，如图2，，三棱锥的体积为4，求二面角平面角的正切值． 8．如图，在三棱柱中，为正三角形，，平面，，是延长线上一点，且. (1)设中点为，求证：平面； (2)求直线与平面夹角的正弦值. 面面垂直性质不会用 9．如图，在多面体PQABCD中，平面平面ABCD，，，是边长为的等边三角形，． (1)求证：平面PAD； (2)若PC与平面ABCD所成的角为，求多面体PQABCD的体积． 10．如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $