清单07 立体几何初步（考点清单，知识导图+15个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

清单01 两个计数原理与排列组合 清单01 斜二测画法 1.空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使 (或135°)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段 第三步 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2.直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 清单02 空间几何体 1.多面体 定义 图形及表示 结构特征 棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如右图棱柱 ①有两个面互相平行； ②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形 棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥．如图所示的四棱锥可表示为棱锥S−ABCD． ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 用表示底面各顶点的字母表示棱台，如右图棱台ABCD− A′B′C′D′ ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形； ②侧面都是梯形； ③侧棱延长线必交于一点 2.旋转体 定义 图形及表示 结构特征 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′． ①圆柱有无数条母线，它们平行且相等． ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆． ③圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴． 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 圆锥可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆锥可以表示为圆锥SO． ①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． ②平行于底面的截面都是圆． ③过任意两条母线的截面是等腰三角形． 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 圆台可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆台可以表示为圆台OO′． ①圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． ②平行于底面的截面是圆． ③过轴的截面是全等的等腰梯形． ④过任意两条母线的截面是等腰梯形． 球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 可以用表示球心的字母表示球，右图所示的球可以表示为球O 球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体． 3.组合体 由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成 清单03 表面积和体积公式 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面积公式 表面积公式 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 清单04 空间中的平行关系 1.基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 4．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 5．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 6．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 7．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 8．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 9.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 清单05 空间中的垂直关系 1. 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 3. 平面与平面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 4.平面与平面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 清单06 空间角 1.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 2.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 3.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 【考点题型一】斜二测画法（） 【例1】如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．则平面四边形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【详解】将直观图还原得平行四边形，如下图， 所以， 所以平面四边形为菱形， 其周长为. 故选：B. 【变式1-1】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（   ）    A．5 B．10 C． D． 【答案】B 【详解】法一：如图所示，根据斜二测画法可知，轴，且，    原图形为，其中，且， 则的面积为． 法二：直观图面积为， 原图形的面积等于直观图面积的倍， 所以原图形的面积为． 故选：B 【变式1-2】如图所示，表示水平放置的在斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 ． 【答案】6 【详解】过作，则， ∵与轴垂直，且， ∴， 则的边上的高等于， 故答案为： 【变式1-3】如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【详解】如图，作平面直角坐标系，使A与O重合，在x轴上，且，在轴上，且， 过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为． 故选：C. 【变式1-4】若的直观图是边长为2的等边，则的面积是 ． 【答案】 【详解】因为直观图等边的高为， 所以直观图的面积为， 又因为原图的面积为直观图面积的倍， 所以的面积是， 故答案为：. 【考点题型二】展开图及最短路径问题（） 【例2】棱长为2的正方体，点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，在棱长为2的正方体中， ，，， 所以和为全等的直角三角形，展开平面如下： ∵，∴， ， ， 故选：D. 【变式2-1】一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 . 【答案】 前 程 【详解】通过还原得几何体为四棱台，则与“祝”字相对的子是“前”，与“你”相对应的字为“程”. 故答案为：前；程. 【变式2-2】某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为 ． 【答案】/ 【详解】由题意知扇形的弧长， 设该圆锥的底面圆的半径为，则， 即，得，即该圆锥的底面圆的直径为. 故答案为： 【变式2-3】已知圆锥的高为，底面直径的长为，那么从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长为 ． 【答案】 【详解】由题设，圆锥底面周长为，母线长为，故侧面展开图圆心角为， 将圆锥沿过点的母线展开，得到如下图示半径为6的半圆，且为圆弧的中点， 从到有两种方式，一种方式从圆锥体侧面，一种方式从圆锥的底面， 若沿侧面，如上图，从点A出发到点B的最短路径长； 若沿底面，此时最短路径长为直径长度； 综上，从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长. 故答案为： 【变式2-4】在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，将三棱锥的侧面展开，则线段为所求，    由题意得，， 由余弦定理可得， 则，即蜗牛爬行的最短距离是. 故选：D. 【考点题型三】立体图形的表面积（侧面积）（） 【例3】已知球的半径为，圆的半径为，且圆是球的一个截面，若圆的面积与球的表面积之比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由圆的面积与球的表面积之比为，得， 所以，解得 故选：A. 【变式3-1】已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（   ） A．512 B．256 C．128 D．64 【答案】A 【详解】如图，在正四棱锥中，设底面的中心为，外接球的球心为， 则，，则， 在中，， 则在正方形中，，则， 又， 则， 所以， 则， 正方形的面积为， 则正四棱锥的表面积为. 故选：A. 【变式3-2】已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知圆台的侧面展开图的圆心角为， 设圆台上、下底面圆半径为，母线长为，展开图中大、小扇形的半径分别为； 则展开图的外弧长为，内弧长为， 因此有，即，又，可得； 所以母线长为， 圆台侧面积为，代入可得，即； 所以圆台上下底面面积之差的绝对值为. 故选：A 【变式3-3】已知圆台的上下底半径分别为，高为.光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点，则光线在圆台内部扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 光线在圆台内部扫过的面积为圆锥的侧面积， 圆台的上、下底面，令，，设，，则 ∴，∴， 则， 所以圆锥的侧面积和为. 故选：A. 【变式3-4】某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设正六棱柱底面边长为，侧棱长为，由题意可知，， 则可知正六棱柱的侧面积为． 设正六棱锥侧棱长为，则． 又，所以，解得， 所以正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为. 故选：B． 【考点题型四】立体图形的体积（） 【例4】甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为 体积分别为，若 . 【答案】 【详解】因为甲、乙两个圆锥的底面积相等，所以甲、乙两个圆锥的底面半径相同，设为， 设甲、乙两个圆锥的母线长分别为，高分别为 所以甲、乙两个圆锥的圆心角之和为：， 所以， 由，所以，即， 又，所以，即，所以， 甲圆锥的高， 乙圆锥的高， ， 所以 故答案为：. 【变式4-1】清乾隆云龙纹双螭龙耳方形炉摆件，是乾隆时期玉雕工艺的杰出代表．它玉质细腻，古韵十足，线条流畅，造型规整，雕刻着精美的云龙纹与螭龙耳，底部落“乾隆年制”款，尽显皇家气派．这件方形炉摆件可近似看作台体，高约，上底面与下底面为相似长方形，上底面的长约，宽约，若下底面的长和宽均为上底面长和宽的0.8倍，则该方形炉摆件主体体积约为（   ） （参考数据：，结果保留一位小数） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，上底面面积， 下底面的长为，宽为， 下底面面积，高． 所以由台体的体积公式， 可得 ， 故选：A． 【变式4-2】某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出其平面图形，则在平面图形中，，， 则圆台的上底面半径，下底面半径，高， 则上底面面积，下底面面积， 由圆台的体积公式. 故选：C. 【变式4-3】已知四棱锥底面是边长为1的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为 . 【答案】3 【详解】如图，设底面中心为， 则，可得， 因为底面为正方形，则，， 则的边边上的高为， 则该四棱锥的表面积为. 故答案为：3.    【变式4-4】如图，已知分别为空间四边形的边，，，上的中点，    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，若，求：正四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因分别为的，上的中点，所以，且； 因分别为的，上的中点，所以，且； 所以，且， 所以四边形为平行四边形. （2）取的中心，连接，连接， 则为正四面体的高， 在中，可得，， 在中，由勾股定理得， 则正四面体的体积为.    【考点题型五】立体图形中的截面问题（） 【例5】如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【详解】如图，延长BC，与两条棱的延长线分别交于两点，连接， 分别交棱于两点，连接，则五边形及内部，即过点的截面. 故选：C 【变式5-1】已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为圆锥的高是，母线长是，则底面半径， 设过圆锥顶点的平面SCD与圆锥底面交于CD，过底面中心O作OA⊥CD于E， 设， 则，， 可得截面SCD的面积， 当且仅当，即时等号成立， 所以截面积的最大值为2. 故选：C. 【变式5-2】已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 点是的重心，，过作交于，并延长交于， 过作，过作，如图四边形为截面， ∵点是的重心，，∴， ∴，，，， 四边形为等腰梯形，故面积为. 故选：C. 【变式5-3】已知一个圆锥的高为6，底面半径为8，现在用一个过两条母线的平面去截圆锥，得到一个三角形，则这个三角形面积的最大值为（    ） A．100 B．50 C．48 D．24 【答案】B 【详解】如图圆锥中，，， 所以圆锥的母线， 则在轴截面中，，，所以， 所以， 所以， 设，则， 所以的面积， 所以当时，截面面积有最大值，最大值为. 故选：B 【变式5-4】在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 【答案】D 【详解】对于A，当时，分别取的中点为，如下图所示： 由正方体性质可得，即可得为正六边形， 因此当时，截面为六边形，即A错误； 对于B，如下图： 当时，不妨取与重合，可知截面只能是四边形，可知B错误； 对于C，延长交于，交于，连接交于点，连接交于，如下图所示： 不妨取正方体的棱长为3，易知， 可知为等腰三角形，其底边上的高为， 因此其面积为； 又，可知四变形为等腰梯形； 其高为，因此其面积为； 此时五边形面积为 当当时，截面为边长是的正六边形，其面积为； 显然当时，截面的面积不是最大的，即C错误； 对于D，根据C选项中的分析可知，当时，截面为在五边形的基础上绕着向下摆动， 此时截面始终于有交点，此时截面只能是五边形，即D正确. 故选：D 【考点题型六】线面平行、面面平行的判定定理（） 【例6】如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得， 而，，则，四边形为平行四边形， 因此，而平面，平面，所以平面． （2）由是中点，而为中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由（1）知，，而平面，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面． 【变式6-1】如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断： ①；②平面ADE；③平面平面AFN；④是异面直线．其中判断正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】将平面展开图还原成正方体后，CN与DE是异面直线，而不是平行关系．因为在正方体中，CN与DE既不相交也不平行，所以①错误． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，，又因为平面ADE，平面ADE，所以平面ADE，②正确． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，，，平面BDM，平面BDM，故平面BDM．同理平面BDM,根据平面与平面平行的判定定理,所以平面平面AFN，③正确． 将平面展开图还原成正方体．在正方体中，DM与BF既不相交也不平行，满足异面直线的定义，所以DM，BF是异面直线，④正确． 故答案为：②③④． 【变式6-2】如图，已知是单位正方体的平面和面的中心．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】（方法一）如图1，连接，可知是的中位线，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． （方法二）如图2，连接，，可知是的中位线，所以． 在正方体中，显然有，根据平行的传递性可得． 又因为平面，平面， 所以平面． （方法三）如图3，取，的中点，分别记为M，N，连接，，． 因为P，M是的中点，所以， 同理可得，所以， 则四边形是平行四边形，所以． 又因为平面，平面， 所以平面． 【变式6-3】如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点，连接，如图所示， ∵为的中点.，∴且， 又为的中点，又∵，且， ∴，且，∴，且， ∴四边形为平行四边形，∴， 又∵平面；平面，∴平面． （2）. 【变式6-4】如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点． (1)求证：直线平面． (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因分别是的中点，则， 又是正方形，则，故， 因平面，平面，故直线平面. （2）因分别是的中点，则， 又平面，平面，故直线平面， 由（1）已证直线平面， 因平面，故平面平面. 【考点题型七】线面平行、面面平行的性质定理（） 【例7】如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【详解】（1）如图，取N为线段的中点，连接 因为N为线段的中点， 所以. 又， 所以，四边形为平行四边形，. 因为平面，平面， 所以有平面. 又点E为棱的中点， 所以有. 因为平面，平面， 所以有平面. 又，平面，平面， 所以平面平面. 又平面， 所以有平面. （2）平面 由（1）知，当N为线段的中点时，有平面平面. 因为M为上的动点，平面， 所以，平面， 所以，平面. 【变式7-1】如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为PC上一点，当平面时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，连结，交于点，连结， 因为平面，且平面，平面平面， 所以， 因为，且，所以，即， 所以. 故选：B 【变式7-2】如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设平面分别交棱、于点、，如下图所示： 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又因为，由等角定理及图形可知， 则，即，故， 故， 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 又因为，由等角定理及图形可得， 所以，即，所以， 所以，故. 因此，平面与侧面的交线长为. 故选：A. 【变式7-3】如图，棱长为a的正方体中，，设过点，C，E的平面与平面的交线为EF，则三棱锥的体积为 . 【答案】 【详解】设点的位置如图，如图，连接EF，，CF，AC， 因为平面与平面的交线为EF， 又在正方体中，平面平面， 平面与平面的交线为，所以， 又在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，则，所以， 又，所以， 又正方体的棱长为，， 故. 【变式7-4】如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】如图，取中点，连接， 分别为的中点，， 平面，平面，平面， 且，四边形为平行四边形，且， 分别为的中点，且， 四边形为平行四边形，， 面，面，面， ，平面，面面， 平面，平面． 【考点题型八】线面垂直的判定定理与性质定理（） 【例8】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为的中点，则的一个充要条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为平面且底面为矩形，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，， 则，则，， 故，， 的充要条件为即： 的充要条件为即： 的充要条件为，即的充要条件为， 故C正确，D错误； 即，此时得不到，故A错误； 对于B，，， 若，则即即， 由A的分析可得的充要条件为不是，故B错误； 综上，选C. 故选：C 【变式8-1】如图（1）所示的平面图形中，，，，，，点是以为直径的半圆上任意一点（不与点，重合），以为折痕，将半圆所在平面折起，使平面平面，如图（2）.证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】由平面平面，平面平面，，平面， 得平面，而，则平面，又平面， 于是，由点是以为直径的半圆上任意一点（不与点，重合） 得，又平面， 所以平面. 【变式8-2】在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，．求证:平面． 【答案】证明见解析 【详解】取的中点G，连接， F是的中点，，且， ，． 又，四边形是平行四边形，， 在中，，，则， 平面，，平面， 又平面，， ，平面，平面， 又因为，所以平面． 【变式8-3】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点，平面，. (1)求证：平面； (2)求证：平面 . 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）连接，与相交于，连接， ∵是平行四边形， ∴是的中点，又点是的中点， ∴， 又平面，平面， ∴平面． （2）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面. 【变式8-4】如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中    (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）取的中点，在等腰中，，为的中点， ∴，在等边中，，又，平面， ∴平面，又平面，∴ （2）∵在中，，又，又，平面 ∴平面，又平面，∴ 又由（1）知（已证），，平面， ∴平面 【考点题型九】面面垂直的判定定理与性质定理（） 【例9】在体积为的四面体中，平面平面，则（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【详解】取中点，连接，由，得， 而平面平面，平面平面，平面，则平面， 于是，解得，而， 所以. 故选：B    【变式9-1】已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】在正方体中，平面，平面， 显然，而平面平面， 因此有直线平面，直线平面，由不能推出； 在正方体中，平面，平面， 显然平面平面，而直线， 因此有直线平面，直线平面，由不能推出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 【变式9-2】在四棱锥中，底面为正方形，，，，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D．16 【答案】C 【详解】在四棱锥中，取，的中点，连接， 由底面为正方形，得，由，得， 而平面，则平面，又平面， 于是平面平面，在平面内过点P作于O， 而平面平面， 因此平面，连接，平面，则，    设，由，得，， ，于是， 在中，， ， 因此，解得，则， 所以四棱锥的体积为. 故选：C 【变式9-3】在三棱柱中，平面平面ABC，，，E，F分别是AC，的中点．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】如图，取BC的中点M，连接，EM，． 因为，所以． 又因为平面平面ABC，平面平面，平面， 所以平面ABC．因为平面ABC，所以． 又E为AC中点，所以，进而，E，M，四点共面． 因为，所以． 又因为，平面，所以平面． 又F为中点，所以平面，所以． 【变式9-4】如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为平面平面，且平面平面， 又，则，且为中点，所以， 又平面，所以平面； （2）在直角梯形中， ，， 则， 又，则， 又，所以， 在折后的几何体中，， 因平面平面，平面平面， 又平面， 所以平面， 又平面，则， 又，即，则， 又，平面，平面， 则平面， 又平面， 所以平面平面. 【考点题型十】点到平面的距离问题（） 【例10】如图，已知圆柱的高为5，直三棱柱的顶点、、在圆柱上底面的圆周上，顶点、、在圆柱下底面的圆周上，已知，，，为的中点． (1)求二面角的正切值； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）如图，连接，，因平面，平面， 则，又，，，平面， 故平面，又平面，故， 则即二面角的平面角． 在中，，，. 所以二面角的正切值为. （2），， 平面，即点到平面的距离为， 又平面，， 设点到平面的距离为， 则由，可得， 又， 所以，解得：， 即到平面的距离为. 【变式10-1】如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】若是的中点，连接，又与都是边长为2的等边三角形， 所以，而，故为等边三角形， 由且都在面内，则面， 由面，故面面，面面， 所以点到平面的距离，即点到的距离为. 故选：B 【变式10-2】在直三棱柱中，，，，为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】如图，在中，，所以， 在中，，所以， 在中，因为，所以， 又，，平面，，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离即为点到平面的距离， 所以， 在等腰三角形中，， 因为，所以，所以， 则点到平面的距离为． 故选：C． 【变式10-3】中国有着悠久的历史文化，《九章算术》是中国古代的数学名著，书中提到一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形是矩形，棱，，，和是两个全等的等腰三角形，且，则直线到平面的距离是 . 【答案】1 【详解】 如图，延长得到直三棱柱，则侧棱底面， 取中点，连接，则. ∵平面，∴， 由，可得， ∵为中点，∴， ∵底面，平面，∴， ∵平面，，∴平面， ∴为到平面的距离， 在中，由，，得. 由，，结合和是两个全等的等腰三角形，可得， ∴在中，， ∴直线到平面的距离是1. 故答案为：1. 【变式10-4】如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【详解】（1）连接BD，交AC于O，连接， ∵四边形是正方形，∴， 由棱台的性质可得， 由，， 可得，则，， ∴四边形是平行四边形，则， 又∵平面， 平面， ∴平面； （2）因为平面，所以直线到平面的距离等于到平面的距离， 取中点，连，，因为，且， 所以是平行四边形，则，而平面， 故平面，又平面，故， ，得， 又，所以， 所以， 所以， 设到平面的距离为，又因为平面，到平面的距离为， 因为，所以， 所以 故直线到平面的距离为. 【考点题型十一】异面直线所成的角（） 【例11】已知圆柱的轴截面为正方形，为下底面圆弧的中点，点在上底面圆弧上且与在轴截面同侧，若，则异面直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，在弧上取一点，使得，过作圆柱的母线， 连接，则由圆的对称性可得， 由圆柱的性质知，，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以或其补角即为异面直线与所成角． 因为为下底面圆弧的中点，，所以，， 所以，所以异面直线与所成角为． 故选；D 【变式11-1】如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【答案】/ 【详解】如图，过点作圆柱的母线交下底面于点，连接，，易知为的中点， 设正方形的边长为2，则，所以， 则， 因为，所以异面直线与所成的角即为（或其补角）， 在等腰中，， 所以异面直线与所成角的余弦值为． 故答案为： 【变式11-2】在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取棱的中点，连接，， 因为是的中点，所以，⊥， 则或其补角是直线与所成的角，. 由题中数据可知，，， 由勾股定理得， 在中，由余弦定理可得， 则， 故. 故选：A 【变式11-3】正方体中，为中点，则直线，所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接，， ∵，∴为平行四边形，∴， ∵为中点，为中点，∴， ∴，∴（或其补角）为直线，所成的角. 设正方体的棱长为2，则， ，， ∴， ∴， ∴直线，所成角的正弦值为. 故选：C. 【变式11-4】如图组合体是由正四棱锥与正四棱台组合而成，，则PA与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】延长，，，交于Q，易知：， 故是正八面体，故，， ∠APD即为所求异面直线所成角，余弦值为. 故选：A 【考点题型十二】直线与平面所成的角（） 【例12】如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知形成三棱锥，如图： 取的中点，连接，，过点作于点，连接， 因为，所以，，， 平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 又平面平面，，平面，所以平面， 故为与平面所成角， 又，，，平面，所以平面， 又平面，所以，且， 因为，所以，又， 所以，在直角三角形中，， 所以与平面所成角的正弦值为. 故选：D 【变式12-1】如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且． (1)若二面角的大小为，求DM的长； (2)当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1） 取中点P，过P点作，交于点Q，连接． 由直四棱柱，可得平面， 而平面，所以，即， 又因为，所以， 因为底面是边长为2的菱形，， 所以为等边三角形，则， 又因为平面，所以平面， 又因为平面，所以， 即为二面角的平面角，所以． 在平面中，由，可得． 在中，，， 则，解得； （2）因为平面，所以， ． 因为三棱锥的体积为， 所以，解得， 因为平面，所以． 在中，， ， 所以． 设N到平面的距离为d， 在中，，， 所以， 所以． 因为，所以，解得． 在中，由余弦定理得， 所以． 设与平面所成的角为． 所以． 令，则． 因为，所以，所以， 所以与平面所成角的正弦值的取值范围是． 【变式12-2】已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】 是边长为2的正三角形，其面积为： 因为三棱锥的体积为1 和底面积 ， 得：解得： 设直线 与平面 所成角为，所以 故选：C 【变式12-3】已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，侧棱与下底面所成角的正弦值为，则该正四棱台的体积为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【详解】设该正四棱台的侧棱长为． 因为正四棱台的上、下底面面积分别为1，16， 所以正四棱台的上、下底面边长分别为1，4， 所以正四棱台上、下底面的对角线长分别为，， 所以该正四棱台的高， 因为侧棱与下底面所成角的正弦值为， 所以，可得， 所以， 故所求体积． 故选：B 【变式12-4】已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）在图（1）中，因，折起后，， 因，则平面， 又平面，故平面平面. （2）由（1）已得，平面，连接，则即在平面上的射影， 故即直线与平面所成角. 在图（1）中，， 在图（2）中，，则， 在中，，故， 即直线与平面所成角的正弦值为. 【考点题型十三】平面与平面所成的角（） 【例13】如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 . 【答案】 【详解】 过点P作,则O点为AB的中点，且平面平面， 平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以， 过作于，连接， 因为平面，， 所以平面， 又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 在中，,， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 此时取得最小值， 故二面角的正弦值的最小值为. 故答案为：. 【变式13-1】已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， ，则， 则，所以， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：C 【变式13-2】如图，四边形是边长为2的菱形，.半圆面底面，点为圆弧AD上的动点.当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点作于，连接，菱形边长为2，， 由半圆面平面，半圆面平面平面， 得平面，而的面积是定值，要三棱锥的体积最大， 当且仅当最大，此时为弧的中点，为中点，而为正三角形， 因此，又平面，则平面， 而，则平面，又平面，于是， 则是二面角的平面角，，， 所以二面角的余弦值. 故选：A 【变式13-3】如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.    (1)求证：； (2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【详解】（1）为正三角形，为中点，故⊥， 因为，，，所以≌， 故，又为中点，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面， 因为平面，所以； （2）由（1）知，⊥，⊥， 故为二面角的平面角，即， 因为，，所以， 由勾股定理得， 过点作⊥于点， 由（1）知，⊥平面，而平面， 所以⊥， 因为平面，， 所以⊥平面， 其中， 即三棱锥的高为，    由勾股定理得， 故， 三棱锥的体积为. 【变式13-4】如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取、的中点、，连接，，， 则由题意可知为侧面与底面所成锐二面角，则， ，得， 在直角梯形中，，则， 则正四棱台的体积为. 故选：B 【考点题型十四】空间几何体的外接球（） 【例14】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和， 设底面直角三角形的外接圆的半径为，可得， 设直三棱柱上下底面直角三角形的外心（斜边的中点）分别为， 则三棱柱外接球的球心为的中点，设为， 又因为三棱柱的高为， 所以外接球的直径为， 可得，所以该三棱柱的外接球的体积为. 故选：A. 【变式14-1】一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 ． 【答案】 【详解】如图，在四面体中，所有棱长都为，设底面三角形外接圆圆心为, 则, 设,则, 所以外接球半径为,所以表面积为, 故答案为: . 【变式14-2】矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为 . 【答案】 【详解】 设中点为， 根据矩形的性质，可知， 所以，点即为四面体外接球的球心. 又， 所以，四面体外接球的半径， 所以该四面体外接球的体积为. 故答案为：. 【变式14-3】已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【详解】如下图所示： 在正三棱台中，取上、下底面中心分别为，外接球球心为， 由正三棱台性质可知在上， 易知上、下底面边长分别为和的正三角形，其外接圆半径分别为； 可得，即； 即， 又，设，则，解得； 所以外接球半径为， 可得则该球的表面积为. 故答案为： 【变式14-4】如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的三边长分别为，，． (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为底面三角形的三边长分别为，，， 所以底面三角形为直角三角形，两直角边长分别为，， 又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为， 所以． 设圆柱底面圆的半径为， 则， 圆柱体积． 所以剩余部分几何体的体积． （2）由（1）可知，直三棱柱可补形为棱长分别为，，的长方体， 它的外接球的半径满足，即． 所以，该直三棱柱的外接球的表面积为 【考点题型十五】探索性问题（） 【例15】如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在点，证明见解析， 【详解】（1）因为四边形是平行四边形，则点是的中点， 因为平面，平面平面，平面， 所以， 所以，所以点是的中点． （2）存在点，使得平面平面，此时， 因为，所以为中点， 又因为点是的中点，所以 又平面，平面，所以平面， 由（1）知，同理可得，平面， 又，平面，所以平面平面． 【变式15-1】如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. (1)求证: ∥平面; (2)求证: 平面⊥平面; (3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）在正方形中，E、M分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）因为平面⊥平面，且交线为，，平面， 所以CD⊥平面，由于平面，所以平面⊥平面. （3）存在，当N为中点时，平面⊥平面， 证明如下：连接，交于点O，连接. 因为∥，并且 ，所以四边形为平行四边形， 所以. 又因为为中点，所以. 因为平面⊥平面，平面平面， 又平面，由已知可得， 所以平面，  所以⊥平面. 又因为平面，所以平面⊥平面. 所以存在点N，使得平面⊥平面，且 【变式15-2】在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，满足，且DE经过的重心.将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. (1)求证：平面； (2)求直线CM和平面所成的角； (3)在线段上是否存在点F，使二面角的余弦值？若存在，求CF的长度；若不存在，请说明理由.（要求用几何法解答） 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 将沿DE折起到的位置，故始终有，， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以，故， 因为，，平面， 所以平面； （2）由（1）可知，两两垂直， 因为DE经过的重心，所以，故， ， 由勾股定理得， 连接，取的中点，在上取点，使得，连接， 则，， 又，，故四边形为平行四边形， 故，， 与平面的夹角即为与平面的夹角， 其中，而平面， 故， 由勾股定理得， 中，，故， ，， 故由余弦定理得， 故， 则， 设到平面的距离为， 由于，故，解得， 故点平面的距离为， 设直线CM和平面所成角的大小为， 则， 故直线CM和平面所成的角为 （3）存在，，理由如下： 连接，过点作于点，连接， 因为平面，平面， 所以， 又，平面， 所以平面， 又平面，所以，， 故二面角的平面角为， 设，， 在中，由余弦定理得， 故， 则， ， 其中，， 故，， 则 ， 故，解得. 存在，. 【变式15-3】如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）在三棱台中，，， 在等腰梯形中，， 由余弦定理得：， 则，即， 而平面平面，平面平面平面， 所以平面. （2）过，垂足为， 因为平面，又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，平面， 得  又，平面， 则平面，为与平面所在角，， 因此，所以与平面所成角为. （3）三棱台侧棱延长线交于一点，由（1）得为正三角形， 由平面，平面，得平面平面，取中点， 则，而平面平面，平面，则平面， 作交于，则平面，而平面，则， 作于，连接，即在平面上的射影，    又，平面，则平面， 又平面，于是，为二面角的平面角， 若存在使得二面角的大小为，即， 设，则，， 即，解得，，， 因此，， 所以存在满足题意的点. 【变式15-4】如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)不存在，理由见解析. 【详解】（1）取中点Q，连接，， 由，得M是线段中点，则，， 由四边形是矩形，N是线段的中点，得，， 于是，，四边形是平行四边形， 则，而平面，平面， 所以直线平面. （2）假设存在实数λ，使得同时垂直于直线和直线，由四边形是矩形，得， 即，，而，平面，则平面， 由平面，平面，得，而，，平面， 因此平面，则，在矩形边上取点，使， 连接，则与矛盾，即假设不成立， 所以不存在实数，使直线同时垂直于直线和直线. 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 两个计数原理与排列组合 清单01 斜二测画法 1.空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是： 第一步 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O. 画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴相交于点O′，且使 (或135°)，它们确定的平面表示水平面. 第二步 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段 第三步 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变， 平行于y轴的线段，长度为原来的一半 强调注意： “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半． 2.直观图的面积与原图面积之间的关系 ①原图形与直观图的面积比为，即原图面积是直观图面积的倍， ②直观图面积是原图面积的倍. 清单02 空间几何体 1.多面体 定义 图形及表示 结构特征 棱柱 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 用表示底面的各顶点的字母表示棱柱，如右图棱柱 ①有两个面互相平行； ②各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形 棱锥 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 表示顶点和底面各顶点的字母表示棱锥．如图所示的四棱锥可表示为棱锥S−ABCD． ①有一个面是多边形； ②其余各面都是有一个公共顶点的三角形． 棱台 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 用表示底面各顶点的字母表示棱台，如右图棱台ABCD− A′B′C′D′ ①上底面与下底面是互相平行的相似多边形； ②侧面都是梯形； ③侧棱延长线必交于一点 2.旋转体 定义 图形及表示 结构特征 圆柱 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆柱可以表示为圆柱OO′． ①圆柱有无数条母线，它们平行且相等． ②平行于底面的截面是与底面大小相同的圆． ③圆柱的任何一条母线都平行于圆柱的轴． 圆锥 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体 圆锥可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆锥可以表示为圆锥SO． ①圆锥有无数条母线，它们有公共点即圆锥的顶点，且长度相等． ②平行于底面的截面都是圆． ③过任意两条母线的截面是等腰三角形． 圆台 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分 圆台可以用表示它的轴的字母表示，右图所示的圆台可以表示为圆台OO′． ①圆台有无数条母线，且它们相等，延长后相交于一点． ②平行于底面的截面是圆． ③过轴的截面是全等的等腰梯形． ④过任意两条母线的截面是等腰梯形． 球 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体 可以用表示球心的字母表示球，右图所示的球可以表示为球O 球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体． 3.组合体 由柱体、锥体、台体、球体等简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体． 简单组合体构成的两种基本形式：①由简单几何体拼接而成；②由简单几何体截去或挖去一部分而成 清单03 表面积和体积公式 几何体 棱柱 棱锥 棱台 侧面展开图 侧面积公式 ch (c为底面周长，h为侧棱长) ch′ (c为底面周长，h′为侧面等腰三角形底边上的高) (c+c′)h′ (c′，c分别为上、下底面周长，h′为侧面等腰梯形的高) 表面积公式 几何体 圆柱 圆锥 圆台 球 侧面积公式 表面积公式 几何体 体积 柱 (S为底面面积，h为高) 锥 (S为底面面积，h为高)， 台 (S′、S分别为上、下底面面积，h为高)， 球 (为球的半径) 清单04 空间中的平行关系 1.基本事实4 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 4．直线与平面的位置关系 叙述 位置关系 记法 一条直线a与平面α有两个不同的公共点 直线在平面内 直线a与平面α只有一个公共点A 直线与平面相交 一条直线a与平面α没有公共点 直线与平面平行 5．直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 6．直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 7．平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 8．平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 9.其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 清单05 空间中的垂直关系 1. 直线与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线垂直线面垂直 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 2. 直线与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直线线平行 垂直于同一个平面的两条直线平行. 推论： ①一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直． ②若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面. ③若一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面 ④垂直于同一条直线的两个平面平行. 3. 平面与平面垂直判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面垂直面面垂直 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 4.平面与平面垂直性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面垂直线面垂直 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 清单06 空间角 1.异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，则与所成的锐角(或直角) 取值范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条直线互相垂直，记作. 2.直线和平面所成的角 定义 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角 规定 一条直线垂直于平面，它们所成的角是直角； 一条直线和平面平行或在平面内，它们所成的角是0°的角 取值范围 3.二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． 【考点题型一】斜二测画法（） 【例1】如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．则平面四边形的周长为（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【变式1-1】用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，则的原图形的面积为（   ）    A．5 B．10 C． D． 【变式1-2】如图所示，表示水平放置的在斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为 ． 【变式1-3】如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（   ） A． B．2 C．3 D． 【变式1-4】若的直观图是边长为2的等边，则的面积是 ． 【考点题型二】展开图及最短路径问题（） 【例2】棱长为2的正方体，点为线段上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是 ；与“你”字相对的字是 . 【变式2-2】某圆锥的侧面展开图是半径为4，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面直径为 ． 【变式2-3】已知圆锥的高为，底面直径的长为，那么从点A出发沿该圆锥的表面到点B的最短路径长为 ． 【变式2-4】在三棱锥中，，，一只蜗牛从点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱的中点，则蜗牛爬行的最短距离是（）． A． B． C． D． 【考点题型三】立体图形的表面积（侧面积）（） 【例3】已知球的半径为，圆的半径为，且圆是球的一个截面，若圆的面积与球的表面积之比为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知一个正四棱锥的高为16，且其外接球的半径为10，则该正四棱锥的表面积为（   ） A．512 B．256 C．128 D．64 【变式3-2】已知圆台的侧面展开图是半个圆环，侧面积为，则圆台上下底面面积之差的绝对值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知圆台的上下底半径分别为，高为.光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点，则光线在圆台内部扫过的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】某家庭为了外出露营，特意网购了一个帐篷．如图所示，该帐篷的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体，正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形，已知，则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】立体图形的体积（） 【例4】甲、乙两个圆锥的底面积相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为 体积分别为，若 . 【变式4-1】清乾隆云龙纹双螭龙耳方形炉摆件，是乾隆时期玉雕工艺的杰出代表．它玉质细腻，古韵十足，线条流畅，造型规整，雕刻着精美的云龙纹与螭龙耳，底部落“乾隆年制”款，尽显皇家气派．这件方形炉摆件可近似看作台体，高约，上底面与下底面为相似长方形，上底面的长约，宽约，若下底面的长和宽均为上底面长和宽的0.8倍，则该方形炉摆件主体体积约为（   ） （参考数据：，结果保留一位小数） A． B． C． D． 【变式4-2】某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知四棱锥底面是边长为1的正方形，顶点在底面的投影为底面的中心，若该四棱锥的体积为，则它的表面积为 . 【变式4-4】如图，已知分别为空间四边形的边，，，上的中点，    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，若，求：正四面体的体积. 【考点题型五】立体图形中的截面问题（） 【例5】如图，有一正方体形状的木块，A为顶点，分别为棱的中点，则过点的平面截该木块所得截面的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形 【变式5-1】已知圆锥的高是1，母线长是2，用过圆锥的顶点的平面去截圆锥，则截面积的最大值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【变式5-2】已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知一个圆锥的高为6，底面半径为8，现在用一个过两条母线的平面去截圆锥，得到一个三角形，则这个三角形面积的最大值为（    ） A．100 B．50 C．48 D．24 【变式5-4】在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一动点（不含）．过与正方体的截面记为，下列说法中正确的是（   ） A．当时，截面为五边形 B．当时，截面只能是六边形 C．当时，截面的面积最大 D．当时，截面只能是五边形 【考点题型六】线面平行、面面平行的判定定理（） 【例6】如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【变式6-1】如图是某正方体的平面展开图．关于这个正方体，有以下判断： ①；②平面ADE；③平面平面AFN；④是异面直线．其中判断正确的序号是 ． 【变式6-2】如图，已知是单位正方体的平面和面的中心．求证：平面． 【变式6-3】如图，底面为等边三角形的直三棱柱中，，为的中点，为的中点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【变式6-4】如图，在四棱锥中，是正方形，分别是的中点． (1)求证：直线平面． (2)求证：平面平面． 【考点题型七】线面平行、面面平行的性质定理（） 【例7】如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，且，点E为棱的中点. (1)求证：平面； (2)若M为上的动点，N为线段的中点，试判断直线与平面的位置关系，并给出证明. 【变式7-1】如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为线段AD上靠近A的三等分点，F为PC上一点，当平面时，（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在棱长为2的正方体中，、分别为、的中点，则过点、、的平面与侧面的交线长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】如图，棱长为a的正方体中，，设过点，C，E的平面与平面的交线为EF，则三棱锥的体积为 . 【变式7-4】如图，在三棱柱中，，平面且，、分别是、的中点. 求证：平面. 【考点题型八】线面垂直的判定定理与性质定理（） 【例8】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，分别为的中点，则的一个充要条件为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图（1）所示的平面图形中，，，，，，点是以为直径的半圆上任意一点（不与点，重合），以为折痕，将半圆所在平面折起，使平面平面，如图（2）.证明：平面. 【变式8-2】在如图所示的几何体中，平面，，是的中点，．求证:平面． 【变式8-3】如图，在底面为平行四边形的四棱锥中，点是的中点，平面，. (1)求证：平面； (2)求证：平面 . 【变式8-4】如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中    (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 【考点题型九】面面垂直的判定定理与性质定理（） 【例9】在体积为的四面体中，平面平面，则（    ） A．4 B． C． D． 【变式9-1】已知直线平面，直线平面，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式9-2】在四棱锥中，底面为正方形，，，，则四棱锥的体积为（   ） A． B． C． D．16 【变式9-3】在三棱柱中，平面平面ABC，，，E，F分别是AC，的中点．求证：． 【变式9-4】如图，在直角梯形中，已知，，，，E为对角线的中点，现将沿折起到的位置，使平面平面．求证： (1)直线平面； (2)平面平面． 【考点题型十】点到平面的距离问题（） 【例10】如图，已知圆柱的高为5，直三棱柱的顶点、、在圆柱上底面的圆周上，顶点、、在圆柱下底面的圆周上，已知，，，为的中点． (1)求二面角的正切值； (2)求到平面的距离． 【变式10-1】如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．2 【变式10-2】在直三棱柱中，，，，为棱的中点，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D．2 【变式10-3】中国有着悠久的历史文化，《九章算术》是中国古代的数学名著，书中提到一种名为“刍甍”的五面体，如图所示，四边形是矩形，棱，，，和是两个全等的等腰三角形，且，则直线到平面的距离是 . 【变式10-4】如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，. (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离. 【考点题型十一】异面直线所成的角（） 【例11】已知圆柱的轴截面为正方形，为下底面圆弧的中点，点在上底面圆弧上且与在轴截面同侧，若，则异面直线与所成角为（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，圆柱的轴截面为正方形，为弧的中点，则异面直线与所成角的余弦值为 ． 【变式11-2】在正三棱锥中，，，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】正方体中，为中点，则直线，所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-4】如图组合体是由正四棱锥与正四棱台组合而成，，则PA与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十二】直线与平面所成的角（） 【例12】如图五边形由一个长方形和等腰三角形构成，其中，，D是的中点，将，，折起，使A、B、C三点重合于点P，则与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式12-1】如图，在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的菱形，．，M，N分别是线段，BD上的动点，且． (1)若二面角的大小为，求DM的长； (2)当三棱锥的体积为时，求CN与平面BCM所成角的正弦值的取值范围． 【变式12-2】已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【变式12-3】已知某正四棱台的上、下底面面积分别为1，16，侧棱与下底面所成角的正弦值为，则该正四棱台的体积为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 【变式12-4】已知等腰直角三角形，如图（1），，为斜边上的高.以为折痕将三角形折起，使得为直角，为中点.如图（2）. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【考点题型十三】平面与平面所成的角（） 【例13】如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则二面角的正切值的最小值为 . 【变式13-1】已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（   ） A． B． C． D． 【变式13-2】如图，四边形是边长为2的菱形，.半圆面底面，点为圆弧AD上的动点.当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】如图，在三棱锥中，为正三角形，E是的中点，.    (1)求证：； (2)若，，二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【变式13-4】如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，侧面与底面所成锐二面角的正切值为，则正四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【考点题型十四】空间几何体的外接球（） 【例14】已知直三棱柱的底面为直角三角形，且两直角边长分别为和，此三棱柱的高为，则该三棱柱的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【变式14-1】一个四面体的所有棱长都为，四个顶点都在同一个球面上，则此球的表面积为 ． 【变式14-2】矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为 . 【变式14-3】已知正三棱台(由正三棱锥截得的棱台)的高为3，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 【变式14-4】如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的三边长分别为，，． (1)以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积； (2)求该三棱柱的外接球的表面积． 【考点题型十五】探索性问题（） 【例15】如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，，交于点，点是棱上的一点，且平面． (1)求证：点是的中点； (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式15-1】如图，在四棱锥中，平面⊥平面，，四边形为正方形，E、M分别为的中点. (1)求证: ∥平面; (2)求证: 平面⊥平面; (3)在棱上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面?若存在，求 若不存在，说明理由. 【变式15-2】在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，满足，且DE经过的重心.将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示. (1)求证：平面； (2)求直线CM和平面所成的角； (3)在线段上是否存在点F，使二面角的余弦值？若存在，求CF的长度；若不存在，请说明理由. 【变式15-3】如图，已知三棱台中，平面平面，是以为直角顶点的等腰直角三角形，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在，求出线段的长，若不存在，请说明理由. 【变式15-4】如图，已知四边形是矩形，平面，且，M、N是线段、上的点，满足. (1)若，求证：直线平面； (2)是否存在实数，使直线同时垂直于直线，直线？如果有请求出的值，否则请说明理由. 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$