专题01 三角函数（期末复习知识清单）高一数学下学期人教B版

专题01 三角函数 角的推广 一、任意角 1.定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 2.角的分类 ①正角：射线按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：射线未做任何旋转形成的角 3.相等角与相反角旋转方向、旋转量均相同的角为相等角；旋转方向相反、旋转量相同的角互为相反角，角的相反角记作。 二、象限角和终边相同的角 1.象限角：顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边落在第几象限，就称该角为第几象限角；终边在坐标轴上的角，不属于任何象限。 2.终边相同的角所有与角终边相同的角（含）构成集合：。 重要提醒：不可省略；终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。 3.象限角范围（角度制） ①第一象限角： ②第二象限角： ③第三象限角： ④第四象限角： 弧度制 1.两种单位制 ①角度制：以度为单位，周角的为。 ②弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为（弧度）。 2.角度与弧度换算 ①角度化弧度： ②弧度化角度： 3.扇形公式 设扇形半径为，圆心角为 ①弧长公式：角度制；弧度制 ②面积公式：角度制；弧度制 三角函数的概念 1.任意角的三角函数（单位圆定义） 设任意角的终边与单位圆交于点： ①正弦： ②余弦： ③正切： 要点：三角函数值仅由角的终边位置决定，与终边上点的选取无关。 2.三角函数值的符号（口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦） ①第一象限：全为正 ②第二象限：， ③第三象限：， ④第四象限：， 单位圆与三角函数线 1.单位圆：方程为。 2.三角函数线：单位圆中有向线段MP、OM、AT依次为角的正弦线、余弦线、正切线。 3.用途：可利用三角函数线比较三角函数值大小、判断符号、解简单三角不等式。 同角三角函数的基本关系式 前提：式子在函数有意义的范围内成立 1.平方关系： 2.商数关系： 易错提醒：必须是同角；表示，书写格式不能出错。 常用变形：，符号由角所在象限决定。 三角函数的诱导公式 1.通用记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。奇、偶：指中的奇偶；奇偶改变函数名，偶不改变函数名。符号看象限：将看作锐角，判断原角所在象限，确定原式符号。 2.常用诱导公式 ①公式一（终边相同）：，， ②公式二～四（正负角、补角转化）：主要实现负角转正角、大角化锐角，是化简、求值的基础。 三角函数的图象与基本性质 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 三角函数的图象变换 研究对象：由变换得到的图象，两种主流变换方法： 方法一：先平移，后伸缩 1.平移： 2.横向伸缩：横坐标变为原来倍（纵坐标不变），得 3.纵向伸缩：纵坐标变为原来倍（横坐标不变），得 方法二：先伸缩，后平移 1.横向伸缩：横坐标变为原来倍，得 2.平移：向左/向右平移个单位（易错点：平移单位不是），得 3.纵向伸缩：纵坐标变为原来倍，得到最终图象 重点易错：先伸缩后平移时，平移长度一定要对本身进行变换，切勿直接使用。 根据图形写出角的范围 例1．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先将角度转化为弧度，， 所以终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为. 变式1-1．终边在射线上的角构成的集合可以表示为__________. 【答案】 【详解】因为角终边在射线上， 所以角终边在第一象限的角平分线上， 因为终边在第一象限的角平分线上的一个角为：， 所以终边在射线上的角构成的集合为： ， 故答案为：. 变式1-2．终边落在直线上，且在第三象限的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：终边落在直线上且在第三象限时， 则角的集合为． 故选：D． 变式1-3．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是， 故选：C 确定n分角和n倍角的象限 例2．下列命题中正确的是（   ） A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．若是第一象限角，则角是第二象限角 【答案】C 【详解】A：由在第二象限，但不是钝角，错， B：由满足小于，但不是锐角，错， C：由，而在第三象限，对， D：若是第一象限角，则，可得， 当时，此时是第一象限角，错. 故选：C 变式2-1．已知为第二象限角，那么是第_________象限角． 【答案】一、二、四 【详解】∵为第二象限角， ∴， ∴， 当时，，属于第一象限， 当时，，属于第二象限， 当时，，属于第四象限， ∴是第一、二或第四象限角． 故答案：一、二、四 变式2-2．下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 【答案】C 【分析】 【详解】选项A：角的终边在轴上方，设，则 是第三象限角，故A错误; 选项B：若，取，则，该角是第三象限角，故B错误; 选项C：角的终边与角的终边关于轴对称，则， 因此， 当为偶数时，令，则，该角终边在第四象限； 当为奇数时，令，则，该角终边在第二象限; 故C正确; 选项D：是锐角，即，则， 当时，该角终边在轴正半轴，不属于任何象限，故D错误. 故选：C. 变式2-3．若角是第二象限角，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为角是第二象限角， 所以，， 所以，，，， 所以当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角， 是第三象限角或是第四象限角或终边位于轴的非正半轴， 所以，，BC正确； 又当是第三象限角时，，A错误；当是第四象限角时，，D错误. 故选：BC. 弧长与扇形面积问题 例3．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 【答案】D 【详解】设扇形的圆心角为，半径为，弧长为. 由题意得，，解得，或， 由得，或. 变式3-1．底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面积为______，侧面展开图中扇形的中心角为______（弧度制表示）. 【答案】 / 【详解】圆锥的侧面积为； 设侧面展开图中扇形的中心角为， 由题意可得：，解得， 所以侧面展开图中扇形的中心角为. 变式3-2．如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 圆和圆的半径均为，且两圆相切， ∴ 圆心距. ∵ 为圆上一点， ∴ . ∵ ， ∴ ，即为直角三角形. 在中，，， ∴ ， ∴ ， ∴ . ∵ 扇形弧长公式为（为圆心角弧度数，为扇形半径），两阴影扇形半径均为1， ∴ 两阴影扇形弧长之和为. 变式3-3．如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是________    【答案】 【详解】设扇形的圆心角为，小扇形的半径为，则大扇形的半径为． 依题意得 ， 两式相减得，解得． 将代入，解得，则． 所以阴影部分的面积 ． 三角函数的定义 例4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知角终边上一点,则, 根据三角函数定义得,所以. 变式4-1．已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______． 【答案】 【详解】由三角函数的定义可得. 变式4-2．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得. 变式4-3．已知为坐标原点，点的初始位置坐标为．线段OP绕点逆时针旋转后，点所在位置的坐标为______________． 【答案】 【详解】设点在角的终边上，又， 所以， 线段OP绕点逆时针旋转后，此时点在角的终边上，且， 所以此时点的横坐标为， 纵坐标为， 即点坐标为. 同角三角函数关系的应用 例5．已知是的内角，且 若，则是（      ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形． 【答案】B 【详解】， ， ， ，， 为三角形内角，，， 为钝角，即三角形为钝角三角形. 变式5-1．已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知：， ． （2）由题可知：， ． 变式5-2．已知，，则的值是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】D 【详解】由 ，得， 两边平方得：，即，故， 由及，可得， 所以， 联立，解得, 所以 变式5-3．函数，的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【详解】因为， 所以 ， 又，， 所以当且仅当，即时等号成立． 诱导公式化简求值 例6．已知角的终边在直线上，则________． 【答案】 【详解】因为角的终边在直线上， 所以可取角终边上的点，所以. 所以． 变式6-1．已知，且，则（   ） A．-2 B． C． D．2 【答案】B 【详解】解法一：由，得，所以， 联立，得，所以. 解法二：由，得，所以， 所以 则，所以. 解法三：由，得， 所以，其中，. 所以，，则. 变式6-2．函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，定义域为， ， 为奇函数，图象关于坐标原点对称，可排除C； 当时，，，所以，可排除AD. 变式6-3．已知，是关于的方程的两个根． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】 【详解】（1）因为有两个根，则，或； 又因为，是关于的方程的两个根， 故，， 因为，， 或， 因为或，所以， 由诱导公式：； （2）． 三角函数的单调性 例7．已知函数在上单调，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将函数 转化为余弦函数的单调性问题： 令 ，则原函数为 ， 当 时，内层函数 是单调递增的（一次项系数 ），因此： 时，； 时，， 即 的取值范围为 ； 因为余弦函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ， 因为 位于 的单调递减区间 （取 ）内， 所以，，即. 故的最大值为. 变式7-1．函数的严格增区间为________. 【答案】 【详解】设，由正切函数的性质可知， 函数在每个区间上严格递增， 在上严格递增，由复合函数的单调性判断方法， 令， 解不等式得， 即， 所以函数的严格增区间为. 变式7-2．（多选）已知函数（）在上单调递增，那么常数的取值可以为（     ） A． B． C． D．1 【答案】ABC 【分析】 【详解】由（）在上单调递增， 则，， ，选项符合题意． 故选：. 变式7-3．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，， 令，则， 余弦函数的单调递增区间为， 因为在上单调递增， 因此区间需为某一单调递增区间的子集， 取时的递增区间为适配区间， 所以，解得，即的取值范围是. 三角函数的奇偶性 例8．“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则， 由为奇函数，故是奇函数， 故“”是“函数是奇函数”的充分条件； 若函数是奇函数，则， 故“”不是“函数是奇函数”的必要条件； 综上可得：“”是“函数是奇函数”的充分不必要条件. 变式8-1．（多选）下列函数中是奇函数的有（     ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A选项，，所以，所以不是奇函数，故A错误； 对于B选项，，所以，故B错误； 对于C选项，，，故C正确； 对于D选项，，，故D正确. 变式8-2．已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 【答案】C 【详解】设，函数定义域为R， 由， 知函数为奇函数， ，故， 所以. 故选：C 变式8-3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，所以排除CD， 又由，所以排除A，故选项B符合题意. 三角函数的对称性 例9．已知函数 的最小正周期为 ，则函数 的图象的对称轴可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数 的最小正周期为 ， 则，所以，所以函数 ， 所以，即， 当时，即， 则函数 的图象的对称轴可以为. 变式9-1．已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的对称中心的横坐标为：，解得， 当时，得到对称中心. 故选:B. 变式9-2．已知函数的一个中心坐标是，则的值等于____________． 【答案】/ 【详解】由题意， 即，解得， 又，则得 所以. 变式9-3．设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 【答案】1 【详解】令，解得 有对称轴在区间内，即 ，整理得：. 因为在区间内有且只有一条对称轴，即满足不等式的整数只有1个， 所以大于的最小整数是，即满足条件， 故，解得：. 答案不唯一，满足即可. 三角函数的周期性 例10．定义在上的函数满足，且，则________． 【答案】 【详解】因为， 所以， 即，所以函数是以为周期的函数， 所以， 因为， 令，可得， 且， 所以， 所以. 故答案为： 变式10-1．已知函数（），直线与曲线交于P，Q两点，若的最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的最小正周期为，由题意得，即，解得. 变式10-2．函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】A 【详解】, 定义域为，定义域关于原点对称， 由周期公式可知， 又， 所以为最小正周期为的奇函数. 变式10-3．已知点为函数图象上的两个相邻对称中心，则的最小正周期为______． 【答案】 【详解】由题意可知，，则的最小正周期． 三角函数的最值与值域 例11．若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】B 【详解】设，由且，得， 此时的值域为等价于. 将选项依次代入验证： 当时，，存在使，，不符合，故A错误； 当时，，的最大值为（时），最小值为（时）， 故，符合条件，故B正确； 当时，，的最大值为，，不满足值域条件，故C错误； 当时，，的最大值，则，不符合值域条件，故D错误.. 变式11-1．函数在的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则， 则， 令，，则， 所以，， 由二次函数的性质可得当，取得最大值， 又，所以. 故选：B. 变式11-2．函数的最大值为__________． 【答案】/ 【详解】由题意得：，令，则， 所以， 当时，， 即时，. 变式11-3．已知函数在区间上有最小值，但没有最大值，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】当时，， 因为，且， 所以函数在上有最小值， 因为没有最大值， 所以且，即， 又，所以． 函数图像变换问题 例12．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只需将函数的图像（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】由的最小正周期，， 得， 即， 因此它的图像可由的图像向左平移个单位长度得到． 变式12-1．为了得到函数的图象，纵坐标不变，只需将函数的图象上所有的点（     ） A．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C．向左平移个单位长度；再将所得各点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 【答案】A 【详解】对于A，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，故A正确； 对于B，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，故B错误； 对于C，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象，故C错误； 对于D，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象， 再将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得到函数的图象，故D错误. 变式12-2．设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ， 因为将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以向右平移个单位长度后，得到函数的图像， 所以， 又因为为奇函数，所以，所以， 又，所以. 故选：B. 变式12-3．将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 【答案】/ 【详解】将函数的图象向左平移后得到函数的图象， 所以， 函数的图像关于直线对称，则， 解得，又，所以，. 应用三角函数定义时没注意终边为射线 1．（多选）若角的始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则下列一定不成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】若角的始边与轴非负半轴重合，终边在直线上， 当终边上点在第一象限，设点，； 当终边上点在第三象限，设点，； 对于A：一定成立； 对于B：一定不成立； 对于C：一定不成立； 对于D：可能成立； 故选：BC. 2．已知角的终边在直线上，则_____； 【答案】 【详解】∵ 角的终边在直线上，直线经过第二、四象限，分两种情况讨论： ① 当角的终边在第四象限时，在终边上取点， 则点P到原点的距离， 由三角函数的定义得. ② 当角的终边在第二象限时，在终边上取点， 则点P到原点的距离， 由三角函数的定义得. 综上，. 求解时忽略角的范围 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，，所以，即， 所以，故，即， 可知，得， 所以，解得，， 故． 4．（多选）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】， ，解得，故A正确； ， ，， ，，故B错误； ，解得， ，故C正确； ，故D正确． 图象变换的方向把握不准 5．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：函数的图象向左平移单位后， 得到函数的图象． 故选：C． 6．（多选）已知，，则（    ） A．将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象 B．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象 C．的图象与的图象关于直线对称 D．的图象与的图象关于直线对称 【答案】BD 【详解】因为的图象向左平移个单位长度得到 ，所以A错误， 因为的图象向右平移个单位长度得到 ，故B正确； 与的图象关于直线对称的函数为 ，故C错误； 与的图象关于直线对称的函数为 ，所以D正确； 故选：BD． 由图象求函数解析式忽略细节 7．（多选）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（     ） A． B． C．是的图象的一个对称中心 D．在上的值域为 【答案】BC 【详解】由图象可知，函数的2个周期为， 所以，得， 当时，，得，， 因为，所以，故A错误，B正确； ，，所以的一个对称中心是，故C正确； 当时，，的值域为，故D错误. 8．已知函数的部分图象如图所示，点，点． (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求在上的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）由图可得，所以，即， 解得． 将的坐标代入中，得，即 所以，因为，所以． 故． （2）令， 得， 所以的单调递增区间为． （3）设，由，得， 所以， 所以， 故在上的值域为． 记错正切函数的对称中心 9．若曲线的一个对称中心为，则不可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．12 【答案】D 【详解】， ， 当时，，A满足； 当时，，B满足； 当时，，C满足； 当时，，D不满足． 10．已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可得，，又，所以， 所以，则， 则，又，则，故， 令，解得， 结合选项可得当时，， 故是图象的一个对称中心，其余选项皆不符合. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角函数 角的推广 一、任意角 1.定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。 2.角的分类 ①正角：射线按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：射线按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：射线未做任何旋转形成的角 3.相等角与相反角旋转方向、旋转量均相同的角为相等角；旋转方向相反、旋转量相同的角互为相反角，角的相反角记作。 二、象限角和终边相同的角 1.象限角：顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边落在第几象限，就称该角为第几象限角；终边在坐标轴上的角，不属于任何象限。 2.终边相同的角所有与角终边相同的角（含）构成集合：。 重要提醒：不可省略；终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。 3.象限角范围（角度制） ①第一象限角： ②第二象限角： ③第三象限角： ④第四象限角： 弧度制 1.两种单位制 ①角度制：以度为单位，周角的为。 ②弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角为（弧度）。 2.角度与弧度换算 ①角度化弧度： ②弧度化角度： 3.扇形公式 设扇形半径为，圆心角为 ①弧长公式：角度制；弧度制 ②面积公式：角度制；弧度制 三角函数的概念 1.任意角的三角函数（单位圆定义） 设任意角的终边与单位圆交于点： ①正弦： ②余弦： ③正切： 要点：三角函数值仅由角的终边位置决定，与终边上点的选取无关。 2.三角函数值的符号（口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦） ①第一象限：全为正 ②第二象限：， ③第三象限：， ④第四象限：， 单位圆与三角函数线 1.单位圆：方程为。 2.三角函数线：单位圆中有向线段MP、OM、AT依次为角的正弦线、余弦线、正切线。 3.用途：可利用三角函数线比较三角函数值大小、判断符号、解简单三角不等式。 同角三角函数的基本关系式 前提：式子在函数有意义的范围内成立 1.平方关系： 2.商数关系： 易错提醒：必须是同角；表示，书写格式不能出错。 常用变形：，符号由角所在象限决定。 三角函数的诱导公式 1.通用记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限。奇、偶：指中的奇偶；奇偶改变函数名，偶不改变函数名。符号看象限：将看作锐角，判断原角所在象限，确定原式符号。 2.常用诱导公式 ①公式一（终边相同）：，， ②公式二～四（正负角、补角转化）：主要实现负角转正角、大角化锐角，是化简、求值的基础。 三角函数的图象与基本性质 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 三角函数的图象变换 研究对象：由变换得到的图象，两种主流变换方法： 方法一：先平移，后伸缩 1.平移： 2.横向伸缩：横坐标变为原来倍（纵坐标不变），得 3.纵向伸缩：纵坐标变为原来倍（横坐标不变），得 方法二：先伸缩，后平移 1.横向伸缩：横坐标变为原来倍，得 2.平移：向左/向右平移个单位（易错点：平移单位不是），得 3.纵向伸缩：纵坐标变为原来倍，得到最终图象 重点易错：先伸缩后平移时，平移长度一定要对本身进行变换，切勿直接使用。 根据图形写出角的范围 例1．如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合用弧度制可表示为（   ） A． B． C． D． 变式1-1．终边在射线上的角构成的集合可以表示为__________. 变式1-2．终边落在直线上，且在第三象限的角的集合为（    ） A． B． C． D． 变式1-3．如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 确定n分角和n倍角的象限 例2．下列命题中正确的是（   ） A．第二象限的角都是钝角 B．小于的角是锐角 C．是第三象限的角 D．若是第一象限角，则角是第二象限角 变式2-1．已知为第二象限角，那么是第_________象限角． 变式2-2．下列选项正确的是（    ） A．已知角的终边始终在轴上方，那么是第一象限角 B．若，则是第一或第二象限角 C．已知角的终边与120°角的终边关于轴对称，则是第二或第四象限角 D．已知是锐角，那么是第一或第二象限角 变式2-3．若角是第二象限角，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 弧长与扇形面积问题 例3．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一把折扇，测得其周长为，面积为，则其圆心角弧度数为（     ） A．1 B．2 C．4 D．1或4 变式3-1．底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面积为______，侧面展开图中扇形的中心角为______（弧度制表示）. 变式3-2．如图，已知圆M和圆N的半径均为1，且两圆相切．Q为圆M上一点，满足，则两阴影扇形弧长之和为（   ） A． B． C． D． 变式3-3．如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且，则图中阴影部分的面积是________    三角函数的定义 例4．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合.若为终边上一点，则（   ） A． B． C． D． 变式4-1．已知角的顶点在坐标原点，始边为轴正半轴，终边经过点，则______． 变式4-2．已知角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 变式4-3．已知为坐标原点，点的初始位置坐标为．线段OP绕点逆时针旋转后，点所在位置的坐标为______________． 同角三角函数关系的应用 例5．已知是的内角，且 若，则是（      ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形． 变式5-1．已知是三角形的内角，且．求： (1)； (2)的值． 变式5-2．已知，，则的值是（    ） A．2 B． C． D．-2 变式5-3．函数，的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 诱导公式化简求值 例6．已知角的终边在直线上，则________． 变式6-1．已知，且，则（   ） A．-2 B． C． D．2 变式6-2．函数的大致图象是（     ） A． B． C． D． 变式6-3．已知，是关于的方程的两个根． (1)求的值； (2)求的值． 三角函数的单调性 例7．已知函数在上单调，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式7-1．函数的严格增区间为________. 变式7-2．（多选）已知函数（）在上单调递增，那么常数的取值可以为（     ） A． B． C． D．1 变式7-3．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 三角函数的奇偶性 例8．“”是“函数是奇函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式8-1．（多选）下列函数中是奇函数的有（     ） A． B． C． D． 变式8-2．已知函数，，则（    ） A．12 B．－12 C．－17 D．17 变式8-3．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 三角函数的对称性 例9．已知函数 的最小正周期为 ，则函数 的图象的对称轴可以为（    ） A． B． C． D． 变式9-1．已知函数，则的图象的对称中心可能是（    ） A． B． C． D． 变式9-2．已知函数的一个中心坐标是，则的值等于____________． 变式9-3．设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，则的一个取值为____． 三角函数的周期性 例10．定义在上的函数满足，且，则________． 变式10-1．已知函数（），直线与曲线交于P，Q两点，若的最小值为，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式10-2．函数是（    ） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 变式10-3．已知点为函数图象上的两个相邻对称中心，则的最小正周期为______． 三角函数的最值与值域 例11．若函数（）在上的值域为，则可以为（     ） A．4 B．2 C．1 D． 变式11-1．函数在的值域为（    ） A． B． C． D． 变式11-2．函数的最大值为__________． 变式11-3．已知函数在区间上有最小值，但没有最大值，则的取值范围是______． 函数图像变换问题 例12．已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图像，只需将函数的图像（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 变式12-1．为了得到函数的图象，纵坐标不变，只需将函数的图象上所有的点（     ） A．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 C．向左平移个单位长度；再将所得各点的横坐标缩短到原来的 D．向左平移个单位长度，再将所得各点的横坐标伸长到原来的2倍 变式12-2．设为奇函数，将的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，则（    ） A． B． C． D． 变式12-3．将函数的图像向左平移后得到函数的图像，且函数的图像关于直线对称，则________. 应用三角函数定义时没注意终边为射线 1．（多选）若角的始边与轴非负半轴重合，终边在直线上，则下列一定不成立的有（    ） A． B． C． D． 2．已知角的终边在直线上，则_____； 求解时忽略角的范围 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．（多选）已知，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 图象变换的方向把握不准 5．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，则的解析式是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知，，则（    ） A．将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象 B．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象 C．的图象与的图象关于直线对称 D．的图象与的图象关于直线对称 由图象求函数解析式忽略细节 7．（多选）已知函数（，）的部分图象如图所示，则（     ） A． B． C．是的图象的一个对称中心 D．在上的值域为 8．已知函数的部分图象如图所示，点，点． (1)求的解析式； (2)求的单调递增区间； (3)求在上的值域． 记错正切函数的对称中心 9．若曲线的一个对称中心为，则不可能是（   ） A．2 B．5 C．8 D．12 10．已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为（   ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $