专题04 复数（期末复习知识清单）高一数学下学期人教B版

专题04 复数 复数的概念 1.复数定义 形如的数叫做复数，其中虚数单位满足。为复数的实部，为复数的虚部。全体复数构成复数集。 2.复数相等 若，则且。 3.复数分类 当时，为实数； 当时，为虚数； 当且时，为纯虚数； 当且仅当时，复数为实数。 复数的几何意义 1.复平面 建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面。轴为实轴，实轴上的点都表示实数；轴为虚轴，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应实数。 2.共轭复数 实部相等、虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数。 若，则其共轭复数。 重要性质：实数的共轭复数是它本身；互为共轭复数的点关于实轴对称。 3.复数的模 复数对应平面向量，向量的模即为复数的模，记作或。 计算公式：。 复数的四则运算 设， 1.加法： 2.减法： 3.乘法： 4.除法： 5.运算律 加法：交换律；结合律 乘法：交换律；结合律；分配律 6.加减法几何意义 复数相加、相减，对应平面内向量的加法、减法（平行四边形法则、三角形法则）。 复数的三角形式及运算 1.复数三角形式 复数可表示为，此为三角形式。 其中为复数的模；为复数的辐角； 满足的辐角，称为辐角主值。称为复数的代数形式。 2.三角形式运算法则 设， 乘法： 乘方： 除法： 3.乘除几何意义 乘法：对应向量旋转角度、伸缩模长； 除法：对应向量反向旋转角度、伸缩模长。 复数的实虚部及分类 【例1】下列各数中，纯虚数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于复数，且时为纯虚数. 选项A，不符合题意， 选项B，且符合. 选项C，不符合. 选项D，不符合. 【例2】已知复数满足，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 已知，移项得： ， 因此虚部为. 【变式1-1】参加某次数学竞赛的10名学生的成绩（单位：分）如下：71，86，76，80，96，81，84，83，92，88，则以这10人成绩的第60百分位数为实部，第75百分位数为虚部的复数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】首先将10名学生的成绩按从小到大排序：. 由，故第60百分位数为排序后第6位和第7位数据的平均数，即，即所求复数的实部为85.   由，故第75百分位数为排序后第8位数据88，即所求复数的虚部为88. 因此所求复数为. 【变式1-2】已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是_____. 【答案】 【详解】由复数，可得复数的实部为，虚部为， 因为复数的实部与虚部之积大于0， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 【变式1-3】求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 【答案】(1)或 (2)且 (3) (4) 【详解】（1）当，即或时，复数z是实数. （2）当，解得且时，复数z是虚数. （3）当且，即时，复数z是纯虚数 （4）当且，即时，复数z是0. 复数的几何意义 【例3】在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【例4】已知复数满足，且所对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】由，即， 由于对应的点在第二象限，，解得 又， ，即． 又． 【变式2-1】设复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】不妨设，，，则， 所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选:C. 【变式2-2】在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 【答案】 【详解】由点A，B，C对应的复数分别为，，，得，则， 设，则，由， 得，则，解得， 所以点D表示的复数为. 故答案为： 【变式2-3】在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. 【答案】(1)或. (2). (3). 【分析】 【详解】（1）复数的实部为，虚部为， 由题意得，解得或. （2）由题意得 所以，即的取值范围为. （3）由已知得， 故. 复数的四则运算 【例5】已知复数，则复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由， 得，故对应的点为， 由其横、纵坐标均为负可知该点位于第三象限. 【例6】若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由复数，可得，所以 【变式3-1】若复数满足（i为虚数单位），则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，则． 【变式3-2】若，则复数（     ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【详解】根据题意，， 则， 所以，则. 【变式3-3】已知复数，. (1)求； (2)求； (3)若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 【详解】（1）， . （2）. （3）因为， 所以. 复数的高次方计算 【例7】已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数， 所以. 【例8】已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（  ） A．1 B．i C． D． 【答案】A 【详解】由题知， 所以z的虚部为1. 故选：A. 【变式4-1】计算__________． 【答案】 【详解】 ． 【变式4-2】复数的虚部为（    ） A． B． C．32 D． 【答案】C 【详解】 ，所以虚部为32. 【变式4-3】设，为复数，满足，则________． 【答案】 【详解】因为，所以， 又，所以，则， 所以，为方程的两个根，因此，即， 同理. 设， 因为，同理， 所以， 即， 则，，， ，， ， 可得的周期为，即，，， 又因为，所以. 复数的模 【例9】（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】由， 得． 【例10】已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】由，得 ， 所以， 所以. 【变式5-1】已知复数（其中为虚数单位），则__________． 【答案】3 【详解】， ， ， . 【变式5-2】若，则复数的虚部为（   ） A．1 B．1 C．2 D．2 【答案】A 【详解】设，则，， ，， 因为，所以， 所以，整理得，解得. 所以复数的虚部为. 【变式5-3】已知复数满足，则______. 【答案】 【详解】设复数，，则， 可得， 则，解得， 所以. 复数相等 【例11】已知，，（为虚数单位），则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【详解】. 【例12】已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，即， 设，则，故上式化为，化简得， 即，解得，故，. 【变式6-1】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得．所以， 解得，所以． 【变式6-2】若复数满足，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【详解】设， 由题得，， 所以． 【变式6-3】已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【详解】设复数(其中)，则，将代入，整理得：， 即，所以，得， 将代入第一个方程得： ，即， 两边平方得：，所以， 因为，且分母不能为0，所以，即， 所以从判断选项来看，的可能取值只有. 复数范围内方程的根 【例13】若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】法一：设， 因为复数满足，即， 化简得，所以， 解方程组得或， 所以. 法二：由求根公式可得， 所以. 【例14】已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【详解】由是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的一个根， 则，， 即，，则， 故选：D. 【变式7-1】定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】设复数的平方根为，则， 化简，所以，，解得 ，或，，即复数的平方根为或， 故选：C 【变式7-2】若是关于的方程的复数根，则____________． 【答案】31 【详解】因为是关于的方程的一个复数根， 所以是关于的方程的另一个复数根， 由韦达定理得，解得， 所以. 故答案为：31 【变式7-3】已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】 【详解】（1）因为复数是纯虚数，所以. 由，解得或. 当时，    ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为1； （2）当时，复数， 由题意知复数是关于x的方程的一个根. 因为方程的系数为实数， 所以方程的另外一个根是的共轭复数. 所以由韦达定理可得， 解得. 与复数模有关的最值 【例15】若复数满足条件，则其在复平面内所对应的点构成的图形面积大小为__________. 【答案】 【详解】设，则表示，点到的距离， 又表示：以为圆心，为半径的圆；表示，以为圆心，为半径的圆； 故表示一个圆环，如下所示： 故其面积为：. 故答案为：. 【例16】若复数满足，则|z|的最大值为______． 【答案】/ 【详解】设，， 即在以为圆心，半径为的圆上. 又表示到的距离， 则由图可知. 【变式8-1】若且，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】表示圆心为点，半径为1的圆， 而表示圆上的点到点的距离，和之间的距离为4， 故的最小值为， 的最小值为0． 故选：B． 【变式8-2】已知，且，则（i为虚数单位）的最大值为_____． 【答案】 【详解】设， 由，得，即， 其几何意义为复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆 . ，几何意义为点到定点的距离. 计算圆心到定点的距离：. 根据圆的性质，圆上动点到定点的最大距离为圆心到定点的距离与半径之和，因此. 【变式8-3】已知为复数，则的最小值为______． 【答案】 【详解】设，复数在复平面内对应的点记作，故； 表示复平面内，点到的距离；表示复平面内，点到点的距离； 故表示复平面内，点到两点的距离之和， 显然当点在线段上时，其取得最小值，最小值为. 复数三角形式的运算 【例17】计算： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1） （2） 【例18】如果向量对应复数，绕原点O逆时针旋转后再把模变为原来的倍，得到向量，那么与对应的复数是_____________，其模是_____________． 【答案】 【详解】由题意可得，与对应的复数是 , 其模长为． 故答案为：； 【变式9-1】计算：. 【答案】 【详解】 【变式9-2】设，．当时，n的最小值为_____________． 【答案】4 【详解】， 则，得，即， 又，故的最小值为4． 故答案为：4 【变式9-3】（多选）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AB 【详解】选项A：当时，由棣莫弗定理得，， 所以，所以选项A正确； 选项B显然有，由棣莫弗定理得，，所以选项B正确； 选项C ，所以选项C错误； 选项D：当时，由棣莫弗定理得，， 当时，，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数，所以选项D错误． 故选：AB 对复数的虚部理解错误 1．设为虚数单位，则复数的虚部为________． 【答案】/ 【详解】． 所以复数的虚部为. 2．设复数满足，则的虚部为__________． 【答案】 【分析】详解】由，移项得，两边同乘， 得. 则，故的虚部为. 纯虚数的条件不明晰 3．设，若复数是纯虚数，则_____. 【答案】1 【详解】， 又为纯虚数，所以， 解得． 4．已知复数是纯虚数，则__________． 【答案】 【分析】详解】因为复数是纯虚数， 所以，解得． 乱用判别式 5．已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】详解】复数满足， 即，可得， 则． 故选：B． 6．（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 【答案】（1）；（2）；（3）， 【详解】（1）由于为纯虚数，故 且，解得， （2）,则， （3）由于是关于的一元二次实系数方程的一个根， 故，即， 则， 因此且，解得， 误把复数当实数代入计算 7．（多选）已知，都是复数，下列选项中正确的有（     ） A．若，则或 B．若，则是实数 C． D．若，则 【答案】ABC 【分析】详解】选项A：复数的模满足，若，则， 所以或，即或，故A正确. 选项B：设（），由得，则，为实数，故B正确. 选项C：设（）， 左边， 右边，左右两边相等，故C正确. 选项D：因为只有两个实数才能比较大小，若仅说明差为正实数，但可能含虚部， 比如，，但两个虚数和无法比较大小，故D错误. 8．（多选）设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】AB 【详解】对于A，若，即，，则，A正确； 对于B，若，即的虚部为0，则，B正确； 对于C，若，则，C错误； 对于D，若，设，即， 则表示圆上的点到原点的距离，其最大值为2，D错误． 复数三角形式的标准形式理解错误 9．复数的辐角主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】由题意得， 即复数为， ． 故选：D. 10．求的立方根． 【答案】． 【分析】详解】由题意有， 所以， 它的立方根是：． 时，这三个方根分别是：． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 复数 复数的概念 1.复数定义 形如的数叫做复数，其中虚数单位满足。为复数的实部，为复数的虚部。全体复数构成复数集。 2.复数相等 若，则且。 3.复数分类 当时，为实数； 当时，为虚数； 当且时，为纯虚数； 当且仅当时，复数为实数。 复数的几何意义 1.复平面 建立直角坐标系表示复数的平面叫做复平面。轴为实轴，实轴上的点都表示实数；轴为虚轴，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应实数。 2.共轭复数 实部相等、虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数。 若，则其共轭复数。 重要性质：实数的共轭复数是它本身；互为共轭复数的点关于实轴对称。 3.复数的模 复数对应平面向量，向量的模即为复数的模，记作或。 计算公式：。 复数的四则运算 设， 1.加法： 2.减法： 3.乘法： 4.除法： 5.运算律 加法：交换律；结合律 乘法：交换律；结合律；分配律 6.加减法几何意义 复数相加、相减，对应平面内向量的加法、减法（平行四边形法则、三角形法则）。 复数的三角形式及运算 1.复数三角形式 复数可表示为，此为三角形式。 其中为复数的模；为复数的辐角； 满足的辐角，称为辐角主值。称为复数的代数形式。 2.三角形式运算法则 设， 乘法： 乘方： 除法： 3.乘除几何意义 乘法：对应向量旋转角度、伸缩模长； 除法：对应向量反向旋转角度、伸缩模长。 复数的实虚部及分类 【例1】下列各数中，纯虚数是（   ） A． B． C． D． 【例2】已知复数满足，则的虚部为（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】参加某次数学竞赛的10名学生的成绩（单位：分）如下：71，86，76，80，96，81，84，83，92，88，则以这10人成绩的第60百分位数为实部，第75百分位数为虚部的复数是（     ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知是虚数单位，若复数的实部与虚部之积大于0， 则实数的取值范围是_____. 【变式1-3】求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 复数的几何意义 【例3】在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例4】已知复数满足，且所对应的点在第二象限，求实数的取值范围． 【变式2-1】设复数在复平面内对应的点位于第二象限，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为，，，若，则点D表示的复数是___________． 【变式2-3】在复平面内，当实数m取什么值时，复数对应的点分别满足下列条件？ (1)在虚轴上； (2)在第二象限； (3)在直线上. 复数的四则运算 【例5】已知复数，则复平面内，复数z的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例6】若，则（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】若复数满足（i为虚数单位），则为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】若，则复数（     ） A．5 B． C． D．4 【变式3-3】已知复数，. (1)求； (2)求； (3)若，求. 复数的高次方计算 【例7】已知复数，则（ ） A． B． C． D． 【例8】已知复数z满足，其中i为虚数单位，则z的虚部为（  ） A．1 B．i C． D． 【变式4-1】计算__________． 【变式4-2】复数的虚部为（    ） A． B． C．32 D． 【变式4-3】设，为复数，满足，则________． 复数的模 【例9】（   ） A． B． C． D．2 【例10】已知为虚数单位，且复数满足，则（ ） A．1 B． C．2 D． 【变式5-1】已知复数（其中为虚数单位），则__________． 【变式5-2】若，则复数的虚部为（   ） A．1 B．1 C．2 D．2 【变式5-3】已知复数满足，则______. 复数相等 【例11】已知，，（为虚数单位），则（   ） A． B． C．1 D．3 【例12】已知复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】若复数满足，则（    ） A． B．5 C． D． 【变式6-3】已知复数满足，则实数的可能取值为（   ） A．2 B． C．1 D． 复数范围内方程的根 【例13】若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【例14】已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式7-1】定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式7-2】若是关于的方程的复数根，则____________． 【变式7-3】已知复数，，是虚数单位． (1)若复数z是纯虚数，求m的值： (2)当时，复数是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 与复数模有关的最值 【例15】若复数满足条件，则其在复平面内所对应的点构成的图形面积大小为__________. 【例16】若复数满足，则|z|的最大值为______． 【变式8-1】若且，则的最小值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【变式8-2】已知，且，则（i为虚数单位）的最大值为_____． 【变式8-3】已知为复数，则的最小值为______． 复数三角形式的运算 【例17】计算： (1) (2). 【例18】如果向量对应复数，绕原点O逆时针旋转后再把模变为原来的倍，得到向量，那么与对应的复数是_____________，其模是_____________． 【变式9-1】计算：. 【变式9-2】设，．当时，n的最小值为_____________． 【变式9-3】（多选）任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（　　） A．当时， B．若或，则 C． D．当，且为偶数时，复数为纯虚数 对复数的虚部理解错误 1．设为虚数单位，则复数的虚部为________． 2．设复数满足，则的虚部为__________． 纯虚数的条件不明晰 3．设，若复数是纯虚数，则_____. 4．已知复数是纯虚数，则__________． 乱用判别式 5．已知复数满足，则（    ） A．2 B． C．3 D． 6．（1）若复数（其中）为纯虚数，求的值； （2）已知，求； （3）已知是关于的一元二次实系数方程的一个根，求实数，的值． 误把复数当实数代入计算 7．（多选）已知，都是复数，下列选项中正确的有（     ） A．若，则或 B．若，则是实数 C． D．若，则 8．（多选）设复数的共轭复数为，为虚数单位，则下列命题正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则的最大值为 复数三角形式的标准形式理解错误 9．复数的辐角主值为（   ） A． B． C． D． 10．求的立方根． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $