清单06 复数（考点清单，知识导图+8个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

清单06 复数 清单01 数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且 （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示: ,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 清单02 复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 3.复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即. 如果,那么是一个实数,它的模就等于 4.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共复数也叫做共轭虚数. （2）表示：复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 利用这个性质,可以证明一个复数是实数. 清单03 复数的加减运算 1.复数的加减运算 （1）运算法则:设,则 （2）加法运算律： 对任意，有 交换律 结合律 2.复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 清单03 复数的乘除运算 1.复数的乘法法则 设是任意两个复数,则 2.复数的乘法的运算律 对于任意,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3.复数的除法法则 设,且,则. 注:. 4.在复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式 （1）当时,;（2）当时, 【考点题型一】复数的概念（） 【例1】已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（    ） A． B． C．-3 D．3 【变式1-1】已知，，则“”是“复数是实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知，．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 【变式1-4】已知为虚数单位，则复数的虚部为 ． 【考点题型二】复数的四则运算（） 【例2】设复数，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知复数，，，若为纯虚数，则实数的值为 . 【变式2-2】若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【变式2-3】（多选）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【变式2-4】已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ． 【考点题型三】复数的乘方运算（） 【例3】若，为虚数单位，为的共轭复数，则复数（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知为虚数单位，若，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（   ） A． B． C．1 D． 【变式3-3】设，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知复数，则 ． 【考点题型四】复数的几何意义（） 【例4】在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】若复数所对应的点在第四象限，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 . 【变式4-3】已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 【变式4-4】已知复数，． (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围． 【考点题型五】复数的模（） 【例5】若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式5-2】已知复数． (1)若，求； (2)若||，且是纯虚数，求 【变式5-3】已知z为纯虚数，且，则（    ） A． B．1或-7 C．或 D．i或 【变式5-4】已知在复平面内，，复数，对应的点为，，则（   ） A．5 B． C．2 D． 【考点题型六】复数的相等与共轭复数（） 【例6】若，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式6-1】已知非零复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-3】若，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-4】已知复数满足：. (1)求复数； (2)求的值. 【考点题型七】与复数有关的最值问题（） 【例7】已知复数满足为纯虚数 (1)若的实部为2，求； (2)若为实数，且，求的最大值 【变式7-1】已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【变式7-2】设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式7-3】已知复数，且，若是纯虚数，则的最小值是（    ） A．9 B．4 C．1 D． 【变式7-4】已知复数，（，）. (1)若复平面内表示复数的点位于第一象限，求m的取值范围； (2)若，求的最小值. 【考点题型八】复数方程（） 【例8】已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，其中是虚数单位，则 . 【变式8-1】（多选）若复数是关于的方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】已知复数． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求出实数的值，并把代数式分解成一次因式的积． 【变式8-3】方程有一个根为，求实数 【变式8-4】已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． (1)求的值； (2)记复数，求复数的模． 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单06 复数 清单01 数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且 （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示: ,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 清单02 复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 3.复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即. 如果,那么是一个实数,它的模就等于 4.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共复数也叫做共轭虚数. （2）表示：复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 利用这个性质,可以证明一个复数是实数. 清单03 复数的加减运算 1.复数的加减运算 （1）运算法则:设,则 （2）加法运算律： 对任意，有 交换律 结合律 2.复数加减法的几何意义 （1）复数加法的几何意义. 如图,设复数 对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是. （2）向量减法的几何意义 如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应. 清单03 复数的乘除运算 1.复数的乘法法则 设是任意两个复数,则 2.复数的乘法的运算律 对于任意,有 交换律 结合律 乘法对加法的分配律 3.复数的除法法则 设,且,则. 注:. 4.在复数范围内,实系数一元二次方程的求根公式 （1）当时,;（2）当时, 【考点题型一】复数的概念（） 【例1】已知是虚数单位，若复数为纯虚数，则复数z的虚部为（    ） A． B． C．-3 D．3 【答案】C 【详解】由题意：，解得：， 所以，虚部为， 故选：C 【变式1-1】已知，，则“”是“复数是实数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则复数是实数； 若复数是实数，则. 所以“”是“复数是实数”的充要条件. 故选：C. 【变式1-2】设i是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，，则. 故选：C. 【变式1-3】已知，．若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．2或3 D．不存在 【答案】C 【详解】因为， 所以，解得或． 故选：C 【变式1-4】已知为虚数单位，则复数的虚部为 ． 【答案】 【详解】根据复数的概念，可得复数的虚部为． 故答案为：. 【考点题型二】复数的四则运算（） 【例2】设复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，故. 故选：B. 【变式2-1】已知复数，，，若为纯虚数，则实数的值为 . 【答案】0 【详解】由题意，，， 所以， 因为为纯虚数， 所以，解得. 故答案为：0. 【变式2-2】若复数满足（为虚数单位），则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】因为， 所以，所以的虚部为. 故选：D 【变式2-3】（多选）复数满足（，）且，则（    ） A． B． C．的虚部为 D．的实部为 【答案】BC 【详解】因为，则， 可得，解得， 所以，其虚部为，实部为3，故BC正确，AD错误； 故选：BC. 【变式2-4】已知，，其中为实数，为虚数单位，若，则的值为 ． 【答案】 【详解】由题意可得，即， 根据两个复数相等的充要条件可得，解得， 故答案为：. 【考点题型三】复数的乘方运算（） 【例3】若，为虚数单位，为的共轭复数，则复数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则， 故. 故选：C 【变式3-1】已知为虚数单位，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，故. 故选：B. 【变式3-2】（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】由， 故选：A. 【变式3-3】设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，则， 所以. 故选：A 【变式3-4】已知复数，则 ． 【答案】 【详解】由虚数乘方的性质，可得，其中，可得， 所以，所以. 故答案为：. 【考点题型四】复数的几何意义（） 【例4】在复平面上，轴与轴的交点为点，设复数和复数在复平面对应点和，则三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】依题意，，，而， 则，是等腰直角三角形，面积为. 故选：C 【变式4-1】若复数所对应的点在第四象限，则所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】由已知复数在第四象限，则，所以在第一象限． 故选：A 【变式4-2】在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则 . 【答案】 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 故答案为： 【变式4-3】已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则 ． 【答案】或 【详解】由题意可知，复数表示的点的坐标为， 由题意可得，解得或. 故答案为：或. 【变式4-4】已知复数，． (1)若z为纯虚数，求m的值； (2)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为z是纯虚数，所以，解得； （2）在复平面内z对应的点为， 由题意可得，解得， 即m的取值范围是. 【考点题型五】复数的模（） 【例5】若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解法一：因，故，则，即； 解法二：由题意知，所以，即. 故选：A. 【变式5-1】已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由题意可得， 所以，解得. 故选：B． 【变式5-2】已知复数． (1)若，求； (2)若||，且是纯虚数，求 【答案】(1) (2)或 【详解】（1） ∵复数， ∴； （2）设， ∵， ∴①， 又∵， ∴，②， 由①②联立，解得或， ∴或. 【变式5-3】已知z为纯虚数，且，则（    ） A． B．1或-7 C．或 D．i或 【答案】D 【详解】设，由，得，整理得， 解得或， 所以或. 故选：D 【变式5-4】已知在复平面内，，复数，对应的点为，，则（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】B 【详解】法一：因为，，所以，， 所以，则，即. 法二：如图，在坐标系内做出复数，对应的点为，， 由勾股定理易得. 故选：B. 【考点题型六】复数的相等与共轭复数（） 【例6】若，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设，则， 所以， 由，所以，故， 所以， 故选：A. 【变式6-1】已知非零复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方法一：设（且不同时为）， 由得，即， 所以，得或（不满足题意）， 故的虚部为. 方法二：因为，且，所以，即. 设（且不同时为0），则， 解得，则的虚部为. 故选：A. 【变式6-2】若，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】设，，则， ∵， ∴， ∴，解得， ∴， ∴. 故选：C 【变式6-3】若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设复数，则， ， 又，， ，，. 故选：A. 【变式6-4】已知复数满足：. (1)求复数； (2)求的值. 【答案】(1) (2)i 【详解】（1）设， 由，可得， 即， 则， 解得或（此时方程①无意义，故舍去）， 所以. （2）由（1），可得， 因， 则. 【考点题型七】与复数有关的最值问题（） 【例7】已知复数满足为纯虚数 (1)若的实部为2，求； (2)若为实数，且，求的最大值 【答案】(1) (2). 【详解】（1）因为为纯虚数，设（，且） 则， 因为的实部为2，所以，，所以. （2）由（1）知， 所以， 因为为实数，所以，， 所以，， 因为， 所以，即的最大值为. 【变式7-1】已知复数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】由，得复数对应的点在以为圆心，半径的圆上， 表示复数对应的点到的距离， 点到点的距离， 所以的最大值为. 故选：C. 【变式7-2】设复数在复平面内对应的点在虚轴的正半轴上，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】设，因此，， 当且仅当时取“”，所以的最大值为. 故选：B． 【变式7-3】已知复数，且，若是纯虚数，则的最小值是（    ） A．9 B．4 C．1 D． 【答案】D 【详解】因为，且， 所以 ， 因为是纯虚数，所以，即且， 所以 ，当且仅当，即，时取等号. 故选：D 【变式7-4】已知复数，（，）. (1)若复平面内表示复数的点位于第一象限，求m的取值范围； (2)若，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对应的点为， 故且，故， （2），，（，）， 故，故，故， ，故当时，的最小值为. 【考点题型八】复数方程（） 【例8】已知p，q为实数，是关于x的方程的一个根，其中是虚数单位，则 . 【答案】 【详解】由是关于x的方程的一个根，得该方程的另一根为， 于是，解得， 所以. 故答案为： 【变式8-1】（多选）若复数是关于的方程的两根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】由题意可得解得，则，，故A，B，C正确，D错误. 故选：ABC 【变式8-2】已知复数． (1)求； (2)若复数是关于的方程的一个根，求出实数的值，并把代数式分解成一次因式的积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ， （2）解法一：因为复数是方程的一个根， 则复数是方程的另一个根， 由韦达定理得，解得.   则， ； 解法二：因为复数是方程的一个根， 所以有，整理得， 所以，解得.    则 . 【变式8-3】方程有一个根为，求实数 【答案】5 【详解】依题意，方程的两个根为，， 所以. 故答案为：5 【变式8-4】已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位． (1)求的值； (2)记复数，求复数的模． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为是关于的方程的一个根， 所以这个方程的另一个根是， 由韦达定理可知：，解得，所以； （2）由（1）可得， 所以， 所以. 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$