专题03 解三角形（期末复习知识清单）高一数学下学期人教B版

专题03 解三角形 正弦定理 1.定理内容 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。 符号语言：在中，。 2.推论与变形 设为外接圆半径，则。 常用变形：①，，; ②; ③ 3.已知两边及其中一边对角，判断解的个数 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 余弦定理 1.定理内容 文字语言：三角形任意一边的平方，等于另外两边平方和，减去这两边与它们夹角余弦乘积的两倍。 符号语言：在中,， 2.推论（求角公式） 3.适用题型 （1）已知两边及其夹角，求第三边与其余角； （2）已知三边，求三个内角。 补充：余弦定理每个等式包含三边一角四个量，可实现知三求一。 三角形的面积公式 1.基础公式（分别为对应边上的高）: 2.边角结合公式（高频考点）: 3.内切圆半径公式（为三角形内切圆半径，为周长）: 正、余弦定理的实际应用 一、常用专业术语 1.基线：测量中选定的参照线段，基线越长，测量精度越高。 2.仰角、俯角：视线与水平线夹角；视线在水平线上方为仰角，下方为俯角。 3.方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的水平角。 4.方向角：以正南、正北、正东、正西为基准，偏向另一侧的小于的角，例：南偏西。 二、解三角形应用题步骤 1.审题：读懂题意，梳理已知量、未知量，明确角度、边长等关系； 2.建模：画出几何示意图，将实际问题转化为解三角形数学模型； 3.解模：灵活选用正弦定理、余弦定理、面积公式进行计算； 4.还原：将计算结果转化为实际问题答案，作答完整。 余弦、正弦定理解三角形 【例1】在中，若，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【答案】A 【详解】因为， 所以设，则， 所以 【例2】如图，已知中，，，，延长至点，连接． (1)求AC的长； (2)若，求AD的长. 【答案】(1)6 (2)14 【详解】（1）如图所示，在中，由正弦定理得，， 又，，． 所以， （2）因为，所以， 在中，由余弦定理得， ． 【变式1-1】已知中，，，，则___________，___________． 【答案】 / / 【详解】在中，由正弦定理， ，解得； 在中，由余弦定理，， 则，解得或（舍去）. 【变式1-2】在中，若，则角____________． 【答案】 【详解】在中，根据正弦定理， 代入已知条件， 得， 整理得，， 又， 由三角形边角关系可知， ， 又， 故角. 【变式1-3】在中，内角所对的边分别为； (1)若，求； (2)若，解三角形； 【答案】(1)； (2)，，；或，，. 【详解】（1）在中，， ， ， 由余弦定理得，， 所以. （2）在中，， ， ， 由正弦定理得，，即，解得， 由，得，则或， 当时，， 而， 则由正弦定理得，即，则； 当时，， 而， 则由正弦定理得，即，则； 综上所述，，，； 或，，. 判断三角形解的个数 【例3】在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围为______． 【答案】 【分析】详解】如图，在平面内作出角，在其中一条边上取点，以点为圆心，为半径画圆， 若满足条件的恰有一解， 则或，已知，， 当时， ； 当时，， 所以边长的取值范围为. 【例4】在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】详解】由于， 所以， 所以三角形解的个数为. 【变式2-1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】详解】由正弦定理可得：，因为a＝2，， 故，故， 因为△ABC有两个，故存在两个不同的角B满足题意， 则（否则角B不满足有两个三角形的条件），（否则B只能有直角一个值）， 故且，则， 故，解得．故只有B选项符合题意． 【变式2-2】（多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，，，则三角形有且只有一个解 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为钝角三角形 【答案】ABD 【分析】详解】对于A，由大角对大边可知，故A正确； 对于B，若，，， 由正弦定理可知，∴，∴， ∵，∴，∴角为锐角，只有一解，故B正确； 对于C，解法一：由和余弦定理，可得， 整理可得，∴或， ∴或，即为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 解法二：由和正弦定理，得，∴， ∵，∴或， ∴或，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，故C错误； 对于D：∵，由余弦定理，， 又∵，则，∴为钝角三角形，故D正确. 【变式2-3】已知中，，，则满足三角形有两个解的的取值范围______． 【答案】 【分析】详解】如图，，，垂线段， 由正弦定理知，三角形有两个解， 则满足，即， 所以的取值范围为. 三角形面积公式及应用 【例5】中，，，，则边上的高为_________ 【答案】/ 【详解】因为，，， 由余弦定理得， 整理得，解得， 设边上的高为，由等面积可得， 解得. 【例6】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】详解】由题意知，所以， 由余弦定理知，所以， 由正弦定理得，则，，， 所以. 【变式3-1】在中，，，，则__________． 【答案】 【详解】由题意得. 【变式3-2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则△ABC的面积为________． 【答案】 【分析】详解】由余弦定理得， 解得（负值舍去），所以． 又因为，所以， 所以△ABC的面积为． 【变式3-3】已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为． (1)求； (2)若的周长为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得，  因为的面积为，所以， 即，所以，  因为为钝角，所以．   （2）由余弦定理，所以，   又，  所以，故. 正弦、余弦定理综合解三角形 【例7】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】详解】在中，， 又因为，因此：， 即，故，在中， ，又因为， 因此：，根据正弦定理可得： ，在中，已知， ，，由余弦定理可得： ，其中 ， 又因为， 所以， ，， 因此： ， 得. 【例8】如图，四边形为圆内接四边形，，，． (1)求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）是的内角，，， . 在中，由余弦定理得 ， 代入，，，得 ， 整理得 ，解得（不符合边长要求，舍去）. 由正弦定理得 ， . （2） 四边形为圆内接四边形，， ，. 在中，由余弦定理得 ， 代入，，，得 ， 整理得 ，解得（不符合边长要求，舍去）. 的面积 . 【变式4-1】如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则_________，点为边上一点，且，则的面积为_________．    【答案】 10 【分析】详解】因为，，，可知角为锐角， 由正弦定理可得，则， 可得，； 因为，则， 由余弦定理可得，即， 整理可得，解得或， 且，则，， 又因为，． 【变式4-2】如图，在平面四边形中，，． (1)若，，，求的大小； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， 所以. 由正弦定理得，所以， 因为，所以，，所以， 故. （2）设，则， 因为，所以，则. 在中，，即. 在中，由余弦定理得， 即，整理得，解得或（舍去）. 当时，，，，能构成三角形，满足条件. 故. 【变式4-3】如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求的值； (2)求的大小． ①面积； ②． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）选①：由，得， 由余弦定理可得，得， ，所以； 选②：在中，所以， . （2）选①：因为，所以， 在中，由正弦定理可得，解得， 又因为， 所以满足这样的三角形有两解，所以或； 选②：在中，由正弦定理可得，解得， 因为，则， 在中，解得， 又因为， 故满足这样的三角形有两解，故或． 边角互化 【例9】已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】详解】. 【例10】在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知． (1)求角A的大小； (2)已知，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 则由诱导公式得， 则由正弦定理得， 在中，有， 所以，即，所以． （2）在中，由余弦定理有， 得， 整理得， 解得，或（舍去）， 所以的面积为． 【变式5-1】的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】详解】根据正弦定理，由得， 因为，所以， 又，所以，所以. 在中，， 所以. 在中，由正弦定理得， 所以. 【变式5-2】在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】B 【分析】详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 【变式5-3】在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，且的面积等于，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，所以， 所以，即，， 因为，所以，得，即. （2）因为，所以，所以 由余弦定理得，， 因为，，所以，所以的周长为. 求三角形的最值（范围） 【例11】在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的最大值为（    ） A． B． C．9 D．15 【答案】A 【分析】详解】因为，， 由正弦定理可得， 整理得，则有， 即，，， 当且仅当时，等号成立， 因为周长为， 故周长的最大值为． 【例12】已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间， (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为 (2) 【详解】（1）函数， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 即有函数的单调递增区间为. （2）若为锐角的内角，且， 可得，由，可得， 则，即. 由正弦定理得，， 所以， 所以面积 又因为为锐角三角形，则，即，解得， 所以，所以，所以. 故面积的取值范围是. 【变式6-1】在中，角A、B、C所对的边为、、，且． (1)求角B； (2)当时，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由及正弦定理可得， 因为，则，所以，故． （2）因为，由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立，故， 故面积的最大值为． 【变式6-2】在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】详解】由正弦定理以及可得,故， 又, 由于为锐角三角形，故,故， 因此， 故， 故选：A 【变式6-3】在中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若在（1）的条件下，有，求边的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由正弦定理可得， 即， 又，故，故，则； （2）由，故， 由余弦定理可得， 当且仅当时，等号成立， 故边的最小值为. 三角形中线、角平分线问题 【例13】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M，N在边BC上，AM为边BC上的中线，AN为的平分线，若，，的面积等于，则______. 【答案】/ 【分析】详解】因为为边上的中线，， 即，即， 即，. 因为，， ， ， 因为为平分线，，故， 又，所以， 即，解得， 【例14】在中，角，，的对边分别为，，，已知，， (1)求角的大小； (2)若点在边上，为的平分线，且，求边长的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由和正弦定理可得：， 因为，故， 代入上式化简得：， 在中，，则， 又，因此. （2）因为是的平分线，可得， 由面积关系，代入可得：， 代入， 化简得：，解得. 【变式7-1】三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】D 【分析】详解】由正弦定理有， 设，其中，则， 故，故， 所以，设边上的中线为，则， 则 ， 故. 【变式7-2】在中，内角的对边分别为，且， (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的面积. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由余弦定理：， 得：， 即：， 整理得：， 又由余弦定理： 故：. （2）法一：（向量法）由余弦定理，即. 而，得， 即，解得. 故. 法二：（倍长中线法）延长中线至点，使得. 在中，， 由余弦定理得， 即，余下同法一. 法三：（平行四边形法则）平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和. 即，即.余下同法一. 法四：（双余弦法）由，利用余弦定理得， 即，即.余下同法一. 【变式7-3】已知中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求； (2)若，角的平分线交于，求的长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由，，及余弦定理得 ， 所以，故． （2）因为，所以，， 由题意可知，， 所以， 即， 解得． 距离、高度、角度测量问题 【例15】如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里.当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲､乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲､乙两船可能相遇 【答案】A 【分析】详解】甲船速度海里/时，航行分钟小时，因此海里， 由题意海里，， 因此是等边三角形，得海里，， 在南偏西，因此，且海里， 在中 ， 解得海里，乙船速度海里/时，和甲船速度相同，因此A正确，B错误； 建立坐标系：设，正北为轴正方向，正东为轴正方向， 设小时后甲、乙两船于处相遇，则， 乙船起点， 则， 由前分析知两船速度相同，则，则， 即， 整理得， 因为方程无正根，所以两船不会相遇，故C、D错误. 【例16】如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，在点测得，，在点测得，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，在中，，，， 则， 在中，由正弦定理，可得， 则． （2）解：在中，， 所以为等腰三角形，所以． 在中，由余弦定理得， 即， 所以． 【变式8-1】中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】详解】，， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 【变式8-2】某货轮在A处看灯塔S在北偏东方向，它向正北方向航行12海里到达B处，看灯塔S在北偏东方向．则此时货轮到灯塔S的距离为___________海里． 【答案】 【详解】 由题意得，海里，，从B处观测S为北偏东， 因此. 根据三角形内角和为，则. 在中，由正弦定理可得， 将，，代入得， 解得，即此时货轮到灯塔S的距离为海里. 【变式8-3】如图，在海岸A处发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间． 【答案】缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时 【详解】设缉私船应沿方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则海里，海里， 在中，由余弦定理，有． 海里．又， ， ，∴B点在C点的正东方向上， ， 在中，由正弦定理，得， ． ，∴缉私船沿北偏东的方向行驶． 又在中，，，， ，即． 小时． ∴缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时． 三角形解的个数判断失误 1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.若满足条件的三角形有2个，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以. 因为满足条件的三角形有2个，所以，即. 2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，， 由正弦定理可得： ， 因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为，可得， 综上，的取值范围为. 余弦定理公式记错 3．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，即. 由余弦定理得. 中，，所以. 4．在平面凸四边形中，，，，则四边形面积的最大值是______. 【答案】 【详解】连接，在和中，， ，所以， 设凸四边形ABCD面积为，所以， 所以 ， 所以当时，有最大值，即有最大值， 所以S的最大值为. 面积公式误用 5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______． 【答案】 【详解】依题意，， 由正弦定理得， 所以， 由于， 所以为钝角，故， 所以， 所以. 6．在中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由余弦定理： 已知，即，代入， 得： 又，故. （2）已知，且，则：， 由，得：， 由正弦定理， ， 所以 角度概念混淆（仰角、俯角、方向角） 7．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，，所以， 在中，，， 所以， 由正弦定理得，所以， 又为等腰直角三角形，所以. 8．某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是________.（取，） 【答案】20 【详解】如图； 由题意得：，，，则． 由正弦定理， 得，所以乙船的航行速度是． 故答案为：20. 忽略三角形内角取值范围 9．在中，已知，，，则______________． 【答案】 【详解】由正弦定理得：， 因为，，所以，所以 10．在中，，，，角C为钝角，则________． 【答案】 【详解】在中，由角C为钝角，得角是锐角，则， 由，得，，而，， 由正弦定理得，而角C为钝角， 所以. 没有注意正弦定理进行边角互化的使用条件 11．记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据正弦定理 （为外接圆半径）， 得 ​， 代入已知等式： ， 整理得： ，即 ， 又 的面积公式为 ， 将代入得： ，​ 因此： ，​​当且仅当时，取等号， 即面积的最大值为. 12．在中，内角所对的边分别为，，. (1)求B； (2)若，，求的周长． 【答案】(1) (2)18或 【分析】 【详解】（1）方法一：由题意得，由正弦定理可得 即， 又因为，所以，因为， 所以，. 方法二：由题意得，同时在中， 有，得，， 因为，所以. （2）由题意得，两边平方得   ①， 又由余弦定理得即  ②， 联立①②可得，，即， 时代入②得，时代入②得， 所以的周长为或. 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 解三角形 正弦定理 1.定理内容 文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。 符号语言：在中，。 2.推论与变形 设为外接圆半径，则。 常用变形：①，，; ②; ③ 3.已知两边及其中一边对角，判断解的个数 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 余弦定理 1.定理内容 文字语言：三角形任意一边的平方，等于另外两边平方和，减去这两边与它们夹角余弦乘积的两倍。 符号语言：在中,， 2.推论（求角公式） 3.适用题型 （1）已知两边及其夹角，求第三边与其余角； （2）已知三边，求三个内角。 补充：余弦定理每个等式包含三边一角四个量，可实现知三求一。 三角形的面积公式 1.基础公式（分别为对应边上的高）: 2.边角结合公式（高频考点）: 3.内切圆半径公式（为三角形内切圆半径，为周长）: 正、余弦定理的实际应用 一、常用专业术语 1.基线：测量中选定的参照线段，基线越长，测量精度越高。 2.仰角、俯角：视线与水平线夹角；视线在水平线上方为仰角，下方为俯角。 3.方位角：从正北方向顺时针转到目标方向的水平角。 4.方向角：以正南、正北、正东、正西为基准，偏向另一侧的小于的角，例：南偏西。 二、解三角形应用题步骤 1.审题：读懂题意，梳理已知量、未知量，明确角度、边长等关系； 2.建模：画出几何示意图，将实际问题转化为解三角形数学模型； 3.解模：灵活选用正弦定理、余弦定理、面积公式进行计算； 4.还原：将计算结果转化为实际问题答案，作答完整。 余弦、正弦定理解三角形 【例1】在中，若，则（    ） A．30° B．45° C．60° D．120° 【例2】如图，已知中，，，，延长至点，连接． (1)求AC的长； (2)若，求AD的长. 【变式1-1】已知中，，，，则___________，___________． 【变式1-2】在中，若，则角____________． 【变式1-3】在中，内角所对的边分别为； (1)若，求； (2)若，解三角形； 判断三角形解的个数 【例3】在中，，，若满足上述条件的恰有一解，则边长的取值范围为______． 【例4】在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【变式2-1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a＝2，，满足条件的△ABC有两个，则b可能为（    ） A．2 B． C． D．3 【变式2-2】（多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，，，则三角形有且只有一个解 C．若，则为等腰三角形 D．若，则为钝角三角形 【变式2-3】已知中，，，则满足三角形有两个解的的取值范围______． 三角形面积公式及应用 【例5】中，，，，则边上的高为_________ 【例6】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】在中，，，，则__________． 【变式3-2】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且，则△ABC的面积为________． 【变式3-3】已知的内角A，B，C的对边分别为，，，且A为钝角，，的面积为． (1)求； (2)若的周长为，求的面积． 正弦、余弦定理综合解三角形 【例7】海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞.若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得，，，，则A、B两点的距离为（     ） A． B． C． D． 【例8】如图，四边形为圆内接四边形，，，． (1)求； (2)若，求的面积． 【变式4-1】如图，在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则_________，点为边上一点，且，则的面积为_________．    【变式4-2】如图，在平面四边形中，，． (1)若，，，求的大小； (2)若，，，求． 【变式4-3】如图，在四边形中，，，．再从条件①，条件②这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题． (1)求的值； (2)求的大小． ①面积； ②． 边角互化 【例9】已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，则（   ） A． B．3 C． D． 【例10】在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知． (1)求角A的大小； (2)已知，，求的面积． 【变式5-1】的内角，，的对边分别为，，，若，且，则（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式5-2】在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【变式5-3】在中，角，，的对边分别为，，，已知． (1)求； (2)若，且的面积等于，求的周长． 求三角形的最值（范围） 【例11】在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则周长的最大值为（    ） A． B． C．9 D．15 【例12】已知函数． (1)求函数的最小正周期及其单调递增区间， (2)若为锐角的内角，且，求面积的取值范围． 【变式6-1】在中，角A、B、C所对的边为、、，且． (1)求角B； (2)当时，求面积的最大值． 【变式6-2】在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-3】在中，分别为内角的对边，且. (1)求角的大小； (2)若在（1）的条件下，有，求边的最小值. 三角形中线、角平分线问题 【例13】在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点M，N在边BC上，AM为边BC上的中线，AN为的平分线，若，，的面积等于，则______. 【例14】在中，角，，的对边分别为，，，已知，， (1)求角的大小； (2)若点在边上，为的平分线，且，求边长的值． 【变式7-1】三角形的海伦面积公式为，其中，，，分别为的三个内角，，所对的边．已知在中，，且的面积为，则边上的中线长度为（    ） A． B．8 C． D． 【变式7-2】在中，内角的对边分别为，且， (1)求角； (2)若，且边上的中线，求的面积. 【变式7-3】已知中，角，，的对边分别为，，，，． (1)求； (2)若，角的平分线交于，求的长． 距离、高度、角度测量问题 【例15】如图，甲船从出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船出发时，乙船位于甲船的南偏西方向的处，此时两船相距海里.当甲船航行12分钟到达处时，乙船航行到甲船的南偏西方向的处，此时两船相距5海里，下面结论正确的是（    ） A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是海里/时 C．甲､乙两船相遇时，甲船行驶了小时 D．甲､乙两船可能相遇 【例16】如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，在点测得，，在点测得，，．    (1)求的长； (2)求的值． 【变式8-1】中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】某货轮在A处看灯塔S在北偏东方向，它向正北方向航行12海里到达B处，看灯塔S在北偏东方向．则此时货轮到灯塔S的距离为___________海里． 【变式8-3】如图，在海岸A处发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间． 三角形解的个数判断失误 1．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.若满足条件的三角形有2个，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 余弦定理公式记错 3．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ） A． B． C． D． 4．在平面凸四边形中，，，，则四边形面积的最大值是______. 面积公式误用 5．的内角A，B，C的对边分别为a，b，．已知 ， ，则的面积为______． 6．在中，角的对边分别为，. (1)求； (2)若，，求的面积. 角度概念混淆（仰角、俯角、方向角） 7．如图，某建筑物的高度，一架无人机上的仪器观测到建筑物顶部的仰角为15°，地面某处的俯角为45°，且，则此无人机距离地面的高度为（ ） A． B． C． D． 8．某日中午甲船以的速度沿北偏东的方向驶离码头，下午乙船沿东偏南的方向匀速驶离码头，下午甲船到达地，乙船到达地，且在的西偏南的方向上，则乙船的航行速度是________.（取，） 忽略三角形内角取值范围 9．在中，已知，，，则______________． 10．在中，，，，角C为钝角，则________． 没有注意正弦定理进行边角互化的使用条件 11．记的内角，，的对边分别为，，，若，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 12．在中，内角所对的边分别为，，. (1)求B； (2)若，，求的周长． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $