清单05 解三角形及其应用（考点清单，知识导图+9个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

清单05 解三角形及其应用 清单01 解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 清单02 余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,， 2.余弦定理的推论 在中,. 清单03 正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①; ②; ③. 3.判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 清单04 三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 【考点题型一】余弦定理解三角形（） 【例1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】在中，已知，则（    ） A．5 B．3 C． D．1 【变式1-2】的三边分别为1，2，，则这个三角形的最大内角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】已知的内角的对边分别为，且，且的最大内角为，则的最大边等于（   ） A．7 B．7或2 C．8 D．8或5 【变式1-4】已知中，，，. (1)求a、c的值； (2)求的值. 【考点题型二】正弦定理解三角形（） 【例2】在中，，，若最短边的长为，则最长边的长为（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（    ） A． B． C． D．或 【变式2-2】在中，内角所对的边分别为，已知，则角等于（   ） A． B． C． D．或 【变式2-3】在△ABC中， ， ，则＝（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【变式2-4】在中，已知，，.则 . 【考点题型三】三角形解的个数（） 【例3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是 【变式3-1】符合下列条件的三角形有2个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-2】在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（多选）在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-4】在中，已知，，且满足条件的三角形有两个，则边的取值范围是 ； 【考点题型四】三角形的面积、周长问题（） 【例4】在中，，BC边上的高等于． (1)求的值； (2)若，求的周长． 【变式4-1】在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（    ） A． B． C． D．3 【变式4-2】已知三内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，的面积为，求． 【变式4-3】在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题. 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足条件______（填写所选条件的序号）. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长. 【变式4-4】在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【考点题型五】判断三角形的形状（） 【例5】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【变式5-1】设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【变式5-2】在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【变式5-3】已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【变式5-4】已知分别为三个内角的对边，且． (1)求的值； (2)若，且的面积为，判断的形状并说明理由． 【考点题型六】解三角形的实际应用（） 【例6】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【变式6-1】斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【变式6-2】如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为 . 【变式6-3】两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为 km. 【变式6-4】如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 【考点题型七】正余弦定理的边角互化（） 【例7】在中，角，，的对应边分别为，，，． (1)求； (2)若，，求的面积． 【变式7-1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式7-3】在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，. (1)求B； (2)若，，求a、c. 【变式7-4】设的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，的面积为1，且. (1)求； (2)求的值. 【考点题型八】三角形的最值范围问题（） 【例8】在中，. (1)求； (2)若，求的周长的最大值. 【变式8-1】在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】在中，内角所对的边分别为，且 则的取值范围为 . 【变式8-3】锐角的内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围为 ． 【变式8-4】记的内角的对边分别为，已知，，为的外心. (1)求的面积； (2)求周长的取值范围. 【考点题型九】三角形中几何量的计算（） 【例9】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【变式9-1】如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 【变式9-2】如图，在平面四边形中，，，，，则 . 【变式9-3】如图，在平面四边形中，    (1)若 与交于点，且，求的长； (2)求四边形 周长的最大值． 【变式9-4】为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC区域）进行分区改造．△BNC区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC区域规划为学生自主栽培区．△MNC的周围将筑起护栏．已知m，m，，，设． (1)若m，求护栏的长度（△MNC的周长）； (2)试用表示△MNC的面积，并研究△MNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 5 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 解三角形及其应用 清单01 解三角形 一般地,三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 清单02 余弦定理 1.余弦定理的语言 （1）文字语言:三角形中任何一边的平方,等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. （2）符号语言:在中,， 2.余弦定理的推论 在中,. 清单03 正弦定理 1.正弦定理的语言 （1）文字语言: 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等 （2）符号语言:在中, 2.正弦定理的推论及变形公式 （1）正弦定理的推论：设R是外接圆的半径,则; （2）正弦定理的变形 ①; ②; ③. 3.判断三角形的解的个数 已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三角形不能被唯一确定．具体做法如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 清单04 三角形的面积公式 （1）分别表示边上的高） （2）； （3）是内切圆的半径). 【考点题型一】余弦定理解三角形（） 【例1】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由余弦定理得，所以. 故选：D. 【变式1-1】在中，已知，则（    ） A．5 B．3 C． D．1 【答案】B 【详解】, 故,解得, 故选：B 【变式1-2】的三边分别为1，2，，则这个三角形的最大内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】可知三角形的最大内角为所对的角，不妨设为角A， 则， 且，可得， 所以这个三角形的最大内角为. 故选：B. 【变式1-3】已知的内角的对边分别为，且，且的最大内角为，则的最大边等于（   ） A．7 B．7或2 C．8 D．8或5 【答案】A 【详解】由于，故， 因此是三角形中最大的边，因此, 由可得， 化简可得，由于，故， 故选：A 【变式1-4】已知中，，，. (1)求a、c的值； (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）设，，， 则根据余弦定理得， 即， 解得（负舍）； 则，. （2）因为B为三角形内角， 所以， ， 因为，则 则， 【考点题型二】正弦定理解三角形（） 【例2】在中，，，若最短边的长为，则最长边的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在中，，，且最短边的长为， 设内角的对边分别为， 由题意得，又，所以， 因为，， 故，故， 又，， 解得（负值已舍去），同理可得， 由正弦定理得，即，解得， 所以的最长边长为. 故选：B. 【变式2-1】在中，内角所对的边分别为，若，则角的大小是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】由题设及，则， 又，故为锐角，且，所以. 故选：B 【变式2-2】在中，内角所对的边分别为，已知，则角等于（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【详解】在△ABC中，，，， 由正弦定理得， 且，则，可得， 所以． 故选：B． 【变式2-3】在△ABC中， ， ，则＝（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为，所以，因为，所以； 因为，所以，所以，即有，所以. 故选：B 【变式2-4】在中，已知，，.则 . 【答案】/ 【详解】由正弦定理可得，故， 故, 故答案为：. 【考点题型三】三角形解的个数（） 【例3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．若满足条件的有两个，则c的取值范围是 【答案】 【详解】由正弦定理，可得，所以， 若满足条件的有两个，即三角形有两解， 所以，且，则， 即，解得， 则c的取值范围是. 故答案为：. 【变式3-1】符合下列条件的三角形有2个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】对于A：因为，不符合两边之和大于第三边，所以无解，故A错误； 对于B：因为，所以，所以无解，故B错误； 对于C：由余弦定理得，所以，解得或，即有2个解，故C正确； 对于D：因为，所以,故，三角形只有一解，故D不正确. 故选：C. 【变式3-2】在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在中利用正弦定理得，则， 若满足上述条件的有且仅有一个，则或， 则或， 则边长的取值范围是. 故选：C 【变式3-3】（多选）在中，角、、所对的边为、、，根据下列条件解三角形，其中仅有一解的有（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【详解】对于A，三角形中，已知三边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即A正确； 对于B，三角形中，已知两个角和夹边，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即B正确； 对于C，由正弦定理，即，所以， 因为，则, 因为，结合正弦函数的图象可知角有两解，故C错误； 对于D，三角形中，已知两边和夹角，由三角形全等知，三角形的形状唯一确定，故仅有一解，即D正确. 故选：ABD. 【变式3-4】在中，已知，，且满足条件的三角形有两个，则边的取值范围是 ； 【答案】 【详解】满足三角形有两个的条件为，又因为，， 所以，所以. 故答案为：. 【考点题型四】三角形的面积、周长问题（） 【例4】在中，，BC边上的高等于． (1)求的值； (2)若，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 由题意可得，即， 由正弦定理得，又， 所以． （2）由正弦定理得， 由余弦定理得， 又，所以， 所以的周长为． 【变式4-1】在中，三个内角所对边分别为，若且则的面积等于（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】因为，由正弦定理可得，即，解得或（舍）. 由余弦定理可得， 解得，故， 因为，则角为锐角，所以，， 因此，. 故选：A. 【变式4-2】已知三内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角； (2)若，的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 又，故． ∴， 即， 因为， 所以； （2）在中由余弦定理得：， 代入，得：，即， 又∵， ∴，所以，解得（负值已舍去）． 【变式4-3】在①；②；③.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题. 在中，角、、所对的边分别为、、，且满足条件______（填写所选条件的序号）. (1)求角； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）若选条件①：， 则；得到； 即，故， 因为，所以，， 由正弦定理得，即，则 因为，，所以，， 两边同时约去和，可得，解得. 又因为，所以， 若选条件②：， 因为，所以，则， 故可化为，即. 由正弦定理，可得. 所以，因为，则. 因为，所以，，两边同时约去， 可得，则解得；， 若选条件③：， 由题意得， 则. 由正弦定理得（为外接圆半径）， 可得，，. 则，即. 由余弦定理得. 而，得到. （2）由题意得，，则， 得到， ， 由三角形面积公式，而， 则，即， 解得，由正弦定理，即， 可得，化简得， 将代入，可得，解得， 则， 再由正弦定理，可得， 故的周长为. 【变式4-4】在中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知，． (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中， ，， 由正弦定理得，， 则， 由余弦定理，， 因为，所以. （2）由（1）知，， 又，的面积为， 所以， 解得，所以， 又由余弦定理，，即， 所以的周长为. 【考点题型五】判断三角形的形状（） 【例5】已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若则的形状是（    ） A．等腰三角形但不是直角三角形 B．直角三角形但不是等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【详解】由，， 所以， 由正弦定理有， 又由余弦定理有， 所以， 所以，即， 又，所以是直角三角形但不是等腰三角形. 故选：B. 【变式5-1】设的面积为，角所对的边分别为，且，若，则此三角形的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】因为，所以， 则，因为，所以， 又，所以， 由，所以，， 所以为等腰直角三角形. 故选：D. 【变式5-2】在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】因为，所以， 又根据余弦定理可知， 所以， 因为，所以. 又由，得， 所以， 所以， 因为A和B是三角形的内角，所以，即， 所以是等腰三角形， 又因为，所以，是等边三角形. 故选：D. 【变式5-3】已知的内角A，B，C的对边分别为，则是（    ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【详解】设，由余弦定理， 得，整理得，所以， 所以为等腰三角形． 故选：D 【变式5-4】已知分别为三个内角的对边，且． (1)求的值； (2)若，且的面积为，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，理由见解析 【详解】（1）由题意，， 由正弦定理得，， ， ， ， 又， ， ，即， 又， ； （2）为等边三角形，理由如下： 由（1）知，，又由题意，， 又， ， ， ， 又， 为等边三角形. 【考点题型六】解三角形的实际应用（） 【例6】一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东30°，距离为6海里，灯塔在的北偏东60°，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西30°方向，则此时灯塔位于渔船的（   ） A．北偏东60°方向 B．北偏西30°方向 C．北偏西60°方向 D．北偏东30°方向 【答案】D 【详解】如图， 由题意，在中，，，， 则为正三角形，则， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 【变式6-1】斜拉桥（如图1）是我国常见的桥型之一，是由许多斜拉索直接连接到主塔吊起桥面形成的一种桥梁.已知主塔AB垂直于桥面，斜拉索AD，AC与桥面所成角（如图2），主塔AB的高度为h，则间的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，， 在中，， 所以 ， 故选：A． 【变式6-2】如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为 . 【答案】米 【详解】设，由题意得， 而， 则，， 所以， 在中，，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 所以铁塔的高度为米. 故答案为：米. 【变式6-3】两座灯塔和与海洋观察站的距离分别为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔与的距离为 km. 【答案】7 【详解】如图所示：由题意可得，且，， 所以由余弦定理可得，即. 故答案为：. 【变式6-4】如图，A、B是某海域位于南北方向相距海里两个观测点，现位于A点北偏东45°、B点南偏东30°的C处有一艘渔船遇险后抛锚发出求救信号，位于B点正西方向且与B点相距50海里的D处的救援船立即前往营救，其航行速度为40海里/小时． (1)求B、C两点间的距离； (2)该救援船前往营救渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏东多少度（精确到0.01°）？救援船到达C处需要多长时间？ （参考数据：，） 【答案】(1)30（海里） (2)救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°，1.75小时． 【详解】（1）在中，，，则， ， 由正弦定理得 （海里）． （2）在中，，由余弦定理 ， ，（小时）， ，D为锐角， 所以，， 救援船前往营救渔船时的目标方向线方向是南偏东68.21°． 【考点题型七】正余弦定理的边角互化（） 【例7】在中，角，，的对应边分别为，，，． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，， 由正弦定理可得， 又， 所以， 即，又，， 所以，即， 又，则； （2）在中，由余弦定理可知， 即，化简可得， 解得或（舍）， 则的面积. 【变式7-1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足，边上的高为2，且，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 作于，即， 所以， 又因为，所以. 因为，由正弦定理可得， ， 又因为， 所以， 即， 因为，所以， 所以，又因为， 又因为，所以，所以， 所以解得， 将代入可得. 在中，由余弦定理 可得，即， 解得或（舍）. 所以的周长为， 故选：D 【变式7-2】记的内角的对边分别为．已知，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【详解】因为，所以， 则，即， 得到，即， 则，即， 由勾股定理逆定理得为直角三角形，故B正确. 故选：B 【变式7-3】在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，. (1)求B； (2)若，，求a、c. 【答案】(1) (2)，或， 【详解】（1）因为， 即， 即， 由正弦定理可得， ，， ，，， ，； （2）由（1）可得. ，， ，又， 即， ，由，解得或. 【变式7-4】设的内角，，的对边分别为，，，是边的中点，的面积为1，且. (1)求； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以， 所以， 因为，； （2）因为， ， ， . 【考点题型八】三角形的最值范围问题（） 【例8】在中，. (1)求； (2)若，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）在中，令内角所对边分别为， 由， 得，由正弦定理得， 由余弦定理，得，而，所以. （2）由已知及（1）得，， 解得，当且仅当时取等号， 所以求的周长的最大值为6. 【变式8-1】在锐角中，、、分别是角、、所对的边，已知且，则锐角面积的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】且，, 根据正弦定理得，, 即， 整理得， ，，，解得，， ， ，, 的面积 为锐角三角形，，， ，， ， . 故选：C. 【变式8-2】在中，内角所对的边分别为，且 则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由， 所以， 由正弦定理，得， 有，又，故； ， 因为，所以，则， 所以，即. 故答案为： 【变式8-3】锐角的内角，，的对边分别为，，，，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由正弦定理可得， 又因为在锐角三角形中，，则， 所以． 故答案为： 【变式8-4】记的内角的对边分别为，已知，，为的外心. (1)求的面积； (2)求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，，由余弦定理得， 又，所以， 又为的外心， 则由正弦定理得，所以， 又， 所以. （2）方法一： 由（1）及正弦定理得， 则，， 记的周长为，则. 又，则， 则， 因为，所以， 所以，所以. 方法二： 由，，得， 因为，所以， 即，所以，当且仅当时，等号成立. 因为，所以，所以， 即周长的取值范围为. 【考点题型九】三角形中几何量的计算（） 【例9】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，CD是的角平分线，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【详解】在中，， 即，， 因为是的平分线，所以即，所以 在中， 即即，解得. 在中，， 所以 故选：A. 【变式9-1】如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中，， 则， 所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以； （2）设，则， 在中，因为， 所以, 在中，, 所以，即， 所以，即. 【变式9-2】如图，在平面四边形中，，，，，则 . 【答案】/ 【详解】设，在中，由正弦定理可得①， 由可得，则，， 在中，由正弦定理可得②， ①②两式相除，得，即， 整理得，故. 故答案为： 【变式9-3】如图，在平面四边形中，    (1)若 与交于点，且，求的长； (2)求四边形 周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 中,由余弦定理得, 所以 因为，，所以    由可知, , 所以   （2）因为,所以, ,故， 当且仅当时等号成立，故周长的最大值为 【变式9-4】为了丰富同学们的课外实践活动，某中学拟对生物实践基地（△ABC区域）进行分区改造．△BNC区域为蔬菜种植区，△CMA区域规划为水果种植区，蔬菜和水果种植区由专人统一管理，△MNC区域规划为学生自主栽培区．△MNC的周围将筑起护栏．已知m，m，，，设． (1)若m，求护栏的长度（△MNC的周长）； (2)试用表示△MNC的面积，并研究△MNC的面积是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)（m） (2)，最小值为． 【详解】（1）依题意，在中，m，m，， 所以，则， ，即， 所以，又，故， 所以是正三角形，则m，m， 所以护栏的长度为（m）． （2）学生自主栽培区的面积有最小值，理由如下： 设，在△ANC中，， 则， 由正弦定理得，得， 在中，， 由正弦定理得，得， 所以 ， 所以当且仅当，即时， 的面积取得最小值为． 23 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$