专题02 向量的数量积与三角恒等变换（期末复习知识清单）高一数学下学期人教B版

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02向量的数量积与三角恒等变换 AAIIKIKIIIIIIIII 思维导图 DI 向量夹角：范围0°≤0≤180°，0=0°同向，0=180°反向，0=90°垂直 数量积基础概念 数量积定义：d.i=cos0 投影狗量：数量积与投影模长相关 枝心性质：a16一a:6=0.aa=1a2,cos9=a:6 1a6 数量积性质与运算律 运算律：交换律、数乘结合律、分配律 夹角判定：锐角台a.>0且不共线：钝角台ā.<0且不共线 坐标公式：a-(c1,),6-(e2,2)则a.i-1x2+12 数量积坐标运算 垂直判定：x1x2+12=0 模长：=√+：两点距离、坐标夹角公式 cos(a+B)=cosa cos B+sin asin B 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(a±)=sina cos B±cosa sin B 向量的数量积与 Ctan(a±)= tana±tanB l干tana tan B 三角恒等变换 Csin 2a =2 sina cosa 二倍角公式 cos 2a cos2 a-sin2a =1-2sin'a=2cos2 a-1 2tana Ctan 2a 1-tan'a 降器公t:a-1上c02a,cs2a-1+co20,sinacoasi2a 2 2 降幂公式和升幂公式 升幂公式：1+cos2a=2cos2a;1-cos2a=2sin2a; 1+sin 2a=(sina+cosa)2:1-sin2a =(sina-cosa) asinx+bcosx=va+b sin(x+) 辅助角公式 a b 其中c0sp= a+市加0= Va,tang=b a 一1.半角公式：含根式形式、有理形式 拓展恒等变换 2.积化和差、和差化积公式 3.万能公式 LZA2EDZKZKZ27225227 考点清单 ZZDDIZIZIIZZIZIIIE 》向量数量积基础概念 1.向量的夹角 将两个向量平移至同一起点，形成的角即为两向量的夹角，夹角范围0°≤9≤180°。当日=0°，两向量同 向：日=180°，两向量反向：日=90°，两向量互相垂直。 1/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2.向量的数量积（内积） 设两个非零向量夹角为9，则6=国k0s日，数量积运算结果为实数。规定：零向量与任意向量的数 量积为0。物理意义：力做的功可对应向量数量积运算。 3.投影向量 一个非零向量在另一向量上投影得到共线向量；数量积可理解为一个向量的模，与另一向量在该向量 方向上投影向量的模的乘积。 》向量数量积的性质与运算律 (一)核心性质（三，6为非零向量，e为单位向量，夹角为9） 1a6→ab=0 (垂直判定核心公式) 2.a=alcose 3.向量同向： 6=向量反向：6=一国特例：=，常用来求向量模长。 4.夹角公式： cos0= 同同可 5不等关系： 6≤ (二)基本运算律 1.交换律： ab-ba 2数乘结合律： Q)b=λ后6=京Q5a为实数) 3分配律： （a+bc=ac+bc (三)夹角判定补充 (1)夹角为锐角且a、b不共线： (2)夹角为钝角且a、不共线 》向量数量积的坐标运算 设=(&y)'b=(&2y2》 设=(xy1)'b=(82y2 1数量积坐标公式：6=x2yy2 2.向量垂直坐标判定：1bx1x2yy2=0 2/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.向量的模： a=V+明 4两点间距离公式：若两点AyB(xV2,则AB|=区2-x2+y2y了 ab x x2+yy2 5.夹角坐标公式：c0s0= V+V+明 》两角和与差公式 1.余弦公式 cosa+p)=cos a cos B-sin a sinβ；cosa-p=cos a cosβ+sin asinβ 2.正弦公式 sina+β)=sina cosβ+cos a sin B；sin(a-β=sin a cosβ-cos a sinβ 3.正切公式 ma+p刷=t影：ama-)=c品 重要提醒：正切公式要求C、B、α士B均不等于号+k(kZ):所有和差公式均可正用、逆用、变形使用。 》二倍角公式及升降幂公式 1.二倍角核心公式 sin 2a=2 sin a cos a cos 2a cos2a sin2a 2 cos2a-1=1-2sin2 a tan 2a 2 tan a 1-tan o 2.升幂、降幂公式（由余弦二倍角变形而来，化简高频考点） 升幂公式： 1+cos 2a 2cos2 a,1-cos 2a 2sin2a 降幂公式： 1+cos 2a 1-cos2a cos2a= sin2a= 2 2 》辅助角公式 asinx+bcosx-va2+b2 a 6 sinx +C0Sx· √a2+b2 Ja2+b2 其中，φ的象限由a,b的符号共同确定。 3/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 用途：将同角正、余弦线性式化为单一三角函数，常用于求最值、单调区间。 》三角恒等变换拓展公式 1.半角公式 sin a 1-cosa a 1+cosa 1-cosa sina 1-cosa cos tan 2 2 2 2 2 1+cosa 1+cosa sina 符号由g所在象限决定。 2.积化和差、和差化积公式 (1)积化和差 sincosin()+sin(si() 1 coscos=cos(B)+cos(B)]:sina sin B-cos(a-B)-cos() (2)和差化积 sina tsin2sincas sing-sin -2cossin 2 2 coa+cosB=2cas2生2cms,cwa-6osB=-2sn8+fna-月 -cos 2 2 2 (3)万能公式 2 tan 1-tan2 2tan sina = 2 coSa=- 2 tana= 1+tan2 1+tan2 2 1-tan2 2 2 // 题型清单， 期未常考题型清单 》平面向量数量积的运算 例1.在ABC中，AB=AC,BC=6,则AB.BC的值为 【答案】-18 【详解】取BC的中点为D,连接AD, 4/37 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 由AB=AC,BC=6,所以AD⊥BC,BD=BC=3, 所以AB在BC上的投影向量的大小为AB cos AB,BC=-BD=-3, B.BC=AB BCcos AB,BC=(AB cos AB,BCBC=-3x6=-18 D 变式1-1.已知向量a,五，c在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1，则 a.6-c= 【答案】15 【详解】 A b :O 建立如图所示平面直角坐标系，a=(5,4),b=(1,-3),c=(-2,-3), a6-c=(5,43,0)=5×3+4×0=15 变式1-2.单位圆0的内接ABC,满足20A+30B+40C=0,则OA·AB=· 【皆】 【详解】由题可知0A=D8=0C=1,20A+30B=-40C, 则(20A+30B=(-40C,即40A+90B+120A.08=160C, 所以o1.08= 5/37 丽学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 所以o1AB=0A-(oB-0A=0A.0i-0-}-1=-3 4 4 变式1-3.在ABC中，E,F是BC边上的两点，G是三角形的重心，且BE=FC=BC.若 AB.AC=入GE.GF,则1=() A.3 B.6 C.9 D.12 【答案】C 【详解】由G是ABC的重心，取BC的中点D,则G在线段AD上，且GD=AD, 又死=元c,则历而，历而， 则G-},际c. 所以4B4C=AG正GF=元}B}4C=入BAC, 3 3 故2=9. EDF C 》平面向量的模长问题 例2.已知向量a=(m,-2),b=(2,1),且a1b,则a-26=() A.5 B.4 C.25 D.5 【答案】D 【详解】由a⊥b,得ab=0,即2m-2=0,解得m=1,此时a=(1,-2 所以a-2b=(-3,-4),则a-2b=-3)2+(-4)=5 变式2-1.已知向量a,2的夹角为60°，且a=1,则a+b= 【答案】√5 【详解】a+6=ā+=Va2+b2+2a6=V+1+2x1x1xcos60=v5 变式2-2.已知点A1,0),点B(-3,3),则与AB同向的单位向量坐标为 【答案】 43 55 【详解】由点A1,0),B-3,3),可得AB=(-4,3),则AB=V-4)2+32=5 6/37 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 AB 1 43 则与向量B同向的单位向量的坐标为 AB 4,3)-53 变式2-3.若向量a,五满足ā+b=d-b|,a=2,b=23,则ā+2b=() A.√3 B.213 C.13 D.52 【答案】B 【详解】1a+Ha-两边同时平方得(a+)=(a-), 则a+2+2a.6=a2+62-2a.6, 所以a.6=0, (a+25)=a+462+4a.6=2+4×25+4×0=52, 所以a+26=√52=23 》平面向量垂直问题 例3.不共线的两个单位向量a,乃满足a+=2a-,若a1(a+,则实数t的值为() A. B c.或-l 【答案】A 【详解】a+6=2a-6,两边平方得(a+=4acos2a,五， +62+2a-B=4aBcos'a,B, 又a,b为单位向量且不共线，故1+1+2cosa,b=4cos2a,b, 解得cosa.6=-cosa,6=1(舍去)： 若i1a+列.则a(a+列=+a6=1+问easi6=1号0， 解得1=2 1 变式3-1.如图，在ABC中，BD=DC,E在边AC上，且BE⊥AC,若AD=6,BC=8,则AEAC= 7/37 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B D 【答案】20 【详解】由BD=DC,得AB.AC=(AD+DB)-(AD-DB)=AD-DB2=6-4=20, 而E在边AC上，且BE⊥AC, 所以AE‖AC=AE.AC=(AB+BE)AC=AB.AC+BE.AC=20 变式3-2.已知单位向量a,B满足a1a+2b),则cos(a,b)=() A B.0 C. D.3 2 【答案】A 【详解】依题意，aa+2b)=0,即a2+2ab=0, 所1以+2x1x1 xcos(..6}=0,故cosa= 变式3-3.己知0为坐标原点，平面向量0A=1,2),0B=(3,-1),若点M满足OM⊥AB,且OM=20A+0B ,则实数1= 【答案】 9 【详解】已知0A=(1,2),0B=(3,-1),则AB=0B-0A=(2,-3) 设M(a,b),则OM=(a,b) 因为OM⊥AB,所以OM.AB=2a-3b=0(*), a=2+32 因为OM=20A+10B,所以 b=4-λ’ 将其代入()，可得22+3)-34-2)=0，解得元=8 2》平面向量的夹角问题 例4.已知a=2,b=5,向量a与的夹角为60，求： 8/37 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (①)(2a+b)i: (2)2ā+b与五的夹角0的余弦值， 【答案】(1)35 27v67 61 【分析】 【详解】(1)由=2，=5，向量a与的夹角为60， 则a.b=2x5×cos60°=5： 由2a+b6=2ā.6+62-2×5+52=35： (2)由2a+6}'=4a2+4a6+b2=16+20+25=61, 则2a+=v6i, 2ā+b635761 ∴.c0s0= 2a+6.65v6161 变式4-1.向量a,b在正方形网格中的位置如图所示，则ā，b=() a A.45 B.60° C.120° D.135 【答案】D 【详解】设小正方形的边长为1， 建立如图所示的平面直角坐标系， b a 1 23 则a=（3,1,b=(2,1-(3,3)=(-1,-2), 9/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 cos a,b= a.b -3-2√2 a510×52' 因为0°≤a,b≤180°，所以ā，b=135 变式4-2.已知向量a,6,c满足d==1,=5,a+26+c=0,则cosa-26,c=() A.3 B. 万 D.3 7 7 7 【答案】C 【详解】ā+2b+c=0→a+2b=-c,两边平方得 a+4-6+463=(-,即+4a-6+46=,1+4a6+4=3,a-万=- 2， a-20=a-25=后2-4a-6+4=a-4a6+4=+2+4=万， a+26+c=0三a+c=-26,两边平方得2+2a.c+2=(-25, 即a+2ac+l=4,故1+2ac+3=4,ac=0, a+2b+c=0→2b+c=-a,两边平方得462+46.c+c2=(-a, 即46+466+=，微4+46+3=.6=号 故cosa-2b,c (a-2b)cac-2b.c0+3-21 a-26 a-26a7x3 7 变式4-3.已知ā=1，b=2,与的夹角为120 (1)求a.b; (2)求12d-b|及（ā+2b)(2ā-b); (3)若向量ā+b与2ā+b的夹角为锐角，求实数t的取值范围. 【答案】(1)-1 (2)23,-9 o(2u*o 【分析】 【详解】(1D由1a1,5上2，a与的夹角为120，得a-万120=1x2x(-之=-. (2)由(1)得12a-i=V(2a-b}=vV4a2+62-4a.6=V4x12+22-4x(-1)）=235, 10/37 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (a+2b)-(2a-b)=2a2-2b2+3ā.6=2×12-2×22+3×(-1)=-9 (3)由向量a+b与2a+b的夹角为锐角，得(a+tb)(2ā+b)>0,且向量ā+b与2ā+b不共线， 2a2+tb2+(2t+1)a.b>0 [2+4t-(21+1)>0 则1t ,即 2 t# 解得1>片且* 所以实数：销取值花用是（为U+树） 2》平面向量的投影问题 例5.已知非零向量a,乃满足=2d,且五在a方向上的投影向量为-a,则a与的夹角为() A君 B. C.2x 3 D.Sπ 6 【答案】C 【详解】由题意得， a =2cosa·a=-a, 2π 所以得到cosa= 2'= 3 变式5-1.已知=(5,3)，b=(-1,2),则向量a在向量五方向上的投影向量的坐标为 【答案】 【详解】已知a=(5,3),b=（-1,2), .ab=5×-1)+3×2=-5+6=1, 6=V-12+2=5, :向量ā在向量五方向上的投影向量的坐标为： 票5--12-(5引 变式52.若问==1，且向量在无访向上的投影向量为五，测6+3=《） A.3 B.25 C.√15 D.13 【答案】D 【详解1：向量云在Z方向上的投影向量为6分a-6b=5 11/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 a-b=2a+36-Va+36=后2+6a.6+9 ,12+6x+9x12=3 变式5-3.已知单位向量a与五，向量a在五方向上的投影向量为4，且a,=2b,若a与的夹角的取值范 π5 围是 36π 则2的取值范围是 【答案】[-5，！ 22 b 【详解】依题意， d==1,则a在五方向上的投影向量为a,=acos(a,而 =cos(a,b)·b, b 又因a。=1b,则1=cos(a,b), 因(a,b)∈ π5 而函数y=cosx在 [π5_ 上单调递减， 3’6 3'6π 则得- 3 ≤cos0a,b◆≤ 2 即：的取板范到红-要 》平面向量的取值范围 例6.设点P为边长为1的正六边形ABCDEF上一点，则AB.AP的取值范围为 「13 【答案】 2’2 【详解】因AB·AP=AB|APcos 4B,AP)=APcos(AB,AP), 即AB.AP可理解为AP在AB方向上的投影的数量， 由图知，当点P与点C重合时，投影的数量最大，为1+1×cos60°=3 当点P与点F重合时，投影的数量最小，为1×cos120°=-1， 2 故BP的取值范围为一22 「13 E B 变式6-1.已知圆0的半径为3，弦AB=25,C是圆0上的一个动点，则0C(CA+CB的取值范围是() A.【-30,-12]B.-30,-6 C.【-24,-6] D.【-24,-12 【答案】B 12/37 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】取AB的中点D,则CA+CB=2CD,0D=32-(5=2,0C=3 所以0C(CA+CB=20C.CD-20C.(OD-0C)=20C.0D-20c=12cos∠C0D-18, 因为cosLC0De-1,1,所以0C(CA+CB∈[-30，-6] 0 D 夕 变式6-2.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=8,BC=4,CD=4.点P在线段AD上运动，则PA+PB的 取值范围是 D B 【答案】[4v5,8 【详解】如图：过D作DE⊥AB于点E,以E为原点，以AB,DE所在直线分别为x,y轴建立直角坐标系， 则A-2,0),B(6,0),D(0,2N5),直线AD的方程为y=√5x+2V5 设P(xy),PA=(-2-x,-y以，PB=(6-x,-y),PA+PB=(4-2x,-2y), PA+PE=V4-2x'+4y2=-V4-2x2+45x+2，即|PA+PE=4F+2x+4-2≤x≤0)， 当x=-2或x=0时PA+PB取得最大值8： 当x=-1时PA+PB取得最小值4√5.所以PA+PB的取值范围是45,8 A E B 变式63.如图1是一款家居装饰物一博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器， 其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分示 意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，设Z为线段AK上任意一点，则UZ.KZ的取值范 13/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 围是 H G 成 K X E M 0 S B D 图1 图2 9 【答案】 0 【详解】以点A为坐标原点，AD、AJ所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系， H W F 0 X U E M 9 R S B 则K(0,8)、U(8,5),设点Z0,t,其中0≤t≤8，Uz=(-8,t-5),KZ=(0,t-8), 则0z冠---8列=f-1+40=-9-? 令f0=-)-景共中ea, 则数在]上单调递减，在[ 上单调递增， 所以=f侣 又因为f0=40,f8=0,故f0=40,即f∈[}40 所以UZ.KZ的取值范围是 2》两角和与差的三角公式 14/37 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 例7.若e引B (2π且sina= π V5 sin(a+B)=-弓则cosB的值是（） 3 5 A. 2v5 B. 2w5 C.-25 D.-25 25 5 25 5 【答案】D 【解1ee引B[侵小则a+p侵》 而sina 25.sma+j=- 则eosa-f西-5ou+-a+何-号 所以cosB=cos(a+B)-a]=cos(a+β)cosa+sin(a+B)sina 5 变式7-l.计算：cos75°+cos15°= 【答案】6 2 【详解】因为cos75°=c0s45°+30)=cos45°cos30°-sin45sin30°， c0s15°=c0s45°-30）=c0s45°c0s30°+sin45sin30°， 所以c0s75°+c0s150=2c0s45eos30°=2x5×5_V6 -X 222 变式2已ma+骨-号，a 卡&，则cosa的值为C A.-1 B.0 C.1 D.2 2 【答案】B 【详朝】由题可知，子a<子·则好<a+受<a 又如+引生作区同后列为，仅有经-号 42 42 故a+=3江，解得：a=,则c0sa=co=0 变式73.f八-sinr+cosr)-inr+cosy(xeR的值域为 【答案】「-V2,0 15/37 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【详解】设1=nr+cosr,化简得1=万in(x+)。 因此1e-5,V1,当120时：f)=1-1=0, 22 11 当1<0时：f=2-2-0)=1,此时1e[-v5,0)… 合并两种情况，可得f(x)的所有取值范围是[-V2,0] 》倍角公式半角公式 例8.若sin01+sin20_2,且6为锐角，则an0=（) sin0+cosθ 5 A.2 B.3 c. D. 【答案】D 【详解】因为0为锐角，则sin0>0,cos0>0,tan0>0, sin0(1+sin20)sinθ(sin26+cos20+2sin0cos0）sin0(sin0+cosθ)2 sin0 +cos0 sin0 cos0 sin0 cos0 sin-0+sin0cos0 =sin(sine+cose)=sin0+sinOcose cos20 tan20+tan 2 sin20+cos20 sin20+cos20 tan20+15' cos20 整理可得3tan20+5tan0-2=0, 即3an0-l川tan0+2)=0,解得an0=或an0=-2, 3 因为an0>0,故an0=3 1 变式8-l.已知角oa为第三象限角，且sino= 5’则sin2a= 3 【答案】器 【详解】因为角a为第三象限角，且sina= 可得cosa=-V-sin2a=-1-(-3=-4, 4 5 4、24 所以sin2a=2 2sins=2x(-3×(-3)-25 3 变式8-2.如图为四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为1，大正方形 的边长为5，直角三角形的两锐角分别为a,B(a<B),则加20 =() cos2β 16/37 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A昌 B.8 3 C. D. 24 【答案】D 【详解】不妨设直角三角形的直角边分别为a,b,且a<b,则b=a+1, 所以a2+b2=a2+(a+1)2=25,解得a=3(负值舍去)，所以b=4. 3 厨以sina3cosa=simB=4 5,所以cos2B=1-2sin2B=1-2× 5) ，sin2a=2 sina cosa= 24 25 25 则sin2a 24 cos2B 7 =一 1 变式8-3.已知a为锐角，且sina-cosa=5,则cos2a=（） 7 7 B. 25 C.25 D. 24 25 【答案】B 1 【详解】由sina-cosa= 1 5,两边平方得(sina-cosa)'=sina-2 sinacos+cosa=l-sin2a=25' 24 解得sin2a= 259 因为a为锐角，宜sina-e0sa>0,散sina>cosa,可得<a<),因此<2a< 4 即2a在第二象限，cos2a<0; 2 2 由同角三角函数关系sin22a+cos22a=1,得cos22a=1- 49 25 625 7 结合c0s2a<0,得c0s2a=- 25 》和差化积与积化和差 例9.若cosa+cos2a+cos3a=0且sina+sin2a+sin3a=0,则cosa= 【答架】支-05 【详解】解：由和差化积公式可得cosa+cos3a=2cos2 a cosa,sina+sin3a=2sin2 x cosa,分别代入到 17/37 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 原式中， cosa cos2a cos3a cos 2a +2 cos2a cosa cos 2a(1+2cosa)=0, 所以cos2a=0或1+2c0sa=0, sin a sin 2a sin 3a sin 2a +2sin 2a cosa sin 2a (1+2cosa)=0, 所以sin2a=0或1+2cosa=0, 若1+2cosa≠0，则cos2a=0且sin2a=0,无解， 因此1+2cosa=0,所以cosa 变式9-1.sin280°+sin240°-sin40cos10°=_ 【爷案)0为 【分析】 【详解】解法一：原式=cos210°+sin2(30°+10)-sin(30°+10)c0s10 =c0s210°+ 1 cos10 =c0s10°+c0s100+V5 in10°c0s10°+3sin210°- 2c0s10°- -sinl0°cosl0° 2 m710e+cow10）-子 解法二：原式=cos210°+c0s250°-c0s10°.c0s50°=(c0s10°-cos50)2+cos10°.c0s50° 2 =sin220°+ 1 3 22 1-c0s40°+号+c0s40° 2 2 故答案为： 变式9-2.学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： sinasino cwcopo(a)+c sinacosp-[sin()+sin( cosasinB-[sin(+)-sim(-)] 18/37 丽学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明： cosacos-[cos(+B)+cos(a-B)] (2)应用上面的公式解决下列问题：已知cos(a+B刷os(a-B)=2,求cosa-sinB的值： 【答案】(1)证明见解析 ② 【分析】 【详解】(1)根据余弦和角、差角公式 cosa+B）=cosacosB-sinasinB,cosa-β=cosa cosβ+sinasinβ， 将两式相加得cosa+B)+cosa-B)=2 cosacosB, 整理得oo+j+cosa-Bj] (2)对cosa+B)c0sa-B)套用(1)中公式：令A=a+B,B=a-B, 则lcoco=[cos4+B到+cos4-Bj]=os2a+cos2p, 由知cosa+pjcosfa--)=克，故cos2a+cos2pl=分即co2a+cos2B=1. 即2 ocsa--l+小-2sinp例=1，化简2得(cosa-sm例=1，即：osa-smp=2 变式9-3.己知f(0)=cos40+cos38,且0,02,8是f(0)在(0，π)内的三个不同零点，则 cos0,cos02 +cos0; 【答案】 【详解】由题意：cos40+c0s30=0,6∈0，π， 得：c0s40=-c0s30=c0sπ-30)， 所以40=π-30+2kπ或40=30-π+2kπ，k∈Z, 又90小，所以-号8=资8=贺 7 π，3元，5π 2π 4π. 6π cos +cos02 +cos;cos+cos -+cos- =-c0s7 +c0s 1 +c0s 7 7 7 7 -sincos2r, 7+cos 7(cos 4π， 6元 7+cos 7 Sin 19/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 6元 2 -2sinc 2-2 sinc4怀-2sin7c 7 7 7c0s7 Sin T 7 1 :3一s1n互十S2飞 2 7 -sin3+sim7π-sim 5π 7 7 1 sinπ 7 》三角恒等变换给角求值问题 例10.计算下列各式的值： 已知/(0) sin(元-0)cosπ+0)tan3π-0 cos 求到的值： 2 2)1+tan15 1-tan15' (3)sin210°+cos255°+V2sin10°cos55. 【答案】) 2 (2)5 (6 【分析】 【详解】1)f@)=如π-91eosx+0a3x-g.sn6-cs8-n .=-sin0 a- -sine 所(}m写}引如-9 (2) 1+tanl5°tan45°+tanl5° =tan(45°+15)=√3； 1-tanl5°1-tan45°tanl5° (3)sin10cos5sim10 cos55-sin1cosim10cos(451) =sin210°+ cosinc5cssin10) 2 =sin210-sin 20+sin10 os10sin10 √2 2 2 21 =sin210-sin2sin10cos1o-sin210 2 1-sin20°，1 2 sin20=1 2 20/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 变式10-1.求值： 1-3 tan10' =（) V1-cos 20 A.1 B.√2 C.3 D.22 【答案】D 【详解】原式 1-V5sin10° cos10°-cosl0°-V3sin10° √2sin210° √2sinl0°cos10° 2cos(10°+60）_2W2cos70°2W2cos(90°-20）_2√2sin20° =2√2 √2 sin20° sin20 sin20° sin20° 故选：D 【点晴】关键点点晴：解答本题的关键在于弦切互化以及三角恒等变换公式的运用，一方面需要利用 tanl0°= m10°以及辅助角公式将分子化为一个整体，另一方面需要利用二倍角的正余弦公式将分母化为 cos10° 一个整体 变式10-2.著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的0.618优选法”又称黄金分割法在 生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比1=5-l0.618还可以表示成2sin18,则 2 cos12+5an12=() t A.4 B.2 C.1 D.2 【答案】C 【详解】由题意知，t=2sinl8°， co12+v5an12-+5sn12_2sin18+5sn12 则1 C0s12 cos12 -2sn60-12+5sn12_2os12- sinl2)+√3sinl2 2 1 Cosl2° cos12 故选：C 变式10-3.求值： ()sin50°1+5tanl0）: (②)2cos242+sin75°c0s81-1 c0s6°-cos75°c0s81 【答案】()1； (2)2-√5 21/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 【i详解】(1Dsin50(1+V5ian10'）=sin501+5sim0)=sin50×os10+5sin10 cos10 cos10 =sin50°× 2sin(30°+10）_2sin40°cos40° sin80=1 cos10° cos10 cos10° (2) 2cos242°+sin75°cos81°-1cos84°+sin75°cos81°sin6°+sin75°cos81° c0s6°-c0s75cos81° cos6°-cos75°cos81°cos6°-cos75cos81° =sin(8'-75)+sin75c0s81=sin81cos75”_cos75°_c0s(45"+30) cos(81°-75)-cos75cos81°sin81°sin75°sin75 sin(45+30) cos45°cos30°-sin45°sin30° =2-√5 sin45°cos30°+cos45°sin30° 》三角恒等变换给值求值问题 2 例ll.若sin(a+β)=，且tana=3tanB，则sin(a-B)=() 3 A.I B. 1 c D. 2 6 3 【答案】B 【详解】因为tana=3tanB,所以sina cos B=3 cosa sin B, sin(+B)=sina cos+cossinB 听以sina coscosasin 所以sin(a-B)=sina cosB-cosa sinB=号 3 安式11.（多走》已知coa+)=-9s2a=,中aB为能角：则( 5 A.tan2d= B.tanc tan= 1 C.cos(a-B)=25 D.sina sin B= 3V5 5 10 【答案】CD 3 【详解】选项A,因为a为锐角，所以2ae0.,得sn2a-cos2a气an2a3n20-3 cos2a=4’A错 误 选顶B.因为aB为锐角，所以a+Be0,,sin(a+)=V-cosa+p=25 5 cosa-B)-cos[2-(+)]-co2acos(a+B)+in2asim(+)525 55 5x55 22/37 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 5 3v5 cosa+β)=cosacosβ-sinasinβ= sinasinB 10 →tana tanB= 灯 sinasin3=3,B错误： cos(a-B)-cosacos+sinsinp cosacos/β cosacosB 5 10 4 cos 2a cos'a-sin'a = sina =310 5→ 10 cos2a+sin2a =1 10 cosa 10 选项C,由B选项可知，C正确； 选项D,由B选项可知，D正确 A.- 1 B. D. 6 6 c 【答案】D 【i详解】cosa+=co-sina sin-V2 4 4 (cosa-sin a) o停j9eaa 2(cosa-sina)2=- 可得cou-ma-号 (cosa-sin a)2=cos2 a-2sin a cosa sin2a =1-sin 2a 所以1-sin2a=→sin2a=2 3 3 变式13.已知osa-B)-子sinin明-日则os(2a+2p=（） A. 4 B c D.2 【答案】C 3 1 【详解】因为cos(a-B)=cosa cosB+sina sinB=4,sinasinB= 8 所以coscB=5, 8 所以cosa+A=coco-sina sin p cos(2@+2B)=cos[2(a+B)]-2cos*(a+B)-1-2x1-1--1 4 2 》三角恒等变换给值求角问题 23/37 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 例12.（多选）已知sin0+√3cos0= 5 +1,0∈0， 则0=() 2cose 2 A食 B2 π C.g D. 【答案】AC 【详解】sin0+N5cos0=,5。+1s2sin0c0s0+25cos'0=V5+2c0s0, 2cos0 即sin20+V5(2cos20-)=2cos0,故sin20+√5cos20=2cos0, 由辅助角公式得2co20-君-2cos0,即cos20-君-cos0, 因为0e0,2)月 故28-兀=0或28-”+日=0，解得0=亚或0= 6 6 6 18 经检验，均满足要求 故选：AC 变式121.已知ama=弓amB=2,且a,Be0,x,则a+B的值为() B. 3π D. 7π 4 c 4 【答案】C 1 +2 、3 21, 【详解】an(a+创an c-tan2 3 又a,Be(0,π，tana<0,tanB>0, π3π 故a+B=5π 4 故选：C 变式12-2.在ABC中，若tanA、tanB是x的方程x2-px+1-p=0的两个实根，则角C= 【】 【详解】对于方程x2-px+1-p=0,则△=p2-41-p)=p2+4p-4>0,解得p<-2-2V2或 p>-2+2V2, 24/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 因为tanA、tanB是x的方程x2-px+1-p=0的两个实根， 由韦达定理可得tanA+tanB=p,tan Atan B=1-p, 所以，tan(A+B)=anA+tanB =1, 1-tan Atan B 1-(1-p) 因为0<4+8<，则4+B=年，故C-证 4 故答案为：3沉 变式123.已知0B经a<子m0-片me-9-49,则+9：一 【答案】写 0<B< 0<2B<π 2 _T<-B<0 【详解】依题意 4 4 a< 2 <2a<元 2 -2p<0 R<2a-B<T 所以 <a-2B< 所以sin(2a-B） 所以cos(a+B)=cos[(2a-B)-(a-2B)] =cos2a-βcosa-2β+sin2a-B)sin(a-2β】 =-Lx1+53451 -X 1471472 南于子<a+B子.所以a+B-骨 故答案为：写 》三角恒等变换的实际应用 例13.某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计 征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半 径为1Ocm,AB=BC=CD,BC∥AD,∠ABC=∠BCD=I20°.甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB 越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，AD=() 25/37 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 A.10cm B.10v2cm C.10v3cm D.5/6cm 【答案】B 【详解】过O点作OE⊥BC,分别交BC,AD于E,F两点，如图所示 B E 设∠A0F=0,则0F=10cos0,AD=20sin0, 由BC∥AD,∠ABC=∠BCD=120°，得AB=BC=CD=AD=10sin9, BE=BC=5sin0,EF=3BE=53sin0, 2 0B2=0E2+BE2=25sin20+(5V3sin0+10cos0)2=100+50V3sin20, 当20-受，即0=平时，0B取得最大值， 4 此时AD=20sin0=10√2cm. 故选：B 变式13-1，如图，AB为半圆的直径，AB=6,0为圆心，P是半圆上的一点，∠B0P=0(0°<0<90）， 将射线OP绕O逆时针旋转90到OQ,过P、Q分别作PM⊥AB于M,ON⊥AB于N. Q B (1)建立适当的直角坐标系，用Θ的三角函数表示P、Q两点的坐标： (2)求四边形PQNM面积的最大值， 【答案】(1)建系见解析，点P(3cos0,3sin0,点2(-3sin0,3cos0 26/37 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)9 【分析】 【详解】(1)如图，以AB所在直线为x轴，O为原点建立平面直角坐标系xOy, Q :∠B0P=0,圆的半径为3， NO MB衣 点P坐标为3cos0,3sin0,点0的坐标为3co0+}3sm0+》 ∴0坐标为-3sin0,3cos0). (2)0°<0<90°，.0°<20<180°， :四边形PQNw的面积5=0MP+O)-MN=3sin8+3cos0jx3cos0+3sn9)-1+2sin9cos0) 8+m9, :当20=90°时，即0=45时，Smx=9, :四边形PQNM的面积的最大值为9. 变式13-2.某养殖公司有一处矩形养殖池ABCD,如图所示，AB=40米，BC=20√3米，为了便于冬天给 养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带OE,EF,OF,考虑到整体规划，要求0是 边AB的中点，点E在边sC上，点F在边4D上，且∠BOF=受设∠80E=a D E 人C B (I)试将aOEF的周长I表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当tana=。时，求加温带EF的长： 2 (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带OE和0F上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米 增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最 低费用 27/37 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 【答案】(1)l= 20(1+sina +cosa) ,定义域为 sina·cosa 周 (2)EF=50 (3)BE=AF=20米时，照明装置费用最低，最低费用20000V2元. 【分析】 【详解】(I)在RtaB0E,RtaAOF中，由∠B0E=LAFO=a, 得0E=20 20 ,OF= cosa sina 12 又Rt△EOF中，由勾股定理得EF=VOE2+OF2 20 20 20 cosa sina sina·cosa 因1=0E+0F+EF=20+20 20 20(1+sina cosa) cosa sinasina·cosa sina·cosa π 当点F在点D时，此时a的值最小，a=二，当点E在点C时，此时a的值最大，a= 6 所以函数关系式为1 20(1+sina+cosa),定义域为6'3] ππ sina·cosa 20 (2)由(1)知EF= sina·coso 2 sina·cosa 因此sina·cosa= sin'a +cos'a tan'a+15' 于是EF=50 (3)依题意，要使费用最低，只需0E+OF最小即可， 由)得，OB+OF-20 (sina+cosa,a∈[ sina·cosa 63 设sina+cosa=t,则sina.cosa= t2-1 2 20t40t40 OE+OF-1-11- 1, 2 t ma+》由a[6引为沿sa+导沿 .π 12 412 0=s1n一メ、t/ V6+√2 6 4 64222 4 12 4 4 4 于是5+l≤152， 2 28/37 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 令f4=1-，函数f)=1-在(0，+∞上为增函数， 1 则当1=反时，0E+0F最小，且最小值为402此时a-妥 所以当BE=AF=20米时，照明装置费用最低，最低费用C=500(OE+OF)=20000W2元 变式13-3.如图，有一块矩形铁皮ABCD,其中AB=1(124),AD=4,阴影部分AMN是一个半径为3的 扇形.设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落 在BC与CD上的矩形铁皮POCR,使点P在弧N上.设∠MAP=9O≤0≤)，矩形POCR的面积的表达 式为f(): D P C M B ()当1=6时，设g0)=f0)-9sin6cos6+18sin0-in0,求g0的值域： 12 (2)当t=4时，求f(0)的最小值，并求出当f(0)取得最小值时，所对应的si0的值. 【答案】31 4 (②)最小值是？ 所对应的sin0的值是4+V5或4-v互 6 6 【分析】 【详解】(1) D R C EM B 过P作PE⊥AB,垂足为E,由题意可得：PE=3sin0,AE=3cos0, 所以PQ=AB-AE=t-3cos0,PR=AD-PE=4-3sin0 所以矩形P心R的面积0)=PR-Pm=(4-3sn0ju-3cos0j0s0s》 当1=6时， )-(4-3sin0)(6-3cos0)-9sin0 cos0+18sin0 12 sin0 29/37 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 24-12cos0-1sin0+sin cos0-9sincos+18sinsin 12 =2-cos0-1-cos0)=cos0-cos0+10≤0≤引 令cos0=u,因为0e 0,2 所以ue[0,1, 则函数y=2-u+1,其对称轴为w=2 1 4 当u=0或1时，yr=1,所以ge)∈ 即函数g(0)的值域为 (2)因为f10)=4-3sin81-3cos00≤0≤号 当t=4时，f(0)=(4-3sin0)(4-3cos0)=16-12(sin0+c0s0)+9sin0cos0 -16-12(sin0+cos0)+sin0+cos0)-1)-(sim0+co)-12(sim0+o) o0-+ 当且仅当sm0+cos0-手即s如0+1-0-1-sin0-（-sn小 2sin:08si血0+？=0，解得sin0=4+2或sin9=4-5时，等号成立. 31 0 6 6 所以了)的最小值是子，当f)取得最小信时，所对应的s血8的值是4+点度4一三 6 6 》向量与三角函数的综合 例14.已知向量i= sinx,sin2 x+》=(5cinx,函数f刘=2五-5，若函数=-m在 0,内有两个不同的专点，则实数m的取值范围为 【答案】V5+1,3列 【详解】八=2i-5=25sin2x+2n(+到}5-51-co2x+1sin2r-6 =1+2n2x-引，因为函数r=-在xe π 内有两个零点， 所以-m=0在x[0引内有两个实根，得1+2sin2x- -m=0, 30/37 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 即函数y=sin r-到在xe 上的图象与直线y=m-1 有两个交点， L 2 当x0引时，2x π_π2π 33'3 画出y=sinz在ze-33 π2π 上的图象如下， 结合函数图象可知，函数y=sin2x- 上的图象与直线y=m- 有两个交点时，所以m-1€ 2 2 即m的取值范围是[V5+1,3) v=sinz 2 π2πz 3 【点睛】 变式14-l.已知向量a=(cosx+sinx,V3cosx),b=(cosx-sinx,2sinx),记函数f(x)=a.b. 0)求函数f)在[0 上的取值范围： (2)若g(x)=f(x+t)为偶函数，求t的最小值 【答案】(1)[-1,2] @8 【分析】 【详解】(1)f(x)=a,万=(cosx+sinx)·(cosx-sinx)+2V3 sinxcosx=cos2x-sin2x+V3sin2x -cos2x+5 sin 2x-2m π 66 ≤1，f(x)的取值范围为[-1,2]. 6 (2)因为g)=x+0)=2s血2x+21+石)为偶函数， 所以2+名=a+ke1-红+keZ 6 26 因此当=0时r一君 变式14-2.已知向量a=(sinx,V3),=(cosx,1). (I)若a/i,求tanr的值： 31/37 函学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2设f)=(a-56产，xe0, π 求y=f(x)的取值范围。 【答案】()V5 (20,3] 【分析】 【详解】(1)因为a/b,则sinxx1-√5 xcosx=0,即sinx=√3cosx,得tanx=√3 (2)a-36=(sinx-3cosx,3-3x1)=(sinx-v3cosx,0) 所以f(x)=(a-V352=(sinx-V5cosx' sin2 x-2v3 sin x cosx+3cos2 x=1+2 cos2x-v3 sin 2x =2+cos2x-3sin2x=2+2 =2+2c0s2x+2 3 因为x∈0， 2 则cos 2+[-引22x-2. 因此f(x)e[0,3],即y=f(x)的取值范围为[0,3] 变式143.已知向量a=((sinx.inx6=(cos6c-背.cos,f)=a6,xeR. (I)求函数f(x)的对称中心： (2)设m∈R，讨论函数g(m)=fx)-V5m在(0，)上的零点的个数. 【答案】(（江+红，5 122’4 ),k∈Z Q当m≤0或m>时，g()在0，)上零点的个数为0：当0<m≤)或m=时，g)在0，)上零点的个 3 4 4 数为1：当m<时，8)在0子上零点的个数为2 3 4 2 【分析】 【详解】(1)依题意，f()=a.方=sinxcos(x-乃)+-sin xcos x=:sinx(-cosx+ -sin x)+sin x cosx 3 2 sin xcosx+si 3 3 3 -cos2x+ 2 sinxsin 2x+V3.1-cos2x 3 2 4 22 sin2r-V 4 4 4 32/37 品学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 6V3N3m2x-c0s2x)+3、V3 22 42 sin(2x 61 4 令2r-君红ke2,解x8+受eZ, 6 所以函数f()的对称中心为（工+红，5 122’4 ),kEZ. (2)由(1)知，g)=f)-V5m= imn(2.x -5m, 2 61 4 由g=0得，sn2x-名=2m分，令M)=n(2x-君· 6 则g在@子上零点的个数，即方程()=2m在0子上的解的个数。 由xe0,得2-e(-53. 6 66 鸟2xe(C时，函数x单调递增，此时h)=sin2xe() 6 6’2 6 ∈（心π）时，函数hx单调递减，此时h()=sin(2x-)∈ 6E2'6 6 ①当2m- ≤或2m->1,即m0或m>时，M=2m号在0上无解， 2-2 2 4 ②当- 11 。<2m- 或2m1,即0<m≤兮或m=-时，)=2m方在@，子上只有一解： 22 <1,即<m<2时，)=2m-在0，)上有两解 1 ③当<2m- 2 所以当m≤0或m>时，g)在0)上零点的个数为0： 当0<m≤)或m-子时，8()在(0，)上零点的个数为1： 当1 m 时，g)在(0上零点的个数为2 4 y=h(x) 2 y-22 3 2 高频易错归因清单 》向量夹角未共起点，直接计算号致错误 1.在边长为1的正方形ABCD中，P为BC的中点，则AP.DP=() 33/37 学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 1 C. 3 B. D. 4 4 【答案】D 【详解】 D AP.DP=(AB+BP)DA+AB+BP =(aB+BP .(-BP+AB =AB-Bp=1-1-3 44 2.在ABC中，AB=AC=1,D是AC边的中点，则BD.CD的取值范围是() . 【答案】B 【详解】因为BD-.D-(8c+而)而=8c.D+cD-8c.CD+} i设BC=x,则0<x<2,∠BCD=0,且cos∠BCD=cos0=}x, 2 则BD.CD=BCCDcos(π-∠BCD+}-cos0+}=-2+1 42 44 国为02，所以0<4，所以经即丽D司 4 》锐角、钝角判定缺少“不共线”条件 3.已知平面内两个不共线的向量ā和6，=2-2，且a和的夹角为写，若a+6与25-a的夹角为钝角， 则实数k的取值范围为() c(行 .((到 【答案】D 【详解】因为2-2，所以同=1，又：2，且a和石的夹角为写 34/37 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 所以āb=2×1x。=1, 由题意可知ā+b2kb-a<0,且a+b与25-a不共线， +列26-a小水<0，得指2k-4+2-1<0,解得k< 如果ā+万与25-a反向共线，则k=- 2 综上所述k∈ 4.己知点A1,1,B(m,3),O为坐标原点，则“OA和OB的夹角为锐角”是“m>-3”的() A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由OA和OB的夹角为锐角得m+3>0且 故“OA和OB的夹角为锐角”是“m>-3”的充分不必要条件 》模长计算漏开方或漏平方 5.若平面向量a,6,c共起点时两两夹角相等，且ad=1,b=2,c=3,则a+b+c=() A.5 B.6 C.3或6 D.√5或6 【答案】D 【详解】因为平面向量云，五，C共起点时两两夹角相等，所以夹角有两种情况， 即a,五，c两两夹角为0°或120°， 当夹角为0°时，a+6+c=l++=1+2+3=6: 当夹角为120°时，a-6=-1,6-c=-3,c-a=2 3 则a+万+d-a+6+c°=V后2+b2+c2+2a.6+2ac+2b-d +2+3+2x-+2x+2x-3=5 综上所述：a+b+c=6或a+b+c=V5 6.已知丰零向量a,石若云-2a6=子，且a+258,则1后-261的取值范周是《) A.[1,7刀 B.[2,6] C.[4-7,4+7]D.[3-7,3+V7] 【答案】A 35/37 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】因为ā+2b=8,所以a2+4b2+4ā.b=64, 又-2a5=子所以565-5，所以2a万=1g5都， 63 因为(aj≤2.2， 所以(sF,解海[6] 又1a-25=2+46-4a-6=(a-2a6+46-2a-万=46-7135+46-152-26， 263 3 所以a-2bPe[L,49],所以a-2b∈1,7] 》铺助角公式系数、角度、符号错误 7.已知o,B∈R,且满足cosa+cos(a-)=1,则cosB的取值范围是() A.( B. D.[ 3 【答案】B 【详解】由cosa+cos(a-β)=l,得cosa+cosa cos B+sina sin B=l, 1=(1+cos B)cosa +sin B sina=(1+cos B)2+sin2 B sin(a+p), 1+cosβ sin B 其中p由sinp= ,C0S0= V(1+cos B)2+sin2B (1+cos B)2+sin2 B 确定， 因此、0+o时+月≥1，.解得omsB之分 所以o心sB的取值范围是[】 8.函数f(x)=3sinx-4cosx的最大值是 ,f(x)取最大值时，sinx= 【答案】 5310.6 5 3 【详解】由fx)=3sinr-4cosx=5sin(x-p),cosp=亏，si血p=5' 4 又sin(x-p)∈[-l,1,所以函数f(x)的最大值是5， 此时sin(x-p)=1,则x-p=2k红+交，k∈Z, 即x=2x+2+9,keZ, 所以)取最大值时，snr=s如2x+受+p=sm任+p小-cosp号 》多角变换不会拆角 36/37 命学科网·上好课 www .zxxk.com 上好每一堂课 2 A.2⑤ B.-25 5 5 c n 【答案】A 【详解】由题意，- a< 2 2 元亚+0 3π 44 4 <+a<0, 44 om层o- 25 m任小m-任+j小任+)小29 10.已知cosa= 5ma-1-酒且aB0引则a2a-1:一则B=一 【答案】 7N2 10 4 【解】因为，引a-e(引 又sin(a-p)= 10 C0..0sa-B<sina=2v5 10 s,cos(a-B)-30 0 即可得sin(2a-B)=sin[a+(a-B)]=sina·cosa-B)+cosa·sin(a-B) 2W530510_72 51051010 又cosB=cos[a-(a-B)]=cosa·cos(a-B)+sina·sin(a-B) =5.3025.02 5105102 π 故答案为： 7N2π 10’4 37/37 专题02 向量的数量积与三角恒等变换 向量数量积基础概念 1.向量的夹角 将两个向量平移至同一起点，形成的角即为两向量的夹角，夹角范围。当，两向量同向；，两向量反向；，两向量互相垂直。 2.向量的数量积（内积） 设两个非零向量夹角为，则，数量积运算结果为实数。规定：零向量与任意向量的数量积为0。物理意义：力做的功可对应向量数量积运算。 3.投影向量 一个非零向量在另一向量上投影得到共线向量；数量积可理解为一个向量的模，与另一向量在该向量方向上投影向量的模的乘积。 向量数量积的性质与运算律 （一）核心性质（为非零向量，为单位向量，夹角为） 1.（垂直判定核心公式） 2. 3.向量同向：；向量反向：；特例：，常用来求向量模长。 4.夹角公式： 5.不等关系： （二）基本运算律 1.交换律： 2.数乘结合律：（为实数） 3.分配律： （三）夹角判定补充 （1）夹角为锐角且、不共线； （2）夹角为钝角且、不共线 向量数量积的坐标运算 设， 设， 1.数量积坐标公式： 2.向量垂直坐标判定： 3.向量的模： 4.两点间距离公式：若两点，则 5.夹角坐标公式： 两角和与差公式 1.余弦公式 ； 2.正弦公式 ； 3.正切公式 ； 重要提醒：正切公式要求均不等于；所有和差公式均可正用、逆用、变形使用。 二倍角公式及升降幂公式 1.二倍角核心公式 = 2.升幂、降幂公式（由余弦二倍角变形而来，化简高频考点） 升幂公式： ， 降幂公式： ， 辅助角公式 = 其中，的象限由的符号共同确定。 用途：将同角正、余弦线性式化为单一三角函数，常用于求最值、单调区间。 三角恒等变换拓展公式 1.半角公式 ＝±，＝±， 符号由所在象限决定。 2.积化和差、和差化积公式 （1）积化和差 ； ； （2）和差化积 ； ； （3）万能公式 ； ； 平面向量数量积的运算 例1．在 中， ， ，则 的值为_____. 变式1-1．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则________． 变式1-2．单位圆的内接，满足，则____． 变式1-3．在中，，是边上的两点，是三角形的重心，且．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 平面向量的模长问题 例2．已知向量，，且，则（    ） A． B．4 C． D．5 变式2-1．已知向量，的夹角为，且，则______． 变式2-2．已知点，点，则与同向的单位向量坐标为_________ 变式2-3．若向量，满足，，，则（   ） A． B． C．13 D．52 平面向量垂直问题 例3．不共线的两个单位向量，满足，若，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 变式3-1．如图，在中，，E在边AC上，且，若，，则________．    变式3-2．已知单位向量，满足，则（   ） A． B．0 C． D． 变式3-3．已知为坐标原点，平面向量，若点满足，且，则实数______． 平面向量的夹角问题 例4．已知向量与的夹角为，求： (1)； (2)与的夹角的余弦值． 变式4-1．向量，在正方形网格中的位置如图所示，则（   ） A．45° B．60° C．120° D．135° 变式4-2．已知向量满足，，，则（   ） A． B． C． D． 变式4-3．已知与的夹角为. (1)求； (2)求及； (3)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围． 平面向量的投影问题 例5．已知非零向量，满足，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（     ） A． B． C． D． 变式5-1．已知，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为___． 变式5-2．若，且向量在方向上的投影向量为，则（     ） A．3 B．2 C． D． 变式5-3．已知单位向量与，向量在方向上的投影向量为，且，若与的夹角的取值范围是，则的取值范围是__________. 平面向量的取值范围 例6．设点为边长为1的正六边形上一点，则的取值范围为______． 变式6-1．已知圆的半径为3，弦，是圆上的一个动点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．如图，在等腰梯形中，，，.点在线段上运动，则的取值范围是_______________. 变式6-3．如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸．博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物．某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为，设为线段上任意一点，则的取值范围是_____． 两角和与差的三角公式 例7．若，，且，，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式7-1．计算：________． 变式7-2．已知，，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式7-3．的值域为___________． 倍角公式与半角公式 例8．若，且为锐角，则（    ） A． B． C． D． 变式8-1．已知角为第三象限角，且，则_______. 变式8-2．如图为四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形的两锐角分别为α，β（），则（    ） A． B． C． D． 变式8-3．已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 和差化积与积化和差 例9．若且，则=__________． 变式9-1．_____． 变式9-2．学校数学兴趣小组的同学在阅读三角学相关著作时，发现书中有以下三角恒等式： (1)证明： (2)应用上面的公式解决下列问题：已知，求的值； 变式9-3．已知，且，，是在内的三个不同零点，则______. 三角恒等变换给角求值问题 例10．计算下列各式的值： (1)已知，求的值； (2)； (3). 变式10-1．求值：（    ） A．1 B． C． D． 变式10-2．著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”又称黄金分割法在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用经研究，黄金分割比还可以表示成，则（    ） A．4 B．2 C．1 D． 变式10-3．求值： (1)； (2). 三角恒等变换给值求值问题 例11．若，且，则（    ） A． B． C． D． 变式11-1．（多选）已知，其中为锐角，则（    ） A． B． C． D． 变式11-2．若，则（   ）. A． B． C． D． 变式11-3．已知，，则（    ） A． B． C． D． 三角恒等变换给值求角问题 例12．（多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式12-1．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式12-2．在中，若、是的方程的两个实根，则角_________________. 变式12-3．已知，，，则______． 三角恒等变换的实际应用 例13．某大学为了制作“迎新杯”篮球赛创意冠军奖杯，在全校学生中开展“迎新杯”篮球赛奖杯的创意设计征集活动.同学甲设计的创意奖杯如图1所示，从其轴截面中抽象出来的平面图形如图2所示，若圆O的半径为10cm，，，甲在奖杯的设计与制作的过程中发现，当OB越长时，该奖杯越美观，则当该奖杯最美观时，（    ） A．10cm B． C． D． 变式13-1．如图，为半圆的直径，，为圆心，是半圆上的一点，，将射线绕逆时针旋转到，过、分别作于，于． (1)建立适当的直角坐标系，用的三角函数表示、两点的坐标； (2)求四边形面积的最大值． 变式13-2．某养殖公司有一处矩形养殖池，如图所示，米，米，为了便于冬天给养殖池内的水加温，该公司计划在养殖池内铺设三条加温带，，，考虑到整体规划，要求是边的中点，点在边上，点在边上，且，设. (1)试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域； (2)当时，求加温带的长； (3)为增加夜间水下照明亮度，决定在两条加温带和上安装智能照明装置，经核算，两条加温带每米增加智能照明装置的费用均为500元，试问如何设计才能使新加装的智能照明装置的费用最低？并求出最低费用. 变式13-3．如图，有一块矩形铁皮，其中，，阴影部分是一个半径为的扇形．设这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在与上的矩形铁皮，使点在弧上．设，矩形的面积的表达式为． (1)当时，设，求的值域； (2)当时，求的最小值，并求出当取得最小值时，所对应的的值． 向量与三角函数的综合 例14．已知向量，函数，若函数在内有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________. 变式14-1．已知向量，记函数． (1)求函数在上的取值范围； (2)若为偶函数，求|t|的最小值. 变式14-2．已知向量，． (1)若，求的值； (2)设，，求的取值范围． 变式14-3．已知向量，． (1)求函数的对称中心； (2)设，讨论函数在上的零点的个数． 向量夹角未共起点，直接计算导致错误 1．在边长为1的正方形中，P为的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，，是边的中点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 锐角、钝角判定缺少“不共线”条件 3．已知平面内两个不共线的向量和，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知点，，O为坐标原点，则“和的夹角为锐角”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 模长计算漏开方或漏平方 5．若平面向量共起点时两两夹角相等，且，则（ ） A． B．6 C．3或6 D．或6 6．已知非零向量，，若，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 辅助角公式系数、角度、符号错误 7．已知，且满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数的最大值是_____________，取最大值时，____________． 多角变换不会拆角 9．已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知，且，则______，则______． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $