清单03 向量的数量积（考点清单，知识导图+9个考点清单&题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019）

清单03 向量的数量积 清单01 向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 清单02 数量积定义及投影向量 1、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 在上的投影向量为 清单03 数量积的性质及运算律 1、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 2、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 清单04 数量积的坐标运算 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: （3）向量的模:设,则 （4）两点间的距离公式:若,则 【考点题型一】根据定义、运算律求数量积（） 【例1】已知菱形的边长为是的中点，与相交于点，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】因为，则，，所以， 所以，所以， 故 . 故选：B 【变式1-1】已知为单位向量，其夹角为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为为单位向量，其夹角为，所以， 所以. 故选：B. 【变式1-2】记的外心为点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由条件可得， 又点为的外心，所以， 且， 所以， 且，即， 即， 所以. 故选：D 【变式1-3】（多选）设、、是三个非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是（   ） A． B． C．与垂直 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A选项，不妨设，，则， 由于、、是三个非零向量，且相互不共线，则不一定为零向量，A错； 对于B选项，作，，则，如下图所示： 因为、不共线，由三角形三边关系可得，即，B对； 对于C选项，易知为非零向量， 则， 所以与垂直，C对； 对于D选项，若，则，所以或，D错. 故选：BC. 【变式1-4】已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 【答案】 【详解】设等腰在边上的高为， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 . 故答案为：. 【考点题型二】向量的模（） 【例2】已知向量，的夹角为，且． (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1)-4 (2)或3. 【详解】（1）由向量，的夹角为，且， 得. （2）由（1）知，，由，得，即， 整理得，解得或， 所以的值是或3. 【变式2-1】已知向量，的夹角为60°，且，设，，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】一方面，因为，夹角为，，， 所以， 当时，取得最小值为，当时，取得最大值为， 故，所以是的充分条件. 另一方面，因为，夹角为，，，所以， 所以， 所以，即， 所以，故是的必要条件. 综述：是的充要条件. 故选：C. 【变式2-2】若存在单位向量，满足，，则的值为（    ）． A．1 B．或1 C．0 D．1或0 【答案】D 【详解】，是单位向量，则， ， 于是有，即，显然，则或1， 所以的值为为1或0． 故选：D 【变式2-3】已知平面向量，，，且与的夹角为，则 . 【答案】 【详解】因为，且与的夹角为， 所以， 所以. 故答案为： 【变式2-4】在中，已知，，和的夹角为，且． (1)若为的中点，求． (2)已知，若，求实数的值． 【答案】(1)0 (2) 【详解】（1）因为，，和的夹角为，且， 所以 因为为的中点，所以， 所以； （2）因为 ， 所以， 即有， 代入已知条件有，解得． 【考点题型三】向量的夹角（） 【例3】在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的三边分别为， ，， 因为，所以点是外接圆的圆心， 所以，， 所以，即， ，即， 所以，即， . 故选：A 【变式3-1】已知向量满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，在上的投影向量为，则， 所以，又， 所以，即与的夹角为． 故选：D． 【变式3-2】已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，， 所以， 则. 故选：A 【变式3-3】若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则与夹角的大小为 【答案】/ 【详解】由条件可知，，即，两边平方得， ， 所以， 又，两边平方得， 得，即. 故答案为： 【变式3-4】如图，在梯形中，，，，为线段上的点，满足，记，． (1)用，表示向量； (2)求的值； (3)设交于，求． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图，连接， 因为，， 所以， 因为，所以， 又， 所以， 所以. （2）由于，可得，又， 所以， 所以； （3）因为， 所以，故， 又， 又，故， 所以； 【考点题型四】向量垂直关系的判断与应用（） 【例4】已知向量，满足与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得，， 因此. （2）， 利用向量数量积的分配律得， 代入已知条件，得，即. 【变式4-1】已知是单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为向量是单位向量，且， 可得，可得， 则，又因为，可得， 所以与的夹角为. 故选：B. 【变式4-2】已知三个不共线的向量满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【详解】 如图，取，则，且分别与同向， ， 又， 而是以为底的等腰三角形，故在的角平分线上， 同理分别在的角平分线上， 所以O为的内心. 故选：A. 【变式4-3】已知平面向量，，，，且与的夹角为． (1)求的值； (2)若与（）垂直，求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）∵，，且与的夹角为， ∴， 故； （2）∵与（）垂直， ∴， 即，解得：． 【变式4-4】如图，在中，，点分别是的中点．设． (1)用表示； (2)如果，用向量方法证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）如图，由，可得． 又点E，F分别是AC，BC的中点， 则， ． （2）由，，可得，， 则， ， 故． 【考点题型五】投影向量（） 【例5】已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】D 【详解】因为在上的投影向量为单位向量，所以， 所以，所以， 设，，可得， 两边平方得，所以， 令，则，解得或， 当时，这时，此时，此时，不符合题意， 当时，即， 此时. 故选：D. 【变式5-1】已知为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在向量上的投影向量为： . 故选：C 【变式5-2】已知非零向量，，且，向量在向量方向上的投影向量为，则，夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设向量，的夹角为， 由题意知，则, 则，又， 则，即. 故选：A. 【变式5-3】已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且，的夹角为， 所以在上的投影向量为， ， 故选：C 【变式5-4】已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为．则的值为 ． 【答案】/ 【详解】已知，将其变形可得，即. 根据向量共线定理，可知与共线，所以，，三点共线. 因为点为的外心，则， 所以，即是直角三角形. 根据投影向量的定义求的值，， 可得，即， 又因为，所以，因为，所以. 的值为. 故答案为： 【考点题型六】向量的坐标运算（） 【例6】已知向量． (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若，求实数m的值； (3)求与夹角的余弦值． 【答案】(1)或； (2) (3) 【详解】（1）由，得， 则与共线的单位向量为， 所以或. （2）依题意，，， 由，得，即， 所以. （3）依题意，， 所以. 【变式6-1】（多选）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记．设，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BD 【详解】对于A，由于则，故A正确， 对于B，，故B正确， 对于C,，故C错误， 对于D, 在方向上的投影向量为，故D正确， 故选：BD 【变式6-2】设，，． (1)若，求． (2)若与共线，求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，， 若，则，解得，即， 可得，所以. （2）因为， 若与共线，则，解得，即 所以. 【变式6-3】已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为 【答案】且. 【详解】，当，则，解得， 且此时为共线同方向， 若与的夹角为锐角，则，且去掉同方向共线的情况， 则，解得， 则且. 故答案为：且. 【变式6-4】已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. (1)求； (2)求； (3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 【答案】(1)1 (2) (3). 【详解】（1）. （2）因为， 所以. （3）在方向上的投影向量为. 【考点题型七】数量积的最值范围（） 【例7】在中，，为所在平面上一动点，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】为所在平面上一动点，且， 所以在以为圆心，1为半径的圆上， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 故，设，， 则 ，其中， 故当时，取得最小值，最小值为-12， 当时，取得最大值，最大值为14， 故的取值范围为. 故选：B 【变式7-1】如图，在梯形中，，，，在线段BC上（含端点），则的取值范围为 . 【答案】 【详解】由，可得， 则 ， 可得， 又，所以， 过点作，垂足为，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向， 建立平面直角坐标系，如下图所示： 则，所以，； 设，则， 可得， 所以 ， 显然当时，取得最小值为，当时，取得最大值15； 因此的取值范围为. 故答案为： 【变式7-2】已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．3 【答案】D 【详解】由，可得， 设， 可得 ，所以， 因为，所以， 以与交点为原点，以所在的直线分别为轴和轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，， 设，且，则，，， 当时，. 故选：D.    【变式7-3】在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是 ；设点是线段上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】因为D为BC的三等分点（靠近C点），所以， 可得， 所以 ； 设， 所以， 可得 ； 可知当时，的最小值为. 故答案为：；； 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用平面向量的共线定理设出，再由向量的线性运算以及运算律计算可得结果. 【变式7-4】在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E. 且交AC于点F，则的最小值为 . 【答案】/0.55 【详解】设，取的中点连接，易知， 易知，则，， 同理，， 因为所以，又因为，所以， 所以 又因为， 所以 当时有最小值. 故答案为：    【考点题型八】向量模的最值范围（） 【例8】在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，即点到，，三点的距离相等， 可得为的外心，又由， 可得，所以， 同理可得，，所以为的垂心， 所以的外心与垂心重合，所以为正三角形，且为的中心， 因为，解得， 所以， 所以为边长为的正三角形， 如图所示，以为原点建立直角坐标系，则， 因为，可设，其中,， 又因为，即为的中点，可得， 所以． 即的最大值为． 故选：B． 【变式8-1】设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则 . 【答案】4 【详解】方法一：如图，当变化时，起点为，终点在上运动， 故的最小值为，由图可得：； 方法二：由题意可知，，令， 因为，所以恒大于零， 所以当时，取得最小值2， 所以，化简得，所以. 故答案为：. 【变式8-2】如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，的反向延长线与单位圆交于点，则， ， 所以， 又由题意的最大值是，最小值是2，而在单位圆上， 因此的最大值是，最小值是，即所求值域是． 故选：B．    【变式8-3】已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】取的中点，则， 又，又因为， 故三点共线，即点在中线上运动， 在正三角形中，， 又，，则， 故. 故答案为： 【变式8-4】在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】过点作⊥于点， 因为等腰梯形中，， 所以，由勾股定理得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 是腰的中点，故， 所以， 设，，， 则，故，， 故， ， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 【考点题型九】新定义问题（） 【例9】定义：，其中为向量的夹角.若，则（    ） A．8 B．16 C． D． 【答案】B 【详解】 因为，所以. 故选：B. 【变式9-1】设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由题意可知，， 由平面向量数量积的定义可得， 设，，则， 所以， 即，即，且有， 设，，则， 因为为的中点，则， 因为为的中点，则， 同理可得， 所以， ， 因为 ， 其中为锐角，且，故的最大值为. 故答案为：. 【变式9-2】如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.对于平面内任意一点，若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.定义为在坐标系中的“绝对距离”.已知平面内点，若，则 ；若，则的最大值为 .    【答案】 【详解】因为，所以，又是单位向量，且， 则， 由，得到. 当同号时，不妨设同正，则， 所以，当且仅当时取等号， 当异号时，不妨设，令，则， 所以，当且仅当时，等号成立. 又当时，易知， 综上，的最大值为. 故答案为：，. 【变式9-3】在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【详解】（1）因为， 可得：． （2）（ⅰ）证明：因为 ， 且，则， 所以． （ⅱ）已知，则． 因为， 所以， 则可得：． 又因为， 所以，即． ， 将代入上式可得：． 设与的夹角为，， 根据向量的夹角公式． 因为， 所以． 因为，且，所以． 与的夹角为， 则． 【变式9-4】现定义一种新的运算：.已知两个不共线向量与的夹角为，且. (1)求的值： (2)若与垂直，求的值； (3)若，当时，求的最小值，并求出此时与的夹角. 【答案】(1) (2) (3)，夹角为 【详解】（1）由题意可得： ， 因此可得. （2）由题意可知， 由（1）可知，因此， 所以， 故. （3）由,可得， 所以， 易知当时，，此时， 所以， 可得， 又因为，所以与的夹角为. 30 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 向量的数量积 清单01 向量的夹角 （1）如图,已知两个非零向量,O是平面上的任意一点,作,则叫做向量与的夹角. 显然,当时,与同向;当时,与反向. （2）如果与的夹角是,我们说与垂直,记作. 清单02 数量积定义及投影向量 1、向量数量积的定义 已知两个非零向量与,它们的夹角为,我们把数量叫做向量与的数量积(或内积),记作,则 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2、向量的投影向量 （1）如图（1）, 设是两个非零向量，，作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为得到，则称上述变换为向量在向量投影，叫做向量在向量上的投影向量. （2）如图（2）,在平面内任取一点O,作,过点作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量. （3）设与方向相同的单位向量为,与的夹角为,对任意的,都有 在上的投影向量为 清单03 数量积的性质及运算律 1、向量数量积的性质 设向量与都是非零向量,它们的夹角为,是与方向相同的单位向量,则 （1）；（2）；（3）； 【注】当与同向时, ；当与反向时，. （4）；（5）或 2、数量积运算的运算律 （1）；（2）；（3） 清单04 数量积的坐标运算 设向量, （1）数量积:两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和,即 （2）向量垂直: （3）向量的模:设,则 （4）两点间的距离公式:若,则 【考点题型一】根据定义、运算律求数量积（） 【例1】已知菱形的边长为是的中点，与相交于点，则（    ） A． B． C．1 D． 【变式1-1】已知为单位向量，其夹角为，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式1-2】记的外心为点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）设、、是三个非零向量，且相互不共线，下列命题正确的是（   ） A． B． C．与垂直 D．若，则 【变式1-4】已知中，，，点在线段上，且，则的值为 . 【考点题型二】向量的模（） 【例2】已知向量，的夹角为，且． (1)求； (2)若，求的值. 【变式2-1】已知向量，的夹角为60°，且，设，，则p是q的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式2-2】若存在单位向量，满足，，则的值为（    ）． A．1 B．或1 C．0 D．1或0 【变式2-3】已知平面向量，，，且与的夹角为，则 . 【变式2-4】在中，已知，，和的夹角为，且． (1)若为的中点，求． (2)已知，若，求实数的值． 【考点题型三】向量的夹角（） 【例3】在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知向量满足，，且在上的投影向量为，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，与的夹角为，则与夹角的大小为 【变式3-4】如图，在梯形中，，，，为线段上的点，满足，记，． (1)用，表示向量； (2)求的值； (3)设交于，求． 【考点题型四】向量垂直关系的判断与应用（） 【例4】已知向量，满足与的夹角为． (1)求； (2)若，求k的值． 【变式4-1】已知是单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知三个不共线的向量满足，则O为的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【变式4-3】已知平面向量，，，，且与的夹角为． (1)求的值； (2)若与（）垂直，求的值． 【变式4-4】如图，在中，，点分别是的中点．设． (1)用表示； (2)如果，用向量方法证明：． 【考点题型五】投影向量（） 【例5】已知向量，满足，且在上的投影向量为单位向量，则（   ） A．1 B． C．3 D．2 【变式5-1】已知为单位向量，当向量的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】已知非零向量，，且，向量在向量方向上的投影向量为，则，夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】已知，，且，的夹角为，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式5-4】已知点O为的外心，且向量，，若向量在向量上的投影向量为．则的值为 ． 【考点题型六】向量的坐标运算（） 【例6】已知向量． (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若，求实数m的值； (3)求与夹角的余弦值． 【变式6-1】（多选）如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与x轴、y轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记．设，则（   ） A． B． C． D．在方向上的投影向量的坐标为 【变式6-2】设，，． (1)若，求． (2)若与共线，求与夹角的余弦值． 【变式6-3】已知向量，，若与的夹角为锐角，则x的取值范围为 【变式6-4】已知与是平面内的两个向量，，，与的夹角为. (1)求； (2)求； (3)在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 【考点题型七】数量积的最值范围（） 【例7】在中，，为所在平面上一动点，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在梯形中，，，，在线段BC上（含端点），则的取值范围为 . 【变式7-2】已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最大值为（    ） A．0 B． C． D．3 【变式7-3】在中，，，，为的三等分点（靠近C点）.则的值是 ；设点是线段上的动点，则的最小值为 . 【变式7-4】在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E. 且交AC于点F，则的最小值为 . 【考点题型八】向量模的最值范围（） 【例8】在平面内，定点满足，，动点P，M满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】设为两个非零向量的夹角，且，已知对任意实数的最小值为2，则 . 【变式8-2】如图，边长为4的正方形中心与单位圆圆心重合，M，N分别在圆周上，正方形的四条边上运动，则的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【变式8-3】已知正三角形的边长为2，点满足，且，，，则的取值范围是 . 【变式8-4】在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为 ；若是腰上的动点，则的最小值为 ． 【考点题型九】新定义问题（） 【例9】定义：，其中为向量的夹角.若，则（    ） A．8 B．16 C． D． 【变式9-1】设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为 . 【变式9-2】如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.对于平面内任意一点，若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标.定义为在坐标系中的“绝对距离”.已知平面内点，若，则 ；若，则的最大值为 .    【变式9-3】在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 【变式9-4】现定义一种新的运算：.已知两个不共线向量与的夹角为，且. (1)求的值： (2)若与垂直，求的值； (3)若，当时，求的最小值，并求出此时与的夹角. 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$