专题03 向量的数量积（考点清单，9题型解读）-2023-2024学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教B版2019必修第三册）

清单03 向量的数量积 【考点题型一】两个向量的夹角 1、向量夹角的定义：给定两个非零向量，，在平面内任选一点，作，，则称内的为向量与向量的夹角，记作． 2、向量夹角的性质：当时，与同向；当时，与反向． 【例1】（23-24高一下·上海·期中）在正方形中，向量与向量的夹角是 ．（用弧度制表示） 【变式1-1】（22-23高一下·甘肃兰州·期末）等边三角形中，与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）在正六边形中，向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（22-23高一下·江西上饶·月考）在等腰梯形 中，，，则下列各组向量夹角为的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【考点题型二】向量的数量积 1、数量积的定义 （1）定义：一般地，当与都是非零向量时，称为向量与的数量积(也称内积)； （2）记法：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0； （3）由定义可知，两个非零向量与的数量积是一个实数，这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。 2、数量积坐标运算的技巧 （1）进行向量的数量积运算时，通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，然后直接进行数量积的坐标运算；二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开，再依据已知条件计算； （）2在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，一般先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积。 【例2】（23-24高一下·广东东莞·月考）已知向量，，则（    ） A． B．1 C． D．2 【变式2-1】（23-24高一下·河北石家庄·月考）在中，，，，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【变式2-2】（23-24高一下·辽宁辽阳·月考）若单位向量、、满足，，则（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【变式2-3】（23-24高一下·辽宁本溪·期中）如图，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，设初始正方形的边长为2，则（    ）    A．0 B．4 C．5 D．6 【考点题型三】向量的投影 1、投影与投影向量：设，是两个非零向量，，， 考虑如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量． 在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且． 2、数量积的几何意义：数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积。 投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是非负数，也可能是负数。 3、求向量的投影（或其数量）的关注点和计算方法： （1）关注点：注意在上的投影与在上的投影不同，审题时要看清； （2）向量在所在直线上的投影是一个向量，向量在所在直线上的投影的数量是一个实数； 【例3】（23-24高一下·江西·月考）若向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 ． 【变式3-1】（23-24高一下·四川·期中）已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·广东佛山·月考）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（22-23高一下·四川成都·期末）已知，，，，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】利用数量积求向量的夹角 若求向量与的夹角，利用公式，当向量的夹角为特殊角时，再求出这个角。 【例4】（23-24高一下·福建厦门·月考）已知，则与夹角的余弦值为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式4-1】（23-24高一下·河南信阳·月考）已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一下·江苏·月考）在任意四边形中，点，分别在线段，上，且，，，，，则与夹角的余弦值为 ． 【变式4-3】（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知，，，，且. （1）求的值； （2）求向量与向量夹角的余弦值. 【考点题型五】根据两个向量夹角成锐角或钝角求参数 非零向量与的夹角与向量的数量积的关系 （1）若为直角，则充要条件为向量，则转化为； （2）若为锐角，则充要条件为向量，且与的夹角不能为0（即与的方向不能相同）； （3）若为钝角，则充要条件为向量，且与的夹角不能为（即与的方向不能相反）； 【例5】（23-24高一下·天津·月考）已知平面向量满足与的夹角为60°，若与的夹角为钝角，则满足条件的的取值范围为 . 【变式5-1】（23-24高一下·