常见的数学模型十 PA±kPB型最值问题-【崇文阁】2026中考数学常用十大模型

常见的数学模型十PA±kPB型最值问题 模型01“胡不归”问题 「数学建模」 在中考时，我们常常会遇到另一种类型的求两条线段和的最值问题，这种问题的特征是其中 条线段的长有一个系数色的值比较常见的有号·受，停等，这就是著名的“制不归间题这种 问题通常需要将PB放在一个新作的直角三角形中，通过三角函数转化为另外一条线段的长，再 通过这条线段与PA共垂线来解决， 已知点B和直线1上一点A,在直线1上找一个动点C,使BC+号AC的值最小.在直线1异 侧作∠CAE=45°，过点C作CF⊥AE于点F,易知CF=AC.显然，当CF与BC共线时，BC+ 2 AC的值最小.过点B作AE的垂线，垂足为点D,BD交AC于点C,C就是所求的点. 定点B 定点B 定点A45°℃动点C 定点A 动点C D、 f、E 当取2时，即在直线1上找-个动点C,使BC+AC的值最小时，只要作∠CAE-30即可解决 定点B C 定点4、30° 动点C 「模型运用」 1.在平面直角坐标系中，已知点A(3W3),P为x轴上的一动点，当AP+0P的值最小时，点P 的坐标为 2.如图，四边形ABCD是菱形，AB=4,∠ABC=60°，M为对角线BD上一点，则AM+2BM的最 小值为 44 3.直线y=专x与抛物线y=(x一3)2-4m十3相交于A,B两点（其中点A在点B的左侧），与抛 物线的对称轴相交于点C,抛物线的顶点为D(点D在点C的下方)，设点B的横坐标为t. (1)求点C的坐标及线段CD的长（用含m的代数式表示）. (2)写出m关于t的函数表达式（不需写出t的取值范围）. (3)若CD=CB. ①求点B的坐标 ②在抛物线的对称轴上找一点F,使BF+3CF的值最小，则满足条件的点F的坐标是 备用图 模型02“阿氏圆”问题 「数学建模」 在求PA十kPB(0<k<1)型最值问题时，常常会遇到点P的运动轨迹是一个圆（设为半径是 ,的⊙0，并且该圆的圆心到P,B两点的距离之比为灰的情况（部-或B=),这时就需要我 们建立“阿氏圆”模型，通过A字型相似三角形，将PB向PB转化，并通过三点共线来解决， 如图，已知点A和点B和半径为r的⊙0，其中B0,P是⊙0上一点，求 PA+PB的最小值. 作出APOB,在0n上截取点M,使特别-8器=，由A字型相似易得 PM=PB.连接AM,则AM与⊙O的交点即为PA十kPB取最小值时点P所 在的位置，AM的长就是PA十kPB的最小值. 45 「模型运用」 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2,以C为顶点的正方形CDEF可以绕点C自由 转动，且CD=区.连接AP,BD,AD,在正方形CDEF旋转的过程中，BD+号AD的最小值为 第4题图 第5题图 5.已知扇形COD中，∠COB=90°，OC=6,OA=3,OB=5,P是CD上一点，则2AP+PB的最小值 为 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4,CA=6,⊙C的半径为2，P为圆上一动点，连接 AP,BP.求下列各式的最小值： (1)AP+zBP; (2)2AP+BP; (3)3AP+BP; (4)AP+3BP. 46:DM=√(1-0)2+(4+2)z=√37， .MH+DH的最小值为√37. 6.80° 7.6√2 8(,4) 9.解：存在 如答图，作点E关于CD的对称点E',作 点F关于BC的对称点F',连接EF',交 BC于点G,交CD于点H,连接FG,EH. 则FG=FG,EH= D... EH,则此时四边形 EFGH的周长最小. 由题意，得BF=BF G =AF=2,DE'=DE p =2,∠A=90°， 答图 AF=6,AE=8,.EF'=10,EF 2√5， .四边形EFGH的周长的最小值=EF +FG+GH+HE=EF+E'F'=25 +10, 10.作法一：如答图1，将点A向右平移长度 d得到点A',作A'关于直线l的对称点 A",连接A"B,交直线l于点N,将点N 向左平移长度d,得到点M A M R A A 答图1 答图2 作法二：如答图2，作点A关于直线1的 对称点A1,将点A1向右平移长度d得 到点A2,连接A2B,交直线1于点N,将 点N向左平移长度d,得到点M 原理：两点之间，线段最短，最小值为A” B(或A2B)十MN. 11.解：(1)设点A,B的坐标分别为(t,0), (t+4,0), 则-1=之（十什40，解得1=-3， .点A,B的坐标分别为（一3,0），(1， 0). .OC=OA,.点C(0,3), “抛物线的表达式为 y1=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3), ∴.-3a-3,解得a--1, y1=-x2-2x十3. 根据图形的对称性得y2=x2+2x一3， (2)作点D关于12的对称点D(2,一3) 将点F向右平移2个单位(MN=2)得 点F(一4,0)，连接D'F'交直线I2于点 N,过点N作NM⊥1于点M,连 接FM. .'FF∥MN,FF=MN, .四边形FFNM是平行四边形 ..EM-F'N. D D ,.FM+MN+DN的最小值为FN+ND +MN=FD'+2=√(2+4)2+3+2 =3√5+2 12.解：(1)由抛物线的表达式知OC=4, ,tan∠CBA=4,∴.OB=1,∴.点B(1 0), 88」 由题意，得a一6十4仁6，解得a=一1， 1a+b+4=0, 1b=-3, .抛物线的表达式为y=一x2一3x十4. (2)由抛物线的表达式，知点A,B,C的 坐标分别为（一4,0），(1,0)，(0,4)，则 点F(22 由点A,C的坐标得直线AC的表达式 为y=x+4. 设点P(x,一x2-3x十4)，则点D(x,x 十4)， 则PD=一x2-3x+4一x一4=一x2 -4x. 当x=一2时，PD取得最大值，此时点 E(-2,0),D(-2,2),.MN=2, 将点A向右平移2个单位得到点A'(一 2,0),连接A'F交y轴于点N,过点N 作NM⊥PE,连接AM, 则四边形MNA'A为平行四边形 ..AM-A'N. ∴.AM+MN+NF的最小值为A'N+ MN NF -2+A'F-2+ √(+2)+2-2+ 2 13.C 14.4 常见的数学模型十PA士kPB型 最值问题 【模型运用】 1.(2,0) 2.2√3 3.解：(1).抛物线y=(x一3)2一4m十3的 对称轴为直线x=3, “在y=专x中，令x=3,则有y=专× 3=4, .点C的坐标为(3,4) ,抛物线y=(x一3)2一4m十3的顶点D 的坐标为(3，一4m十3)，点D在点C的 下方， ∴.CD=4-(-4m+3)=4m十1. (2):点B在直线y=专x上，且其横坐 标为t, “点B的坐标为(，号) 将点B的坐标代入抛物线方程y=(x一 3》-4m+3,得=（-3）2-4m+3, 整理得m一子-名+3. (3)①依照题意画出图形，如答图1所 示.过点C作x轴的平行线，过点B作y 轴的平行线，相交于点E. :N/ E C 答图1 答图2 :直线BC的函数表达式为y=3x, “易知BE=号CE 由勾股定理，得BC=√CE十BE= CE. .CD=CB, m+1=号-3， 由2)，得4m=(一3-号+3 -3)2-号+3+1=号4-3， 化简，得t2-9t+18=0, 解得41=3（不合题意，舍去），t2=6, 号×6=8， .此时点B的坐标为(6,8) ②(.翠)】 4.W5 5.13 6.解：(1)如答图1，取CE的中点F,连接 PF,AF. 答图1 答图2 .CF=1,CB=4,CP=2, 又∠PCF=∠BCP, .△PCF∽△BCP, B品=PF=PB, PF CF 1 AP+PB-AP+PF, ∴.当A,P,F三点共线时，AP十PF的值 最小，最小值为AF的长. .AF=WAC+CF=√37， “AP+号BP的最小值为V37. (2):2AP+BP=2(AP+2BP） ∴.2AP+BP的最小值为2√37 (3)如答图2，在DC上取一点G,使CG= 号DC=号，连接BG, 2 咒器 又∠ACP=∠PCG, ∴.△CGP△CPA, 8-咒含，Gp=专AP, 号AP+BP=GP+BP, ∴.当B,P,G三点共线时，GP十BP的值 最小，最小值为BG的长， BG=/BC+CGT-148_237 3 “3AP+BP的最小值为2Y3☑ 3 (④)：AP+3BP=3(号AP+BP） .AP+3BP的最小值为2√37