常见的数学模型五 弦图模型-【崇文阁】2026中考数学常用十大模型

常见的数学模型五 弦图模型 模型01内弦图 「数学建模」 如图1，在正方形ABCD中，AE⊥BF于点E,BF⊥CG于点F,CG⊥DH于点G,DH⊥AE于 点H,则有结论：△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH;四边形HEFG是正方形，且中心与正方形 ABCD的中心重合；设这四个全等的小直角三角形的短直角边长为a,长直角边长为b,则 S正方形ABcD=a2十b2,S正方形BrGH=(b一a)2. H 图1 由弦图可以得到局部弦图，如图2~4. 如图2，在Rt△ABH中.∠ABH=90°，BE⊥AH于点E,则△ABE∽△BHEp△AHB. 如图3，在Rt△QBM和Rt△BLK中，QB=BL,QM⊥BK,则△QBM≌△BLK. 如图4，在Rt△QBM和Rt△BLK中，QB=BL,QB⊥BL,则△QBM≌△BLK. 「模型运用」 1.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以AB,AC向外作正方形ABDE.正方形ACFG,连接 EG.若AB=12,BC=16,则△AEG的面积为 B B 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，以Rt△ABC的斜边BC在△ABC同侧作正方形BCEF,该正方形的中心为点O,连接 AO.若AB=4,AO=6√2，则AC的长为 3.如图，四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD上，连接CE,将CE绕点E按逆时针方 向旋转90°，得到EF(点D,F在直线CE的同侧)，连接BF.若AE=1,则BF= 22 4.如图为著名的“赵爽弦图”，我国古代数学家赵爽利用它证明了勾股定理.它 由四个全等的直角三角形拼接得到正方形ABCD与正方形EFGH.现连接 AC,若∠DAC恰好被AH平分，且已知EF=3,则正方形EFGH的面积是 ,正方形ABCD的面积是 5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB,AC为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG,连接CE,BG,EG (1)判断CE与BG的关系，并说明理由. (2)若BC=3,AB=5,求△AEG的面积. 模型02外弦图 「数学建模」 如图1，在正方形ABCD中，E,F,G,H分别是正方形ABCD各边上的点，且四边形EFGH 是正方形，则有结论：△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH;设这四个全等的小直角三角形的短直 角边长为a,长直角边长为b,则S正方形ABcD=(a十b)2,S正方形rcH=a2十b2. 如图2，由外弦图可以得到半弦图，它包含了一线三垂直，DC=2(a2十b2) 图1 图2 B 第6题图 第7题图 『模型运用」 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE,且正方形的对角线 相交于点O,连接OC.已知AC=5√2，OC=12,则BC的长为 () A.7 B.72 C.√38 D.2√10 23 7.如图，△BCD为等腰直角三角形，∠CBD=90°，点A在Rt△BCD的外部，∠BAC=45°.若 S△acD=4.5,则AC的长为 8.[2024·齐齐哈尔]综合与实践 如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦 图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”.如图2，在△ABC中，∠A=90°， 将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD,作DE⊥AB交AB的延长线于点E. 朱实 朱实 未实 黄实 朱实 图1 图2 图3 (1)【观察感知】如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是 (2)【问题解决】如图3，连接CD并延长，交AB的延长线于点F,若AB=2,AC=6,求△BDF的 面积； (3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接CE交BD于点N,则 BC (4【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线AB上找一点P,使1an∠BCP=号，请直接写出线段AP 的长度 24 模型03拓展 「数学建模」 由半弦图经变化，可以通过一线三等角得到等腰三角形内的一对相似三角形，如图所示。 460°60°60 「模型运用」 9.如图，等边三角形ABC的边长为3，点P在边BC上，BP=1,D为边AC上一点.若∠APD= 60°，则CD的长为 () A司 C.1 3 0. 000 M 第9题图 第10题图 10.如图，在四边形ABCD中，M为BC边的中点.若∠B=∠AMD=∠C=45°，AB=8,CD=9,则 AD的长为 11.如图，在等腰直角三角形ACB和等腰直角三角形DCE中，∠ACB=∠DCE=90°，连接AD, BE,点I在AD上. (1)若IC⊥BE,求证：I为AD的中点. (2)若I为AD的中点，求证：IC⊥BE. 25③当点D在点H右侧，且在HC的延长 线上时，如答图3 此时只有∠CEF=90 ∠DEF=60° .∠CED=30°. .∠ECH=60°， .∠EDC=CED=30°， ∴.CD=CE=2√3， ∴.BD=6+2√5 A H 答图3 综上，BD的长为6-√3或6+2√5 9.解：(1)猜想BD=CE.理由如下： ,△ABE和△ACD都是等腰三角形，且 ∠BAE=∠DAC, .AE=AB,AC=AD,∠EAB+∠BAC =∠BAC+∠CAD, .∠EAC=∠BAD, ∴.△EAC≌△BAD(SAS) ..BD=CE. (2)以AB为边向外作等边三角形ABE, 连接CE,如答图1， 答图1 答图2 ..BE=AB=4,∠EBA=60°， ∴.∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°， 由勾股定理得：CE=√BE+BC=5 (cm). 由(1)知BD=CE .BD=5 cm. (3)如答图2，以AB为边在其右侧作等 腰三角形BAE,且AB=AE,∠BAE =120°， .∠ABE=∠E= (180°-∠BAE) 1 =30°. .∠ABC=30°， ∴点C在BE边上 ,△ABE和△ACD都是等腰三角形，且 ∠BAE=∠DAC=120°，AE=AB,AC -AD, .∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC, .∠EAC=∠BAD, ∴.△ADB≌△ACE(SAS), .BD=CE. 过点A作AF⊥BE于点F,则BE =2BF. ,∠ABC=30°， ∴.BF=ABcos30°=2√3(cm), ∴.BE=2BF=4√3(cm), .BD=CE=BE-BC=(43-3)cm. 10.解：(1)EF-DF+BE (2)成立.证明如下：延长CB到点G,使 BG=DF,连接AG,如答图1. 答图1 答图2 .∠B=∠D=90°，∠ABG=∠D 841 AB=AD,BG=DF, .△ADF≌△ABG(SAS), .AG=AF,∠GAB=∠DAF .∠EAF=60°，∠BAD=120°， .∠BAE十∠DAF=60°， .∠GAE=60°」 AE=AE, .△AGE≌△AFE(SAS) ..GE=EF, ..EF=GB+BE=DF+BE. (3)延长CB到点H,使BH=DF,连接 AH,如答图2，则∠ABH+∠ABC =180°. ,∠ABC与∠D互补， .∠ABC+∠D=180° ..∠ABH=∠D. .AB-AD,BH-DE, .△ADF≌△ABH(SAS), .AH=AF,∠HAB=∠DAF :∠EAF=∠BAD, .∠BAE+∠DAF=∠EAF, .∠HAE=∠FAE. .'AE=AE ,.△AHE≌△AFE(SAS) .HE=EF, ∴.EF=HB+BE=DF+BE, .△CEF的周长为CF+EF+CE=CE +CF+BE+DF=CB+CD=6+c. 常见的数学模型四 中点问题四大模型 【模型运用】 1./142.23.A4.√2+1 5.(1)证明：，∠ACB=90°，点M为边AB 的中点， ∴.MC=MA=MB ∴.∠MCA=∠A,∠MCB=∠B. :∠A=50°， ..∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°， ∴.∠EMC=∠MCB+∠B=80° .∠ACE=30°， ∴.∠MEC=∠A+∠ACE=80°， ∴.∠MEC-∠EMC, ..CE=CM. (2)解：AB=4, .CE=CM=AB=2. EF⊥AC,∠ACE=30°， ∴.FC=CE·cos30°=√3 6.号7.6 8.解：【数学知识】32 【数学应用】：AB=AC,AE=AF,AD AG分别为△ABC和△AEF的中线， .∠DAC= 2 ∠BAC,∠EAG= 合∠EAF, '.∠DAG=∠DAC+∠CAE+∠EAG= ∠BAC+∠CAE+是∠EAF=司 ∠BAF+2∠CAE. ,∠BAF=110°，∠CAE=24°， ∴.∠DAG=55°+12°=67°. 【拓展】45 9.号10.6.5 11.(1)证明：如答图，延长BC,交AF的延 长线于点G. 四边形ABCD是正方形，.AD= BC,AD∥CG,∴.∠DAF=∠G. 又.AF平分∠DAE, .∠DAF=∠EAF, ∴.∠G=∠EAF, ∴EA=EG ,F为CD的 中点， ..CF=DF. 又∠DFA= 答图 ∠CFG,∠FAD=∠G, ∴.△ADF≌△GCF(AAS), ∴.CG=AD=BC=BE+CE, ..EG=CE+CG=BE+2CE, ..AE=BE++2CE. (2)解：设CE=a,BE=b,则AE=2a十 b,AB=a+6. 在Rt△ABE中，AB2+BE=AE, 即(a十b)2+b2=(2a+b)2, 得b=3a,b=一a(舍去)， 暖 a十b=4. 12.(1)B(2)2<AD<10 (3)证明：①如答图1，延长AD到点G, 使DG=AD,连接BG. ,AD=DG,∠ADC=∠GDB,CD =DB, .△ADC≌△GDB(SAS) .AC=BG,∠DAC=∠G AF=EF,∴.∠AEF=∠EAF. ∠AEF=∠BEG,∴.∠BEG=∠G, ..BE=BG,..AC=BE. A 答图1 答图2 ②如答图2，延长AD到点H,使得EH =AE,连接BH. ,AE=EH,∠AEF=∠BEH,EE =EB, ∴.△AEF≌△HEB(SAS) ∴.BH=AF,∠H=∠EAF, .BH∥AC,.△BDH∽△CDA, .AF·CD=AC·BD. 常见的数学模型五 弦图模型 【模型运用】 1.962.163.√744.918+9√2 5.解：(1)CE=BG,CE⊥BG.理由如下： 如答图1，设CE与AB相交于点P. 答图1 .∠EAB=∠GAC=90°， .∠EAC=∠BAG. 在△EAC和△BAG中， EA=BA, :∠EAC=∠BAG, LAC-AG ∴.△EAC≌△BAG(SAS), ∴.CE=BG,∠AEC=∠ABG. .:∠AEC+∠APE=90°，∠APE -∠BPC, .∠BPC+∠ABG=90° .'CEI BG. (2)如答图2，过点E作EQ⊥AG,交GA 的延长线于点Q. 答图2 ,∠EAB=∠GAC=90°， .∠EAG+∠BAC=180°. 又，∠EAG+∠EAQ=180°， .∠EAQ=∠BAC 在△AQE和△ACB中， ∠Q=∠ACB-90°， :∠EAQ=∠BAC, AE-AB. '.△AQE≌△ACB(AAS) ..AQ=AC=AG,QE=BC, ∴SAm=2AG·EQ=ZAC·BC .AC=√AB2-BC=4, 六Sa4=7X4X3=6, 6.B7.3 8.解：(1)AB=DE (2),线段BC绕点B顺时针旋转90°得 到线段BD, ∴.BC=BD,∠CBD=90°， .∠BCA=∠DBE=90°-∠ABC ,∠A=∠E=90° .'.△ABC≌△EDB(AAS), .'DE=AB,BE=AC. .AB=2,AC=6, ∴DE=2,BE=6, ..AE=AB+BE=8. :∠DEB+∠A=180° .DE∥AC, ∴.△DEF△CAF, DE_EF 即名=B8 EF AC- .EF=4, ∴.BF=BE+EF=10, 5m-7BF:DE=10, (4)①当点P在点B左侧时，如答图2， 过点P作PQ⊥BC于点Q. 答图2 :tan∠BCP= PQ _A AB=3, ∴PQ=号CQ,PQ=3BQ. 设BQ=2a,则PQ=6a,CQ=9a, ∴.BC=BQ+CQ=11a. 'BC=/AB2+AC=2/10=11a, 4a=1o 40 BP=√BQ+PQ=2V10a=1i, ∴AP=BP-AB=H9; ②当点P在点B右侧时，如答图3，过点 P作PG⊥BC,交CB的延长线于点G. B 答图3 an∠BCP=-号，an∠PBG= ten/ABC,即5-S-3 同理，求得AP=琴 综上，线段AP的长度为或号 9.B 10.5 11.证明：(1)如答图1，延长1C交BE于点 J,过点A,D作直线CI的垂线，垂足分别 为点M,N. 答图1 答图2 由弦图模型可得△AMC≌△CJB, △DNC≌△CJE, ..AM=CJ=DN. 又，∠AMI=∠DNI=90°，∠AIM =∠DIN, ,.△AMI≌△DNI(AAS), .AI=DI,即I为AD中点 (2)如答图2，延长IC交BE于点J,延 长CI至点F,使得IF=IC,连接DF ,AI=DI,∠FID=∠CIA,CI=FI, ∴.△FID≌△CIA(SAS), .DF=AC=CB,∠FDA=∠DAC. 又.·∠BCE=180°-∠ACD=∠DAC+ ∠ADC=∠FDA+∠ADC=∠FDC,CD= EC, ∴.△FDC≌△BCE(SAS) .∠DCI=∠CEJ, ,.∠CEJ+∠ECJ=∠DCI+∠ECJ =90°， .∠CJE=90°，即IC⊥BE. 常见的数学模型六与切线有关的 常见问题 【模型运用】 1.证明：如答图，连接BD,OC,OD 答图 BC=BD,:BC=BD. .OC=OD, .点O,B在CD的垂直平分线上， .OB垂直平分CD,∴.∠AFD=90. ∠ADC=∠AEB, ∴.CD∥BE,'.∠ABE=∠AFD=90°， AB⊥BE ,AB是⊙O的直径 .BE是⊙O的切线： 2.证明：如答图，过点D作DF⊥BC于 点F. 答图 …0参考答案0· ,∠BAD=90°，BD平分∠ABC, ∴AD=DF ,AD是⊙D的半径，∴.DF是⊙D的半 径.又DF⊥BC, ∴.BC是⊙D的切线. 3.证明：如答图，连接OC. OA=OC, ∴.∠BAC=∠ACO. 又，∠BAC=∠CAD ∴.∠ACO=∠CAD, .OC∥AD. 又AD⊥MN,. OC⊥MN. 又OC为⊙O的半径， ∴.MN是⊙O的切线， 4.证明：如答图，连接OD .AD-DC,OA=OB, ∴.OD是△ABC的中位 线，.OD∥BC ·'DE⊥BC,.OD ⊥DE. 又OD是⊙O的半径， ∴.DE是⊙O的切线 答图 5.(1)证明：连接OD,如答图」 答图 ,AB为⊙O的直径， ∴.∠BCA=∠BDA=90°，OB=OD, .∠DBA=∠BDO 在Rt△BCA和Rt△BDA中 (BA=BA, BC=BD, ∴.Rt△BCA≌Rt△BDA(HL), ∴.∠CBA=∠DBA. ∠ADE=∠CBA,∠DBA=∠BDO, ∴.∠ADE=∠DBA=∠BDO .∠BDO+∠ADO=∠BDA=90°， .∠ADE+∠ADO=90°， 即ED⊥OD. OD为⊙O的半径， ∴.ED是⊙O的切线 (2)解：B0=4, ∴.AB=2OB=8, ..EB=AE+AB=AE+8. tan∠CBA=Z,∠CBA=∠DBA tan∠DBA=L 21 在R△ABD中，a∠DBA-品名 .设AD=a,则BD=2a ∠ADE=∠DBA,∠E=∠E, ∴.△EAD∽△EDB, ∴.ED:EB=AE：ED=AD:BD, ED:(AE+8)=AE:ED=a 2a. 由AE:ED=a:2a,得AE=7ED, 由ED:(AE+8)=a:2a,得2ED=AE+8, 2ED=合ED+8, 解得ED=16 3 6.(1)证明：连接OE,如答图 .∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠A=∠ABC=45°， .∠COE=2∠ABC=90° EF∥CD, ∴.∠C0E+∠OEF=180°， 85J