常见的数学模型六 与切线有关的常见问题-【崇文阁】2026中考数学常用十大模型

答图2 ,∠EAB=∠GAC=90°， .∠EAG+∠BAC=180°. 又，∠EAG+∠EAQ=180°， .∠EAQ=∠BAC 在△AQE和△ACB中， ∠Q=∠ACB-90°， :∠EAQ=∠BAC, AE-AB. '.△AQE≌△ACB(AAS) ..AQ=AC=AG,QE=BC, ∴SAm=2AG·EQ=ZAC·BC .AC=√AB2-BC=4, 六Sa4=7X4X3=6, 6.B7.3 8.解：(1)AB=DE (2),线段BC绕点B顺时针旋转90°得 到线段BD, ∴.BC=BD,∠CBD=90°， .∠BCA=∠DBE=90°-∠ABC ,∠A=∠E=90° .'.△ABC≌△EDB(AAS), .'DE=AB,BE=AC. .AB=2,AC=6, ∴DE=2,BE=6, ..AE=AB+BE=8. :∠DEB+∠A=180° .DE∥AC, ∴.△DEF△CAF, DE_EF 即名=B8 EF AC- .EF=4, ∴.BF=BE+EF=10, 5m-7BF:DE=10, (4)①当点P在点B左侧时，如答图2， 过点P作PQ⊥BC于点Q. 答图2 :tan∠BCP= PQ _A AB=3, ∴PQ=号CQ,PQ=3BQ. 设BQ=2a,则PQ=6a,CQ=9a, ∴.BC=BQ+CQ=11a. 'BC=/AB2+AC=2/10=11a, 4a=1o 40 BP=√BQ+PQ=2V10a=1i, ∴AP=BP-AB=H9; ②当点P在点B右侧时，如答图3，过点 P作PG⊥BC,交CB的延长线于点G. B 答图3 an∠BCP=-号，an∠PBG= ten/ABC,即5-S-3 同理，求得AP=琴 综上，线段AP的长度为或号 9.B 10.5 11.证明：(1)如答图1，延长1C交BE于点 J,过点A,D作直线CI的垂线，垂足分别 为点M,N. 答图1 答图2 由弦图模型可得△AMC≌△CJB, △DNC≌△CJE, ..AM=CJ=DN. 又，∠AMI=∠DNI=90°，∠AIM =∠DIN, ,.△AMI≌△DNI(AAS), .AI=DI,即I为AD中点 (2)如答图2，延长IC交BE于点J,延 长CI至点F,使得IF=IC,连接DF ,AI=DI,∠FID=∠CIA,CI=FI, ∴.△FID≌△CIA(SAS), .DF=AC=CB,∠FDA=∠DAC. 又.·∠BCE=180°-∠ACD=∠DAC+ ∠ADC=∠FDA+∠ADC=∠FDC,CD= EC, ∴.△FDC≌△BCE(SAS) .∠DCI=∠CEJ, ,.∠CEJ+∠ECJ=∠DCI+∠ECJ =90°， .∠CJE=90°，即IC⊥BE. 常见的数学模型六与切线有关的 常见问题 【模型运用】 1.证明：如答图，连接BD,OC,OD 答图 BC=BD,:BC=BD. .OC=OD, .点O,B在CD的垂直平分线上， .OB垂直平分CD,∴.∠AFD=90. ∠ADC=∠AEB, ∴.CD∥BE,'.∠ABE=∠AFD=90°， AB⊥BE ,AB是⊙O的直径 .BE是⊙O的切线： 2.证明：如答图，过点D作DF⊥BC于 点F. 答图 …0参考答案0· ,∠BAD=90°，BD平分∠ABC, ∴AD=DF ,AD是⊙D的半径，∴.DF是⊙D的半 径.又DF⊥BC, ∴.BC是⊙D的切线. 3.证明：如答图，连接OC. OA=OC, ∴.∠BAC=∠ACO. 又，∠BAC=∠CAD ∴.∠ACO=∠CAD, .OC∥AD. 又AD⊥MN,. OC⊥MN. 又OC为⊙O的半径， ∴.MN是⊙O的切线， 4.证明：如答图，连接OD .AD-DC,OA=OB, ∴.OD是△ABC的中位 线，.OD∥BC ·'DE⊥BC,.OD ⊥DE. 又OD是⊙O的半径， ∴.DE是⊙O的切线 答图 5.(1)证明：连接OD,如答图」 答图 ,AB为⊙O的直径， ∴.∠BCA=∠BDA=90°，OB=OD, .∠DBA=∠BDO 在Rt△BCA和Rt△BDA中 (BA=BA, BC=BD, ∴.Rt△BCA≌Rt△BDA(HL), ∴.∠CBA=∠DBA. ∠ADE=∠CBA,∠DBA=∠BDO, ∴.∠ADE=∠DBA=∠BDO .∠BDO+∠ADO=∠BDA=90°， .∠ADE+∠ADO=90°， 即ED⊥OD. OD为⊙O的半径， ∴.ED是⊙O的切线 (2)解：B0=4, ∴.AB=2OB=8, ..EB=AE+AB=AE+8. tan∠CBA=Z,∠CBA=∠DBA tan∠DBA=L 21 在R△ABD中，a∠DBA-品名 .设AD=a,则BD=2a ∠ADE=∠DBA,∠E=∠E, ∴.△EAD∽△EDB, ∴.ED:EB=AE：ED=AD:BD, ED:(AE+8)=AE:ED=a 2a. 由AE:ED=a:2a,得AE=7ED, 由ED:(AE+8)=a:2a,得2ED=AE+8, 2ED=合ED+8, 解得ED=16 3 6.(1)证明：连接OE,如答图 .∠ACB=90°，AC=BC, ∴.∠A=∠ABC=45°， .∠COE=2∠ABC=90° EF∥CD, ∴.∠C0E+∠OEF=180°， 85J ∠FEO=90°， .OE是⊙O的半径 ,.EF是⊙O的切线， (2)解：过点M作MH ⊥BC于点H,则 △BMH是等腰直角 三角形 ,BM=4√2， 答图 BH-MH- =4. 在Rt△CHM中，，tan∠BCD= HM C .CH=2MH=8, ∴.CM=√/CH+M=4√5，CB=CH +BH=12. 连接BD,如答图. ,CD是⊙O的直径， ∴.BD⊥BC, .MH∥BD, CM CH ∴DMB丽' 即源-， .DM=25, ∴0D=号CD=35, ∴.OM=OD-DM=√5」 7.(1)证明：，AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°，∴.∠BCD=90° .∠D+∠CBD=90° BD是⊙O的切线， .∠ABD=90°，.∠ABC+∠CBD= 90°，∴.∠ABC=∠D .AC=AC, ∠E=∠ABC,∴.∠E=∠D .AC=CE, .∠CAE=∠E,∴.∠CAE=∠D (2)解：过点C作CH⊥ AE于点H,如答图. .OA=3, ,∴.AB=2OA=6 在Rt△ABD中， AD=√AB+BD =√6+(3√2)2=3√6 :SAD=号AB·BD=号AD·BC, ÷BC=AB:BD_6X3E=25, AD 3√6 ∴.AC=√AB2-BC=√62-(23)2= 2W6 同理可得，CG=2√2，AG=√AC-CG= /(26)2-(22)2=4, ∴.BG=2. .AC=CE,CH⊥AE,∴.AE=2AH. 由(1)可得∠ABC=∠CAH,∠ACB= ∠CHA=90°， .△ACB∽△CHA B0指A26 ..AH_AC 23 6 .AH=2√2，.AE=4√2 设FG=x,则AF=4+x, ,∠E=∠CBF,∠EAF=∠BCF, MAEFSACBEE 即平得 86」 CF=46+6z 4 ,CF2=CG2+FG2】 ∴4v6+6z =(2√2)2十x2, 4 解得x=号或x=4(舍去)， FG的长为号 8.证明：⊙O与DE相切于点B,AB为 ⊙O的直径， .∠ABE=90°，.∠BAE+∠E=90°， 又.AE⊥AC,∴.∠DAE=90°， ∴.∠BAD+∠BAE=90°， .∠BAD=∠E. 9.证明：如答图，设AD与⊙O交于点F,连接BF 设∠BAD=a. .AD平分∠BAC, .∠CAD=∠BAD=a ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∠BED=∠AEC= 答图 90°-a. BD是⊙O的切线，BD⊥AB, .∠D=90°-∠BAD=90°-a, ∠D=∠BED,BD=BE 10.证明：.OB=OD,∴.∠ABC=∠ODB .AB=AC,.∠ABC=∠ACB, ..∠ODB=∠ACB,.'.OD∥AC DE是⊙O的切线，OD是半径， .DE⊥OD,.DE⊥AC 11.证明：，在△AOC中，AC=2,A0=O0 =2AB=2, .△AOC是等边三角形， .∠AOC=60°，.∠AEC=30° DC为⊙O的切线，.OC⊥. 又BD⊥L,∴.OC∥BD, ,.∠ABD=∠AOC=60°」 :AB为⊙O的直径，∠AEB=90°， .∠EAB=30°，∴.∠EAB=∠AEC, .AB∥CE, .四边形OBEC为平行四边形 又，OB=OC,.□OBEC是菱形 常见的数学模型七瓜豆原理 (主从联动问题) 【模型运用】 1.C2.2√23.4 5.解：(1)，OA=3,tan∠OAC ΓOA-3 ∴OC=√3 四边形OABC是矩形，∴.BC=AO=3. D是BC的中点， CD=BC= 3 2 “点D的坐标为（会） (2)@:tan∠0AC=5 31 ∴.∠OAC=30°，.∠ACB=∠OAC =30°. 设将△DBF翻折后，点B落在AC上的 点B处，如答图1， P 0 答图1 则DB'=DB=DC,∠BDF=∠B'DF, ∴.∠DB'C=∠ACB=30°， .∠BDB=60°， .∠BDF=∠B'DF=30 .∠B=90°， BF=BD·tan30°=E 2 又：AB=5,AF=5=BF .·∠BFD=∠AFE,∠B=∠FAE=90°， .△BFD≌△AFE(ASA), AE=BD=是OE=OA+AB=号 3 “点E的坐标为（号0） ②如答图2，△DFG,△DFG'都是等边 三角形，GG即是点G的运动路径.由 △DFF≌△DGG,得GG-FF. G ◆y G 7ō 答图2 3 过点00,0)，D(3）B(3,3)的抛 物线为y=一 25x+3x,则点E 9 (号，0），直线DE的表达式为 y+ 令8则y-9, 点F(,号) 过点M(o,号）D(w),B(3, )的抛物线为y=一品后+侣x+ 号， 则点E(6,0),直线DE的函数表达式为 y=-5x+ 令x=3,则y=子5， “点F(3,号5） “F=号后-号-得，即点G运动路 径的长为得 6.1.57.27-18.2w2+12√2-1 9.205-16 10.(1)3+1 2 D 答图 (2)解：如答图，连接A"B. SAAc=图+1 2常见的数学模型六与切线有关的常见问题 模型01切线的判定 「数学建模」 1.证圆的切线时，常用到线段垂直平分线的性质、平行线的性质等证明垂直关系，如模型运用第 1题， 2.当切点不确定时，一般先要过圆心作切线的垂线，再利用角平分线的性质或者全等三角形的性 质，来证明所作垂线等于半径，如模型运用第2题. 3.已知切点和一条直线，若这条直线与要证的切线有垂直关系时，则先连接圆心和切点得半径，再 证半径与这条直线平行（常见的证明思路：①见到角平分线时，尝试连接圆心与圆上一点构造两 半径组成的等腰三角形，再利用角平分线的性质和等边对等角得到的等角证得平行，如模型运 用第3题；②见到线段中点时，连接已知中点与圆心构造中位线，利用中位线的性质证得平行， 如模型运用第4题). 4.题干中常出现线段或角相等的条件，可通过角相等进行等量代换来证明，如模型运用第5题， 5.利用三角形全等证垂直，如模型运用第6题. 模型运用」 1.[2024·甘肃]如图，AB是⊙O的直径，BC=BD,点E在AD的延长线上，且∠ADC=∠AEB. 求证：BE是⊙O的切线. 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BD是∠ABC的平分线，以点D为圆心，DA长为半径作 ⊙D.求证：BC是⊙D的切线. 26 3.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线，垂 足为点D,且∠BAC=∠CAD.求证：MN是⊙O的切线. M 4.如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，延长AD至点C,使DC=AD,连接BC,过点D作DE⊥BC 于点E.求证：DE是⊙O的切线. 0 模型02求线段长 「数学建模」 运用切线的性质进行计算或证明时，常作的辅助线是连接圆心和切点或构造直径所对的圆周 角，然后利用直角三角形解决问题.观察题干，若题干中含30°，45°，60°或“等腰直角三角形”“等边 三角形”等字眼，则用锐角三角函数或者勾股定理解决问题；若不含，则常用相似三角形解决问题 「模型运用」 5.[2024·兰州]如图，△ABC内接于⊙O,AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，BC=BD,延长 BA至点E,使得∠ADE=∠CBA. (1)求证：ED是⊙O的切线. (2)若B0=4,an∠CBA=号，求ED的长. E 0 2⑦ 6.[2024·赤峰]如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,⊙O经过B,C两点，与斜边AB交于点 E,连接CO并延长交AB于点M,交⊙O于点D,过点E作EF∥CD,交AC于点F. (1)求证：EF是⊙O的切线. (2)若BM=4,2,ian∠BCD-号，求OM的长. E D M 0。 7.[2024·泸州]如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线与 AC的延长线交于点D,点E在⊙O上，AC=CE,CE交AB于点F. (1)求证：∠CAE=∠D. (2)过点C作CG⊥AB于点G,若OA=3,BD=3√2，求FG的长. D 28 模型03与角度有关的问题 「数学建模」 证明两角相等的方法： 1.在两个直角三角形中，通过同角或等角的余角相等来证明； 2.利用半径相等，转化到等腰三角形中利用等边对等角来证明. 「模型运用」 8.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点D,作 AD的垂线交直线DB于点E.求证：∠BAD=∠E. 模型04 证明线段相等 数学建模」 证明两线段相等的方法： 1.若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰三角形等 角对等边来证明； 2.若所证两线段不共线但在有公共边的两个三角形中，则可以考虑利用全等三角形来证明； 3.若所证两线段平行，则可以考虑利用特殊四边形对边相等来证明. 『模型运用」 9.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB,BD是⊙O的切线，AD与BC相交于 点E.求证：BD=BE 0 29 模型05证明线段垂直 「模型运用」 10.如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D,过点D作⊙O的切线DE,交 AC于点E,AC的反向延长线交⊙O于点F.求证：DE⊥AC. 模型06特殊四边形的证明 「模型运用」 11.如图，⊙O的直径AB=4,C为圆周上一点，AC=2,过点C作⊙O的切线1，过点B作1的垂线 BD,垂足为点D,BD与⊙O相交于点E,连接AC,CE,OC,AE.求证：四边形OBEC是菱形， D 30