常见的数学模型九 PA±PB型最值问题-【崇文阁】2026中考数学常用十大模型

SoAnC =13+1 2 ∠ACB=45°，.∠ACA"=90°， .S形C 360 ∴线段AP扫过的面积为S角形c 5-S-(1+9 x-1-3. 常见的数学模型八中考相似问题 四大模型 【模型运用】 1.C 2.解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC=6, .△FGCp△DGA,△EBFP△EAD .BE=AB, .BF-2AD-3, ..FC=BC-BF=3, 解得FG=2. 3.号455.号或号 6.(1)证明：，DE⊥AB, ∴.∠AED=∠C=90° 又.∠A=∠A,∴.△ABCC△ADE. (2)解：：AC=8,BC=6,CD=3, .AB=√AC+BC=10, AD=AC-CD=5. △ABC∽△ADE,:.AE-AD=1 ACAB=2· .AE=4. 7.(1)证明：DC是⊙O的切线， .∠OCD=90° ∠D=30°， .∠BOC=∠D+∠OCD=120° 又.OB=OC, .∠B=∠OCB=30°， .∠DCB=120°=∠COB. 又∠OBC=∠CBD, ,∴.△BOC△BCD (2)解：，∠D=30°，DC=√3，∠OCD =90°， ∴.OB=OC=DC·tan30°=1， .D0=2OC=2. 又.∠B=∠D=30° DC=BC=√3， .△BCD的周长=CD+BC+DB=√3 +√5+2+1=3+2W3 8.(1)证明：，△ABCc∽△ADE, ∴.∠BAC=∠DAE AB AD ACAE' ∴.∠BAD=∠CAE,∴.△ABD∽△ACE (2)解：如答图1，连接EC .∠BAC=∠DAE=90°， ∠ABC=∠ADE=30°， .△ABCC∽△ADE. 同(1)，易知△ABD△ACE, 能品， ∠ACE=∠ABD=∠ADE. 在Rt△ADE中，∠ADE=30°， .:4 E=3, =√3×√3=3. '∠ADF=∠ECF,∠AFD=∠EFC, .△ADFO△ECF, DF_AD CF-CE=3. 答图1 图) (3)解：如答图2，过点A作AB的垂线， 过点D作AD的垂线，两垂线相交于点 M,连接BM. .∠BAD=30° ∴.∠DAM=60°，∴.∠AMD=30°， ∴.∠AMD=∠DBC. 又.∠ADM=∠BDC=90°， ∴.△BDC∽△MDA,∠BDM=∠CDA, 品， ∴.△BDM∽△CDA, ÷8X-=a∠DaM=E. ,AC=2√5，.BM=25X5=6, ,∴.AM=√BM-AB2=25, AD=AM-/5. 9.(1)证明：AB=AC,∴.∠B=∠C. 又∠APD=∠B,∴.∠APD=∠B =∠C. ∠APC=∠BAP+∠B, ∠APC=∠APD+∠DPC, ∴.∠BAP=∠DPC,∴.△ABP∽△PCD 部-部AB,CD=Cp,BP 又，AB=AC,.AC·CD=CP·BP (2)解：，PD∥AB,.∠APD=∠BAP 又∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C 又∠B=∠B,∴.△BAP∽△BCA, -BP BC BA 又AB=10,BC=12, ∴8-SBp-9 3 10.(1)①证明：，四边形ABCD是正方形， .∠A=∠D=90°， '.∠ECD+∠CED=90° ,∠CEF=90°， ..∠AEF+∠CED=90°， .∠AEF=∠ECD, '.△AEFp△DCE. ②解：如答图1，延长DA,交CF的延长 线于点G,过点G作GH⊥CE,交CE的 延长线于点H 答图1 ,∠H=∠D=90°，∠GEH=∠CED, AGEH∽ACED,部能 又CD=2,AE=ED=1,.GH =2HE. 设EH=m,则GH=2m. .CE=√DE+CD=√5 .CH=m+√5. :m∠BCp=0=号， 2 m+5 解得加- …0参考答案0· ∴EH-9,GH=5, ·.EG=VGH+E=5 , :AG=EG-AE=号，DG=BG+DE A/cD品-品 即AF -子解得AF=号 (2)证明：如答图2，过点G作GH⊥CE, 交CE的延长线于点H. 答图2 AD=CD=a,GE=DE=t,EH=x, GH=y,CE=n. ∠H=∠D=90°，∠GEH=∠CED, .△GEHO△CED, 在Rt△CGH中，：m∠ECF-号 =G CG, ∴.CG=3GH,CH=2√2GH, GH y CH2J2 22)=x+n,2w2X=号+n, ..22at=t+n2. 在Rt△CDE中，n2=t2+a2, 22at=22+a2,a=√2t .AF∥CD, 品瓷- a 2t1 AF-a2a0-a-景-a-k 2t 又AE=a-t,∴.AE=AF. 常见的数学模型九PA士PB型 最值问题 【模型运用】 1.5 2.1+√3 3.8 4.号 5.解：y=-x2十2x十3=-(x-1)2+4, .顶点M(1,4). 设直线AM的函数表达式为y=kx十b, 期色46。每得{合2： .直线AM的函数表达式为y=2x十2. 当x=0时，y=2, .点D(0,2). 如答图，作点D关于x 轴的对称点D'(0, 2),连接D'M,D'H, 则DH=DH, ∴.MH+DH=MH+ DH≥DM,即MH+ 答图 DH的最小值为DM. 87」 :DM=√(1-0)2+(4+2)z=√37， .MH+DH的最小值为√37. 6.80° 7.6√2 8(,4) 9.解：存在 如答图，作点E关于CD的对称点E',作 点F关于BC的对称点F',连接EF',交 BC于点G,交CD于点H,连接FG,EH. 则FG=FG,EH= D... EH,则此时四边形 EFGH的周长最小. 由题意，得BF=BF G =AF=2,DE'=DE p =2,∠A=90°， 答图 AF=6,AE=8,.EF'=10,EF 2√5， .四边形EFGH的周长的最小值=EF +FG+GH+HE=EF+E'F'=25 +10, 10.作法一：如答图1，将点A向右平移长度 d得到点A',作A'关于直线l的对称点 A",连接A"B,交直线l于点N,将点N 向左平移长度d,得到点M A M R A A 答图1 答图2 作法二：如答图2，作点A关于直线1的 对称点A1,将点A1向右平移长度d得 到点A2,连接A2B,交直线1于点N,将 点N向左平移长度d,得到点M 原理：两点之间，线段最短，最小值为A” B(或A2B)十MN. 11.解：(1)设点A,B的坐标分别为(t,0), (t+4,0), 则-1=之（十什40，解得1=-3， .点A,B的坐标分别为（一3,0），(1， 0). .OC=OA,.点C(0,3), “抛物线的表达式为 y1=a(x+3)(x-1)=a(x2+2x-3), ∴.-3a-3,解得a--1, y1=-x2-2x十3. 根据图形的对称性得y2=x2+2x一3， (2)作点D关于12的对称点D(2,一3) 将点F向右平移2个单位(MN=2)得 点F(一4,0)，连接D'F'交直线I2于点 N,过点N作NM⊥1于点M,连 接FM. .'FF∥MN,FF=MN, .四边形FFNM是平行四边形 ..EM-F'N. D D ,.FM+MN+DN的最小值为FN+ND +MN=FD'+2=√(2+4)2+3+2 =3√5+2 12.解：(1)由抛物线的表达式知OC=4, ,tan∠CBA=4,∴.OB=1,∴.点B(1 0), 88」 由题意，得a一6十4仁6，解得a=一1， 1a+b+4=0, 1b=-3, .抛物线的表达式为y=一x2一3x十4. (2)由抛物线的表达式，知点A,B,C的 坐标分别为（一4,0），(1,0)，(0,4)，则 点F(22 由点A,C的坐标得直线AC的表达式 为y=x+4. 设点P(x,一x2-3x十4)，则点D(x,x 十4)， 则PD=一x2-3x+4一x一4=一x2 -4x. 当x=一2时，PD取得最大值，此时点 E(-2,0),D(-2,2),.MN=2, 将点A向右平移2个单位得到点A'(一 2,0),连接A'F交y轴于点N,过点N 作NM⊥PE,连接AM, 则四边形MNA'A为平行四边形 ..AM-A'N. ∴.AM+MN+NF的最小值为A'N+ MN NF -2+A'F-2+ √(+2)+2-2+ 2 13.C 14.4 常见的数学模型十PA士kPB型 最值问题 【模型运用】 1.(2,0) 2.2√3 3.解：(1).抛物线y=(x一3)2一4m十3的 对称轴为直线x=3, “在y=专x中，令x=3,则有y=专× 3=4, .点C的坐标为(3,4) ,抛物线y=(x一3)2一4m十3的顶点D 的坐标为(3，一4m十3)，点D在点C的 下方， ∴.CD=4-(-4m+3)=4m十1. (2):点B在直线y=专x上，且其横坐 标为t, “点B的坐标为(，号) 将点B的坐标代入抛物线方程y=(x一 3》-4m+3,得=（-3）2-4m+3, 整理得m一子-名+3. (3)①依照题意画出图形，如答图1所 示.过点C作x轴的平行线，过点B作y 轴的平行线，相交于点E. :N/ E C 答图1 答图2 :直线BC的函数表达式为y=3x, “易知BE=号CE 由勾股定理，得BC=√CE十BE= CE. .CD=CB, m+1=号-3， 由2)，得4m=(一3-号+3 -3)2-号+3+1=号4-3， 化简，得t2-9t+18=0, 解得41=3（不合题意，舍去），t2=6, 号×6=8， .此时点B的坐标为(6,8) ②(.翠)】 4.W5 5.13 6.解：(1)如答图1，取CE的中点F,连接 PF,AF. 答图1 答图2 .CF=1,CB=4,CP=2, 又∠PCF=∠BCP, .△PCF∽△BCP, B品=PF=PB, PF CF 1 AP+PB-AP+PF, ∴.当A,P,F三点共线时，AP十PF的值 最小，最小值为AF的长. .AF=WAC+CF=√37， “AP+号BP的最小值为V37. (2):2AP+BP=2(AP+2BP） ∴.2AP+BP的最小值为2√37 (3)如答图2，在DC上取一点G,使CG= 号DC=号，连接BG, 2 咒器 又∠ACP=∠PCG, ∴.△CGP△CPA, 8-咒含，Gp=专AP, 号AP+BP=GP+BP, ∴.当B,P,G三点共线时，GP十BP的值 最小，最小值为BG的长， BG=/BC+CGT-148_237 3 “3AP+BP的最小值为2Y3☑ 3 (④)：AP+3BP=3(号AP+BP） .AP+3BP的最小值为2√37常见的数学模型九PA±PB型最值问题 模型01一定直线，同侧两定点 「数学建模」 两定点A,B位于直线1同侧，在直线I上找一点P,使得PA+PB值最小. 将两定点同侧转化为异侧问题即可解决.作点B关于1的对称点B',连接AB',与直线1的交 点即为点P A 「模型运用」 1.[2024·成都]如图，在平面直角坐标系中，已知A(3,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线l,P为 直线L上一动点，连接PO,PA,则PO十PA的最小值为 5 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 2.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E是边AB上的一点，且AE=1,Q为对角线 AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为 3.如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB=8,AC=CD=BD,M是AB上一动点，则CM+DM的 最小值是 4.[2023·泸州]如图，E,F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当 PE+PF取得最小值时，C的值是 5.[2023·枣庄]如图，抛物线y=一x2十2x+3经过A(一1,0)，C(0,3)两点，并交x轴于另一点 B,M是抛物线的顶点，直线AM与y轴相交于点D.若H是x轴上一动点，分别连接MH, DH,求MH+DH的最小值. 40 模型02一定点，两定直线 「数学建模」 点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得△PMN周长最 小.要使△PMN周长最小，即PM+PN十MN的值最小.根据两点之间，线段最短，将三条线段转 化到同一直线上即可. A 分别作点P关于OA, OB的对称点P,P” M ●p 连接PP",分别交 OA,OB于点M,N B 「模型运用」 6.[2024·绥化]如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M 为射线OA上的动点，点N为射线OB上的动点，当△PMN的周长最小 时，则∠MPN= 模型03两定点，两定直线 「数学建模」 点P,Q是∠AOB内部的两定点，在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得四边形PQNM 周长最小 要使四边形PQNM周长最小，PQ为定值，即求得PM+MN十NQ的最小值即可，需将线段 PM,MN,NQ尽可能转化在一条直线上，因此想到作点P关于OA的对称点，点Q关于OB的对 称点. M ●P 分别作点P关于OA, 点Q关于OB对称的 Q ●Q 点P',Q',连接p'Q', 分别交OA,OB于点 N B M,N 「模型运用」 7.如图，在平面直角坐标系中，点A(一3，一1)，B(一1，一3).若D是x轴上一动点，C是y轴上的 一动点，则四边形ABCD的周长的最小值是 y 0 E 第7题图 第8题图 8.如图，已知点C(1,0),直线y=一x+7与两坐标轴分别相交于A,B两点，D,E分别是AB,OA 上的动点，当△CDE周长最小时，点D的坐标为 4 9.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,AE=4,AF=2,在边BC,CD上是否分别存在点G,H, 使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由. 模型04两动点，两定点（造桥选址） 「数学建模」 造桥选址问题：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN,桥造在何处，可 使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直） A。 过点A作AC⊥a于点C, A b在线段AC上截取AA'= A 河宽，连接A'B交b于 ℃、 ●B 点N,过点N作MN⊥a 于点M,路径AMNB 即为所求 「模型运用」 10.如图，已知A,B是两个定点，在直线1上找两个动点M与N,且MN长度等于定长d(动点M 位于动点N左侧)，使AM+MN+NB的值最小（写出作法，并说明原理）. ·B M N 11.[2024·烟台]如图，抛物线y1=ax2+bx十c与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,OC= OA,AB=4,对称轴为直线1：x=一1.将抛物线y1绕点O旋转180°后得到新抛物线y2,抛物线 y2与y轴交于点D,顶点为E,对称轴为直线l2. (1)分别求抛物线y1和y2的表达式； (2)点F的坐标为（一6,0），动点M在直线l1上，过点M作MN∥x轴，与直线l2交于点N,连 接FM,DN,求FM+MN+DN的最小值. 0 M 42 12.[2024·重庆A卷]如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2十bx十4(a≠0)经过点(-1,6)， 与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），连接AC,BC,tan∠CBA=4. (1)求抛物线的表达式. (2)点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂足为点E,交AC于点D. 点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为点N,点F为线段BC的中点，连接AM,NF.当 线段PD长度取得最大值时，求AM十MN+NF的最小值. 10 备用图 模型05线段差的绝对值 「数学建模」 1.两定点A,B位于直线1同侧，在直线1上找一点P,使得PA一PB的值最大.根据三角形任意 两边之差小于第三边，得PA一PB≤AB,当A,B,P三点共线时，等号成立，即|PA一PB|的最 大值为线段AB的长.连接AB并延长，与直线1的交点即为点P A ●B 、l 2.两定点A,B位于直线l异侧，在直线1上找一点P,使得|PA一PB的值最大，将异侧点转化为 同侧点即可解决. 作点B关于直线L 的对称点B′， B 连接AB'并延长， 与直线相交于点P 「模型运用」 13.如图，A,B两点在直线1的两侧，点A到直线l的距离AC=4,点B到直线l的距离BD=2,且 CD=6,P为直线CD上的动点，则|PA一PB的最大值是 () A.6√2 B.22 C.2√10 D.6 D B 第13题图 第14题图 14.如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC=BC=4,∠BCD=15°，P为CD上的动点，则|PA一 PB的最大值为 43