常见的数学模型四 中点问题四大模型-【崇文阁】2026中考数学常用十大模型

③当点D在点H右侧，且在HC的延长 线上时，如答图3 此时只有∠CEF=90 ∠DEF=60° .∠CED=30°. .∠ECH=60°， .∠EDC=CED=30°， ∴.CD=CE=2√3， ∴.BD=6+2√5 A H 答图3 综上，BD的长为6-√3或6+2√5 9.解：(1)猜想BD=CE.理由如下： ,△ABE和△ACD都是等腰三角形，且 ∠BAE=∠DAC, .AE=AB,AC=AD,∠EAB+∠BAC =∠BAC+∠CAD, .∠EAC=∠BAD, ∴.△EAC≌△BAD(SAS) ..BD=CE. (2)以AB为边向外作等边三角形ABE, 连接CE,如答图1， 答图1 答图2 ..BE=AB=4,∠EBA=60°， ∴.∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°， 由勾股定理得：CE=√BE+BC=5 (cm). 由(1)知BD=CE .BD=5 cm. (3)如答图2，以AB为边在其右侧作等 腰三角形BAE,且AB=AE,∠BAE =120°， .∠ABE=∠E= (180°-∠BAE) 1 =30°. .∠ABC=30°， ∴点C在BE边上 ,△ABE和△ACD都是等腰三角形，且 ∠BAE=∠DAC=120°，AE=AB,AC -AD, .∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC, .∠EAC=∠BAD, ∴.△ADB≌△ACE(SAS), .BD=CE. 过点A作AF⊥BE于点F,则BE =2BF. ,∠ABC=30°， ∴.BF=ABcos30°=2√3(cm), ∴.BE=2BF=4√3(cm), .BD=CE=BE-BC=(43-3)cm. 10.解：(1)EF-DF+BE (2)成立.证明如下：延长CB到点G,使 BG=DF,连接AG,如答图1. 答图1 答图2 .∠B=∠D=90°，∠ABG=∠D 841 AB=AD,BG=DF, .△ADF≌△ABG(SAS), .AG=AF,∠GAB=∠DAF .∠EAF=60°，∠BAD=120°， .∠BAE十∠DAF=60°， .∠GAE=60°」 AE=AE, .△AGE≌△AFE(SAS) ..GE=EF, ..EF=GB+BE=DF+BE. (3)延长CB到点H,使BH=DF,连接 AH,如答图2，则∠ABH+∠ABC =180°. ,∠ABC与∠D互补， .∠ABC+∠D=180° ..∠ABH=∠D. .AB-AD,BH-DE, .△ADF≌△ABH(SAS), .AH=AF,∠HAB=∠DAF :∠EAF=∠BAD, .∠BAE+∠DAF=∠EAF, .∠HAE=∠FAE. .'AE=AE ,.△AHE≌△AFE(SAS) .HE=EF, ∴.EF=HB+BE=DF+BE, .△CEF的周长为CF+EF+CE=CE +CF+BE+DF=CB+CD=6+c. 常见的数学模型四 中点问题四大模型 【模型运用】 1./142.23.A4.√2+1 5.(1)证明：，∠ACB=90°，点M为边AB 的中点， ∴.MC=MA=MB ∴.∠MCA=∠A,∠MCB=∠B. :∠A=50°， ..∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°， ∴.∠EMC=∠MCB+∠B=80° .∠ACE=30°， ∴.∠MEC=∠A+∠ACE=80°， ∴.∠MEC-∠EMC, ..CE=CM. (2)解：AB=4, .CE=CM=AB=2. EF⊥AC,∠ACE=30°， ∴.FC=CE·cos30°=√3 6.号7.6 8.解：【数学知识】32 【数学应用】：AB=AC,AE=AF,AD AG分别为△ABC和△AEF的中线， .∠DAC= 2 ∠BAC,∠EAG= 合∠EAF, '.∠DAG=∠DAC+∠CAE+∠EAG= ∠BAC+∠CAE+是∠EAF=司 ∠BAF+2∠CAE. ,∠BAF=110°，∠CAE=24°， ∴.∠DAG=55°+12°=67°. 【拓展】45 9.号10.6.5 11.(1)证明：如答图，延长BC,交AF的延 长线于点G. 四边形ABCD是正方形，.AD= BC,AD∥CG,∴.∠DAF=∠G. 又.AF平分∠DAE, .∠DAF=∠EAF, ∴.∠G=∠EAF, ∴EA=EG ,F为CD的 中点， ..CF=DF. 又∠DFA= 答图 ∠CFG,∠FAD=∠G, ∴.△ADF≌△GCF(AAS), ∴.CG=AD=BC=BE+CE, ..EG=CE+CG=BE+2CE, ..AE=BE++2CE. (2)解：设CE=a,BE=b,则AE=2a十 b,AB=a+6. 在Rt△ABE中，AB2+BE=AE, 即(a十b)2+b2=(2a+b)2, 得b=3a,b=一a(舍去)， 暖 a十b=4. 12.(1)B(2)2<AD<10 (3)证明：①如答图1，延长AD到点G, 使DG=AD,连接BG. ,AD=DG,∠ADC=∠GDB,CD =DB, .△ADC≌△GDB(SAS) .AC=BG,∠DAC=∠G AF=EF,∴.∠AEF=∠EAF. ∠AEF=∠BEG,∴.∠BEG=∠G, ..BE=BG,..AC=BE. A 答图1 答图2 ②如答图2，延长AD到点H,使得EH =AE,连接BH. ,AE=EH,∠AEF=∠BEH,EE =EB, ∴.△AEF≌△HEB(SAS) ∴.BH=AF,∠H=∠EAF, .BH∥AC,.△BDH∽△CDA, .AF·CD=AC·BD. 常见的数学模型五 弦图模型 【模型运用】 1.962.163.√744.918+9√2 5.解：(1)CE=BG,CE⊥BG.理由如下： 如答图1，设CE与AB相交于点P. 答图1 .∠EAB=∠GAC=90°， .∠EAC=∠BAG. 在△EAC和△BAG中， EA=BA, :∠EAC=∠BAG, LAC-AG ∴.△EAC≌△BAG(SAS), ∴.CE=BG,∠AEC=∠ABG. .:∠AEC+∠APE=90°，∠APE -∠BPC, .∠BPC+∠ABG=90° .'CEI BG. (2)如答图2，过点E作EQ⊥AG,交GA 的延长线于点Q.常见的数学模型四， 中点问题四大模型 模型01 中点构造，中位线 「数学建模」 如图，在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理，得出 DE∥BC,且DE=BC,△ADE△ABC,从而解决问题. 取另一 D 边中点 构造中 位线 「模型运用」 1.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=2√5，BC=3,D,E分别是AB,AC的中点，延长BC至点 F,使CF=BC,连接DF,EF,则EF的长为 2.[2024春·包河区期末]如图，在△ABC中，AB=7,BC=11,点D是AC的中点，DE∥BC.若 ∠AEB=90°，则DE的长为 第1题图 第2题图 模型02 直角三角形斜边上的中点构造，斜边上的中线 「数学建模」 如图，在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半，即CD=2AB=AD=-BD,来证明线段或角之间的数量关系. 作斜边上的中线 「模型运用」 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D,E分别是边AB,AC的中点，延长BC至点F,使CF= 2BC,连接EF.若AB=10,则EF的长是 () A.5 B.4 C.3 D.2 D D N B 第3题图 第4题图 4.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上，当点B在边ON上运动时， 点A随之在边OM上运动.若矩形ABCD的形状保持不变，且AB=2,BC=1,则在运动过程 中，点D到点O的最大距离为 5.[2022·杭州]如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上， EF⊥AC于点F,连接CM,CE.已知∠A=50°，∠ACE=30°. (1)求证：CE=CM. (2)若AB=4,求线段FC的长. B 模型03 等腰三角形底边中点构造三线合 「数学建模」 如图，等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形底边上中线、高线、 顶角平分线“三线合一”的性质得到：∠BAD=∠CAD,AD⊥BC,BD=CD. 4 连接AD D B D 1⑧ 「模型运用」 6.如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6,M为BC的中点，MN⊥AC于点N,则MN的长是 M 第6题图 第7题图 7,如图，点D在△ABC的边BC上，AD=AB,E是BD的中点，点F在边AC上，AP=AC=6, 连接EF,则EF的长为 8.[2024·延边州期末]【数学知识】等腰三角形的“三线合一”性质非常重要.如图1，在△ABC 中，AB=AC,AD是中线，若∠C=58°，则∠BAD的度数为； 【数学应用】如图2，在△ABC和△AEF中，AB=AC,AE=AF,AD,AG分别为△ABC和 △AEF的中线，若∠BAF=110°，∠CAE=24°，求∠DAG的度数； 【拓展】如图3，在△ABC和△ABE中，AB=AC,AB=AE,AD,AF分别为△ABC和△ABE的 中线，AD与BE交于点O,若∠AOF=69°，则∠CAE的度数为 D 0 图1 图2 图3 19 模型04 三角形中点构造，全等三角形（倍长中线） 「数学建模」 如图，当遇见中线或中点时，可以尝试用倍长中线法构造全等三角形，证明线段间的数量 关系 倍长中线AD 倍长ED B E D E 「模型运用」 9.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BC,AD∥BC,BC=3,AC=4,AD=6,M为BD的中点，则CM 的长为 第9题图 第10题图 10.如图，AB⊥BC,AB⊥AD,AD=5,AB=12,BC=10,E是CD的中点，则AE的长是 11.如图，正方形ABCD中，E为边BC上一点，AF平分∠EAD,交CD于点F,且F恰好为CD的 中点 (1)求证：AE=BE+2CE. ②)求瓷的位 20 12.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题。 如图1，在△ABC中，若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围. D D 图1 图2 小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长AD到点E,使DE=AD,连接 BE.请根据小颖的方法思考： (1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是 () A.SSS B.SAS C.AAS D.HL (2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知 条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， 完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答 (3)在△ABC中，D是BC上一点，连接AD,E是AD上一点，连接BE并延长交边AC于点F. ①如图3，若AD是△ABC的中线，且AF=EF,求证：AC=BE. ②如图4，若E是BF的中点，求证：AF·CD=AC·BD. 图3 图4 20