常见的数学模型八 中考相似问题四大模型-【崇文阁】2026中考数学常用十大模型

SoAnC =13+1 2 ∠ACB=45°，.∠ACA"=90°， .S形C 360 ∴线段AP扫过的面积为S角形c 5-S-(1+9 x-1-3. 常见的数学模型八中考相似问题 四大模型 【模型运用】 1.C 2.解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC=6, .△FGCp△DGA,△EBFP△EAD .BE=AB, .BF-2AD-3, ..FC=BC-BF=3, 解得FG=2. 3.号455.号或号 6.(1)证明：，DE⊥AB, ∴.∠AED=∠C=90° 又.∠A=∠A,∴.△ABCC△ADE. (2)解：：AC=8,BC=6,CD=3, .AB=√AC+BC=10, AD=AC-CD=5. △ABC∽△ADE,:.AE-AD=1 ACAB=2· .AE=4. 7.(1)证明：DC是⊙O的切线， .∠OCD=90° ∠D=30°， .∠BOC=∠D+∠OCD=120° 又.OB=OC, .∠B=∠OCB=30°， .∠DCB=120°=∠COB. 又∠OBC=∠CBD, ,∴.△BOC△BCD (2)解：，∠D=30°，DC=√3，∠OCD =90°， ∴.OB=OC=DC·tan30°=1， .D0=2OC=2. 又.∠B=∠D=30° DC=BC=√3， .△BCD的周长=CD+BC+DB=√3 +√5+2+1=3+2W3 8.(1)证明：，△ABCc∽△ADE, ∴.∠BAC=∠DAE AB AD ACAE' ∴.∠BAD=∠CAE,∴.△ABD∽△ACE (2)解：如答图1，连接EC .∠BAC=∠DAE=90°， ∠ABC=∠ADE=30°， .△ABCC∽△ADE. 同(1)，易知△ABD△ACE, 能品， ∠ACE=∠ABD=∠ADE. 在Rt△ADE中，∠ADE=30°， .:4 E=3, =√3×√3=3. '∠ADF=∠ECF,∠AFD=∠EFC, .△ADFO△ECF, DF_AD CF-CE=3. 答图1 图) (3)解：如答图2，过点A作AB的垂线， 过点D作AD的垂线，两垂线相交于点 M,连接BM. .∠BAD=30° ∴.∠DAM=60°，∴.∠AMD=30°， ∴.∠AMD=∠DBC. 又.∠ADM=∠BDC=90°， ∴.△BDC∽△MDA,∠BDM=∠CDA, 品， ∴.△BDM∽△CDA, ÷8X-=a∠DaM=E. ,AC=2√5，.BM=25X5=6, ,∴.AM=√BM-AB2=25, AD=AM-/5. 9.(1)证明：AB=AC,∴.∠B=∠C. 又∠APD=∠B,∴.∠APD=∠B =∠C. ∠APC=∠BAP+∠B, ∠APC=∠APD+∠DPC, ∴.∠BAP=∠DPC,∴.△ABP∽△PCD 部-部AB,CD=Cp,BP 又，AB=AC,.AC·CD=CP·BP (2)解：，PD∥AB,.∠APD=∠BAP 又∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C 又∠B=∠B,∴.△BAP∽△BCA, -BP BC BA 又AB=10,BC=12, ∴8-SBp-9 3 10.(1)①证明：，四边形ABCD是正方形， .∠A=∠D=90°， '.∠ECD+∠CED=90° ,∠CEF=90°， ..∠AEF+∠CED=90°， .∠AEF=∠ECD, '.△AEFp△DCE. ②解：如答图1，延长DA,交CF的延长 线于点G,过点G作GH⊥CE,交CE的 延长线于点H 答图1 ,∠H=∠D=90°，∠GEH=∠CED, AGEH∽ACED,部能 又CD=2,AE=ED=1,.GH =2HE. 设EH=m,则GH=2m. .CE=√DE+CD=√5 .CH=m+√5. :m∠BCp=0=号， 2 m+5 解得加- …0参考答案0· ∴EH-9,GH=5, ·.EG=VGH+E=5 , :AG=EG-AE=号，DG=BG+DE A/cD品-品 即AF -子解得AF=号 (2)证明：如答图2，过点G作GH⊥CE, 交CE的延长线于点H. 答图2 AD=CD=a,GE=DE=t,EH=x, GH=y,CE=n. ∠H=∠D=90°，∠GEH=∠CED, .△GEHO△CED, 在Rt△CGH中，：m∠ECF-号 =G CG, ∴.CG=3GH,CH=2√2GH, GH y CH2J2 22)=x+n,2w2X=号+n, ..22at=t+n2. 在Rt△CDE中，n2=t2+a2, 22at=22+a2,a=√2t .AF∥CD, 品瓷- a 2t1 AF-a2a0-a-景-a-k 2t 又AE=a-t,∴.AE=AF. 常见的数学模型九PA士PB型 最值问题 【模型运用】 1.5 2.1+√3 3.8 4.号 5.解：y=-x2十2x十3=-(x-1)2+4, .顶点M(1,4). 设直线AM的函数表达式为y=kx十b, 期色46。每得{合2： .直线AM的函数表达式为y=2x十2. 当x=0时，y=2, .点D(0,2). 如答图，作点D关于x 轴的对称点D'(0, 2),连接D'M,D'H, 则DH=DH, ∴.MH+DH=MH+ DH≥DM,即MH+ 答图 DH的最小值为DM. 87」常见的数学模型八中考相似问题四大模型 模型018字型 「数学建模」 有一组隐含的等角（对顶角），此时需要从已知条件、图中隐含条件或通过证明得另一对角相 等.若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类讨论 B D AB∥CD ∠A=∠C或∠B=∠D 正8字型 斜8字型 B D D AB∥CD∥EF ∠A=∠C或∠ABF=∠CDF 三平行型 共享型 「模型运用」 E 1.如图，在□ABCD中，E是DC上的点，DE：EC=3：2,连接AE,交 BD于点F,则△DEF与△BAF的面积之比为 A.2:5 B.3:5 C.9:25 D.4:25 2.如图，在□ABCD中，连接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC,AC于 点F,G.若BC=6,DG=4,求FG的长. 35 模型02A字型 T数学建模」 已有一个公共角，此时需要找另一对角相等.若题中未明确相似三角形对应顶点，则需要分类 讨论，如图1中可找条件∠ADE=∠C或∠ADE=∠B. 图1 (DE//BC)正A字型 ∠ADE=∠C ∠AED=∠B D B∠ (CE 图2 图4 斜交型 母子型（点E与C重合） ∠ACB=90°， ∠ACB=90°， DE⊥AB CD⊥AB 图3 图5 双垂直共角型 双垂直共角共边型 重要结论： 1.在图4,5中有AC=AD·AB. 2.在图5中有(1)CD2=AD·BD; (2)BC=BD·AB 「模型运用」 3.如图，在△ABC中，点D,E分别在AB,AC上，DE/∥C若AD=4,DB=2,则8泛的值为 B 第3题图 第4题图 4如图，在Rt△ABC中，∠C=90,点D在AC上，∠DBC=∠A.若AC=4,c0sA=等，则BD的 长为 5.在△ABC中，AB=6,AC=5,点D在边AB上，且AD=2,点E在边AC上，当AE= 时， 以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似. 36 6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是边AC上一点，DE⊥AB于点E. (1)求证：△ABCp△ADE. (2)若AC=8,BC=6,CD=3,求AE的长. 7.如图，DB过⊙O的圆心，交⊙O于点A,B,DC是⊙O的切线，C是切点.已知∠D=30°，DC=√3. (1)求证：△BOC∽△BCD. (2)求△BCD的周长， 模型03 旋转相似型 「数学建模」 三角形绕一个顶点旋转，根据旋转的性质可得有公共顶点的一对等角，再通过这对等角的两 组对应边成比例得到相似. D B 位似 图1 位似 (缩小) (放大) G 图2 图3 相似 相似 F 图4 图5 缩小旋转相似模型 放大旋转相似模型 3⑦ 「重要结论」 图4,5中有△ABFp△ACG. 模型运用」 8.【问题背景】(1)如图1，已知△ABCp△ADE,求证：△ABD∽△ACE. 【尝试应用】(2)如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC=∠ADE=30°， AC与DE相交于点P,点D在边BC上，部3，求器的值， 【拓展创新】(3)如图3，D是△ABC内一点，∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°，AB=4,AC= 2√5，求AD的长. 模型04一线三等角型(K型) 「数学建模」 两个相等的角一边在同一条直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的 顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧 或异侧 点P在线段AB上（同侧型）： 一线三等角（锐角） 线三垂直 一线三等角（钝角） 点P在线段AB的延长线上（异侧型）： B 一线三等角（锐角） 一线三垂直 一线三等角（钝角）】 38 拓展：一线三垂直常存在的图形背景。 『模型运用」 9.如图，在△ABC中，AB=AC,P,D分别是BC,AC边上的点，且∠APD=∠B. (1)求证：AC·CD=CP·BP (2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时，求BP的长. 10.[2023·宜昌]如图，在正方形ABCD中，E,F分别是边AD,AB上的点，连接CE,EF,CF. (1)若正方形ABCD的边长为2，E是AD的中点. ①如图1，当∠FEC=90°时，求证：△AEFc∽△DCE. ②如图2，当tan∠FCE=号时，求AF的长. (2)如图3，分别延长CF,DA,交于点G,当GE=DE,sim∠FCE=号时，求证：AE=AR. 图3 39