常见的数学模型三 全等问题六大常考模型-【崇文阁】2026中考数学常用十大模型

常见的数学模型三全等问题六大常考模型 模型01平移模型 「数学建模」 若两个三角形有一组边共线或部分重合，另两组边分别平行时，则常通过加（减）公共线段构 造线段相等，或利用平行线的性质找到对应角相等来证明它们全等. A八 「模型运用」 1.[2023·成都改编]如图，已知AB∥DE,AC∥DF,点B,E,C,F依次在同一条直线上.若AB= DE,BC=8,CE=5,则CF的长为 模型02 轴对称模型 「数学建模」 若所给图形是轴对称图形，或将所给图形沿某一直线折叠，则容易构成对称型全等，此时要注 意利用隐含条件，如公共边或公共角相等. 基本模型 ∠ABC-LEBD D 共边AB 共边AE 共∠ 「模型运用」 2.[2024·常州]如图，B,E,C,F是直线1上的四点，AC,DE相交于点G,AB=DF,AC=DE, BC=EF. (1)求证：△GEC是等腰三角形. (2)连接AD,则AD与l的位置关系是 G 模型03一线三等角型(K型)】 「数学建模」 三个等角在同一条直线上，称为一线三等角模型（若为直角，则称为一线三垂直），利用三等角 关系能找到三角形全等所需的角相等条件（如图中∠1=∠2）.遇到一线三等角时的解题思路：有 边相等证全等；无边相等证相似， 2 锐角一线三等角 钝角一线三等角 A D E 02 ● A PP 2 线三垂直 「模型运用」 3.如图，在△ABC中，AB=AC,E,D,F分别是边AB,BC,AC上的点，且BE= CD,CF=BD.若∠EDF=50°，则∠A的度数为 4.在矩形ABCD中，已知AD>AB.在边AD上取点E,使AE=AB,连接CE,过点E作EF⊥ CE,与边AB或其延长线相交于点F. 猜想：(1)如图1，当点F在边AB上时，线段AF与DE的数量关系为 探究：(2)如图2，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC相交于点G.判断线段AF与DE 的数量关系，并加以证明 应用：(3)如图2，若AB=2,AD=5,利用探究得到的结论，求线段BG的长. 图2 模型04不共顶点旋转模型（中心对称模型） 「数学建模」 将三角形绕某一定点旋转180°能得到三角形全等的中心对称模型，此时要善于利用线段的和 差找相等线段. F E 「模型运用」 5.已知：如图，E,F在AC上，AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.求证：AE=CF. 12 模型05共顶点旋转模型（手拉手模型） 「数学建模」 将三角形绕着公共顶点旋转一定角度能构成手拉手模型.在旋转过程中，两个三角形可能不 重叠，也可能有部分重叠.遇到手拉手全等时，首先要想到通过角的和差得到等角， B B 基本模型 两个等边 两个等腰直 三角形 角三角形 两个正方形 特别地，在对角互补、邻边相等的四边形中（如图，AB=AC,∠ABD+∠ACD=180°），通过手 拉手模型，可以将另外一组邻边转化到一个等腰三角形中(AD=AE,DE=BD十DC). 「模型运用」 6.[2024·长沙]如图，点C在线段AD上，AB=AD,∠B=∠D,BC=DE. (1)求证：△ABC≌△ADE. (2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数. D 3 7.如图，在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D,BC=CE. (1)求证：AC=CD. (2)若AC=AE,求∠DEC的度数. E 8.[2024·新疆]【探究】 (1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形. ①如图1，当点D在BC上时，连接CE.请探究CA,CE和CD之间的数量关系，并说明理由. ②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE.请再次探究CA,CE和CD之间的数量关 系，并说明理由. 【运用】 (2)如图3，等边三角形ABC中，AB=6,点E在AC上，CE=2√3.点D是直线BC上的动点，连 接DE,以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF,连接CF.当△CEF为直角三角形时，求 BD的长， A八 备用图 4 9.[2024·山东模拟]【建立模型】 (1)如图1，锐角△ABC中，分别以AB,AC为边向外作等腰三角形ABE和等腰三角形ACD,且 它们的顶角∠BAE=∠DAC,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由. 【模型应用】 (2)如图2，△ABC中，AB=4cm,BC=3cm,∠ABC=30°，以AC为边向外作等边三角形 ACD,连接BD,求BD的长. 【模型变式】 (3)如图3，在(2)的条件下，以AC为腰在线段AC的左侧作等腰三角形ACD,AD=AC,∠CAD =120°，求BD的长， 模型06 「数学建模」 当一个角包含着这个角的半角，常将半角两边的三角形通过旋转其中一个合并形成新的三角 形，从而进行等量代换，然后证明与半角所在的三角形全等 60° 60° ) D 等边三角形含半角 等腰三角形含半角（∠BDC=120°） 45° E D 等腰直角三角形含半角 D 45 459 正方形含半角 「模型运用」 10.[2024春·龙江县期未]【问题情境】神奇的半角模型 在几何图形中，共顶点处的两个角，其中较小的角是较大的角的一半时，我们称之为半角模型， 截长补短法是解决这类问题常用的方法 如图1，在正方形ABCD中，以A为顶点的∠EAF=45°，AE,AF与BC,CD分别交于E,F两 点，为了探究EF,BE,DF之间的数量关系，小明的思路如下： 如图2，延长CB到点H,使BH=DF,连接AH,先证明△ADF≌△ABH,再证明△AHE≌ △AFE.从而得到EF,BE,DF之间的数量关系， (1)提出问题：EF,BE,DF之间的数量关系为 (2)知识应用：如图3，AB=AD,∠B=∠D=90°，以A为顶点的∠BAD=120°，∠EAF=60°， AE,AF与BC,CD分别交于E,F两点，你认为(1)中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过 程；若不成立，请说明理由 (3)知识拓展：如图4，在四边形ABCD中，AB=AD=a,BC=b,CD=c.∠ABC与∠D互补， AE,AF与BC,CD分别交于E,F两点，且∠EAF=∠BAD,请直接写出△EFC的周长.（用 含a,b,c的式子表示) 45 图1 图2 图3 图4 16常见的数学模型一反比例函数中的 面积问题 【模型运用】 1.-42.-123.244.B5.2023 6.8 7.解：(1)直线y=mx与反比例函数y= 2的图象相交于A(一2，)，B两点， 点A与点B关于原点中心对称， .点B(2,-a),.点C(2,0). S△oc=2,∴2X2Xa=2,解得a=2, .点A(-2,2) 把点A(一2,2)的坐标分别代人y=mx 和y=2,得-2m=2,2=2 解得m=一1，n=一4. (2)设直线AC的函数表达式为y一kx十 b(k≠0). 将点A(一2,2)，C(2,0)的坐标分别代 入，得 (一2k十6=2，解得k=一立， 2k+b=0, b=1, “直线AC的函数表达式为y=一2x +1. 8.49.810.C11.D12.A13.12 14.915.C16.717.-6 常见的数学模型二角平分线问题 六大模型 【模型运用】 1.C2.13.A 答图 4.证明：如答图，在AB上取点E,使AE =AC. (AE=AC, 在△AED和△ACD中，·∠1=∠2， AD-AD, '.△AED≌△ACD(SAS) '.∠AED=∠C,ED=CD. 又∠C=2∠B,且∠AED=∠B 十∠BDE, ∴∠B=∠BDE,BE=DE, ..AB=AE+BE-AC+DE-AC+CD 5.26.107.88.C9.D10.35 11.2√/13 12.解：(1)△ABC是等腰直角三角形.证明 如下： .AC为⊙O的直径， .∠ADC=∠ABC=90° ,∠ADB=∠CDB, ..AB=BC, ,.△ABC是等腰直角三角形 (2)在Rt△ABC中，AB=BC=√2， .AC=√AB+BC=2. 在Rt△ADC中，AD=1,AC=2, ∴.CD=√AC-AD=3 常见的数学模型三全等问题六大 学考模型 【模型运用】 1.3 中专常见的十种数学模型 2.(1)证明：在△ABC和△DFE中， (AB-DF, AC=DE, BC=EF, .△ABC≌△DFE(SSS), ∴.∠ACB=∠DEF,即∠GCE=∠GEC, ..GE=GC .△GEC为等腰三角形！ (2)AD与l的位置关系是AD∥1.理由 如下： 连接AD,过点A作AM⊥直线L于点M,过 点D作DN⊥直线I于点N,如答图所示： 答图 则∠AMB=∠DNF=90°，AM∥DN. ,△ABC≌△DFE, ∴.∠ABM=∠DFN. 在△ABM和△DFN中， /∠AMB=∠DNF=90° ∠ABM=∠DFN, AR=DF ∴.△ABM≌△DFN(AAS), ∴.AM=DN, .四边形AMND为平行四边形 .AD∥l. 3.80 4.解：(1)AF=DE (2)AF=DE.证明如下： 四边形ABCD是矩形，EF⊥CE,∠A =∠FEC=∠D=90°，AB=CD ∴·∠AEF+∠DEC=90°，∠DEC+∠DCE =90°.AE=AB,AE=CD, ∴.∠AEF=∠DCE. 在△AEF和△DCE中， ∠A=∠D AE=CD, ∠AEF=∠DCE, .△AEF≌△DCE(ASA),∴.AF=DE (3)",△AEF≌△DCE, ..AE=CD=AB=2,..AF=DE=3, .FB=FA-AB=1. BG∥AD,.△FBG∽△FAE, BG-FB' AE FA 3BG=2 5.证明：AD∥CB,∴.∠A=∠C 1∠A=∠C 在△ADF和△CBE中，AD=CB, ∠D=∠B, ∴△ADF≌△CBE(ASA),∴.AF=CE, .AF+EF=CE+EF,即AE=CF 6.(1)证明：在△ABC和△ADE中， BC=DE, ∠B=∠D, AB=AD, ∴.△ABC≌△ADE(SAS) (2)解：由(1)得△ABC≌△ADE, ∴.AC=AE,∠BAC=∠DAE=60° .∠AEC=∠ACE. .∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180° ∠DAE=120°， .∠ACE=60°」 7.(1)证明：∠BCE=∠ACD ∴.∠BCE-∠ACE=∠ACD-∠ACE, 即∠ACB=∠DCE. 又∠BAC=∠D,BC=CE. ∴.△ACB≌△DCE(AAS), ·…0参考答案0· ∴.AC=CD (2)解：，∠ACD=90°，AC=CD, .∠CAD=∠D=45°. .AE=AC,∴.∠ACE=∠AEC=67.5°， ∴.∠DEC=180°-∠AEC=112.5°. 8.解：(1)①CE+CD=CA.理由如下： ,△ABC和△ADE是等边三角形 ..AB=AC=BC,AD=AE=DE,/BAC =∠DAE=60°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， AB=AC. ∠BAD=∠CAE, LAD-AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS), ..CE=BD .BD+CD=BC. ..CE+CD-CA. ②CA十CD=CE.理由如下： △ABC和△ADE是等边三角形， ..AB=AC=BC,AD=AE=DE,/BAC =∠DAE=60°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE AD-AE. .△ABD≌△ACE(SAS), ∴.CE=BD. .CB+CD=BD. ∴.CA+CD=CE (2)过点E作EH∥AB,则△EHC为等 边三角形 ①当点D在点H左侧时，如答图1. ,△ABC和△EHC都是等边三角形， ∴.ED=EF,∠DEH=∠FEC,EH =EC, .△EDH≌△EFC(SAS), ∴.∠ECF=∠EHD=120°， 此时△CEF不可 能为直角三 角形. ②当点D在点H 右侧，且在线段 CH上时，如答 图2， B D 同理可得△EDH ≌△EFC(SAS), 答图 ∠FCE ∠EHD=60° ∠FEC=∠DEH<∠HEC=60°， 此时只有∠CFE有可能为90°. 当∠CFE=90°时，∠EDH=90°， .ED⊥CH. ."CH=CE=2√3， ∴CD=2CH=3. 又AB=6, .BD=BC-CD=6-√3. A 答图2 83J ③当点D在点H右侧，且在HC的延长 线上时，如答图3 此时只有∠CEF=90 ∠DEF=60° .∠CED=30°. .∠ECH=60°， .∠EDC=CED=30°， ∴.CD=CE=2√3， ∴.BD=6+2√5 A H 答图3 综上，BD的长为6-√3或6+2√5 9.解：(1)猜想BD=CE.理由如下： ,△ABE和△ACD都是等腰三角形，且 ∠BAE=∠DAC, .AE=AB,AC=AD,∠EAB+∠BAC =∠BAC+∠CAD, .∠EAC=∠BAD, ∴.△EAC≌△BAD(SAS) ..BD=CE. (2)以AB为边向外作等边三角形ABE, 连接CE,如答图1， 答图1 答图2 ..BE=AB=4,∠EBA=60°， ∴.∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°， 由勾股定理得：CE=√BE+BC=5 (cm). 由(1)知BD=CE .BD=5 cm. (3)如答图2，以AB为边在其右侧作等 腰三角形BAE,且AB=AE,∠BAE =120°， .∠ABE=∠E= (180°-∠BAE) 1 =30°. .∠ABC=30°， ∴点C在BE边上 ,△ABE和△ACD都是等腰三角形，且 ∠BAE=∠DAC=120°，AE=AB,AC -AD, .∠EAB+∠BAC=∠CAD+∠BAC, .∠EAC=∠BAD, ∴.△ADB≌△ACE(SAS), .BD=CE. 过点A作AF⊥BE于点F,则BE =2BF. ,∠ABC=30°， ∴.BF=ABcos30°=2√3(cm), ∴.BE=2BF=4√3(cm), .BD=CE=BE-BC=(43-3)cm. 10.解：(1)EF-DF+BE (2)成立.证明如下：延长CB到点G,使 BG=DF,连接AG,如答图1. 答图1 答图2 .∠B=∠D=90°，∠ABG=∠D 841 AB=AD,BG=DF, .△ADF≌△ABG(SAS), .AG=AF,∠GAB=∠DAF .∠EAF=60°，∠BAD=120°， .∠BAE十∠DAF=60°， .∠GAE=60°」 AE=AE, .△AGE≌△AFE(SAS) ..GE=EF, ..EF=GB+BE=DF+BE. (3)延长CB到点H,使BH=DF,连接 AH,如答图2，则∠ABH+∠ABC =180°. ,∠ABC与∠D互补， .∠ABC+∠D=180° ..∠ABH=∠D. .AB-AD,BH-DE, .△ADF≌△ABH(SAS), .AH=AF,∠HAB=∠DAF :∠EAF=∠BAD, .∠BAE+∠DAF=∠EAF, .∠HAE=∠FAE. .'AE=AE ,.△AHE≌△AFE(SAS) .HE=EF, ∴.EF=HB+BE=DF+BE, .△CEF的周长为CF+EF+CE=CE +CF+BE+DF=CB+CD=6+c. 常见的数学模型四 中点问题四大模型 【模型运用】 1./142.23.A4.√2+1 5.(1)证明：，∠ACB=90°，点M为边AB 的中点， ∴.MC=MA=MB ∴.∠MCA=∠A,∠MCB=∠B. :∠A=50°， ..∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°， ∴.∠EMC=∠MCB+∠B=80° .∠ACE=30°， ∴.∠MEC=∠A+∠ACE=80°， ∴.∠MEC-∠EMC, ..CE=CM. (2)解：AB=4, .CE=CM=AB=2. EF⊥AC,∠ACE=30°， ∴.FC=CE·cos30°=√3 6.号7.6 8.解：【数学知识】32 【数学应用】：AB=AC,AE=AF,AD AG分别为△ABC和△AEF的中线， .∠DAC= 2 ∠BAC,∠EAG= 合∠EAF, '.∠DAG=∠DAC+∠CAE+∠EAG= ∠BAC+∠CAE+是∠EAF=司 ∠BAF+2∠CAE. ,∠BAF=110°，∠CAE=24°， ∴.∠DAG=55°+12°=67°. 【拓展】45 9.号10.6.5 11.(1)证明：如答图，延长BC,交AF的延 长线于点G. 四边形ABCD是正方形，.AD= BC,AD∥CG,∴.∠DAF=∠G. 又.AF平分∠DAE, .∠DAF=∠EAF, ∴.∠G=∠EAF, ∴EA=EG ,F为CD的 中点， ..CF=DF. 又∠DFA= 答图 ∠CFG,∠FAD=∠G, ∴.△ADF≌△GCF(AAS), ∴.CG=AD=BC=BE+CE, ..EG=CE+CG=BE+2CE, ..AE=BE++2CE. (2)解：设CE=a,BE=b,则AE=2a十 b,AB=a+6. 在Rt△ABE中，AB2+BE=AE, 即(a十b)2+b2=(2a+b)2, 得b=3a,b=一a(舍去)， 暖 a十b=4. 12.(1)B(2)2<AD<10 (3)证明：①如答图1，延长AD到点G, 使DG=AD,连接BG. ,AD=DG,∠ADC=∠GDB,CD =DB, .△ADC≌△GDB(SAS) .AC=BG,∠DAC=∠G AF=EF,∴.∠AEF=∠EAF. ∠AEF=∠BEG,∴.∠BEG=∠G, ..BE=BG,..AC=BE. A 答图1 答图2 ②如答图2，延长AD到点H,使得EH =AE,连接BH. ,AE=EH,∠AEF=∠BEH,EE =EB, ∴.△AEF≌△HEB(SAS) ∴.BH=AF,∠H=∠EAF, .BH∥AC,.△BDH∽△CDA, .AF·CD=AC·BD. 常见的数学模型五 弦图模型 【模型运用】 1.962.163.√744.918+9√2 5.解：(1)CE=BG,CE⊥BG.理由如下： 如答图1，设CE与AB相交于点P. 答图1 .∠EAB=∠GAC=90°， .∠EAC=∠BAG. 在△EAC和△BAG中， EA=BA, :∠EAC=∠BAG, LAC-AG ∴.△EAC≌△BAG(SAS), ∴.CE=BG,∠AEC=∠ABG. .:∠AEC+∠APE=90°，∠APE -∠BPC, .∠BPC+∠ABG=90° .'CEI BG. (2)如答图2，过点E作EQ⊥AG,交GA 的延长线于点Q.