常见的数学模型二 角平分线问题六大模型-【崇文阁】2026中考数学常用十大模型

常见的数学模型二 角平分线问题六大模型 模型01 角平分线+边的垂线 构造 +双垂直 「数学建模」 过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，构造 相等线段、全等三角形 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点B,根据角平 分线上的点到角两边的距离相等得PB=PA,则Rt△AOP≌Rt△BOP. M A 过点P作PA⊥OM,PB⊥ON, 分别交两边于A,B两点 「模型运用」 1.如图，OE平分∠AOB,ECLOB于点C,D为射线OA上的动点.若EC=2,则DE的最小值为 () A.1 B.√3 C.2 D.3 D 2 第1题图 第2题图 2.[2022·北京]如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E.若AC=2,DE=1,则 SAACD- 模型02 角平分线+角平分线的垂线构造 等腰三角形 「数学建模」 从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交构造等腰三角形，利用“三线合 一”解题. 如图，P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上一点，AP⊥OP于点P,延长AP交ON 于点B,则Rt△AOP≌Rt△BOP,△AOB是等腰三角形. 延长AP,交 ON于点B 0 B 6 「模型运用」 3.如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若AC=6,BC=4,则 BD的长为 () A.1 B.1.5 C.2 D.2.5 模型03 角平分线+对称 构造，全等三角形 「数学建模」 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA, 连接PB,则△OPB≌△OPA. 在ON上截取 OB=OA,连接PB 「模型运用」 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠C=2∠B.求证：AB=AC+CD, 模型04 角平分线+平行线 构造，等腰三角形 「数学建模」 有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形.如图，P 是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON,则△QOP为等腰三角形 M 过点P作QPIION, Q 交OM于点Q 0 ⑦ 「模型运用」 5.[2023·株洲]如图，在□ABCD中，AB=5,AD=3,∠DAB的平分线AE交线段CD于点E, 则EC= 6.如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线交于点F,过F作DE∥BC,交AB于点D, 交AC于点E.若BD+CE=10,则线段DE的长为 7.如图，在□ABCD中，AE,BF分别平分∠DAB,∠ABC,交CD于点E,F(点E在F的右边)，若 AD=5,EF=2,则AB的长是 B 第5题图 第6题图 第7题图 模型05 角平分线+角平分线构造，三角形纳心 「数学建模」 如图，△ABC中任意两条角平分线相交于点P,则点P为三角形的内心，且SAc=(AB十 AC+BC·PM,∠BPC=90+2∠A. Q 。0 第8题图 第9题图 「模型运用」 8.[2023·聊城]如图，O是△ABC外接圆的圆心，I是△ABC的内心，连接OB,IA.若∠CAI= 35°，则∠OBC的度数为 () A.15 B.17.5° C.20° D.25° 9.[2024·滨州]刘徽（今山东滨州人）是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基 者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型 的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式.如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AB,BC,CA的长分别为c,a,b.则可以用含c,a,b的式子表示出△ABC的内切圆 直径d,下列表达式错误的是 () 2ab A.d=a+b-c B.d=_ a+b+c C.d=√2(c-a)(c-b) D.d=|(a-b)(c-b) 10.[2023·湖北]如图，在△ABC中，∠ACB=70°，△ABC的内切圆⊙O与AB,BC分别相切于 点D,E,连接DE,AO的延长线交DE于点F,则∠AFD= B E 第10题图 第11题图 11.[2024·内江]如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8,E是BC边上一点，且BE=2,点I是 △ABC的内心，BI的延长线交AC于点D,P是BD上一动点，连接PE,PC,则PE十PC的最 小值为 模型06 角平分线+圆构 →等腰三角形 「数学建模」 如图，在四边形ABDC中，若∠BAC十∠BDC=180°，则易知点A,B,D,C在同一个圆上，作 出△ABC的外接圆，当AD平分∠BAC时，容易得到BD=CD;类似地，当BD=CD时，容易得到 AD平分∠BAC. 「模型运用」 12.如图，△ADC内接于⊙O,AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB. (1)试判断△ABC的形状，并给出证明. (2)若AB=√2，AD=1,求CD的长. ⑨常见的数学模型一反比例函数中的 面积问题 【模型运用】 1.-42.-123.244.B5.2023 6.8 7.解：(1)直线y=mx与反比例函数y= 2的图象相交于A(一2，)，B两点， 点A与点B关于原点中心对称， .点B(2,-a),.点C(2,0). S△oc=2,∴2X2Xa=2,解得a=2, .点A(-2,2) 把点A(一2,2)的坐标分别代人y=mx 和y=2,得-2m=2,2=2 解得m=一1，n=一4. (2)设直线AC的函数表达式为y一kx十 b(k≠0). 将点A(一2,2)，C(2,0)的坐标分别代 入，得 (一2k十6=2，解得k=一立， 2k+b=0, b=1, “直线AC的函数表达式为y=一2x +1. 8.49.810.C11.D12.A13.12 14.915.C16.717.-6 常见的数学模型二角平分线问题 六大模型 【模型运用】 1.C2.13.A 答图 4.证明：如答图，在AB上取点E,使AE =AC. (AE=AC, 在△AED和△ACD中，·∠1=∠2， AD-AD, '.△AED≌△ACD(SAS) '.∠AED=∠C,ED=CD. 又∠C=2∠B,且∠AED=∠B 十∠BDE, ∴∠B=∠BDE,BE=DE, ..AB=AE+BE-AC+DE-AC+CD 5.26.107.88.C9.D10.35 11.2√/13 12.解：(1)△ABC是等腰直角三角形.证明 如下： .AC为⊙O的直径， .∠ADC=∠ABC=90° ,∠ADB=∠CDB, ..AB=BC, ,.△ABC是等腰直角三角形 (2)在Rt△ABC中，AB=BC=√2， .AC=√AB+BC=2. 在Rt△ADC中，AD=1,AC=2, ∴.CD=√AC-AD=3 常见的数学模型三全等问题六大 学考模型 【模型运用】 1.3 中专常见的十种数学模型 2.(1)证明：在△ABC和△DFE中， (AB-DF, AC=DE, BC=EF, .△ABC≌△DFE(SSS), ∴.∠ACB=∠DEF,即∠GCE=∠GEC, ..GE=GC .△GEC为等腰三角形！ (2)AD与l的位置关系是AD∥1.理由 如下： 连接AD,过点A作AM⊥直线L于点M,过 点D作DN⊥直线I于点N,如答图所示： 答图 则∠AMB=∠DNF=90°，AM∥DN. ,△ABC≌△DFE, ∴.∠ABM=∠DFN. 在△ABM和△DFN中， /∠AMB=∠DNF=90° ∠ABM=∠DFN, AR=DF ∴.△ABM≌△DFN(AAS), ∴.AM=DN, .四边形AMND为平行四边形 .AD∥l. 3.80 4.解：(1)AF=DE (2)AF=DE.证明如下： 四边形ABCD是矩形，EF⊥CE,∠A =∠FEC=∠D=90°，AB=CD ∴·∠AEF+∠DEC=90°，∠DEC+∠DCE =90°.AE=AB,AE=CD, ∴.∠AEF=∠DCE. 在△AEF和△DCE中， ∠A=∠D AE=CD, ∠AEF=∠DCE, .△AEF≌△DCE(ASA),∴.AF=DE (3)",△AEF≌△DCE, ..AE=CD=AB=2,..AF=DE=3, .FB=FA-AB=1. BG∥AD,.△FBG∽△FAE, BG-FB' AE FA 3BG=2 5.证明：AD∥CB,∴.∠A=∠C 1∠A=∠C 在△ADF和△CBE中，AD=CB, ∠D=∠B, ∴△ADF≌△CBE(ASA),∴.AF=CE, .AF+EF=CE+EF,即AE=CF 6.(1)证明：在△ABC和△ADE中， BC=DE, ∠B=∠D, AB=AD, ∴.△ABC≌△ADE(SAS) (2)解：由(1)得△ABC≌△ADE, ∴.AC=AE,∠BAC=∠DAE=60° .∠AEC=∠ACE. .∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180° ∠DAE=120°， .∠ACE=60°」 7.(1)证明：∠BCE=∠ACD ∴.∠BCE-∠ACE=∠ACD-∠ACE, 即∠ACB=∠DCE. 又∠BAC=∠D,BC=CE. ∴.△ACB≌△DCE(AAS), ·…0参考答案0· ∴.AC=CD (2)解：，∠ACD=90°，AC=CD, .∠CAD=∠D=45°. .AE=AC,∴.∠ACE=∠AEC=67.5°， ∴.∠DEC=180°-∠AEC=112.5°. 8.解：(1)①CE+CD=CA.理由如下： ,△ABC和△ADE是等边三角形 ..AB=AC=BC,AD=AE=DE,/BAC =∠DAE=60°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， AB=AC. ∠BAD=∠CAE, LAD-AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS), ..CE=BD .BD+CD=BC. ..CE+CD-CA. ②CA十CD=CE.理由如下： △ABC和△ADE是等边三角形， ..AB=AC=BC,AD=AE=DE,/BAC =∠DAE=60°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE AD-AE. .△ABD≌△ACE(SAS), ∴.CE=BD. .CB+CD=BD. ∴.CA+CD=CE (2)过点E作EH∥AB,则△EHC为等 边三角形 ①当点D在点H左侧时，如答图1. ,△ABC和△EHC都是等边三角形， ∴.ED=EF,∠DEH=∠FEC,EH =EC, .△EDH≌△EFC(SAS), ∴.∠ECF=∠EHD=120°， 此时△CEF不可 能为直角三 角形. ②当点D在点H 右侧，且在线段 CH上时，如答 图2， B D 同理可得△EDH ≌△EFC(SAS), 答图 ∠FCE ∠EHD=60° ∠FEC=∠DEH<∠HEC=60°， 此时只有∠CFE有可能为90°. 当∠CFE=90°时，∠EDH=90°， .ED⊥CH. ."CH=CE=2√3， ∴CD=2CH=3. 又AB=6, .BD=BC-CD=6-√3. A 答图2 83J