常见的数学模型七 瓜豆原理(主丛联动问题)-【崇文阁】2026中考数学常用十大模型

∠FEO=90°， .OE是⊙O的半径 ,.EF是⊙O的切线， (2)解：过点M作MH ⊥BC于点H,则 △BMH是等腰直角 三角形 ,BM=4√2， 答图 BH-MH- =4. 在Rt△CHM中，，tan∠BCD= HM C .CH=2MH=8, ∴.CM=√/CH+M=4√5，CB=CH +BH=12. 连接BD,如答图. ,CD是⊙O的直径， ∴.BD⊥BC, .MH∥BD, CM CH ∴DMB丽' 即源-， .DM=25, ∴0D=号CD=35, ∴.OM=OD-DM=√5」 7.(1)证明：，AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°，∴.∠BCD=90° .∠D+∠CBD=90° BD是⊙O的切线， .∠ABD=90°，.∠ABC+∠CBD= 90°，∴.∠ABC=∠D .AC=AC, ∠E=∠ABC,∴.∠E=∠D .AC=CE, .∠CAE=∠E,∴.∠CAE=∠D (2)解：过点C作CH⊥ AE于点H,如答图. .OA=3, ,∴.AB=2OA=6 在Rt△ABD中， AD=√AB+BD =√6+(3√2)2=3√6 :SAD=号AB·BD=号AD·BC, ÷BC=AB:BD_6X3E=25, AD 3√6 ∴.AC=√AB2-BC=√62-(23)2= 2W6 同理可得，CG=2√2，AG=√AC-CG= /(26)2-(22)2=4, ∴.BG=2. .AC=CE,CH⊥AE,∴.AE=2AH. 由(1)可得∠ABC=∠CAH,∠ACB= ∠CHA=90°， .△ACB∽△CHA B0指A26 ..AH_AC 23 6 .AH=2√2，.AE=4√2 设FG=x,则AF=4+x, ,∠E=∠CBF,∠EAF=∠BCF, MAEFSACBEE 即平得 86」 CF=46+6z 4 ,CF2=CG2+FG2】 ∴4v6+6z =(2√2)2十x2, 4 解得x=号或x=4(舍去)， FG的长为号 8.证明：⊙O与DE相切于点B,AB为 ⊙O的直径， .∠ABE=90°，.∠BAE+∠E=90°， 又.AE⊥AC,∴.∠DAE=90°， ∴.∠BAD+∠BAE=90°， .∠BAD=∠E. 9.证明：如答图，设AD与⊙O交于点F,连接BF 设∠BAD=a. .AD平分∠BAC, .∠CAD=∠BAD=a ,AB是⊙O的直径， .∠ACB=90°， ∠BED=∠AEC= 答图 90°-a. BD是⊙O的切线，BD⊥AB, .∠D=90°-∠BAD=90°-a, ∠D=∠BED,BD=BE 10.证明：.OB=OD,∴.∠ABC=∠ODB .AB=AC,.∠ABC=∠ACB, ..∠ODB=∠ACB,.'.OD∥AC DE是⊙O的切线，OD是半径， .DE⊥OD,.DE⊥AC 11.证明：，在△AOC中，AC=2,A0=O0 =2AB=2, .△AOC是等边三角形， .∠AOC=60°，.∠AEC=30° DC为⊙O的切线，.OC⊥. 又BD⊥L,∴.OC∥BD, ,.∠ABD=∠AOC=60°」 :AB为⊙O的直径，∠AEB=90°， .∠EAB=30°，∴.∠EAB=∠AEC, .AB∥CE, .四边形OBEC为平行四边形 又，OB=OC,.□OBEC是菱形 常见的数学模型七瓜豆原理 (主从联动问题) 【模型运用】 1.C2.2√23.4 5.解：(1)，OA=3,tan∠OAC ΓOA-3 ∴OC=√3 四边形OABC是矩形，∴.BC=AO=3. D是BC的中点， CD=BC= 3 2 “点D的坐标为（会） (2)@:tan∠0AC=5 31 ∴.∠OAC=30°，.∠ACB=∠OAC =30°. 设将△DBF翻折后，点B落在AC上的 点B处，如答图1， P 0 答图1 则DB'=DB=DC,∠BDF=∠B'DF, ∴.∠DB'C=∠ACB=30°， .∠BDB=60°， .∠BDF=∠B'DF=30 .∠B=90°， BF=BD·tan30°=E 2 又：AB=5,AF=5=BF .·∠BFD=∠AFE,∠B=∠FAE=90°， .△BFD≌△AFE(ASA), AE=BD=是OE=OA+AB=号 3 “点E的坐标为（号0） ②如答图2，△DFG,△DFG'都是等边 三角形，GG即是点G的运动路径.由 △DFF≌△DGG,得GG-FF. G ◆y G 7ō 答图2 3 过点00,0)，D(3）B(3,3)的抛 物线为y=一 25x+3x,则点E 9 (号，0），直线DE的表达式为 y+ 令8则y-9, 点F(,号) 过点M(o,号）D(w),B(3, )的抛物线为y=一品后+侣x+ 号， 则点E(6,0),直线DE的函数表达式为 y=-5x+ 令x=3,则y=子5， “点F(3,号5） “F=号后-号-得，即点G运动路 径的长为得 6.1.57.27-18.2w2+12√2-1 9.205-16 10.(1)3+1 2 D 答图 (2)解：如答图，连接A"B. SAAc=图+1 2 SoAnC =13+1 2 ∠ACB=45°，.∠ACA"=90°， .S形C 360 ∴线段AP扫过的面积为S角形c 5-S-(1+9 x-1-3. 常见的数学模型八中考相似问题 四大模型 【模型运用】 1.C 2.解：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC,AD=BC=6, .△FGCp△DGA,△EBFP△EAD .BE=AB, .BF-2AD-3, ..FC=BC-BF=3, 解得FG=2. 3.号455.号或号 6.(1)证明：，DE⊥AB, ∴.∠AED=∠C=90° 又.∠A=∠A,∴.△ABCC△ADE. (2)解：：AC=8,BC=6,CD=3, .AB=√AC+BC=10, AD=AC-CD=5. △ABC∽△ADE,:.AE-AD=1 ACAB=2· .AE=4. 7.(1)证明：DC是⊙O的切线， .∠OCD=90° ∠D=30°， .∠BOC=∠D+∠OCD=120° 又.OB=OC, .∠B=∠OCB=30°， .∠DCB=120°=∠COB. 又∠OBC=∠CBD, ,∴.△BOC△BCD (2)解：，∠D=30°，DC=√3，∠OCD =90°， ∴.OB=OC=DC·tan30°=1， .D0=2OC=2. 又.∠B=∠D=30° DC=BC=√3， .△BCD的周长=CD+BC+DB=√3 +√5+2+1=3+2W3 8.(1)证明：，△ABCc∽△ADE, ∴.∠BAC=∠DAE AB AD ACAE' ∴.∠BAD=∠CAE,∴.△ABD∽△ACE (2)解：如答图1，连接EC .∠BAC=∠DAE=90°， ∠ABC=∠ADE=30°， .△ABCC∽△ADE. 同(1)，易知△ABD△ACE, 能品， ∠ACE=∠ABD=∠ADE. 在Rt△ADE中，∠ADE=30°， .:4 E=3, =√3×√3=3. '∠ADF=∠ECF,∠AFD=∠EFC, .△ADFO△ECF, DF_AD CF-CE=3. 答图1 图) (3)解：如答图2，过点A作AB的垂线， 过点D作AD的垂线，两垂线相交于点 M,连接BM. .∠BAD=30° ∴.∠DAM=60°，∴.∠AMD=30°， ∴.∠AMD=∠DBC. 又.∠ADM=∠BDC=90°， ∴.△BDC∽△MDA,∠BDM=∠CDA, 品， ∴.△BDM∽△CDA, ÷8X-=a∠DaM=E. ,AC=2√5，.BM=25X5=6, ,∴.AM=√BM-AB2=25, AD=AM-/5. 9.(1)证明：AB=AC,∴.∠B=∠C. 又∠APD=∠B,∴.∠APD=∠B =∠C. ∠APC=∠BAP+∠B, ∠APC=∠APD+∠DPC, ∴.∠BAP=∠DPC,∴.△ABP∽△PCD 部-部AB,CD=Cp,BP 又，AB=AC,.AC·CD=CP·BP (2)解：，PD∥AB,.∠APD=∠BAP 又∠APD=∠C,∴∠BAP=∠C 又∠B=∠B,∴.△BAP∽△BCA, -BP BC BA 又AB=10,BC=12, ∴8-SBp-9 3 10.(1)①证明：，四边形ABCD是正方形， .∠A=∠D=90°， '.∠ECD+∠CED=90° ,∠CEF=90°， ..∠AEF+∠CED=90°， .∠AEF=∠ECD, '.△AEFp△DCE. ②解：如答图1，延长DA,交CF的延长 线于点G,过点G作GH⊥CE,交CE的 延长线于点H 答图1 ,∠H=∠D=90°，∠GEH=∠CED, AGEH∽ACED,部能 又CD=2,AE=ED=1,.GH =2HE. 设EH=m,则GH=2m. .CE=√DE+CD=√5 .CH=m+√5. :m∠BCp=0=号， 2 m+5 解得加- …0参考答案0· ∴EH-9,GH=5, ·.EG=VGH+E=5 , :AG=EG-AE=号，DG=BG+DE A/cD品-品 即AF -子解得AF=号 (2)证明：如答图2，过点G作GH⊥CE, 交CE的延长线于点H. 答图2 AD=CD=a,GE=DE=t,EH=x, GH=y,CE=n. ∠H=∠D=90°，∠GEH=∠CED, .△GEHO△CED, 在Rt△CGH中，：m∠ECF-号 =G CG, ∴.CG=3GH,CH=2√2GH, GH y CH2J2 22)=x+n,2w2X=号+n, ..22at=t+n2. 在Rt△CDE中，n2=t2+a2, 22at=22+a2,a=√2t .AF∥CD, 品瓷- a 2t1 AF-a2a0-a-景-a-k 2t 又AE=a-t,∴.AE=AF. 常见的数学模型九PA士PB型 最值问题 【模型运用】 1.5 2.1+√3 3.8 4.号 5.解：y=-x2十2x十3=-(x-1)2+4, .顶点M(1,4). 设直线AM的函数表达式为y=kx十b, 期色46。每得{合2： .直线AM的函数表达式为y=2x十2. 当x=0时，y=2, .点D(0,2). 如答图，作点D关于x 轴的对称点D'(0, 2),连接D'M,D'H, 则DH=DH, ∴.MH+DH=MH+ DH≥DM,即MH+ 答图 DH的最小值为DM. 87」常见的数学模型七 瓜豆原理（主从联动问题） 古人云：种瓜得瓜，种豆得豆.“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理” 模型01运动轨迹为直线 「数学建模」 1.如图1，P是直线BC上一动点，点A在直线BC外，连接AP,取AP的中点Q,当点P在BC上 运动时，点Q的轨迹是怎样的？ 0 A卫 B P B P N M () (从) (主) (从 图1 图2 图3 图4 如图2，分别过点A,Q向BC作垂线，垂足分别为点M,N.在运动过程中，因为AP=2AQ,所以 QN始终为AM的一半，即点Q到BC的距离是定值，故点Q的轨迹是一条直线. 2.如图3，C为定点，P,Q为动点，CP=CQ,且∠PCQ的度数为定值，当点P在直线AB上运动 时，点Q的运动轨迹是怎样的？ 如图4，易知△CPP≌△CQQ(SAS),则∠CPP1=∠CQQ1,故可知点Q的轨迹是与AB夹角 为(180°-2∠1)的一条直线. 模型总结 条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量， 结论：①主动点、从动点的运动轨迹是同样的图形； ②主动点路径所在直线与从动点路径所在直线的夹角等于定角； ③当主动点、从动点到定点的距离相等时，从动点的运动路径长等于主动点的运动路径长 『模型运用」 1.如图，在平面直角坐标系中，点A(一3,0)，B是y轴正半轴上一点，以AB为边在AB的右下方 作等边三角形ABP.当点B在y轴上运动时，OP的最小值是 () A.3 B.3V6-3V2 2 c D.32 2 M(A) M B' O(C) N(B) E 第1题图 第2题图 第3题图 第4题图 3 2.如图，已知A是第一象限内横坐标为2√3的一个定点，AC⊥x轴于点M,交直线y=一x于点 N.若P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA,则点P在线段ON上运动时，A点 不变，B点随之运动.当点P从点O运动到点N时，点B的运动路径长是 3.如图，已知点M(0,4),N(4,0),先将△ABC的三个顶点A,B,C依次与点M,N,O重合，然后将 点A在y轴上从点M开始向点O滑动，到达点O后停止，同时点B沿着x轴向右滑动.若在此 运动过程中，△ABC形状、大小保持不变，则点C的运动路径长为 4.如图，正方形ABCD的边长为4，E为边BC上一点，且BE=1,F为边AB上的一个动点，连接 EF,以EF为边向右侧作等边三角形EFG,连接CG,则CG的最小值为 5.如图1，已知在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A,C分别在x轴和y轴的正半轴 上，连接AC,0A=3,tan∠OAC=9,D是BC的中点 (1)求OC的长和点D的坐标. (2)如图2，M是线段OC上的点，OM=子0C,P是线段OM上的一个动点，经过P,D,B三点的 抛物线交x轴的正半轴于点E,连接DE交AB于点F. ①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标. ②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边三角形DFG,当动点P从点O运动到点M 时，点G也随之运动，求出点G运动路径的长。 c M P 710 图1 图2 32 模型02运动轨迹为圆 「数学建模」 1.如图1，P是⊙O上一个动点，A为定点，连接AP,Q为AP中点.当点P在⊙O上运动时，点Q 轨迹是怎样的？ 如图2，连接AO,取A0的中点M,则有QM-2OP,∴点Q的轨迹是以点M为圆心，OP长 为半径的圆. A Q P 0 图1 图2 图3 图4 2.如图3，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ,当点P在⊙O上运动时，点Q的轨迹 是怎样的？ 如图4，连接OA,过点A作A0的垂线AM,使得AM-A0,易证△APOn△AQM,且相似比为2， “MQ=2Op, ·点Q的轨迹是以点M为圆心，2OP长为半径的圆. 模型总结 条件：主动点、从动点与定点连线的夹角是定量；主动点、从动点到定点的距离之比是定量. 结论：①主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角； ②主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比，也等于两圆半径之比. 「模型运用」 6.如图，点P(3,4),⊙P的半径为2，点A(2.8,0),B(5.6,0),M是⊙P上的动点，C是MB的中 点，则AC的最小值为 c" 0 A B 第6题图 第7题图 第8题图 7.如图，AB=6,点O在线段AB上，AO=2,⊙O的半径为1，P是⊙O上一动点，以BP为一边作 等边三角形BPQ,则AQ长的最小值为 8.[2024·河南]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=3,线段CD绕点C在平面内旋 转，过点B作AD的垂线，交射线AD于点E.若CD=1,则AE的最大值为 ,最小值为 33 模型03由轴对称（折叠）产生的运动轨迹 「数学建模」 如图，在矩形ABCD中，将其中一角向矩形内部折叠（点N与点A关于直线MD对称），则点 N的运动轨迹是怎样的？ D ND=AD,∴.点N的运动轨迹是以点D为圆心，AD长为半径的圆弧。 条件：主动点在对称轴上，从动点与定点关于主动点所在的一条直线对称 结论：①从动点与定点的连线垂直于对称轴； ②从动点的轨迹是以对称轴上一点为圆心，定点到这一点的距离为半径的圆弧. 「模型运用」 9.[2024·烟台]如图，在□ABCD中，∠C=120°，AB=8,BC=10, D' E为边CD的中点，F为边AD上的一动点，将△DEF沿EF翻折 得△D'EF,连接AD',BD',则△ABD面积的最小值为 B 10.如图，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=45°，AB=2,点P从点A出发沿AB方向运动，到达 点B时停止运动.连接CP,点A关于直线CP的对称点为A',连接A'C,A'P (1)在运动过程中，点A'到直线AB距离的最大值是 (2)点P到达点B时，求线段A'P扫过的面积 A 4