常见的数学模型一 反比例函数中的面积问题-【崇文阁】2026中考数学常用十大模型

常见的数学模型一反比例函数中的面积问题 模型01“一点一垂线”型（由反比例函数图象上一点向一坐标轴作垂线） 「数学建模」 SAMOP-2kl S△A0c=S△BOD= 2 S△ABC= 2 「模型运用」 1.[2024·深圳模拟]如图，A是反比例函数y=的图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B,点 C在x轴上，且S△ABc=2,则的值为 2.[2024·南山区二模]如图，点A是反比例函数y=的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂 足为点B,点C为y轴上的一点，连接AC,BC.若△ABC的面积为6，则k的值是 3.[2023·烟台]如图，在平面直角坐标系中，⊙A与x轴相切于点B,CB为⊙A的直径，点C在 函数y=(>0,>0)的图象上，D为y轴上一点，△ACD的面积为6，则的值为 0 01 第1题图 第2题图 第3题图 模型02“一点两垂线”型（由反比例函数图象上一点向两坐标轴分别作垂线） 「数学建模」 S矩形PMON= S1=S2 「模型运用」 4.如图，在平面直角坐标系中，函数y=(x>0)的图象经过点P,Q,R,分别过这三个点作x轴、y 轴的平行线，阴影部分图形的面积从左到右依次为S1,S2,S3.若OE=ED=DC,S1十S3=10,则 k的值为 () A.6 B.12 C.18 D.24 P C S2 R E P4 Ps S3 -----7- P2024 0 012345 2024x 第4题图 第5题图 5.[2023·枣庄]如图，在反比例函数y=8(x>0)的图象上有P,P2,P,,Pe等点，它们的横 坐标依次为1,2,3，·，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面 积从左到右依次为S1,S2,S3,…,S223,则S1十S2十S3十…十S223= 模型03“两点一垂线”型（由反比例函数图象与正比例函数图象的交点向坐标轴作一条垂线） 「数学建模」 B S△ABM=|k| S△ABM=|| S△ABC=S△ADC十S△CDBS△ABC=S△BcD十S△ACD 2CD·Iyg-ya 2CD·lxB-xA 「模型运用」 6.如图，一直线经过原点0，且与反比例函数y=(>0)的图象相交于点 A,B,过点A作AC⊥y轴，垂足为点C,连接BC.若△ABC的面积为8，则 k三 7.如图，在平面直角坐标系中，直线)y一x与反比例函数)一”的图象相交 于A(一2，a),B两点，BC⊥x轴，垂足为点C,△AOC的面积是2.求： (1)m,n的值 (2)直线AC的函数表达式. 模型04“两点两垂线”型（由反比例函数图象与正比例函数图象的两个交点向坐标轴作两条垂线） 「数学建模」 S△APP=2 SOAMBN=2k 「模型运用」 8知如图，反比例函数y-二的图象与直线y=z(>0)相交于A,B周点，AC∥y抽，BC∥x轴，则 △ABC的面积为 第8题图 第9题图 9.如图，A,C分别是正比例函数y=x的图象与反比例函数y=4的图象的交点，过点A作AD⊥ 2 x轴于点D,过点C作CB⊥x轴于点B,则四边形ABCD的面积为 模型05 “两交点和一点”型（由反比例函数图像与一次函数图像的两个交点与坐标轴上的一点 构成三角形 「数学建模」 0 OE F S△ABO=S四边形BOFA一S△AOF S△CDE=S△ACD十S△ADE S△ABc=S△BCE十S△ACE =S△OE十S梯形BEFA一S△AOF =AD·0-el -CE lz- 1k一S准形沙 -2 =21+)1-x 3 「模型运用」 10.[2023·张家界]如图，矩形OABC的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上，点D在AB上， 且AD=AB,反比例函数y=(>0)的图象经过点D及矩形OABC的对称中心M,连接 OD,OM,DM.若△ODM的面积为3，则k的值为 () A.2 B.3 C.4 D.5 D 0 C 0 第10题图 第11题图 第12题图 11.[2024·牡丹江]矩形OBAC在平面直角坐标系中的位置如图所示，反比例函数y=的图象 与AB边交于点D,与AC边交于点F,与OA交于点E,OE=2AE.若四边形ODAF的面积为 2,则k的值是 () A号 B哥 c号 D.5 12.[2024·黑龙江]如图，双曲线y=12(x>0)经过A,B两点，连接OA,AB,过点B作BD1y 2 轴，垂足为点D,BD交OA于点E,且E为AO的中点，则△AEB的面积是 () A.4.5 B.3.5 C.3 D.2.5 13.[2024·内蒙古]如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(5,0)，(2,6)，过点B作 BC∥x轴交y轴于点C,点D为线段AB上的一点，且BD=2AD,反比例函数y一之(>0)的 图象经过点D,交线段BC于点E,则四边形ODBE的面积是 1V 0 A 第13题图 第14题图 14.如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=x十n的图象相交于点A(2,),B(一6，b).连接 OA,OB.若△AOB的面积为12，则m的值为 模型06“双反比例函数图象与平行线”型（两个反比例函数图象与坐标轴的平行线分别相交） 「数学建模」 y=x M 0 S△ABC=S△AOB= y=x B A y=x 0 A 、B y= D E C y 0 y=x S矩形ABCD=k1一k2 S矩形ABDc=2k1|十E2|十S矩形OECF 「模型运用」 15.如图，点A在反比例函数y一的图象上，点B在反比例两数y-兰的图象上，AB/x轴，点 C,D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 () A.4 B.6 C.8 D.12 16.[2024·深圳南山区一模]如图，平行于x轴的直线1与反比例函数y=1(x>0)和y=(x>0) 的图象交于A,B两点，点C是x轴上任意一点，且△ABC的面积为3，则k的值为 y 12 A y= y=x OD 0 D O C 第15题图 第16题图 第17题图 17.[2023·齐齐哈尔]如图，点A在反比例函数y=(k≠0)图象的一支上，点B在反比例函数 y=一冬图象的一支上，点C,D在x轴上.若四边形ABCD是面积为9的正方形，则实数k的 2x 值为常见的数学模型一反比例函数中的 面积问题 【模型运用】 1.-42.-123.244.B5.2023 6.8 7.解：(1)直线y=mx与反比例函数y= 2的图象相交于A(一2，)，B两点， 点A与点B关于原点中心对称， .点B(2,-a),.点C(2,0). S△oc=2,∴2X2Xa=2,解得a=2, .点A(-2,2) 把点A(一2,2)的坐标分别代人y=mx 和y=2,得-2m=2,2=2 解得m=一1，n=一4. (2)设直线AC的函数表达式为y一kx十 b(k≠0). 将点A(一2,2)，C(2,0)的坐标分别代 入，得 (一2k十6=2，解得k=一立， 2k+b=0, b=1, “直线AC的函数表达式为y=一2x +1. 8.49.810.C11.D12.A13.12 14.915.C16.717.-6 常见的数学模型二角平分线问题 六大模型 【模型运用】 1.C2.13.A 答图 4.证明：如答图，在AB上取点E,使AE =AC. (AE=AC, 在△AED和△ACD中，·∠1=∠2， AD-AD, '.△AED≌△ACD(SAS) '.∠AED=∠C,ED=CD. 又∠C=2∠B,且∠AED=∠B 十∠BDE, ∴∠B=∠BDE,BE=DE, ..AB=AE+BE-AC+DE-AC+CD 5.26.107.88.C9.D10.35 11.2√/13 12.解：(1)△ABC是等腰直角三角形.证明 如下： .AC为⊙O的直径， .∠ADC=∠ABC=90° ,∠ADB=∠CDB, ..AB=BC, ,.△ABC是等腰直角三角形 (2)在Rt△ABC中，AB=BC=√2， .AC=√AB+BC=2. 在Rt△ADC中，AD=1,AC=2, ∴.CD=√AC-AD=3 常见的数学模型三全等问题六大 学考模型 【模型运用】 1.3 中专常见的十种数学模型 2.(1)证明：在△ABC和△DFE中， (AB-DF, AC=DE, BC=EF, .△ABC≌△DFE(SSS), ∴.∠ACB=∠DEF,即∠GCE=∠GEC, ..GE=GC .△GEC为等腰三角形！ (2)AD与l的位置关系是AD∥1.理由 如下： 连接AD,过点A作AM⊥直线L于点M,过 点D作DN⊥直线I于点N,如答图所示： 答图 则∠AMB=∠DNF=90°，AM∥DN. ,△ABC≌△DFE, ∴.∠ABM=∠DFN. 在△ABM和△DFN中， /∠AMB=∠DNF=90° ∠ABM=∠DFN, AR=DF ∴.△ABM≌△DFN(AAS), ∴.AM=DN, .四边形AMND为平行四边形 .AD∥l. 3.80 4.解：(1)AF=DE (2)AF=DE.证明如下： 四边形ABCD是矩形，EF⊥CE,∠A =∠FEC=∠D=90°，AB=CD ∴·∠AEF+∠DEC=90°，∠DEC+∠DCE =90°.AE=AB,AE=CD, ∴.∠AEF=∠DCE. 在△AEF和△DCE中， ∠A=∠D AE=CD, ∠AEF=∠DCE, .△AEF≌△DCE(ASA),∴.AF=DE (3)",△AEF≌△DCE, ..AE=CD=AB=2,..AF=DE=3, .FB=FA-AB=1. BG∥AD,.△FBG∽△FAE, BG-FB' AE FA 3BG=2 5.证明：AD∥CB,∴.∠A=∠C 1∠A=∠C 在△ADF和△CBE中，AD=CB, ∠D=∠B, ∴△ADF≌△CBE(ASA),∴.AF=CE, .AF+EF=CE+EF,即AE=CF 6.(1)证明：在△ABC和△ADE中， BC=DE, ∠B=∠D, AB=AD, ∴.△ABC≌△ADE(SAS) (2)解：由(1)得△ABC≌△ADE, ∴.AC=AE,∠BAC=∠DAE=60° .∠AEC=∠ACE. .∠AEC+∠ACE=2∠ACE=180° ∠DAE=120°， .∠ACE=60°」 7.(1)证明：∠BCE=∠ACD ∴.∠BCE-∠ACE=∠ACD-∠ACE, 即∠ACB=∠DCE. 又∠BAC=∠D,BC=CE. ∴.△ACB≌△DCE(AAS), ·…0参考答案0· ∴.AC=CD (2)解：，∠ACD=90°，AC=CD, .∠CAD=∠D=45°. .AE=AC,∴.∠ACE=∠AEC=67.5°， ∴.∠DEC=180°-∠AEC=112.5°. 8.解：(1)①CE+CD=CA.理由如下： ,△ABC和△ADE是等边三角形 ..AB=AC=BC,AD=AE=DE,/BAC =∠DAE=60°， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, .∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， AB=AC. ∠BAD=∠CAE, LAD-AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS), ..CE=BD .BD+CD=BC. ..CE+CD-CA. ②CA十CD=CE.理由如下： △ABC和△ADE是等边三角形， ..AB=AC=BC,AD=AE=DE,/BAC =∠DAE=60°， ∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE AD-AE. .△ABD≌△ACE(SAS), ∴.CE=BD. .CB+CD=BD. ∴.CA+CD=CE (2)过点E作EH∥AB,则△EHC为等 边三角形 ①当点D在点H左侧时，如答图1. ,△ABC和△EHC都是等边三角形， ∴.ED=EF,∠DEH=∠FEC,EH =EC, .△EDH≌△EFC(SAS), ∴.∠ECF=∠EHD=120°， 此时△CEF不可 能为直角三 角形. ②当点D在点H 右侧，且在线段 CH上时，如答 图2， B D 同理可得△EDH ≌△EFC(SAS), 答图 ∠FCE ∠EHD=60° ∠FEC=∠DEH<∠HEC=60°， 此时只有∠CFE有可能为90°. 当∠CFE=90°时，∠EDH=90°， .ED⊥CH. ."CH=CE=2√3， ∴CD=2CH=3. 又AB=6, .BD=BC-CD=6-√3. A 答图2 83J