专题10 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

该初中数学讲义通过分类梳理三角形倒角模型构建知识体系，以框架图呈现高分线、双垂直、子母型双垂直（射影）模型的条件、结论及证明过程，清晰展示内角和、外角定理等知识的内在联系与重难点分布。 讲义亮点在于真题驱动的模型运用设计，如高分线模型中“已知高和角平分线求角度”的例题，双垂直模型中“利用等面积法求线段长”的探究题，培养学生推理意识与几何直观。分层练习题覆盖基础到拓展，助力不同层次学生掌握方法，为教师精准教学提供系统支持。

专题10 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （2025·河北邢台·模拟检测）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． （2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，、分别是的高、角平分线，，求的度数是______度． 例2（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的角平分线，是的高，，且与的度数之比为，则 __________， __________． 例3（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为___________； 例4（24-25七年级下·全国·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究． 【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点D，使得，的角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由． 例5（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 模型2.双垂直模型 例1（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，且BC边上的高AD与AC边上的高BE相交于点F，若BD＝5，则△ABF的面积为______． 例2（25-26七年级下·甘肃武威·期末）中，，H为高的交点，则_______． 例3（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动 探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形． 数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程； 如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线． 求证：是等边三角形． 探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形． 下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明． 例4（24-25七年级下·上海金山·期末）某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 例5（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）【探究发现】（1）如图①，中，是高和高的交点，则与的大小关系是______________； 【拓展运用】（2）如图①，中，是高和高的交点，且，请你猜想和的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】（3）若将图①中的改成钝角，是高和高所在直线的交点，且，请你在图②中画出该题的图形，此时（1）中的结论还成立吗？为什么？ 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（25-26七年级下·海南海口·期中）如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 例2（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知：如图，在中，，，垂足为，平分交于点，交于点，平分交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 例3（25-26七年级下·上海·期中）如图，已知在中，，，垂足为，点在上，交于点，． (1)点到直线的距离是线段________的长度；如果，，那么与的面积的比值是_______． (2)求证：平分． 例4（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在中，是高，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若是的角平分线，，相交于点．求证：是等腰三角形． 例5（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，为边上的高，交，于点，．． (1)若，求的度数； (2)与相等吗？请说明理由． 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．如图，，分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，若是的高，是的角平分线，与相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知中，，，H是高和的交点，，则的面积为（    ） A．13 B．15 C．26 D．28 6．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点，若，，，的长为_____． 8．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，则的度数______． 9．（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数______ ． 10．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 11．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，、是锐角的高，相交于点D，若，，，则的长为______． 12．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图所示，的高、相交于点，若，，，则________． 13．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，、分别是和边上的高，与相交于，若，，则__________． 14．（25-26八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 15．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在△ABC中： (1)如图，若，，边上的高，交于点．求的度数； (2)若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； (3)由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 16．（25-26八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，的高与高交于点，过点作，交直线于点，． 求证： (1)； (2)． 17．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）小明在学习三角形的内角和与外角和的过程中，发现了一个有趣的问题，并对此进行了深入探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是边上的高，，相交于点．试说明：． 请你帮助小明将推理过程及理由补充完整． 解：∵，是边上的高， ∴，． ∴________（               ）． ∵是角平分线， ∴． ∵________， （                              ）． ∴． (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与的延长线交于点．若，分别求和的度数． (3)【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点，使得，平分交于点，的外角的平分线的反向延长线与的延长线交于点．若，求的度数． 18．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 19．（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．求： (1)作出的边上的中线，并求出的面积； (2)作出的边边上的高，当时，试求出的长． 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 21．（24-25八年级上·江苏·单元测试）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 22．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）在中，是上的高，是上的高，是和的交点，    (1)若，求和的度数． (2)若，求的长． 23．（24-25八年级上·全国·单元测试）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：    (1)（习题回顾）已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)（变式思考）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； (3)（探究延伸）如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由． 24．（24-25八年级上·全国·暑假作业）已知：如图，在中，，是的角平分线，是高，与相交于点． (1)若，，，求上的高． (2)求证：． 25．（25-26八年级上·天津南开·期中）在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 26．（25-26八年级上·广西南宁·期中）在中. (1)如图1，，是边上的高，平分，，相交于点，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与的延长线交于点，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由；   (3)如图3，上存在一点，使得，的平分线交于点．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点．请求出与的数量关系． 27．（25-26七年级下·全国·期末）如图，为的高，，为角平分线，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 三角形中的倒角模型之高分线模型、双（三）垂直模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题高分线模型、双垂直模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 3 模型运用 5 模型1.高分线模型 5 模型2.双垂直模型 9 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 10 13 高分线模型与双垂直模型由现代数学工作者根据其数学特征命名，高分线模型是初中几何中用于解决三角形角度计算问题的经典模型，其核心特征为‌高线与角平分线的组合‌。 子母型双垂直模型（射影模型）首次提出并完整证明源于几何原本，但是由于我们还没有学习相似三角形，故本节中的射影模型主要只是研究射影模型中的角度关系与等面积相关的线段关系。 （2025·河北邢台·模拟检测）已知在中，是边BC上的高，是的角平分线． (1)如图1，若，，则的度数为__________． (2)如图2，平分交于点，交的外角的平分线于点P，请猜想与的数量关系，并说明理由． (3)如图3，在（2）的条件下，过点作于点，若，且，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)． 【分析】（1）先求解，，，再结合三角形的高可得答案； （2）先证明结合，可得； （3）设，可得，，，，结合（2）可得，，求解，结合，再建立方程进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∵是边上的高， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：．理由如下： ∵，分别平分和的外角， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：设，则， ∴，，， ∴由（2）可得，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，四边形的内角和定理的应用，角平分线的定义，理清各角度之间的关系是解本题的关键． （2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知，分别是的高和角平分线，（m为常数）． (1)如图1，若，求证：；    (2)如图2，过点E作交于点F，若，求m的值；    (3)在（2）的条件下，连接交于点G，过点G作于点H，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3) 【分析】（1）根据三角形内角和，得到与的关系，再根据角平分线的定义得到与的关系，即可解答； （2）利用平行线的性质得到，即可得到与的关系，即可解答； （3）根据，列方程求得的值，再根据三角形内角和定理求得，即可解答． 【详解】（1）证明：若，则， ， 分别是的高和角平分线， ，， ； （2）解：根据三角形内角和定理可得， ， ， ， ， 根据， 可得，即 解得； （3）解：根据，可得， 当时，可得 可得， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和，三角形角平分线和高有关的计算，平行线的性质，熟练利用角平分线的定义和三角形内角和进行角度的转换是解题的关键． 模型1.高分线模型 1）条件：如图1，在中，，分别是的高和角平分线，结论：． 2）条件：如图2，F为的角平分线AE的延长线上的一点，于D，结论：．    图1 图2 1）证明：∵平分，∴， ∵，∴， ∴； 2）证明：如图，过作于，由（2）可知：， ，，，， ，，，． 模型2.双垂直模型 条件：如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高， 结论：①∠ABD=∠ACE ；②∠A=∠BOE=∠COD；③。 证明：∵BD，CE是两条高，∴∠AEC=∠BEC=∠ADB=∠CDB=90°， ∴∠ABD+∠A=90°，∠ACE+∠A=90°，∠ACE+∠DOC=90°，∴∠ABD=∠ACE，∠DOC=∠A， ∵∠DOC=∠BOE，∴∠A=∠BOE=∠COD。 ∵BD，CE是△ABC的两条高，∴，∴。 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 条件：在Rt中，∠ACB=90°，CD是的高线， 结论：①∠B=∠ACD；②∠A=∠BCD；③。      证明：∵∠ACB=90°，CD是高线，∴∠ACB=∠CDA=∠CDB=90°， ∴∠ACD+∠A=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∠B=∠ACD， ∵∠ACB=90°，CD是高线，∴，∴。 模型1.高分线模型 例1（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，、分别是的高、角平分线，，求的度数是______度． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的高，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．由是的高，可得出，利用三角形内角和定理，可求出，利用角的和差求出，结合角平分线的定义，可求出，再利用角的和差求出，最后利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 例2（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，是的角平分线，是的高，，且与的度数之比为，则 __________， __________． 【答案】 /80度 /10度 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义，垂直的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，则，根据角平分线的定义得到，再根据三角形内角和定理，垂直定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 故答案为：，. 例3（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为___________； 【答案】/130度 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 先由三角形内角和定理求出，根据角平分线得到，再由三角形的高得到，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 例4（24-25七年级下·全国·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究． 【习题回顾】如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点D，使得，的角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】习题回顾：证明见解析；变式思考：相等，理由见解析；探究延伸：，理由见解析 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 习题回顾：先证明，，再利用三角形的外角的性质可得：，，从而可得结论； 变式思考： 先证明，，结合， 可得； 探究延伸： 先证明，， 可得， 结合，，，， 可得， 从而可得答案． 【详解】习题回顾：证明：∵，是高， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴； 变式思考：， 证明：∵为的角平分线， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； 探究延伸：， 证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 例5（25-26八年级上·云南昆明·期中）如图，，，是边上的高，是的角平分线． (1)求的度数； (2)是的角平分线，与交于点．求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，三角形高线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和为． （1）根据角平分线定义求出，然后在中，利用三角形内角和定理求得的度数，根据即可求解； （2）根据角平分线定义求出的度数，根据三角形内角和定理求出，的度数，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：在中，，是的平分线， ， ∵是边上的高， ∴， ∵， ∴， ． （2）解：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 模型2.双垂直模型 例1（25-26七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，且BC边上的高AD与AC边上的高BE相交于点F，若BD＝5，则△ABF的面积为______． 【答案】 【分析】先证，可得的值，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：，， ， ，， ， ，， 在和中， ， ， ， ∴． 故答案为：25． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，证明是解题的关键． 例2（25-26七年级下·甘肃武威·期末）中，，H为高的交点，则_______． 【答案】 【分析】本题主要考查四边形内角和的问题，熟练掌握三角形的高的性质是解题的关键．根据三角形的高的性质及四边形的内角和求解即可． 【详解】，H为高的交点， ， 在四边形内角和为， ， （对顶角相等）． 故答案为：． 例3（25-26八年级上·上海奉贤·期中）数学小组开展了判定等边三角形的探究活动 探究（1）：如果一个等腰三角形一腰上的高也是这腰上的中线，那么这个等腰三角形是等边三角形． 数学小组根据这个文字命题，画出了图形，并写出了已知和求证，请你完成证明过程； 如图，已知：在中，，是边上的高，且是边上的中线． 求证：是等边三角形． 探究（2）如果在等腰三角形中，一腰上的高与底边上的高相等，那么这个等腰三角形是等边三角形． 下图是数学小组同学根据这个文字命题画的图形，请结合这个图形写出已知、求证，并完成证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定，解题的关键是利用已知条件推导等腰三角形的腰与底边相等． （1）利用中线性质得线段相等，结合高的垂直性质证明三角形全等，进而推出腰与底边相等，判定等边三角形； （2）根据三角形面积公式或全等三角形判定，由高相等推导腰与底边相等，再结合等腰三角形性质判定等边三角形． 【详解】探究（1） 证明：∵是上的中线， ∴． ∵是上的高， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． 探究（2） 解：已知：在中，，是腰上的高，是底边上的高，且， 求证：是等边三角形． 证明：∵是上的高，是上的高， ∴， ∵， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形． 例4（24-25七年级下·上海金山·期末）某数学学习小组成员康康、小海、欢欢和乐乐等同学继续对课本等边三角形开展了深入探究． 问题回顾：课本中有例题，证明：有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形．如图．已知：在中，．需要对三个内角分别等于的各种情况进行讨论，其中和是类似的，故只要分两种情况讨论． ①当时，那么可以证明是等边三角形； ②当时，那么可以证明是等边三角形． （1）请写出情况①的证明过程； 问题探究： 于是，康康提出了一个问题：我们将上题中的条件“有一个内角等于”替换为“底边上的高和腰上的高对应相等”，如图2．即：已知：在中，，，，垂足分别为点、，且，求证：是等边三角形． （2）请写出证明过程； 问题拓展： 由此启发，该小组猜想：在等腰三角形中，如果以“一边(底边或腰)上的高”“一边(底边或腰)上的中线”或“一角(顶角或底角)的角平分线”中的两个条件，加以组合(也就是形成一组须同时满足的关系)，使它们对应相等，是否还能新构成一个能判定一个等腰三角形是等边三角形的条件？ 基于此，小组成员小海、欢欢、乐乐进行了探索，并分别提供了自己的已知、求证和图形． 小海 欢欢 乐乐 已知：在中，，中线中线．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线高．求证：是等边三角形． 已知：在中，，角平分线角平分线．求证：是等边三角形． （3）你认为________(填小海、欢欢、乐乐其中一个)的探究是正确的，并写出该证明过程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）欢欢，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质判定定理，全等三角形的判定定理是解题的关键； （1）根据三角形内角和定理以及已知条件得出，进而得出，则，即可得证； （2）证明得出，则，即可得证； （3）根据（2）的方法证明，只有欢欢的可以证明，即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形； （2）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形； （3）欢欢的探究是正确的，证明如下， ∵，是的角平分线， ∴ ∵是边上的高， ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形； 小海：已知中线，，不能证明，则不能得出，故不正确； 乐乐：角平分线角平分线，不能证明，则不能得出，故不正确； 故答案为：欢欢． 例5（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）【探究发现】（1）如图①，中，是高和高的交点，则与的大小关系是______________； 【拓展运用】（2）如图①，中，是高和高的交点，且，请你猜想和的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】（3）若将图①中的改成钝角，是高和高所在直线的交点，且，请你在图②中画出该题的图形，此时（1）中的结论还成立吗？为什么？ 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质． （1）利用同角的余角相等，即可得出结果； （2）证明，即可得出结论； （3）根据题意，画出图形，证明，即可得出结论； 解题的关键是证明． 【详解】（1）∵、都是的高， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （2）．理由如下： ∵、都是的高 ∴ ∴ ∴， ∵ ∴， ∴． （3）如图所示，（1）中的结论仍成立，即．理由如下： ∵和是的高， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 模型3.子母型双垂直模型（射影模型） 例1（25-26七年级下·海南海口·期中）如图，在中，，于，平分交于，交于F． (1)如果，求的度数； (2)试说明：． 【答案】(1)； (2)证明：， ， ， ， ， 平分交于， ， ， ， ． 【分析】（1）根据三角形内角和可得的度数，根据角平分线的定义可得的度数，根据直角三角形的性质可得的度数； （2）根据直角三角形的两锐角互余可得，，根据角平分线的定义可得，从而可得，进而可知． 【详解】（1）解：，， ， 平分交于， ， ； （2）略． 例2（25-26八年级下·山东青岛·期中）已知：如图，在中，，，垂足为，平分交于点，交于点，平分交于点，交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据直角三角形的锐角互余，结合角平分线得到，再由对顶角相等证明即可； （2）根据等腰三角形的判定与性质证明即可． 【详解】（1）证明： 平分 又 （2）解：由（1）知 为等腰三角形 又平分 例3（25-26七年级下·上海·期中）如图，已知在中，，，垂足为，点在上，交于点，． (1)点到直线的距离是线段________的长度；如果，，那么与的面积的比值是_______． (2)求证：平分． 【答案】(1)； (2)见解析 【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解；根据三角形中线平分三角形面积可得，再证明得到，据此可得答案； （2）根据三角形内角和定理可得，，再导角证明，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴点B到直线的距离是线段的长度； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴与的面积的比值是； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分． 例4（25-26八年级下·河南周口·期中）如图，在中，是高，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若是的角平分线，，相交于点．求证：是等腰三角形． 【答案】(1)是直角三角形；理由见解析 (2)证明见解析 【分析】（）利用是高得到直角三角形，再结合直角三角形两锐角互余和已知角相等，通过等量代换推出，证明为直角三角形； （）利用角平分线定义、直角三角形两锐角互余和对顶角相等，推出中两角相等，从而证明它是等腰三角形． 【详解】（1）解：是直角三角形， 理由如下： ∵是边上的高， ∴，即， 在中，， 又， ， ∴是直角三角形； （2）证明：∵是的角平分线， ∴， 由（）知， 在中：， 又∵， 在中：， ∴， 又∵和是对顶角， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 例5（25-26八年级上·江西上饶·期末）如图，在中，，为边上的高，交，于点，．． (1)若，求的度数； (2)与相等吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)相等，见解析 【分析】本题主要考查直角三角形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及等角的余角相等的性质．解题的关键是利用直角三角形两锐角互余及等腰三角形等边对等角的性质，进行角的等量代换． （1）由已知可得．由，可知是等腰三角形，进而可得答案； （2）由已知可推导出．再由，且，据此即可得． 【详解】（1）解：， ． ， ． （2）．理由如下： ， ． ． 又， ， ． 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，在 中，是高，是角平分线， 则 的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理得到的度数，则由角平分线的定义可得，再由垂线的定义和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分 ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得，， ． 3．如图，，分别是的高和角平分线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高、角平分线的定义、三角形的内角和、三角形的外角的性质等，关键是角的转换； 先由求出，再根据角平分线求得，进而可得，最后利用三角形内角和定理求得． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级上·河南信阳·期末）如图，在中，，若是的高，是的角平分线，与相交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查角平分线定义，三角形内角和定理和外角的性质，由三角形内角和定理得，由角平分线定义得，求得，，由对顶角相等得，由三角形外角的性质可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分, ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 5．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，已知中，，，H是高和的交点，，则的面积为（    ） A．13 B．15 C．26 D．28 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形全等的应用，准确分析证明是解题的关键． 根据已知条件证明，得到，再根据三角形面积计算即可； 【详解】解：是边上的高， ， ， ， 是边上的高， ， 在中，， 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选． 6．（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段检测）如图，在中，是高，是角平分线，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，根据三角形的内角和定理，角平分线平分角，三角形的高线的定义，求出的度数，再根据角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，是高，是角平分线， ∴， ∴， ∴； 故选A． 7．（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，且，交于点，若，，，的长为_____． 【答案】5 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，利用证明，得，，即可得出答案． 【详解】解：是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 故答案为：5． 8．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）如图，中，为边上的高，平分，分别交、于点、．若，，则的度数______． 【答案】/125度 【分析】根据三角形的内角和定理，求出和的度数，再根据角的和差关系，角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可. 【详解】解：∵中，为边上的高，平分，，， ∴，， ∴， ∴， ∴. 9．（25-26七年级下·江苏常州·期末）如图，在中，是边上的高，是的平分线，，，求的度数______ ． 【答案】 【分析】由三角形高的定义得，即得，得到，进而根据角平分线的定义得，最后根据三角形内角和定理解答即可求解． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 10．（25-26七年级下·山东济南·期中）如图，的两条高，相交于点．连接并延长交于点，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据锐角三角形的三条高交于一点，判断出为边上的高，利用等面积法建立方程求解即可． 【详解】解：是的两条高，且相交于点， ∴也是的高 ， ， ， ， ， ． 11．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图，、是锐角的高，相交于点D，若，，，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． 根据题意得出，再根据同角的余角相等得出，根据证明，最后根据全等三角形的性质及线段的差与和即可得出答案． 【详解】解：、是锐角的高， ， ，， ， ， ， ，， ，， ，， ． 故答案为：2． 12．（25-26八年级上·四川凉山·期末）如图所示，的高、相交于点，若，，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，先证明，得，，，再根据，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，在中，、分别是和边上的高，与相交于，若，，则__________． 【答案】 【分析】此题考查的是全等三角形的判定及性质．根据同角的余角相等可得，然后利用即可证明，从而得出，即可得出结论． 【详解】解：∵和分别是边和边上的高， ∴，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·广西南宁·期中）我们发现，“用不同的方式表示同一图形的面积”可以解决计算线段的有关问题，这种方法称为等面积法．    (1)如图1，是边上的高，是边上的高，我们知道，则______． (2)如图1，若，，，，是斜边上的高线，用等面积法求的长． (3)如图2，在等腰三角形中，，，过A作于点H，且，P为底边上的任意一点，过点P作，，垂足分别为M，N，连接，利用，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、折叠的性质等知识点，正确理解“等面积法”并正确的识别图形是解题的关键． （1）直接运用三角形面积公式即可解答； （2）直接运用（1）的结论进行解答即可； （3）根据三角形的面积公式计算即可解答． 【详解】（1）解：． 故答案为． （2）解：由（1）可得：， 则，解得：． （3）解： ∵， ∴， ， ∴． 15．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期末）在△ABC中： (1)如图，若，，边上的高，交于点．求的度数； (2)若为钝角，，边上的高，所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量，可知 ，用你已学过的数学知识加以说明； (3)由（1）（2）可以得到什么结论，尝试写出来． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)无论是锐角还是钝角，总有 【分析】（1）由垂线的定义得出，由三角形内角和定理得出，再根据三角形外角的定义及性质即可得出答案； （2）由垂线的定义得出，由四边形内角和得出，再由对顶角相等得出，等量代换即可得解； （3）根据（1）（2）直接得出结论即可． 【详解】（1）解：∵，边上的高，交于点， ∴，， ∴， 在中，， ∵是的外角， ∴； （2）解：如图所示 ，理由如下： ∵，边上的高，交于点， ∴， 在四边形中，， ∵， ∴； （3）解：由（1）（2）可得，无论是锐角还是钝角，总有． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、四边形的内角和、垂线的定义、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 16．（25-26八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，的高与高交于点，过点作，交直线于点，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明过程见详解 (2)证明过程见详解 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据高的性质可得，结合对顶角相等可得，由，及垂直的性质可得，根据“角边角”的判定方法即可求证； （2）根据平行的性质可得，结合（1）的证明可得是等腰直角三角形，可得，由（1）可得，由此即可求证． 【详解】（1）证明：∵是边上的高，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵是边上的高， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：∵，， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴，即． 17．（25-26七年级下·河南南阳·阶段检测）小明在学习三角形的内角和与外角和的过程中，发现了一个有趣的问题，并对此进行了深入探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是边上的高，，相交于点．试说明：． 请你帮助小明将推理过程及理由补充完整． 解：∵，是边上的高， ∴，． ∴________（               ）． ∵是角平分线， ∴． ∵________， （                              ）． ∴． (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与的延长线交于点．若，分别求和的度数． (3)【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点，使得，平分交于点，的外角的平分线的反向延长线与的延长线交于点．若，求的度数． 【答案】(1)，同角的余角相等，，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)，； (3)． 【分析】（1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵，是边上的高， ∴，， ∴（同角的余角相等）， ∵是角平分线， ∴， ∵， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴； 故答案为：，同角的余角相等，，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （3）证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 18．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究： 【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； 【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； 【答案】习题回顾：见解析；变式思考：相等，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线定义，三角形内角和，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 习题回顾：根据角平分线性质可得，根据对顶角相等可得，结合是边上的高， ，即可证明； 变式思考：根据角平分线性质可得，根据对顶角相等可得，再结合是边上的高， ，即可证明． 【详解】习题回顾： 证明：平分， ， 是高， ， ， . ， ； 变式思考：相等，理由如下： 平分， ， ， ， 是高， ， ， ， ． 19．（25-26八年级上·河南漯河·阶段检测）如图，在直角三角形中，，是边上的高，，，．求： (1)作出的边上的中线，并求出的面积； (2)作出的边边上的高，当时，试求出的长． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析， 【分析】本题考查了直角三角形面积的计算方法，三角形的高、中线的性质，解题的关键是掌握直角三角形的性质． （1）找的中点，连接，则是的边上的中线，根据三角形中线的性质可得，即可求解； （2）过点作，先根据，求出，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图，找的中点，连接，则是的边上的中线， 在直角三角形中，，，， ， 是的中线， ； （2）如图，过点作，则为的边边上的高， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）（1）如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F，与的数量关系为　　． （2）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E．探究与的数量关系并说明理由； （3）如图3，在中，边上存在一点D，使得，的平分线交于点F，交于E．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．请补全图形并直接写出与的数量关系． 【答案】（1） （2），详见解析 （3）详见解析， 【分析】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质证明； （2）根据角平分线的定义、直角三角形的性质解答； （3）根据三角形的外角的性质，角平分线的定义、直角三角形的性质解答即可； 【详解】（1）解：，是高， 是角平分线， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 为的角平分线， 是边上的高， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图： 三点共线，为角平分线， ， ， ， 21．（24-25八年级上·江苏·单元测试）如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒，点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想解题，是解题的关键． （1）由，可得，通过即可证明； （2）分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：存在， 如图2，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 22．（25-26八年级上·山东滨州·阶段检测）在中，是上的高，是上的高，是和的交点，    (1)若，求和的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求出的度数，再由可知，由直角三角形的性质即可求出的度数，然后依据三角形的外角的性质可得到的度数； （2）依据面积法可得到，从而可求得问题的答案． 【详解】（1）解：∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理的应用和三角形的面积公式，面积法的应用是解题的关键． 23．（24-25八年级上·全国·单元测试）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如下探究：    (1)（习题回顾）已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点F．求证：； (2)（变式思考）如图2，在中，，是边上的高，若的外角的平分线交的延长线于点F，其反向延长线与边的延长线交于点E，则与还相等吗？说明理由； (3)（探究延伸）如图3，在中，在上存在一点D，使得，角平分线交于点F．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点M．试判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵，是高， ∴，， ∴， ∵是角平分线， ∴， ∵，， ∴； (2) ， 证明：∵为的角平分线， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， 又∵， ∴； (3) ， 证明：∵C、A、G三点共线 、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴． 【分析】习题回顾：先证明，，再利用三角形的外角的性质可得：，，从而可得结论； 变式思考： 先证明， ，结合， 可得； 探究延伸： 先证明，， 可得， 结合，，，， 可得， 从而可得答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 24．（24-25八年级上·全国·暑假作业）已知：如图，在中，，是的角平分线，是高，与相交于点． (1)若，，，求上的高． (2)求证：． 【答案】(1)4.8 (2)见解析 【分析】考查了三角形的面积，余角的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，关键是熟练掌握并且灵活运用． （1）根据三角形的面积公式可求上的高； （2）根据余角的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义可证． 【详解】（1）解： ， 故上的高是4.8； （2）证明：， ， 是的角平分线， ， ， ． 25．（25-26八年级上·天津南开·期中）在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）①根据是中线可得，分别表示出出与的周长，作差即可得到答案； ②根据代入数据进行计算即可； （2）由角平分线的定义可得，再由直角三角形的两锐角互余得出，最后根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①在中，，是中线， ， 的周长，的周长， 与的周长差， 故答案为：2； ②， ， ， 故答案为：； （2）解：，平分， ， 是斜边上的高， ， ， ， ． 26．（25-26八年级上·广西南宁·期中）在中. (1)如图1，，是边上的高，平分，，相交于点，请直接写出线段与的数量关系； (2)如图2，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与的延长线交于点，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由；   (3)如图3，上存在一点，使得，的平分线交于点．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点．请求出与的数量关系． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用角平分线的定义和直角三角形两个锐角之间的关系证明得到，再利用等角对等边即可求证； （2）利用角平分线的定义和直角三角形两个锐角之间的关系证明得到，再利用等角对等边即可求证； （3）先证明，再证明，即可求证． 【详解】（1）解：； 理由：∵平分， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ， ∴， ∴． （2）成立； 理由：∵平分， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ， ∴， ∴． （3）∵是的平分线， ∴， ∵是的平分线所在直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查了直角三角形两个锐角互余，角平分线的定义、等角对等边，三角形外角的性质等知识，解题关键是牢记相关概念，能正确进行角之间的转化． 27．（25-26七年级下·全国·期末）如图，为的高，，为角平分线，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，再利用直角三角形的性质求解即可； （2）利用三角形的外角性质求得，利用三角形内角和定理求得，利用角平分线的定义求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：平分，， ． ， ， ； （2）解：， ． 由（1）知， ∴， ∵平分， ， 由（1）知， ． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $