专题07 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型（几何模型讲义）数学新教材沪教版五四制七年级下册

该初中数学讲义围绕“平分平行（射影）构等腰”和“角平分线第二定理”两大核心模型，通过模型来源追溯、真题示例引入、条件-结论-证明结构化提炼，结合框架图呈现知识脉络，清晰展现角平分线与平行线垂直结合的倒角逻辑及重难点内在联系。 讲义亮点在于真题导向的分层练习设计，如2024年无锡一模题利用“平分平行构等腰”求三角形周长，培养几何直观与推理能力。模型运用涵盖选择填空解答题，基础学生可掌握辅助线技巧，优秀学生能深化模型迁移，助力教师实施精准分层教学。

专题07 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线作为中考数学常考点之一，在几何证明题中占据着重要的地位；考查角平分线的题型一般会出现在压轴题当中，需要结合其他的知识点一起综合考查，如勾股定理、全等三角形、相似三角形和三角函数等；角平分线的题型主要考查学生辅助线的添加能力，掌握常见辅助线的添加可以帮助我们快速找到解决问题的方法。本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，帮助学生快速掌握此类题型的解决思路。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 6 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 1．（2024·江苏无锡·一模）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．由平行线的性质得到，由角平分线的性质得到，得出，得到，即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴的周长， 故选：C． 2．（2024·湖南长沙·模拟检测）如图，，是斜边上的高，的平分线交于H，于F．则下列结论中不正确的有(     )     A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据角平分线的性质可得，由于是公共边，利用三角形全等的判定定理，从而可得；利用全等三角形的性质即可解得． 【详解】解：∵是斜边上的高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是直角三角形， ∴，故选项A正确，不符合题意； 过点H作于点G，如图所示： ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴，故选项B不正确，符合题意； ∵是的角平分线，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，，故选项D正确，不符合题意； ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，故选项C正确，不符合题意． 故选：B． 3．（2024·上海·模拟检测）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见（1） (3) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，线段垂直平分线的性质，等边对等角等等，熟知三角形内角和定理是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，，再由角平分线的定义可得，则可求出，据此计算求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）由（1）可得，则可求出；由线段垂直平分线的性质可得，则，求出，即可得到． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴， 当时， ； 当时， ； 填表如下： …… ……      …… （2）解：由（1）可得， ∵，， ∴； （3）解：由（1）可得， ∵， ∴， ∴； 由线段垂直平分线的性质可得， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， ∴． 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（25-26八年级下·河南驻马店·期中）已知，如图，在中，和分别平分和，过O作，分别交、于点D、E，若，，则的周长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先利用角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边可得，再根据三角形的周长、线段的和差、等量代换可得的周长为即可解答． 【详解】解：∵和分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 例2（25-26八年级下·江西吉安·月考）如图，在中，，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③的周长；④，其中错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】先由，得，结合角平分线的定义，得，则由等角对等边，得①；因为，所以②；因为③的周长，所以得③；结合三角形的内角和，列式化简，得④．即可作答． 【详解】如图： ∵， ∴， ∵与的平分线交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴，故①是正确的； ∵，， ∴， ∴，故②是错误的； ∵的周长， ∴的周长，故③是正确的； ∵，， ∴， ∴，故④是正确的； 综上，错误的是②． 例3（25-26七年级下·山东济南·期中）在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，，则的周长为______． 【答案】22 【分析】利用平行和角平分线的定义可得到，所以可得，同理可得，所以的周长即为，可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可证得， ∴ ， 即的周长为22， 例4（2026·河北保定·二模）如图，在中，点D，E分别在边，上，连接，相交于点O，，． (1)求证：； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用等角的补角相等，得到，再借助公共角和，即可利用证明两个三角形全等； （2）借助（1）中的全等关系，可以得到，，通过公共角和等边对等角，可以得到，由同位角相等，可以得到两直线平行． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）得， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 例5（24-25八年级上·云南文山·期末）如图，在中，平分，平分，经过点O与分别相交于点M、N，且． (1)若，求的度数； (2)已知，求的周长． 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线性质，等边对等角，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）由三角形内角和定理得，进而由角平分线的定义得到再根据三角形内角和定理即可求解； （2）由角平分线的定义的，由平行线的性质得，即得，得到，进而得到的周长，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 平分，平分， ，， ； （2）解：平分，平分， ， ， ， ， ， 的周长 ． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定，此模型属于常考题，利用平行线的性质和角平分线，证明和为等腰三角形，即可解答． 【详解】为的平分线， ， ， ， ， 同理可得， ， ． 例2（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了含角平分线的三角形内角和定理，牢记三角形内角和是是解题的关键．首先根据三角形内角和定理得到，然后由角平分线的概念得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，， ， 平分，， ， ， 故选：A． 例3（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，．若、分别是的高和角平分线，且交点为O，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的定义及性质，由三角形内角和定理可得，再由角平分线的定义可得，求出，，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 例4（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，、分别为与的角平分线，交点为O，若，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质和三角形内角和定理，准确分析计算是解题的关键． 根据点是与的角平分线的交点，得到是的角平分线，根据角平分线的性质和三角形内角和定理即可得解； 【详解】点是与的角平分线的交点， 是的角平分线， 、分别为与的角平分线， ，， ， ， ， ， 是的角平分线， ． 故答案是：． 例5（25-26七年级下·上海·期中）如图，已知是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）首先利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线求出，然后由三角形外角的性质求出，进而求解即可； （2）首先利用三角形面积公式求出的面积，然后根据三角形中线的性质求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ∵是的角平分线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：∵，， ∴的面积 ∵是的中点 ∴的面积的面积． 1．（25-26八年级上·贵州遵义·月考）如图，在中，、的角平分线交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．若，，则的长是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的判定与性质、平行线性质的应用．根据平行线的性质和角平分线的定义先证出，从而得出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵、的角平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则的周长为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形角平分线的定义，两直线平行内错角相等，等角对等边等知识点，由已知条件推出，是解题的关键． 由三角形角平分线的定义可得，，由两直线平行内错角相等可得，，进而可得，，由等角对等边可得，，然后利用等量代换即可求出的周长． 【详解】解：平分，平分， ，， ， ，， ，， ，， ，， 的周长 ， 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，中，，点D，E分别在，上，F是的中点．若，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质，添加辅助线是解题的关键．先连接，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得，再利用等角的余角相等，证明，从而得，即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵，F是的中点， ∴， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．6.5 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证，，从而可得，，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵和的平分线分别交于点G、F， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 5．（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，在中，平分，平分，过点作，分别交于点，若，则的周长是（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 【答案】D 【分析】本题考查求三角形周长，涉及角平分线定义、平行线性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 先由角平分线定义及平行线的性质得到，，进而由等腰三角形的判定与性质确定，数形结合表示出的周长，代值计算即可得到答案． 【详解】解：平分， ， 平分， ， ， ，， ，， 即， ， ， 故选：D． 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，分别是的高和角平分线，，则____°． 【答案】20 【分析】先根据已知条件得，，再根据三角形内角和定理求出，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】解：∵分别是的高和角平分线， ∴于点D，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）如图所示，在中，是的角平分线，是的高，，，则_________． 【答案】16 【分析】设，可得，结合，再进一步求解即可． 【详解】解：∵是的角平分线， ∴设， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 8．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，的平分线交于点，若，，是的高，则________ ． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，由是的高即可得出，进而可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 9．（25-26八年级上·广东汕头·月考）如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为___________； 【答案】/130度 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题的关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 先由三角形内角和定理求出，根据角平分线得到，再由三角形的高得到，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，则的度为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查角平分线和高线的定理、三角形外角的性质、三角形内角和定理等知识点，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分和两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：如图：当时， ∵是的角平分线，， ∴， ∴中，； 如图∶当时， 同理可得， ∵， ∴， ∴． 综上所述：的度数为或． 故答案为：或． 11．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，为钝角，是边上的高，是的平分线．    (1)画出边上的高； (2)若，，求的度数； (3)若，，，求高的长． 【答案】(1)画图见解析； (2) (3) 【分析】本题考查的三角形的高，三角形的角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用； （1）利用三角尺画上的高即可； （2）先求解，，再利用角平分线的定义可得，再结合角的和差关系可得答案； （3）先求解，再把作底边，再列方程求解高即可． 【详解】（1）解：如图，为上的高；    （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （3）∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·河南南阳·月考）小明在学习三角形的内角和与外角和的过程中，发现了一个有趣的问题，并对此进行了深入探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是边上的高，，相交于点．试说明：． 请你帮助小明将推理过程及理由补充完整． 解：∵，是边上的高， ∴，． ∴________（               ）． ∵是角平分线， ∴． ∵________， （                              ）． ∴． (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与的延长线交于点．若，分别求和的度数． (3)【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点，使得，平分交于点，的外角的平分线的反向延长线与的延长线交于点．若，求的度数． 【答案】(1)，同角的余角相等，，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)，； (3)． 【分析】（1）由余角的性质可得，由角平分线的性质和外角的性质可得结论； （2）由三角形内角和定理可求，由角平分线的性质可求，由余角的性质可求解； （3）由平角的性质和角平分线的性质可求，由外角的性质可求解． 【详解】（1）证明：∵，是边上的高， ∴，， ∴（同角的余角相等）， ∵是角平分线， ∴， ∵， （三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ∴； 故答案为：，同角的余角相等，，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； （2）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （3）证明：∵C、A、G三点共线，、为角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，余角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 13．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：    【习题回顾】： (1)已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．试说明：； 【变式思考】： (2)如图2，在中，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，的反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）先证明，，再结合三角形的外角的性质可得结论； （2）先求解，结合角平分线可得，证明，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：，是高， ，， ， 是角平分线， ， ，， ． （2），， ， 为的角平分线， ， 为边上的高， ， ， 又，， ． 【点睛】本题考查的是三角形的高，角平分线的含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，熟练的利用三角形的外角的性质解题是关键． 14．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知，如图：中，的平分线相交于点，过点作交于． (1)直接写出图中所有的等腰三角形．指出与间有怎样的数量关系？ (2)在（1）的条件下，若，，求的周长； (3)如图2，若中，的平分线与三角形外角的平分线交于点，过点作交于，交于，请问（1）中与间的关系还是否存在，若存在，说明理由：若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)、是等腰三角形，； (2)周长为； (3)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的意义，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握各个知识点是解题的关键． （1）利用角平分线和平行线的即可得出结论； （2）利用（1）的结论即可得出结论； （3）利用角平分线和平行线推出，，再推出与间的关系即可． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴、是等腰三角形， ∴； （2）∵由（1）知，， 又∵，， ∴； （3）（1）中结论不成立，新结论为：，理由： ∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 15．（24-25九年级上·山东滨州·期中）已知如图（），中，，、的平分线相交于点，过点作交于． (1)与间有怎样的关系？写出你的猜想．（不用证明） (2)若，第①问中与间的关系还存在吗？若不存在，请说明理由，若存在，请写出证明过程． (3)若中，，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图（），与间的关系如何？为什么？ 【答案】(1) (2)仍然成立，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）根据角平分线的定义和平行线的性质可得，，进而可得，，然后根据线段间的和差关系即得结论； （）同理（）解答即可； （）同理（）可得，，再根据线段间的和差关系即可得到结论； 本题考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：当时，仍然成立，理由如下： ∵平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 16．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图①，中，，的平分线交于点，过点作交于． (1)图①中有几个等腰三角形？猜想：与之间有怎样的关系． (2)如图②，若，其他条件不变，在第（）问中与间的关系还存在吗？ (3)如图③，若中的平分线与平分线交于，过点作，交于，交于，这时与关系又如何？请直接写出结果． 【答案】(1)个， (2)还存在 (3) 【分析】（）根据利用角平分线的定义和平行线的性质即可得出结论； （）利用（）的方法解答即可； （）利用（）的方法解答即可； 本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴等腰三角形有：，，，，，共个； 的关系是，理由如下： ∵，， ∴； （2）解：当时，（）的关系还存在，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵ ， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； （3）解：，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 17．（25-26八年级上·天津·期中）已知：中，、的平分线相交于点． ①如下图，过点作交、于、，求证：；    ②如下图，过点作交于、交于，若，求的周长；    ③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如下图，请写出这时与、间的关系（不需证明）．    【答案】①证明见解析；②；③ 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定等知识点， ①根据平行线的性质和角平分线的定义可得，，，，根据等腰三角形的判定，即可得出与、间的关系； ②根据，和角平分线定义，可以证明出和，即可求的周长； ③证明出和是等腰三角形，利用几个等腰三角形的性质以及线段的和差关系，即可得出与、的关系； 进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 【详解】①证明：∵， ∴，， ∵、的平分线相交于点， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即； ②解：∵、的平分线相交于点， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的周长：， 即的周长为； ③解：．理由如下： ∵， ∴，， ∵，分别是与的角平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 即． 18．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质得，，则有； （2）根据角平分线的性质得．由平行线的性质得，则，有，即可说明是等腰三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴． ∴； （2）证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等腰三角形． 19．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元复习）如图，是直角三角形，，平分交于点E，于点D交于点F．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等角的余角相等，等角对等边．由三角形内角和定理求得，，角平分线的定义得到，据此证明即可． 【详解】证明：平分， ． ， ， ． ， ． ， ． ， ， ， 是等腰三角形． 20．（2023·广西贵港·模拟预测）阅读理解学习 如图，在中，，是的高，是边上一点，，分别与直线垂直，垂足分别为，求证：．小刚发现：连接，有，即，由可得． 请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题： (1)如图，当点在的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，请直接写出此时线段之间的数量关系______． (2)如图，当点是内一点，且，是的高，分别与直线垂直，垂足分别为点，猜想此时线段之间的数量关系是______．并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】（）连接，由的面积的面积的面积，得到 ，又，即可推出； （）连接，由，得到，又，即可证明； 本题考查了三角形的面积，等腰三角形、等边三角形的性质，掌握面积法解答问题是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接， ∵，，， ∴的面积，的面积，的面积， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：． 理由：连接， ∵是的高，分别与直线垂直， ∴的面积，的面积，的面积， 的面积， ， ∴， ， ， 故答案为：． 21．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）阅读材料：如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，腰上的高为，连接，则，即：，∴（定值）．    (1)理解与应用：如图，在边长为的正方形中，点E为对角线上的一点，且，为上一点，于，于，试利用上述结论求出的长．    (2)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，等边的高为，试证明（定值）．    (3)拓展与延伸：若正边形，内部任意一点到各边的距离为，请问是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值． 【答案】(1) (2)证明过程见详解 (3)设正边形的边心距为，（定值） 【分析】（1）根据题意可得是等腰直角三角形，可求出的值，根据材料即可求证； （2）如图所示，等边三角形，边的高为，过点作，交于点，交于点，交于点，且于点，可得，，由此即可求解； （3）设正边形的边心距为，图形结合分析，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是正方形，边长为，是对角线， ∴，且， ∴是等腰三角形， 如图所示，连接，过点作于点，    在中，， ∴， ∴，即， ∵于，于， ∴由材料可知， ∴． （2）解：如图所示，等边三角形，边的高为，过点作，交于点，交于点，交于点，且于点，    ∵等边三角形，， ∴是等边三角形， ∴在中，根据材料提示可得，①， ∵，， ∴②， ∴①②得，． （3）解：正边形的内角和为，每个内角的度数为，如图所示，   垂直于边，即设正边形的边心距为， ∴（定值）． 【点睛】本题主要考查利用面积分割法，求线段之间的关系，理解材料中面积法求线段关系，掌握面积的计算方法，分割方法是解题的关键． 22．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）点D，E分别在的两边，上，，相交于点F． (1)如图1，若平分，平分． （ⅰ）已知，，求； （ⅱ）已知，求；（用含α的式子表示） (2)如图2，设，，，若与的周长相等，与的周长相等，分别求和的长．（用含a，b，c的式子表示） 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ） (2)， 【分析】本题考查了三角形的角平分线，三角形外角的性质，三角形内角和定理， （1）（ⅰ）根据角平分线定义求出，再根据三角形外角的性质求即可； （ⅱ）先求，然后利用三角形内角和定理求即可； （2）根据与的周长相等，得，结合，消去用表示，同理根据与的周长相等可求． 【详解】解：（1）（ⅰ），，平分， ， 在中，， （ⅱ）， ， 平分，平分， ，， ， 在中，， （2）与的周长相等， ， 即， ， ， ， ，解得； 与的周长相等， ， ，即， ， ， ． 23．（24-25八年级上·北京·期中）我们已学过三角形三个内角的和为． 定义：如果一个三角形的两个内角与满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”； (1)若是“准互余三角形”，，，则的度数是__________； (2)如图，是等腰三角形，并且，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“准互余三角形”； (3)如图，是直角三角形，．点是边上一点，是“准互余三角形”，若，则的度数是____________________． 【答案】(1) (2)见详解 (3)或 【分析】（1）结合“准互余三角形”的定义，可以得出，则，即可作答． （2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和性质，得，，，则，故，即可作答． （3）先求出，因为点是边上一点，且是“准互余三角形”，故作图且运用三角形的内角和性质以及外角性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵如果一个三角形的两个内角与满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”，且是“准互余三角形”，，， ∴ ∴， 则， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰三角形，并且，是边上的中线， ∴，， ∵平分， ∴， 则， ∵， ∴， ∴是“准互余三角形”； （3）解：∵是直角三角形，． ∴， ∵点是边上一点，且是“准互余三角形”， ∴当时，如图所示： 则， ∴， ∴； ∴； ∴当时，如图所示： 则， ∴， 则， ∵，， 则， 故不存在或或或， 综上：或． 【点睛】本题考查了新定义，三角形外角性质，三角形内角和性质，等腰三角形的性质，角的运算，熟练掌握分类讨论以及数形结合思想是解（3）题的关键，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角形中的倒角模型之平分平行（射影）构等腰、角平分线第二定理模型 角平分线作为中考数学常考点之一，在几何证明题中占据着重要的地位；考查角平分线的题型一般会出现在压轴题当中，需要结合其他的知识点一起综合考查，如勾股定理、全等三角形、相似三角形和三角函数等；角平分线的题型主要考查学生辅助线的添加能力，掌握常见辅助线的添加可以帮助我们快速找到解决问题的方法。本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，帮助学生快速掌握此类题型的解决思路。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 6 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 9 13 1842年斯坦纳-雷米欧司定理的纯几何证明完成，该定理证明过程中大量涉及角平分线与平行线的构造技巧，‌间接催生了"角平分线+平行线→等腰三角形"这一辅助线作法的明确化和模型化‌。 随着几何教育的发展，教育研究者‌将实践中高频出现的解题模式进行总结归类‌。“平分平行构等腰”（或“角平分线+平行线→等腰”）因其简洁性与普适性，被提炼为标准化模型，作为角平分线非全等类模型的核心之一，与“射影构等腰”（角平分线+垂直→等腰）并列，纳入专题教学体系。 这一模型并非由单一学者独创，而是几何学基本原理（尤其是角平分线和平行线性质）在解决经典问题（如斯坦纳-雷米欧司定理）中自然衍生的方法结晶。其现代形式的明确化与命名，是‌19世纪定理证明方法与20世纪后教学经验提炼‌共同作用的结果。 （2024·江苏无锡·一模）如图，在中，的平分线交于点D，过点D作，分别交于点E、F．若，则的周长是（   ） A．15 B．18 C．20 D．22 （2024·湖南长沙·模拟检测）如图，，是斜边上的高，的平分线交于H，于F．则下列结论中不正确的有(     )     A． B． C． D． （2024·上海·模拟检测）小海在解答练习册P37第4题后进行了拓展探究： 如图1，在中，的平分线交边于点D，，垂足为E． 小海猜想：通过的度数可求出的度数，再结合的度数可求出的度数，从而确定与之间存在固定的数量关系．他尝试代入了几组的度数后，验证了这一猜想． (1)请补全下表： …… ……      ______ ______ …… (2)如图2，若，，那么______．（用含、的代数式表示），并加以证明； (3)在（2）的基础上作的垂直平分线，交的延长线于点F，连接．如图3，如果，请直接写出______． 1）角平分线加平行线必出等腰三角形．    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 证明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1， ∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 证明：∵DE ∥ BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠DBE=∠DBC， ∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 证明：由题意得：MN ∥ BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分线，∴∠OBM=∠OBC， ∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。 2）角平分线加射影模型必出等腰三角形． → 图4 条件：如图4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°. 结论：三角形CEF是等腰三角形。 证明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°， ∵∠CDA＝90° ，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°， ∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。 3）内角平分线定理 条件：如图，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分线。 结论： 证明：作，作DHAB垂足分别为F，H. ∵BD是∠ABC的平分线，∴DF=DH，则= = （2）作BECA垂足为E，则 = = ∴= 4）外角平分线定理 图2 图3 条件：如图2，在△ABC中，∠BAC的外角平分线交BC的延长线于点D。 结论：． 证明：如图2，过C作．交BA的延长线于E， ∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴． 5）奔驰模型（面积） 条件：如图3，的三边、、的长分别是a，b，c，其三条角平分线交于点O，将分为三个三角形。结论：=c：a：b。 证明：过点作于点，作于点，作于点．   由题意知：，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为a，b，c， ． 模型1.平分平行（射影）构等腰模型 例1（25-26八年级下·河南驻马店·期中）已知，如图，在中，和分别平分和，过O作，分别交、于点D、E，若，，则的周长为（   ） A．5 B．7 C．8 D．9 例2（25-26八年级下·江西吉安·月考）如图，在中，，与的角平分线交于点，过点作交于点，交于点，给出下列结论：①；②；③的周长；④，其中错误的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 例3（25-26七年级下·山东济南·期中）在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，，则的周长为______． 例4（2026·河北保定·二模）如图，在中，点D，E分别在边，上，连接，相交于点O，，． (1)求证：； (2)连接，求证：． 例5（24-25八年级上·云南文山·期末）如图，在中，平分，平分，经过点O与分别相交于点M、N，且． (1)若，求的度数； (2)已知，求的周长． 模型2.角平分线第二定理（内角平分线定理与外角平分线定理）模型 例1（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，在中，的平分线与外角的平分线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．若，，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 例2（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，在中，，平分，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，中，，．若、分别是的高和角平分线，且交点为O，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例4（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，、分别为与的角平分线，交点为O，若，连接，则的度数为______． 例5（25-26七年级下·上海·期中）如图，已知是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 1．（25-26八年级上·贵州遵义·月考）如图，在中，、的角平分线交于点O，过点O，且，分别交、于点M、N．若，，则的长是（    ）． A．5 B．4 C．3 D．2 2．（25-26八年级上·甘肃兰州·期末）如图，在中，和的平分线交于点，过点作交于，交于，若，，则的周长为(    ) A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，中，，点D，E分别在，上，F是的中点．若，，则的长是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）如图，在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．6.5 5．（25-26八年级上·山东日照·期末）如图，在中，平分，平分，过点作，分别交于点，若，则的周长是（   ） A．26 B．28 C．30 D．32 6．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，分别是的高和角平分线，，则____°． 7．（25-26七年级下·重庆·期中）如图所示，在中，是的角平分线，是的高，，，则_________． 8．（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，在中，的平分线交于点，若，，是的高，则________ ． 9．（25-26八年级上·广东汕头·月考）如图，在中，，．若是的高，与角平分线相交于点，则的度数为___________； 10．（24-25七年级下·河南郑州·期中）如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，则的度为_____． 11．（25-26八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，为钝角，是边上的高，是的平分线．    (1)画出边上的高； (2)若，，求的度数； (3)若，，，求高的长． 12．（25-26七年级下·河南南阳·月考）小明在学习三角形的内角和与外角和的过程中，发现了一个有趣的问题，并对此进行了深入探究： (1)【习题回顾】已知：如图1，在中，，是角平分线，是边上的高，，相交于点．试说明：． 请你帮助小明将推理过程及理由补充完整． 解：∵，是边上的高， ∴，． ∴________（               ）． ∵是角平分线， ∴． ∵________， （                              ）． ∴． (2)【变式思考】如图2，在中，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，其反向延长线与的延长线交于点．若，分别求和的度数． (3)【探究延伸】如图3，在中，在边上存在一点，使得，平分交于点，的外角的平分线的反向延长线与的延长线交于点．若，求的度数． 13．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）小明在学习过程中，对教材中的一个有趣问题做如图探究：    【习题回顾】： (1)已知：如图1，在中，，是角平分线，是高，、相交于点．试说明：； 【变式思考】： (2)如图2，在中，，是边上的高，的外角的平分线交的延长线于点，的反向延长线与边的延长线交于点，若，求和的度数． 14．（25-26八年级上·安徽六安·期末）已知，如图：中，的平分线相交于点，过点作交于． (1)直接写出图中所有的等腰三角形．指出与间有怎样的数量关系？ (2)在（1）的条件下，若，，求的周长； (3)如图2，若中，的平分线与三角形外角的平分线交于点，过点作交于，交于，请问（1）中与间的关系还是否存在，若存在，说明理由：若不存在，写出三者新的数量关系，并说明理由． 15．（24-25九年级上·山东滨州·期中）已知如图（），中，，、的平分线相交于点，过点作交于． (1)与间有怎样的关系？写出你的猜想．（不用证明） (2)若，第①问中与间的关系还存在吗？若不存在，请说明理由，若存在，请写出证明过程． (3)若中，，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如图（），与间的关系如何？为什么？ 16．（25-26七年级下·江西吉安·期末）如图①，中，，的平分线交于点，过点作交于． (1)图①中有几个等腰三角形？猜想：与之间有怎样的关系． (2)如图②，若，其他条件不变，在第（）问中与间的关系还存在吗？ (3)如图③，若中的平分线与平分线交于，过点作，交于，交于，这时与关系又如何？请直接写出结果． 17．（25-26八年级上·天津·期中）已知：中，、的平分线相交于点． ①如下图，过点作交、于、，求证：；    ②如下图，过点作交于、交于，若，求的周长；    ③若中，的平分线与三角形外角的平分线交于，过点作交于，交于．如下图，请写出这时与、间的关系（不需证明）．    18．（25-26八年级上·全国·寒假作业）如图，在中，，D是边的中点，连接，平分交于点E． (1)若，求的度数； (2)过点E作交于点F，求证：是等腰三角形． 19．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·单元复习）如图，是直角三角形，，平分交于点E，于点D交于点F．求证：是等腰三角形． 20．（2023·广西贵港·模拟预测）阅读理解学习 如图，在中，，是的高，是边上一点，，分别与直线垂直，垂足分别为，求证：．小刚发现：连接，有，即，由可得． 请你模仿小刚的思路或者用你的新思路解决以下问题： (1)如图，当点在的延长线上，且上面问题中其它条件不变时，请直接写出此时线段之间的数量关系______． (2)如图，当点是内一点，且，是的高，分别与直线垂直，垂足分别为点，猜想此时线段之间的数量关系是______．并说明理由． 21．（25-26八年级下·四川宜宾·月考）阅读材料：如图，中，，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，腰上的高为，连接，则，即：，∴（定值）．    (1)理解与应用：如图，在边长为的正方形中，点E为对角线上的一点，且，为上一点，于，于，试利用上述结论求出的长．    (2)类比与推理：如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边内任意一点到各边的距离分别为，等边的高为，试证明（定值）．    (3)拓展与延伸：若正边形，内部任意一点到各边的距离为，请问是否为定值？如果是，请合理猜测出这个定值． 22．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）点D，E分别在的两边，上，，相交于点F． (1)如图1，若平分，平分． （ⅰ）已知，，求； （ⅱ）已知，求；（用含α的式子表示） (2)如图2，设，，，若与的周长相等，与的周长相等，分别求和的长．（用含a，b，c的式子表示） 23．（24-25八年级上·北京·期中）我们已学过三角形三个内角的和为． 定义：如果一个三角形的两个内角与满足．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”； (1)若是“准互余三角形”，，，则的度数是__________； (2)如图，是等腰三角形，并且，是边上的中线，平分，与交于点，求证：是“准互余三角形”； (3)如图，是直角三角形，．点是边上一点，是“准互余三角形”，若，则的度数是____________________． 16 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $