精品解析：广东省揭阳市榕城区2026年九年级第二次模拟考试数学科目试卷

2026年初中学业水平考试第二次模拟考试 数学科目试卷 说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．考生必须将选择题所选的选项用2B铅笔在答题卡上相应位置涂黑；非选择题的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔在答题卡相应位置上作答，不按要求作答的答卷无效．不能使用改正纸和涂改液． 3．考试结束时，将答题卡收回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 3. 如图，已知，则的度数（ ） A. B. C. D. 4. 中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下图是榕城区2026年5月4日到10日的天气情况，这7天中最高气温（单位：℃）的中位数与众数分别是（ ） A. 22，22 B. 21，22 C. 23，29 D. 29，29 7. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，是矩形的对角线，将绕点逆时针旋转得到，使点在线段上，交于点，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，点，分别为，中点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数中，自变量x的取值范围是_________． 12. 一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是_______． 13. 已知代数式与是同类项，则 _____． 14. 如图，四边形是的内接四边形，已知的半径为4，，则________． 15. “数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步，算出的各位数字之和得，计算得；…………以此类推，则______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 17. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 18. 为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的男生人数为______，图①中m的值为______；本次调查获取的样本数据的平均数为______，中位数为______． （2）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校320名男生中该项目良好的人数． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 育才中学准备购买甲、乙两种分类垃圾桶，经市场调研得知：甲种垃圾桶每组的单价比乙种垃圾桶每组的单价多元，且用元购买乙种垃圾桶的组数量是用元购买甲种垃圾桶的组数量的2倍． （1）求甲、乙两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； （2）该学校计划用不超过元的资金购买甲、乙两种垃圾桶共组，则最多可以购买甲种垃圾桶多少组？ 20. 【实验操作】 在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下表格的数据： … … … … （1）填写：______，______； 【探究观察】 （2）根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息， ①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象； ②观察图象，写出该函数的一条性质； 【拓展应用】 （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 21. 如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与探究 问题情境，如图，在矩形纸片中，点、分别是边、上的动点，连接、、．将矩形纸片分别沿直线，折叠，点的对应点为点，点的对应点为点． （1）操作探究：如图（1），若点与点重合，与交于点，求证：； （2）探究发现：如图（2），当点，落在对角线上时，判断并证明四边形的形状； （3）探究拓广：当点、落在对角线上时． ①在图（3）中补全图形； ②若，，求的长． 23. 如图， 已知点， ， 的平分线交于， 一动点 从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动，过点 且平行于 的直线交轴于 ，作点 、关于直线的对称点、．设点运动的时间为秒． （1）用含的代数式表示点，的坐标，点的坐标为 ，点的坐标为 ． （2）求点的坐标． （3）设与 重叠部分的面积为 ．试求关于的函数关系式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试第二次模拟考试 数学科目试卷 说明：1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟． 2．考生必须将选择题所选的选项用2B铅笔在答题卡上相应位置涂黑；非选择题的答案必须用黑色字迹钢笔或签字笔在答题卡相应位置上作答，不按要求作答的答卷无效．不能使用改正纸和涂改液． 3．考试结束时，将答题卡收回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查有理数的判断，解题的关键是熟知无理数与有理数的区别． 根据无理数与有理数的定义即可判断． 【详解】解：A． 是无理数；     B． 为无理数； C． 为无理数；     D．为有理数； 故选：D． 2. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义是解此题的关键． 中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形；轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 3. 如图，已知，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线的判定和性质进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 4. 中国空间站（又称天宫空间站）是中华人民共和国建成的国家级太空实验室，其轨道高度设定在约425 000米，设定寿命为10年，可以长期驻留3人，最大可扩展为180吨级六舱组合体，以进行较大规模的空间应用．将数据425 000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【详解】解：． 故选C． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别利用合并同类项、同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方分别分析得出即可． 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、不能合并，故选项错误； D、，故选项错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘法运算法则以及幂的乘方，正确掌握运算法则是解题关键． 6. 下图是榕城区2026年5月4日到10日的天气情况，这7天中最高气温（单位：℃）的中位数与众数分别是（ ） A. 22，22 B. 21，22 C. 23，29 D. 29，29 【答案】D 【解析】 【详解】解：由图可知，最高气温从小到大排列为：25，25，26，29，29．29，31， ∵处于中间位置的数是29， ∴中位数是29． ∵在这组数据中，29出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是29． 7. 设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得抛物线开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越远函数值越小，再求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：， 可知，抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴离对称轴越远函数值越小， ∵，，是抛物线上的三点， 且， ∴， 故选：D． 8. 如图，在矩形中，是矩形的对角线，将绕点逆时针旋转得到，使点在线段上，交于点，交于点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，，，根据，，利用同角的余角相等，得到，从而推出，在中，即可求解． 【详解】解：由题意可得，， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ． 9. 如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质， 根据阴影部分的面积解答即可. 【详解】解：∵， ∴， 同理：. 根据勾股定理，得. 阴影部分的面积 . 故选：C. 10. 如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，点，分别为，中点，若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质、三角形中位线定理、勾股定理，灵活运用三角形中位线定理结合正方形的性质构造辅助线，是解题的关键．先通过赋值法确定正方形边长及相关线段长度，再利用中位线定理得到线段的平行关系与长度，结合正方形对角线的特殊角构造直角三角形，最后用勾股定理求出的长度，进而得到的值． 【详解】解：如图，取中点为，连接、， 设， ，， ，， ， ， 、分别是、的中点， 且， ， 又、分别是、的中点， 且， ， ， 过点作交延长线于点， 为等腰直角三角形， ， ， 在中， ， ． 故选：． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 函数中，自变量x的取值范围是_________． 【答案】且 【解析】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件可得；接下来由分式有意义的条件可得，进而求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且． 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查的是求函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握二次根式以及分式有意义的条件． 12. 一个多边形的内角和比它的外角和多，则这个多边形的边数是_______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查多边形内角和与外角和，掌握多边形内角和公式和外角和为是解题的关键．根据多边形的内角和公式以及外角和为建立一个关于边数的方程，解方程即可． 【详解】解：设多边形边数为n，根据题意得： ， 解得 ， 故答案为：7． 13. 已知代数式与是同类项，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了同类项，解二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义，代入法解二元一次方程组，是解题关键．同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项．根据同类项的定义可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组可得、的值，代入可得． 【详解】解：∵代数式与是同类项， ∴，， ∴， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴原方程组的解为：， ∴． 故答案为：． 14. 如图，四边形是的内接四边形，已知的半径为4，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点，首先根据圆内接四边形的性质可得，由圆周角定理可得，再确定，，进一步利用三角函数解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，过点作于点， ∵四边形是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵的半径为4，即，且， ∴，， ∴， ∴． 15. “数学好玩”兴趣小组做一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得；第二步：算出的各位数字之和得，计算得；第三步，算出的各位数字之和得，计算得；…………以此类推，则______． 【答案】26 【解析】 【分析】根据题意分别求出以及的值，由此发现以26，65，122三个数为一个循环，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ……， 由此发现，以26，65，122三个数为一个循环， ∵， ∴． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】原式分别计算有理数的乘方，零指数幂、负整数指数幂、实数的绝对值和特殊角三角函数值，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 17. 图①、图②、图③均是的网格，其中每个小方格都是边长相等的正方形，其顶点称为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，使的顶点均在格点上． （1）在图①中，是面积最大的等腰三角形； （2）在图②中，是面积最大的直角三角形； （3）在图③中，是面积最大的等腰直角三角形． 【答案】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图，勾股定理及其逆定理，网格中求三角形面积，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据面积最大，且为等腰三角形，顶点均在格点上； （2）根据面积最大，且为直角三角形，顶点均在格点上； （3）作个腰长为的等腰直角三角形，顺次连接A、B、C，则即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 为了解某校八年级男生在体能测试中引体向上项目的情况，随机抽查了部分男生引体向上项目的测试成绩，绘制如图统计图，请根据相关信息，解答下列问题： （1）本次接受随机抽样调查的男生人数为______，图①中m的值为______；本次调查获取的样本数据的平均数为______，中位数为______． （2）若规定引体向上6次及以上为该项目良好，根据样本数据，估计该校320名男生中该项目良好的人数． 【答案】（1）40，25，5.8，6 （2）176人 【解析】 【分析】本题考查了数据的分析． （1）根据条形统计图中的各组数据即可求出本次接受随机抽样调查的男生人数，由条形统计图可知测试成绩为6次的人数和被调查的总人数，由此可求出m的值，再根据平均数的计算方法及中位数的计算方法求出平均数和中位数即可． （2）利用该校男生总人数引体向上6次及以上的男生所占的百分比，即可求出该校320名男生中该项目良好的人数． 掌握平均数、中位数的概念及计算方法，能够把扇形统计图和条形统计图结合起来分析数据是解题的关键． 【小问1详解】 （名）， ，即， 平均数为（次）， 将这40名男生引体向上的次数从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数是次，因此中位数是6次， 故答案为：40，25，5.8，6 【小问2详解】 （人）， 答：该校320名男生中该项目良好的人数大约为176人. 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 育才中学准备购买甲、乙两种分类垃圾桶，经市场调研得知：甲种垃圾桶每组的单价比乙种垃圾桶每组的单价多元，且用元购买乙种垃圾桶的组数量是用元购买甲种垃圾桶的组数量的2倍． （1）求甲、乙两种垃圾桶每组的单价分别是多少元； （2）该学校计划用不超过元的资金购买甲、乙两种垃圾桶共组，则最多可以购买甲种垃圾桶多少组？ 【答案】（1）甲种垃圾桶每组的单价为元，乙种垃圾桶每组的单价为元 （2）最多可以购买甲种垃圾桶16组 【解析】 【分析】（1）设乙种垃圾桶每组的单价为x元，则甲种垃圾桶每组的单价为元，再根据用元购买乙种垃圾桶的组数量是用元购买甲种垃圾桶的组数量的2倍列出方程求解即可； （2）设购买甲种垃圾桶y组，在购买乙种垃圾桶组，再根据购买资金不超过元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设乙种垃圾桶每组的单价为x元，则甲种垃圾桶每组的单价为元 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：甲种垃圾桶每组的单价为420元，乙种垃圾桶每组的单价为300元． 【小问2详解】 解：设购买甲种垃圾桶y组，在购买乙种垃圾桶组， 依题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y的最大值为． 答：最多可以购买甲种垃圾桶组． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程，找到不等关系列出不等式是解题的关键． 20. 【实验操作】 在如图所示的串联电路中，用一固定电压为的电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度．已知电流与电阻，之间关系为，通过实验得出如下表格的数据： … … … … （1）填写：______，______； 【探究观察】 （2）根据以上实验，构建出函数（），结合表格信息， ①在平面直角坐标系中画出对应函数的大致图象； ②观察图象，写出该函数的一条性质； 【拓展应用】 （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） ①如图， ②的值随着的增大而减小（答案不唯一） （3） 【解析】 【分析】根据关系式解答即可求解； ①根据表格数值列表、描点、连线即可；②根据函数图象解答即可； 画出一次函数的图象，求出交点横坐标，再根据函数图象解答即可． 【小问1详解】 解：当时，，即； 当时，， 解得， 经检验符合题意， ∴； 【小问2详解】 解：①略； ②由图象可知，的值随着的增大而减小； 【小问3详解】 解：画一次函数函数的图象如下： 解得，, 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集为． 21. 如图，在四边形中，．以为直径的经过点D，且与边交于点E，连接． （1）求证：为的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）只要证明，即可证明为的切线； （2）过点D作，垂足为F，在中，，，，求得，，在中，，，，求得，再根据圆内接四边形的性质结合等边对等角求得，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴为的切线； 【小问2详解】 解：如图，过点D作，垂足为F， ∵， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，切线的判定，解直角三角形的应用．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 综合与探究 问题情境，如图，在矩形纸片中，点、分别是边、上的动点，连接、、．将矩形纸片分别沿直线，折叠，点的对应点为点，点的对应点为点． （1）操作探究：如图（1），若点与点重合，与交于点，求证：； （2）探究发现：如图（2），当点，落在对角线上时，判断并证明四边形的形状； （3）探究拓广：当点、落在对角线上时． ①在图（3）中补全图形； ②若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，． ∵矩形纸片沿折叠，点A的对应点是点M， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵矩形纸片沿折叠，点C的对应点为点N， ∴． ∴． ∴； （2）四边形是平行四边形． 证明：∵四边形是矩形， ∴，． ∵矩形纸片沿折叠，点A的对应点是点M，沿折叠，点C的对应点为点N， ∴，． ∴． ∴． 又， ∴四边形是平行四边形； （3）①所作图形如图： ② 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得出，，，由折叠的性质得出，，，证出，由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）由矩形的性质及折叠的性质证出，得出，根据平行四边形的判定可得出结论； （3）①由题意画出图形即可； ②证明，由相似三角形的性质得出，求出的长，再根据勾股定理可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 ②∵四边形是矩形，，，， ∴，，，． ∴． ∵矩形纸片沿折叠，点C的对应点是点N， ∴是的垂直平分线，记垂足为点O，则． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． 同理（2）得：四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∴． 过E作于点G，则 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴． 在中，． 23. 如图， 已知点， ， 的平分线交于， 一动点 从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动，过点 且平行于 的直线交轴于 ，作点 、关于直线的对称点、．设点运动的时间为秒． （1）用含的代数式表示点，的坐标，点的坐标为 ，点的坐标为 ． （2）求点的坐标． （3）设与 重叠部分的面积为 ．试求关于的函数关系式． 【答案】（1），． （2） （3） 【解析】 【分析】本题是运动型综合题，涉及二次函数与一次函数、待定系数法、相似、图形面积计算、动点问题函数图象等知识点，正确地进行分类讨论，是解决本题的关键． （1）根据平行线分线段成比例得出，进而得出，进而得出的坐标，根据轴对称的性质可得，即可求解； （2）证明四边形是正方形，设正方形的边长为，证明，根据相似三角形的性质列出比例式，即可求解； （3）所求函数关系式为分段函数，需要分类讨论：图2，图3表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化，分别求解即可． 【小问1详解】 ∵点， ， ∴ ∵， ∴，即 ∴ 动点 从点出发， 以每秒个单位长度的速度，沿轴向点作匀速运动， ， ． 的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线， ∴，． 【小问2详解】 解：过点作轴于点，轴于点， ∵的平分线交于，即对称轴为第一象限的角平分线， ∴， 又∵轴于点，轴于点， ∴ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形，设正方形的边长为， ∴ 轴 ∴即 解得：， ∴ 【小问3详解】 当时，如图2所示，点在线段上，重叠部分面积为． . 当时，如图3所示，点在的延长线上， 设与交于点，则重叠部分面积为． 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 直线的解析式为 同理求得直线的解析式为：． 联立与，求得点的横坐标为． ． 综上所述，关于的函数关系式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $