精品解析：2025年广东省揭阳市榕城区中考二模数学试题

2025年初中学业水平考试第二次模拟考试 数学科试卷 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时为120分钟． 2．考生必须将选择题所选的选项用2B铅笔在答题卡上相应位置涂黑；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置上作答，不按要求作答的答卷无效．不能使用改正纸和涂改液． 3．考试结束时，将答题卡收回． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正负数的定义，乘方的计算，化简绝对值，化简多重符号，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先化简多重符号，计算乘方，化简绝对值，再根据正负数的定义判断即可． 【详解】解：A、，是正数，故该选项不符合题意； B、，是正数，故该选项不符合题意； C、，是正数，故该选项不符合题意； D、，是负数，故该选项符合题意； 故选：D． 2. 据统计，2024年我国新能源汽车产量超过988万辆，其中988万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 【详解】解：988万 故选：B 3. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查成轴对称的定义，掌握成轴对称的定义是解题的关键．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．根据两个图形成轴对称的定义，逐一判断选项即可． 【详解】A．图案不成轴对称，故不符合题意； B．图案成轴对称，故符合题意； C．图案不成轴对称，故不符合题意； D．图案不成轴对称，故不符合题意； 故你：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法，合并同类项，幂的乘方，算术平方根，掌握相应的运算法则是关键．根据相关计算法则求出对应选项式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意． 故选：C． 5. 为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能+”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中融合应用”为主题的比赛，其中六位参赛选手的成绩分别为：，则这组数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，根据中位数的定义解答即可求解，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：数据按由小到大排列为，，，，，， ∴这组数据的中位数是， 故选：． 6. 如图，在菱形中，于点，，，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，掌握菱形的性质成为解题的关键． 由菱形的性质可得、，再运用勾股定理可得，然后运用等面积法求解即可． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得：． 故选A． 7. 如图，一幅画装裱前是一个长为米，宽为米的长方形，在四周添加边衬装裱后，整幅画宽与长的比是，且边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列分式方程，设边衬的宽度为米，根据题意列出方程即可，掌握分式方程的应用是解题的关键． 【详解】解：设边衬的宽度为米，根据题意得： ， 故选：D． 8. 如图，A，B，C是⊙O上的三个点，若∠B＝66°，则∠OAC的度数为（　　） A. 24° B. 29° C. 33° D. 132° 【答案】A 【解析】 【分析】先计算∠AOC＝132°，再利用灯光要三角形的性质计算底角即可． 【详解】∵A，B，C是⊙O上的三个点，∠B＝66°， ∴∠AOC＝132°， ∵OA=OC， ∴∠OAC=∠OCA， ∴∠OAC=， =， =24°， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆心角定理是解题的关键． 9. 我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：，则．若，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是同底数幂的乘法，新定义运算，关键是正确理解新定义，将把新运算化成常规运算． 根据新定义进行计算即可求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴， 故选：C． 10. 如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长至，使，连接，连接交于， 当、、三点共线时，最小，即最小，当运动到时，最小，由图得当时，，此时与重合，与重合，结合平行四边形的判定方法及性质和勾股定理，即可求解． 【详解】解：延长至，使，连接，连接交于， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 当、、三点共线时，最小， 即最小， 当运动到时，最小， 由图得：当时，， 此时与重合，与重合， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 当时， ， 函数图象最低点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数应用，线段和最小值的典型问题，平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，勾股定理，正切函数等；掌握平行四边形的判定及性质，矩形的判定及性质，能熟练利用勾股定理求解及找到取得最小值的条件是解题的关键． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知2和分别是一元二次方程两根，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，则． 【详解】解：∵2和分别是一元二次方程的两根， ∴， 解得， 故答案为：4． 12. 如图，是某商店售卖的花架，其中，，，，则长为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例”是解题的关键．由，利用平行线分线段成比例，可求出的长． 【详解】∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：30 13. 已知x，y为实数，若满足，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：有意义， 故， 解得， 故， 故， 故答案为：5. 14. 如图，已知扇形的面积为，点在圆周上，，则的半径为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查扇形的面积，圆周角定理，设的半径为r，先由圆周角定理得，再利用扇形面积公式求解． 【详解】解：设的半径为r， ∵， ∴， ∵扇形的面积为， ∴， 解得（负值已舍去）， 即的半径为3， 故答案为：3． 15. 已知，直线与x轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作x轴的平行线与直线l交于点，与y轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形…，则点的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】直线可知，点坐标为，可得，由于是等边三角形，可得点，把代入直线解析式即可求得的横坐标，可得，由于是等边三角形，可得点；同理，，发现规律即可得解，准确发现坐标与字母的序号之间的规律是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴交于点， 令，，则， ∴点坐标为， ， 过，作轴交轴于点轴交于点，交轴于点， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ， ， ， ∴当时，，解得：， ∴； 而， 同理可得：的横坐标为， ∴点的横坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标的特征，勾股定理的应用，等边三角形的性质，直角三角形的性质，二次根式的性质，特殊图形点的坐标的规律，掌握探究的方法是解本题的关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数相等时，把两个方程的两边分别相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，解这个一元一次方程，求得未知数的值，将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用的形式表示． 利用①+2×②即可消去y，求得x的值，然后代入求得y的值． 【详解】解：， 由，得， 解得：， 把代入①，得，解得， ∴方程组的解为 17. 已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质． （1）由条件可求得，利用可证明； （2）根据全等三角形的性质得，，则，然后再根据即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 18. 电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查列表法与树状图法、概率公式． （1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的结果有1种， ∴第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为． 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图： 共有12种等可能的结果，其中取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的结果有2种， ∴取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 根据要求作图并证明． （1）如图，请按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹： ①画一条直径； ②作的垂直平分线交于点C，D； ③连结，得到． （2）根据第（1）小题作法，给出是等边三角形的证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图，等边三角形的性质和判定，垂径定理，圆周角定理， 对于（1），过圆心画一条直径，再分别以点O，B为圆心，以大于为半径画弧，然后过两个交点画直线，与交于点C，D，连接，则就是所求作的三角形； 对于（2），连结，，根据垂径定理得，即，再说明是等边三角形，可得，然后根据圆周角定理得，可求出，则结论可证. 【小问1详解】 解：图1即为所作图形． 【小问2详解】 解：如图2，连结OD，BD． ∵是的中垂线，为的直径， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． 20. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点P在线段的延长线上． （1）如图1，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）在（1）的条件下，如图2，连接并延长，与x轴交于点D，点Q为x轴上一点，且满足，求点Q的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的综合应用． （1）待定系数法求出反比例函数解析式；设点B的坐标为，则，，根据线段列出方程求出m值即可得到点B的坐标； （2）根据条件可推出，再证明，利用相似三角形性质列出，即，求出即可得到线段长，继而得到点Q的坐标． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点， ∴，， ∴反比例函数的解析式为； 设点B的坐标为，则，， ∴，， ∵， ∴， 整理得：， ∴或（不符合题意舍去）， ∴点B的坐标为； 【小问2详解】 解：∵点P在直线图象上，轴，由（1）可知， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 设直线的解析式为，将，代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为． 21. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度． 如图，建筑物前有个斜坡，已知在同一条水平直线上． 某学习小组在处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． （1）求点到地面距离的长； （2）设建筑物的高度为（单位：）； ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数） 【答案】（1）的长为 （2）①的长为；②建筑物的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． （1）在中，利用30度角的性质求解即可； （2）①在中，求出，在中，求出，进而可表示线段的长； ②过点作，垂足为，可得，从而，在中，构建方程即可求解． 【小问1详解】 由题意得 在中，， ．即的长为． 【小问2详解】 ①在中，， 在中，由，得． ．即HE的长为 ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ， ∴． 在中，， ．即， （m）． 答：建筑物的高度约为． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线C：和直线l：，点均在直线l上 （1）求出直线l的函数解析式； （2）当，的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值； （3）若抛物线C与线段有两个不同的交点，求a的取值范围 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最小值是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）分在对称轴右侧和左侧两种情况，分别求解即可； （3）分、两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把点，代入中， 得：，解得， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：根据题意可得：， ， 抛物线开口向上，对称轴为， 自变量满足时，函数的最小值为， 当时，有， 或， 在对称轴左侧，随的增大而减小， 时，有最小值， ； 在对称轴右侧，随的增大而增大， 时，有最小值； 综上所述：或； 【小问3详解】 解：直线的解析式为：， 抛物线与直线联立：， ， ， ， 抛物线与y轴交点为，对称轴为； 时，抛物线对称轴为， 当时，，当时，，则，即， ， 时，抛物线对称轴为， 当时，，即， ， 的取值范围为：或． 23. 如图，为的直径，弦于，为弦上一点，且，射线与射线相交于点． （1）求证：为的中点． （2）①若，求的值． ②当为直角三角形时，求的正切值． 【答案】（1）见解析 （2）①；②的正切值为或1 【解析】 【分析】（1）由已知得，．可得，得，即得为的中点． （2）①根据，设，则，可得．根据，得， ，；②当时，可得，，设，，得，即得；当时，，，可得，四边形为正方形，即得． 【小问1详解】 证明：为的直径，弦， ， ， ， ， ． 为的直径， ， ，， ， ， 即为的中点． 【小问2详解】 解：①，且， ∴， 设，则， ∴． ， ， ， ， 解得， ． ②（i）当时，， ∴， 由（1）得， ∴， ，， 设， ，， 由（1）知，， ， ． （ii）当时，， ∴． ，， ∴， ∴， 四边形为平行四边形， 由， ∴四边形为正方形， ， ． 综上，的正切值为或1． 【点睛】此题考查了圆与三角形综合．熟练掌握垂径定理，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角角三角函数定义，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试第二次模拟考试 数学科试卷 说明： 1．全卷共4页，满分120分，考试用时为120分钟． 2．考生必须将选择题所选的选项用2B铅笔在答题卡上相应位置涂黑；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应位置上作答，不按要求作答的答卷无效．不能使用改正纸和涂改液． 3．考试结束时，将答题卡收回． 一、选择题：本大题10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列各数中，是负数的是（ ） A. B. C. D. 2. 据统计，2024年我国新能源汽车产量超过988万辆，其中988万用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 端午节是中国传统节日，下列与端午节有关的文创图案中，成轴对称的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 为积极适应智能时代发展趋势，响应国家“人工智能+”行动战略部署，某校开展了以“人工智能在教育场景中融合应用”为主题的比赛，其中六位参赛选手的成绩分别为：，则这组数据的中位数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，于点，，，则的长是（ ） A B. 6 C. D. 12 7. 如图，一幅画装裱前是一个长为米，宽为米的长方形，在四周添加边衬装裱后，整幅画宽与长的比是，且边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为米，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 8. 如图，A，B，C是⊙O上三个点，若∠B＝66°，则∠OAC的度数为（　　） A. 24° B. 29° C. 33° D. 132° 9. 我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：，如：，则．若，那么的结果是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在中，连接，，．动点从点出发，沿边匀速运动．运动到点停止．过点作交边于点，连接，．设，，与的函数图象如图2所示，函数图象最低点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知2和分别是一元二次方程的两根，则______． 12. 如图，是某商店售卖的花架，其中，，，，则长为______． 13. 已知x，y为实数，若满足，则的值为______． 14. 如图，已知扇形的面积为，点在圆周上，，则的半径为___________． 15. 已知，直线与x轴相交于点，以为边作等边三角形，点在第一象限内，过点作x轴的平行线与直线l交于点，与y轴交于点，以为边作等边三角形（点在点的上方），以同样的方式依次作等边三角形，等边三角形…，则点的横坐标为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 解方程组：． 17. 已知：如图，，，垂足分别为，，，相交于点，且． （1）求证：； （2）已知，，求的长度． 18. 电影《哪吒之魔童闹海》截至2025年3月10日，票房突破148.87亿元人民币，成为全球动画电影票房冠军．如图，有4张分别印有《哪吒之魔童闹海》角色图案的卡片：A哪吒，B敖丙，C太乙真人，D申公豹．将这4张卡片（形状、大小、质地都相同）放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片不放回，记录后搅匀，再随机取出1张卡片．求下列事件发生的概率： （1）第一次取出的卡片图案为“A哪吒”的概率为_________； （2）用画树状图或列表的方法，求取出的2张卡片为“A哪吒”和“C太乙真人”的概率． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 根据要求作图并证明． （1）如图，请按以下步骤进行尺规作图，并保留作图痕迹： ①画一条直径； ②作的垂直平分线交于点C，D； ③连结，得到． （2）根据第（1）小题作法，给出是等边三角形的证明． 20. 已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，点P在线段的延长线上． （1）如图1，过点P作y轴的平行线l，l与的图象交于点B，与x轴交于点C，当线段时，求反比例函数的表达式和点B的坐标； （2）在（1）的条件下，如图2，连接并延长，与x轴交于点D，点Q为x轴上一点，且满足，求点Q的坐标． 21. 综合与实践活动中，要利用测角仪测量建筑物的高度． 如图，建筑物前有个斜坡，已知在同一条水平直线上． 某学习小组在处测得广告牌底部仰角为，沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，广告牌． （1）求点到地面距离的长； （2）设建筑物的高度为（单位：）； ①用含有的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求建筑物的高度（取取1.7，结果取整数） 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线C：和直线l：，点均在直线l上 （1）求出直线l的函数解析式； （2）当，的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值； （3）若抛物线C与线段有两个不同的交点，求a的取值范围 23. 如图，为的直径，弦于，为弦上一点，且，射线与射线相交于点． （1）求证：为的中点． （2）①若，求的值． ②当为直角三角形时，求的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $