三角形拓展之最值篇-2026-2027学年苏科版八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练

**基本信息** 以“垂线段最短”“将军饮马”等8大模型为核心，系统覆盖三角形最值问题，通过分层典例构建从性质应用到综合变换的逻辑链条，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂线段最短|4题/角平分线、高背景动点|垂线段最短性质|从点到线距离迁移至角平分线应用| |将军饮马|4题/等边三角形、垂直平分线|对称转化法|利用轴对称化折线为直线| |周长最小|4题/折叠、垂直平分线|双对称模型|结合线段垂直平分线性质构建最短路径| |三点共线最大|4题/翻折、射线动点|三点共线原理|通过延长线转化线段差最大问题| |面积最大|4题/等腰直角三角形、角平分线|配方法+几何模型|代数配方与几何图形性质结合求最值|

三角形拓展之最值篇思维导图 【覆盖一】垂线段最短 1．如图，平分∠，于点A，点Q是射线上一个动点，若，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，在中，，为角平分线，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，，点是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是___________． 4．如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． 【覆盖二】将军饮马 1．如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 2．如图，在中，，，，是的垂直平分线、是直线上一动点，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．13 3．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是边上一点，若，当取得最小值时，的度数为________． 4．如图，等边与的边长都为，，，三点在一条直线上．若点为线段上一动点，连接，，则的最小值是________． 【覆盖三】周长最小—将军饮马 1．如图，中，的垂直平分线分别交于点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值8时，的面积为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 2．如图，等腰三角形底边的长为6，面积是24，腰的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，是线段上一动点，连接，则的周长最小值为（   ） A．5 B．8 C．11 D．14 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点N，在直线上存在一点P，使P、B、C三点构成的的周长最小，则的周长最小值为___________． 4．如图，在中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________． 【覆盖四】三点共线最大 1．如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知在直角三角形中，为直角，把沿翻折得到，点P、E分别是线段上的动点，有下列结论：①中边上的高是；②的最小值是8；③若，则的最大是2.5．其中正确的结论有（    ） A．② B．①② C．①②③ D．①③ 3．如图，在中，，．延长线段至点，使，过点作射线，点为射线上的动点，分别过点，作直线的垂线，．当的值最大时，的度数为______． 4．如图，在中，，，．如果点在的平分线所在的直线上，那么的最大值为_____． 【覆盖一】两动一定 1．如图，在锐角中，，的面积为24，平分，若，分别是上的动点，则的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 2．如图，等腰的底边的长是，面积是，腰的垂直平分线交于点N，垂足为M，若D为边上的一动点，P为上的一动点，求的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．如图，在中，，，的平分线交于点，点，分别在线段，上运动，则的最小值是______． 4．如图，在中，，，，，平分，分别是、边上的动点，求的最小值___________． 【覆盖二】周长最小一双对称 1．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2．已知，在内有一定点P，点M，N分别是上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　）    A．1.5 B．3 C．2 D．2.5 3．如图，内部有一定点，，若点，分别是射线，上异于点的动点．（1）在射线，上______（填“是”或“否”）存在点，使的周长有最小值；（2）当周长的最小值是2时，则的度数是______． 4．如图所示，在中，，点D是内一定点，并且，点E、F分别是射线，上异于点A的动点，当的周长取最小值时，点A到线段的距离为________． 【覆盖三】四点共线 1．如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 2．如图，点C为线段外一点，，若，连接，当最大时的度数为（   ） A． B． C． D． 3．小华的作业中有一道数学题：“如图，AC，BD在AB的同侧，BD＝4，AB＝4，AC=1，∠CED=120°，点E是AB的中点，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将△ACE和△BDE分别沿CE，连接A′B′．最后小华求解正确，得到CD的最大值是 _____． 4．小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧，，，，点E为AB的中点．若，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿CE、DE翻折得到和，连接．最后小华求解正确，得到CD的最大值是_____． 【覆盖四】面积最大 1．在数学活动课上，小明先以的顶点C为圆心任意长为半径作弧与分别相交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内相交于点D，作射线，于点P，连接，如图所示．小明探究发现：当的长，且与（）的差都确定时，的面积存在最大值，则当，时，的最大值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．24 2．如图，在等腰中， ，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①：②是等腰直角三角形；③四边形的面积随D，E的运动而变化；④面积的最小值为2；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（　　） A．①③⑤ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤ 3．如图，和均为等腰直角三角形，，，连接、，那么以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于___________． 4．如图，在中，平分，过点作，垂足为点，为的中点，连接，，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值是______． 【覆盖一】斜中定理+三点共线 1．如图，在中，，，，将绕顶点逆时针旋转得到，若点、分别是、的中点，连接．则线段的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点M是中点，点N是中点，连接，若，，则线段的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．如图，是直角三角形，且，，斜边的端点、分别在的两边，上滑动，，连接，则线段的最大值是______． 4．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为________，线段的最大值为________． 【覆盖二】手拉手最值 1．如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是2 C．的最小值是4 D．的最大值是4 2．如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，P为等边三角形外一点，连接，，．已知，，O为的中点，则的最大值为______． 4．如图，是等边三角形外一点若，，连接，则线段长度的最大值为_____． 【覆盖三】配方法+三边关系 1．郑老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是2， 依据上述方法，解决下列问题 (1)当_________时，有最小值是__________； (2)试说明：不论取什么数，多项式的值总是正数； (3)已知、、是的三边长，满足，且，求的周长． 2．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当____________时，有最小值是____________ (2)多项式有最____________（填“大”或“小”）值，该值为____________ (3)已知，求的最值 (4)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 3．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ，，的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：的最小值是___________； (2)求的最小值： (3)已知的三边长、、，满足，求当时，的周长． 4．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)多项式有最______（填“大”或“小”）值，该值为______． (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【覆盖四】多种最值综合 1．问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 2．【问题初探】 （1）如图1，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接、，求的最小值； 【变式探究】 （2）如图2，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． 【拓展延伸】 （3）如图3，，是内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为5时，求的长． 3．“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； (2)应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 4．【几何模型】 条件：如图①，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结交l于点P，则的值最小（不必证明）． 【模型应用】 (1)如图②，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴．现在有，，，P为的平分线上一动点，请求出的最小值； (2)①如图③，，P是内一点，，Q、R分别是、上的动点，请直接写出周长的最小值___________； ②如图④，，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在、上，则的最小值是___________． 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角形拓展之最值篇思维导图 【覆盖一】垂线段最短 1．如图，平分∠，于点A，点Q是射线上一个动点，若，则的最小值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质以及垂线段最短，掌握相关知识是解决问题的关键．过作交于，根据角平分线的性质可得，由垂线段最短即可得出，此题得解． 【详解】解：过作交于， 平分，，， ， ∵点Q是射线上一个动点， ．即的最小值为 故选：B． 2．如图，在中，，为角平分线，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质、点到直线的距离以及动点最值问题．掌握角平分线上点到角两边距离相等的性质，以及“垂线段最短”这一基本原理是解题的关键．首先通过面积公式，解得．再根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。因此，过点D作于点E，则．根据“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”，当P与垂足E重合时，取得最小值，且最小值等于垂线段的长度． 【详解】解：∵，，， 又∵， ∴， 如图，过D作于点E， ∵为角平分线， ∴， ∵点到直线的垂线段最短， ∴当P与E重合时有最短，此时， ∴线段的最小值是4． 故选：B． 3．如图，在中，，点是边上的一个动点，连接，则线段长度的最小值是___________． 【答案】 4.8 【分析】根据题意，当时，的长度最短，由等面积法求高的方法列式求解即可． 【详解】解：由垂线段最短可知，当时，的长度最短， 由面积公式得：， 即， 解得，． 4．如图，在中，于点，，，，为边上一动点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，由垂线段最短可知当时，的值最小，再利用三角形的面积解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：如图，当时，的值最小， ， ， ， 即的最小值为， 故答案为： 【覆盖二】将军饮马 1．如图，在等边中，边上的高，E是高上的一个动点，F是边的中点，在点E运动的过程中，存在最小值，则这个最小值是（   ） A．8 B．9 C．8.5 D．9.5 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，轴对称性质等知识．连接，，根据等边三角形的性质可得，从而得到，当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵在等边中， 是边上的高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当点C，E，F三点共线时，有最小值，最小值为的长， ∵当时，的长最小， ∴， 即最小值为9.5． 故选：D 2．如图，在中，，，，是的垂直平分线、是直线上一动点，则的最小值为（    ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，则可得到当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，最小值为线段的长，即为12， 故选：C． 3．如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是边上一点，若，当取得最小值时，的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过E作，交于N，连接交于F，连接，推出M为中点，求出E和M关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】解：过E作，交于N， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E和M关于对称， 连接交于F，连接， 此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为． 4．如图，等边与的边长都为，，，三点在一条直线上．若点为线段上一动点，连接，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称﹣最短问题、等边三角形的性质、三线合一的性质，解题的关键是学会找对称点，形成两点之间的线段来解决最短问题；连接交于点，过点作直线，根据已知可得，，进而得出与关于直线对称，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据等腰三角形的三线合一的性质，得出，，进而得出、关于直线对称，再根据两点之间，线段最短，得出当点与重合时，的值最小，进而即可得出的最小值． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作直线， ∵等边与的边长都为，， ∴， ∵、、三点在一条直线上， ∴ 与关于直线对称， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴、关于直线对称， ∴当点与重合时，的值最小，最小值为线段的长． 故答案为： 【覆盖三】周长最小—将军饮马 1．如图，中，的垂直平分线分别交于点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值8时，的面积为（    ） A．8 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称--最短路线问题、等腰三角形三线合一的性质等知识点．如图：连接，由于是等腰三角形，点为的中点，故，根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，求出的长，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵是等腰三角形，点为的中点， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴C关于直线的对称点为点A，， ∴的长为的最小值， ∵周长的最小值， ， ∴． 故选：B． 2．如图，等腰三角形底边的长为6，面积是24，腰的垂直平分线交于点，交于点，是的中点，是线段上一动点，连接，则的周长最小值为（   ） A．5 B．8 C．11 D．14 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称−−最短路线问题，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键， 连接，由等腰三角形三线合一的性质及面积得，再利用线段垂直平分线的性质得出，即可得出，进而可得出当点A，M，D三点共线时，有最小值，最小值8．最后根据三角形的周长计算即可． 【详解】解：连接， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线，是线段上一动点， ∴． ∴． ∴当点A，M，D三点共线时，有最小值，最小值为8． ∴的周长的最小值为． 故选：C． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点M，交于点N，在直线上存在一点P，使P、B、C三点构成的的周长最小，则的周长最小值为___________． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，如图，连接，因为的周长，，推出的值最小时，的周长最小，由题意，推出，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， ∵的周长，， ∴的值最小时，的周长最小， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的周长的最小值为． 故答案为：． 4．如图，在中，，将沿折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，若点为上一动点，则的周长最小值为_____________． 【答案】 【分析】连接，交于，根据折叠和等腰三角形性质得出当和重合时，的值最小，即此时的周长最小，最小值是，即可求出答案． 【详解】解：连接，交于，如图所示： ∵沿折叠和重合， ， 垂直平分，即和关于对称， ， ∴当和重合时，的值最小，即可此时的周长最小，最小值是， 的周长的最小值是． 【覆盖四】三点共线最大 1．如图1，直线l及同侧两点A，B，要在直线l上找一点C，使 最大，其做法为：连接并延长，交直线l于点C，可证点C即为所求．如图2，直线l及两侧两点A，B，在直线l上找一点C，使最大．下列图中所画点C的位置正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称的性质，三角形的三边关系的应用，如图，作关于直线的对称点，作直线交直线于，即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作直线交直线于，连接， 则， ∴， 此时最大． 故选：B 2．如图，已知在直角三角形中，为直角，把沿翻折得到，点P、E分别是线段上的动点，有下列结论：①中边上的高是；②的最小值是8；③若，则的最大是2.5．其中正确的结论有（    ） A．② B．①② C．①②③ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查折叠的性质，轴对称求最短距离，等腰三角形的判定与性质，利用三角形面积公式即可判断①；过点B作，作点E关于的对称点，连接，先证明三角形是等腰三角形，由对称的性质结合垂线段最短可得当三点共线，且时，有最小值，最小值为的长，即可判断②；根据题意求出，利用，即可判断③． 【详解】解：设中边上的高是， ∵直角三角形中，为直角， 由折叠的性质得， ∴， ∵， ∴，故①正确； 如图，过点B作，作点E关于的对称点，连接， 由折叠的性质得， ∴是等腰三角形， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当三点共线，且时，有最小值，最小值为的长， 同理①得， ∴的最小值是，故②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴当点P与点A重合时，有最大值， 此时，故③正确； 故选：D． 3．如图，在中，，．延长线段至点，使，过点作射线，点为射线上的动点，分别过点，作直线的垂线，．当的值最大时，的度数为______． 【答案】/130度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质．如图，过点作直线于点．证明，推出与重合时，的值最大，此时，画出相应的图形，根据条件，利用三角形的内角和、邻补角的意义，求出结果． 【详解】解：如图，过点作直线于点． 直线，直线， ， ，， ， ， ， 与重合时，的值最大， 当与重合，与重合时，的值最大，此时， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 4．如图，在中，，，．如果点在的平分线所在的直线上，那么的最大值为_____． 【答案】2 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．在线段上取点，使得，证明得，再由三角形的三边关系得，从而当，，在同一直线上时，取最大值，从而问题得解． 【详解】如图，在线段上取点，使得，连接． 因为点在的平分线所在的直线上， 所以． 因为， 所以， 所以， 所以． 因为，， 所以． 因为， 所以当点，，在同一直线上时，取最大值为的长， 所以， 所以的最大值为2． 故答案为：2． 【覆盖一】两动一定 1．如图，在锐角中，，的面积为24，平分，若，分别是上的动点，则的最小值是（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，垂线段最短，在线段上取一点，使，过作于，先由面积求出，再证，得到，，最后根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在线段上取一点，使，过作于， ∵，的面积为24， ∴， 解得， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当、都在线段上时，最小， 故选：A． 2．如图，等腰的底边的长是，面积是，腰的垂直平分线交于点N，垂足为M，若D为边上的一动点，P为上的一动点，求的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，则，当点A，P，D共线且时，有最小值，即有最小值为的长，由等积法可求解． 【详解】解：连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点D共线且时，有最小值，即有最小值为的长， ∵， ∴． 3．如图，在中，，，的平分线交于点，点，分别在线段，上运动，则的最小值是______． 【答案】2 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，，在上截取，过点作于点F，连接，可证明，得到，则可推出当三点共线，且点E与点F重合时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，在上截取，过点作于点F，连接， ∵的平分线交于点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，且点E与点F重合时，有最小值，最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为2， 故答案为：2． 4．如图，在中，，，，，平分，分别是、边上的动点，求的最小值___________． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，直角三角形的等面积法求斜边上的高，属于综合题，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作，交于，交于，连接， ∵平分， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∵是边上的动点， ∴， ∴， ∴、、三点在一条直线上，且时，有最小值， ∵，，，， ∴，即， 解得：， ∴的最小值为． 故答案为： 【覆盖二】周长最小一双对称 1．如图，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，当周长取最小值时，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称求最小值，全等三角形性质和判定，等腰三角形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．作如图所示的辅助线，根据轴对称的性质证得是等腰三角形，求得，再利用证明，，根据全等三角形的性质可得，，再由即可求解． 【详解】解：如图，分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，此时周长取最小值． ，，； ， ， 在中，，， ； 在和中， ， ≌， ， 同理， ． 故选：B． 2．已知，在内有一定点P，点M，N分别是上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　）    A．1.5 B．3 C．2 D．2.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题，根据题意画出符合条件的图形，求出，得出等边三角形，求出，求出的周长，即可求出答案． 【详解】解：作P关于的对称点D，作P关于的对称点E，连接交于M，交于N，连接，当四点共线时的周长最小，    连接， ∵P、D关于对称， ∴， 同理， ∴， ∵P、D关于对称， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长是， ∴ 故选：B． 3．如图，内部有一定点，，若点，分别是射线，上异于点的动点．（1）在射线，上______（填“是”或“否”）存在点，使的周长有最小值；（2）当周长的最小值是2时，则的度数是______． 【答案】 是 30 【分析】本题考查了轴对称最短路线问题：熟练掌握轴对称的性质，会利用两点之间线段最短解决路径最短问题． （1）作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，利用轴对称的性质得，利用两点之间线段最短判断此时周长最小为； （2）由（1）可得是等边三角形，进而可得的度数． 【详解】解：（1）在射线上存在点，，使的周长有最小值；作点分别关于、的对称点、，连接分别交、于、，连接，，此时周长最小为． 故答案为：是； （2）如图，∵周长最小为， 根据轴对称的性质，得， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， 故答案为：30． 4．如图所示，在中，，点D是内一定点，并且，点E、F分别是射线，上异于点A的动点，当的周长取最小值时，点A到线段的距离为________． 【答案】2 【分析】分别作点D关于、的对称点M、N，连接交、分别于点E、F，由两点之间线段最短可知，此时的周长取最小．由轴对称的性质得，，然后根据角的性质求解即可． 【详解】解：如图，分别作点D关于、的对称点M、N，连接交、分别于点E、F，则，，则的周长，由两点之间线段最短可知，此时的周长取最小． 作于点H． 由轴对称的性质得，， ∴， ∴． ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，等腰三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 【覆盖三】四点共线 1．如图，在四边形中，，，，E是的中点，，则的最大值为（    ） A．25 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接，根据折叠的性质和等边三角形的判定与性质解答即可，熟练掌握其性质，正确添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，将沿折叠得到，将沿折叠得到，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的最大值为19， 故选：B． 2．如图，点C为线段外一点，，若，连接，当最大时的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形、等腰三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，及线段最值，解题关键是构造全等三角形转化线段，结合三点共线确定最值并计算角度． 构造等腰，利用证，得；根据等腰三角形性质求角，结合“三点共线时最大”，通过勾股定理和角的传递与和差，算出答案 ． 【详解】解：以为腰，在上方作等腰三角形，使，，连接，如图∶   ，   ，   ，，   ，   ，   ，， 过点B作， ∴，， ∴， ∴， 在中 ， ，   当，，共线时，最大为，   此时，，   ，   ，   ，   ，   故选：B． 3．小华的作业中有一道数学题：“如图，AC，BD在AB的同侧，BD＝4，AB＝4，AC=1，∠CED=120°，点E是AB的中点，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将△ACE和△BDE分别沿CE，连接A′B′．最后小华求解正确，得到CD的最大值是 _____． 【答案】7 【分析】由翻折的性质可证△EB'A'是等边三角形，则A'B'＝A'E＝2，再根据CD≤A'C+A'B'+B'D，即可求出CD的最大值． 【详解】解：∵AB=4，点E为AB的中点， ∴AE=BE=2， ∵∠CED=120°， ∴∠AEC+∠DEB=60°， ∵将△ACE和△BDE分别沿CE，DE翻折得到△A′CE和△B′DE， ∴A'C=AC=1，AE=A'E=2，∠AEC=∠CEA'，DB=DB'=4，BE=B'E=2，∠DEB=∠DEB'， ∴∠A'EB'=60°，A'E=B'E=2， ∴△EB'A'是等边三角形， ∴A'B'=A'E=2， ∴当点C，点A'，点B'，点D四点共线时，CD有最大值=A'C+A'B'+B'D=7， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等性质，证明△EB'A'是等边三角形是解题的关键． 4．小华的作业中有一道题：“如图，AC，BD在AB的同侧，，，，点E为AB的中点．若，求CD的最大值．”哥哥看见了，提示他将和分别沿CE、DE翻折得到和，连接．最后小华求解正确，得到CD的最大值是_____． 【答案】7 【分析】根据对称的性质得到，结合点E是AB中点，可证明是等边三角形，从而有，即可求出CD的最大值． 【详解】解： ∵，点E为AB的中点， ∴， ∵， ∴， ∵将和分别沿CE、DE翻折得到和， ∴，，，，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴当点C，点，点，点D四点共线时，CD有最大值，即， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了翻折的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质． 【覆盖四】面积最大 1．在数学活动课上，小明先以的顶点C为圆心任意长为半径作弧与分别相交于点E，F，再分别以E，F为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内相交于点D，作射线，于点P，连接，如图所示．小明探究发现：当的长，且与（）的差都确定时，的面积存在最大值，则当，时，的最大值为（     ） A．6 B．10 C．12 D．24 【答案】C 【分析】根据尺规作图痕迹可知平分，延长交的延长线于点，证明，可得，为中点，进而求出的长；根据三角形中线性质可知，当时面积最大，从而求解． 【详解】解：由作图可知平分，延长交的延长线于点， 平分，， ∴， ∵， ∴， ，为的中点， ， ，即， 为的中点， ， 在中，，， 当时，的面积最大，最大值为， 的最大值为． 2．如图，在等腰中， ，F是边上的中点，点D、E分别在边上运动，且保持．连接．在此运动变化的过程中，下列结论：①：②是等腰直角三角形；③四边形的面积随D，E的运动而变化；④面积的最小值为2；⑤面积的最大值为4，其中正确的结论是（　　） A．①③⑤ B．①②④ C．②③④ D．①②⑤ 【答案】B 【分析】此题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的性质和判定，解题技巧是作辅助线构造全等三角形，解题关键是面积最小值可转化成三角形边长的最小值．通过证明全等三角形得到角等和边等，进而等量代换出直角，即可判断①②③；证明全等后即可证明四边形为三角形面积的一半，即可判断④⑤． 【详解】解：连接，作于点H， ∵是等腰直角三角形， ， ∴， ∵F是边的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∴， ∴是等腰直角三角形， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积不随D，E的运动而变化， 故③错误； ∵于点H， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是2， 故④正确； ∵， ∴当取得最小值2时，取得最大值2， 故⑤错误， 故选：B． 3．如图，和均为等腰直角三角形，，，连接、，那么以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于___________． 【答案】 【分析】延长到点，使，连接，作于点H，可得，进而得出，从而得到是以、、的长度为三边长，然后根据当时，最大求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接，作于点H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是以、、的长度为三边长． ∴． ∵， ∴当时，最大为：， ∴以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于6． 4．如图，在中，平分，过点作，垂足为点，为的中点，连接，，若，则图中两个阴影部分面积之差的最大值是______． 【答案】 【分析】延长交延长线于点，设交于点，根据垂直定义得到，求得，得到，根据等腰三角形的性质得到，推出，求得，由两个阴影部分面积之差为，当时，的面积最大，最大面积为． 【详解】解：延长交延长线于点，设交于点，如图， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积最大，最大面积为， ∴图中两个阴影部分面积之差的最大值为． 【覆盖一】斜中定理+三点共线 1．如图，在中，，，，将绕顶点逆时针旋转得到，若点、分别是、的中点，连接．则线段的最大值是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的性质及含30度角的直角三角形，熟知30度角所对直角边等于斜边的一半及图形旋转的性质是解题的关键．根据题意可得出点的轨迹，画出示意图，结合旋转的性质，利用数形结合的数学思想即可解决问题． 【详解】解：，，， ． 由旋转可知， ，． 点是的中点， ， 则点在以点为圆心，2为半径的圆上， 如图所示， 当点在的延长线与的交点处时，取得最大值． 点是的中点， ， ， 即的最大值为3． 故选：B 2．如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点M是中点，点N是中点，连接，若，，则线段的最大值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了直角三角形，直角三角形斜边上的中线的性质，三角形三边关系等知识，作辅助线将放到三角形中是解题的关键． 连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，在中，利用三角形三边关系可得的最大值． 【详解】解：，， ， 连接， ∵将绕点顺时针旋转得到， ， ∵是中点，点是中点， ， 在中，，即， ∴当三点共线时，最大． 故选：C． 3．如图，是直角三角形，且，，斜边的端点、分别在的两边，上滑动，，连接，则线段的最大值是______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、三角形的三边关系等知识．取的中点，连接、．根据直角三角形的性质，求出，根据三角形的三边关系可知，推出当、、共线时，的值最大，得出答案即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接、， ∵，，， ∴， ∵， ∴当、、共线时，的值最大，此时． 故答案为：4． 4．如图，在中，，，，将绕点A顺时针旋转得到，取的中点D，的中点E．则在旋转过程中，线段的最小值为________，线段的最大值为________． 【答案】 2.5 6.5 【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．连接，根据将绕顶点顺时针旋转得到，可得，，由为的中点，知，求出，即可得当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，当在延长线上时，取最大值． 【详解】解：连接，如图： 将绕顶点顺时针旋转得到， ，， 为的中点， ， ，为中点， ， 在中，， 当，，不能构成三角形，且在上时，取最小值，此时， 如图： 的最小值为， 同理，当在延长线上时，取最大值，此时， 的最大值为， 故答案为：2.5；6.5 【覆盖二】手拉手最值 1．如图，是等边的中线，，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（    ） A．的最小值是2 B．的最大值是2 C．的最小值是4 D．的最大值是4 【答案】A 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图：取中点K，连接，证明，得出，当时，最小，故，再根据含角的直角三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，取中点K，连接，则， ∵是等边的中线，， ∴，， ∵为边作等边三角形， ∴， ∴，即， ， ∴， ∴当最小时，最小，当时，最小， ∴， ， ， ∴． 故选：A． 2．如图，点为等边外一点，且，．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，如图，将绕点顺时针旋转至，连接、，根据旋转的性质得是等边三角形，得，根据等边三角形的性质得，，证明，得，继而得到，当点在上时取“”，此时取得最大值，即可得出结论．确定是解题的关键． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转至，连接、， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴，即， 当点在上时取“”，此时取得最大值， ∴的最大值为． 故选：C． 3．如图，P为等边三角形外一点，连接，，．已知，，O为的中点，则的最大值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，两点之间线段最短，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真理解题意，在的左边，作一个以为边的等边三角形，运用等边三角形的性质，证明，再运用三角形三边关系以及两点之间线段最短，得出当三点共线，则，即，故的最大值为，即可作答． 【详解】解：依题意，在的左边，作一个以为边的等边三角形，如图所示： ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形， ∴， 则， 即， ∵ ∴， ∴， ∵为的中点， ∴的最大值为， 在中，， 当三点共线，则， 即， ∴的最大值为， 故答案为：4 4．如图，是等边三角形外一点若，，连接，则线段长度的最大值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．以为边向外作等边，连接，由“”可证，可得，当点在线段上时，有最大值为，即可求解． 【详解】解：如图，以为边向外作等边，连接， 和是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ， ，， 当点在线段上时，有最大值为，即的最大值为， 故答案为：． 【覆盖三】配方法+三边关系 1．郑老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： ， ， 当时，的值最小，最小值是0， ， 当时，的值最小，最小值是2， 依据上述方法，解决下列问题 (1)当_________时，有最小值是__________； (2)试说明：不论取什么数，多项式的值总是正数； (3)已知、、是的三边长，满足，且，求的周长． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】（1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的值最小，最小值是； （2）证明：， ， ， 不论取什么数，多项式的值总是正数； （3）解：， ， ， ，， ，， ，， 边长为，，的三条线段能构成三角形， 的周长为：． 2．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当____________时，有最小值是____________ (2)多项式有最____________（填“大”或“小”）值，该值为____________ (3)已知，求的最值 (4)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)； (2)大；13 (3)的最小值是 (4)的周长为9 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）把原式化成再利用完全平方公式计算即可； （4）化成完全平方公式和的形式计算出、的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是． （2）解：， ∵， ∴当时，的值最大，最大值是0， ∴． ∴当时，的值最大，最大值是． （3）解：∵， ， ∴ ∵ ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴． ∴当时，的值最小，最小值是． ∴的最小值是． （4）解：， ， ，， 边长的范围为． ，，都是正整数， 边长的值为4，则的周长为． 3．求代数式的最小值时，我们通常运用“”这个公式对代数式进行配方来解决．比如， ，，的最小值是． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)填空：的最小值是___________； (2)求的最小值： (3)已知的三边长、、，满足，求当时，的周长． 【答案】(1) (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的运用，配方法求最值，利用偶数次方的非负性求值，解题的关键是掌握配方法． （1）利用配方法求出最小值即可； （2）利用配方法求出最小值即可； （3）根据配方法及偶数次方的非负性求出a、b的值，再求三角形的周长即可． 【详解】（1）解： 的最小值是； （2）解： ， 的最小值为3； （3）解： ，， ，，且 边长为1，3.5，4的三条线段能构成三角形， 的周长为． 4．王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识求代数式的最小值．同学们经过交流讨论，最后总结出如下解答方法： 因为， 所以当时，的值最小，最小值是0． 所以． 所以当时，的值最小，最小值是1． 所以的最小值是1． 依据上述方法，解决下列问题 (1)当______时，有最小值是_______． (2)多项式有最______（填“大”或“小”）值，该值为______． (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)； (2)大，19 (3)9 【分析】本题考查了完全平方公式的实际应用，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）化成完全平方公式和的形式计算即可； （2）化成完全平方公式和的形式计算即可； （3）化成完全平方公式和的形式计算出a、b的值，再根据三角形三边关系判断即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴当时，的值最小，最小值是0， ∴， ∴当时，的值最小，最小值是， ∴的最小值是； 故答案为：；； （2）解：， ∵， ∴当时，的值最大，最大值是0， ∴， ∴当时，的值最大，最大值是19； 故答案为：大，19； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴边长c的范围为．即 ∵a，b，c都是正整数， ∴边长c的值为4， ∴的周长为． 【覆盖四】多种最值综合 1．问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小． 作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值． (1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值． (2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． (3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长． 【答案】(1)3 (2)3 (3)5 【分析】（1）连接，可得点B，C关于对称，则，那么，故就是的最小值，然后根据等边三角形的性质得到，再根据等边三角形的高即可求解； （2）过点作于点，可得平分，，，，则，那么，即可求解最小值； （3）分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接，则，，然后得到是等边三角形，则，，而，故点共线时，周长取得最小值即为，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵是等边三角形，是边上的高， ∴点B，C关于对称，， ∴， ∴ ∴就是的最小值． ∵在等边三角形中，E是的中点， ∴， 而是边上的高 ∴， ∴的最小值为3． （2）解：如图，过点作于点， ∵为等边三角形的高， ∴平分，， ∴，， ∴， ∴， 故其最小值为3； （3）解：如图，分别作点P关于的对称点E，D，连接，分别交于点Q，R，连接． ∵点P关于的对称点为E， ∴． ∵点P关于的对称点为D， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴当点共线时，周长取得最小值即为 ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，角直角三角形的性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 2．【问题初探】 （1）如图1，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接、，求的最小值； 【变式探究】 （2）如图2，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值． 【拓展延伸】 （3）如图3，，是内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为5时，求的长． 【答案】（1）3；（2）3；（3）5 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）可证明垂直平分，，则，据此可证明当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，求出线段的长即可得到答案； （2）过点P作于H，由三线合一定理得到，则，即可得到，则当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此可得答案； （3）分别作点P关于射线的对称点G和H，连接，可证明当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长，则；证明是等边三角形，可得． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵在等边三角形中，是的高，是的中点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， ∵， ∴当C、P、E三点共线时有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵都是等边三角形的高， ∴， ∴的最小值为3； （2）解：如图所示，过点P作于H， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当B、P、H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长， ∵此时， ∴为的高， ∴， ∴的最小值为3； （3）如图所示，分别作点P关于射线的对称点G和H，连接， 由轴对称的性质可得， ， ∴的周长， ∴当G、R、Q、H四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长， ∵周长的最小值为5， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 3．“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的点出发，走到河旁边的点饮马后再到点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线同旁有两个定点、，在直线上存在点，使得的值最小． 解法：作点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点即为，且的最小值为线段的长． (1)根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形； (2)应用： ①如图2，已知，其内部有一点，，在的两边分别有、两点（不同于点），使的周长最小，则周长的最小值为______． ②如图3，边长为的等边中，是上的中线且，点在上，连接，在的右侧作等边，连接，则周长的最小值是多少？此时为多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)①12②， 【分析】本题考查的是轴对称的性质−最短路径问题，掌握轴对称的性质、等边三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出图形； （2）①分别作P关于的对称点M、N，根据轴对称的性质得到，等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证，根据全等的性质和三线合一可得，所以点在射线上运动（），作点A关于的对称的，连接交于，此时的值最小，此时，所以周长的最小值是，． 【详解】（1）解：作图如下： （2）①分别作P关于、的对称点M、N， 连接，交、于C、D，则的周长最小， 连接，如图， 由轴对称的性质可知，， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长； 故答案为：12； ②、都是等边三角形， ，，， ， ， ， ∵是上的中线，即， ， 点在射线上运动（）， 作点A关于的对称的，连接交于，如图， 此时的值最小，此时点E和点重合，， ，， 是等边三角形， ， ， 周长的最小值是，． 4．【几何模型】 条件：如图①，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结交l于点P，则的值最小（不必证明）． 【模型应用】 (1)如图②，角是大家喜爱的一种轴对称图形，它的角平分线所在的直线就是对称轴．现在有，，，P为的平分线上一动点，请求出的最小值； (2)①如图③，，P是内一点，，Q、R分别是、上的动点，请直接写出周长的最小值___________； ②如图④，，点M、N分别在边、上，且，点P、Q分别在、上，则的最小值是___________． 【答案】(1)5 (2)①10，②2 【分析】本题考查了几何变换综合题：熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质；会利用两点之间线段最短解决最短路径问题． （1）为的平分线，作交于点，连结交于点，连结，利用题中模型得到，最短，此时，利用对称的性质得到，然后利用勾股定理计算出即可； （2）①作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，利用对称的性质得到周长为的长，根据两点之间线段最短可判断此时周长最小，最小值为的长，再证明为等边三角形，得到，从而获解； ②作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，同样方法判断此时的值最小，最小值为，再证明为等边三角形，得到，从而得到的值最小值． 【详解】（1）解：如答图①，为的平分线，作交于点，连结交于点，连结，如答图①，则最短，此时． 平分， ． 在中，， 即的最小值为5． （2）解：①作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，如答图②， 则， 周长， 此时周长最小，最小值为的长． ， ， ， 为等边三角形， ， 即周长的最小值为10， 故答案为：10． ②作点关于的对称点，点关于的对称点，连结交于点，交于点，连结，如答图③， 则， ， 此时的值最小，最小值为． ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 即的值最小为2， 故答案为：2． 学科网（北京）股份有限公司 $