期末考前满分冲刺之选择填空题（72题）（三十六种覆盖训练）-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

**基本信息** 聚焦期末高频选择填空，按统计、分式、二次根式、四边形等模块系统覆盖核心知识点，强化基础应用与易错点突破，培养数学眼光与思维。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |普查与抽样调查|2题|调查方式辨析|从概念到实际情境应用| |分式方程|2题|实际问题建模|等量关系分析与方程构建| |分式运算|4题|变形、值变化|运算法则与性质综合应用| |二次根式|6题|化简、估算、有意义|概念到运算的逻辑链条| |四边形性质|8题|特殊四边形判定与计算|性质与判定的推导应用| |尺规作图|2题|作图步骤与图形判定|几何直观与推理意识结合|

期末考前满分冲刺之选择填空题覆盖训练思维导图 覆盖一 普查与抽样调查 1．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（   ） A．调查某新能源汽车电池使用的寿命情况 B．调查重庆游客对洪崖洞景点的喜爱情况 C．调查沙坪坝区所有学生运动的时间情况 D．调查全班同学某天家务劳动的次数情况 2．下列调查中，最适宜采用抽样方式的是（   ） A．订购校服，了解学生的尺寸 B．调查你班学生对“苏超”的知晓率 C．调查“歼20”战机各零部件的质量 D．调查我市中学生每天体育锻炼的时间 覆盖二 列分式方程 1．近日，秋浦西路（虎泉路−−长江中路段）正在进行路面维修改造，采取半幅封闭施工，给市民出行带来极大不便．该路段全长800米，在维修200米后，为了能尽快完工，采用了新的维修技术，工作效率比原来提升了，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天维修x米，则可列方程（    ） A． B． C． D． 2．重庆是全国闻名的火锅之城，花椒作为火锅底料的核心原料，市场需求量巨大．某花椒种植基地计划采摘亩花椒，因市场行情变化需提前上市，实际每天采摘面积是原计划的倍，结果提前天完成采摘任务．设原计划每天采摘亩，由题意可得方程（   ）． A． B． C． D． 覆盖三 分式的运算正误 1．下列分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 覆盖四 分式的值扩大或缩小 1．若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D． 2．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变 覆盖五 二次根式移根化简 1．把根号外的因式移进根号内，结果等于（    ） A． B． C． D． 2．把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 覆盖六 尺规作图 1．如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于两点，连接；②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③连接并延长至点；④分别以点为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，两弧分别交于点；⑤作直线分别交于点，连接．根据作图步骤，对四边形的形状判断最准确的是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 2．如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，； 第三步：连接分别交，于点，点，连接，． 由上述作图过程可知，的值等于（    ） A． B． C． D． 覆盖七 估算二次根式 1．估算的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 2．估算的值在（    ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间 覆盖八 正确结论的是 1．如图，在中，，是的角平分线，过点分别作的垂线，垂足为点，点是的中点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 2．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连接．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有（      ） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 覆盖一 二次根式的运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．_____． 覆盖二 确定事件与随机事件 1．下列事件中是必然事件的是（   ） A．打开电视，正在播放广告 B．未来三天会下雨 C．直角三角形中两锐角互余 D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 2．“据今晚的天气预报，泰山区明天的最高气温是28摄氏度”这一事件是_____．（填随机事件、必然事件或不可能事件） 覆盖三 由频率估计总数与概率 1．为考察某种植物幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 10 50 270 750 3500 7000 9000 14000 成活数m 8 47 235 662 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.800 0.940 0.870 0.883 0.915 0.905 0.897 0.902 根据表中的信息，估计这种幼苗移植成活的概率是（结果精确到0.01）（   ） A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.91 2．一个暗箱中装有个除颜色外其他完全相同的球，其中紫色的球有2个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到紫色球的频率稳定在，那么可以估算的值是__________． 覆盖四 分式有、无意义 1．使分式有意义x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．若分式无意义，则__________． 覆盖五 分式值为零 1．分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．0 C．2 D．2或 2．当______时，分式值为0． 覆盖六 二次根式有意义 1．要使二次根式有意义，则的值可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 2．若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 覆盖七 最简、同类二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____． 覆盖八 最简公分母 1．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．分式，，的最简公分母是____________． 覆盖九 总体、个体、样本(容量) 1．为了解某市八年级学生的数学考试情况，评卷人从该市八年级考生中随机抽取了800名考生的数学成绩进行调查．下列说法正确的是（   ） A．这种调查方式属于普查 B．调查的总体是八年级学生 C．样本是随机抽取的800名考生的数学成绩 D．样本容量是800名学生 2．为了解某区八年级6000名学生期末测试成绩的情况，从中抽取了600名学生的测试成绩进行统计分析，则这次调查的样本容量是_____． 覆盖十 特殊平行四边形的性质与判定 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．四条边相等 C．四个角相等 D．对角线互相垂直 2．如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 覆盖十一 平行四边形的性质求解 1．如图，在中，点，在边上，平分，平分．若，，则长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 2．如图，在中，，对角线相交于点，若的周长比的周长大2，则的长为______． 覆盖十二 菱形的性质求解 1．如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 覆盖十三 矩形的性质求解 1．如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的倍多，则的大小是（     ）． A． B． C． D． 2．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是16和12，则重叠部分的四边形中的对角线的长是___． 覆盖十四 正方形的性质求解 1．如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F．若，则的长为（    ） A．12 B．6 C．3 D．1.5 2．如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的面积为________． 覆盖十五 中位线的性质求解 1．如图，菱形的对角线，相交于O点，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 2．如图，正五边形中，点分别是边的中点，则______． 覆盖十六 折叠问题 1．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为__________． 覆盖一 分解因式 1．因式分解______． 2．若，则__________． 覆盖二 二次根式大小比较 1．比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”） 2．比较大小：________． 覆盖三 可能性大小 1．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域的颜色为______色的可能性最大（填“红”“黄”或“蓝”）． 2．不透明的袋子里装有黄球4个，白球2个，红球1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机取出一个球，取出_________球的可能性最大． 覆盖四 分式方程的解 1．方程的解为______． 2．方程的解为________． 覆盖五 二次根式数轴化简 1．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简_________． 2．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果是________． 覆盖六 分式方程的增根 1．若关于的分式方程有增根，则增根是___________． 2．已知关于的分式方程有增根，则增根是______． 覆盖七 分式方程的无解 1．若关于x的方程无解，则________． 2．若分式无解，则m的值为_____． 覆盖八 分式的求值变形 1．已知，且，则______． 2．若，则的值为________． 覆盖九 正方形的半角模型 1．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，现在有如下4个结论：①；②；③的周长是一个定值；④连结，的面积等于．在以上4个结论中，正确的是_______． 2．如图，已知正方形的边长为6，点为边的中点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②的周长是10；③；④五边形的面积为30．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 覆盖十 新定义分式 1．定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式______． 2．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如：，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与______互为“4阶分式”； （2）若分式与互为“1阶分式”，则______． 覆盖十一 取值范围问题 1．如图，在四边形中，，，E，F，分别为的中点，则的取值范围是_______． 2．如图，在中，，，，点E是上一点，连接，，以，为边作，连接．若，则x的取值范围是______． 覆盖十二 最值问题 1．如图，在中，，点M、N分别是边上的点，且满足．连接，小鸣探究发现存在最小值，则的最小值为______． 2．阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之选择填空题覆盖训练思维导图 覆盖一 普查与抽样调查 1．下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（   ） A．调查某新能源汽车电池使用的寿命情况 B．调查重庆游客对洪崖洞景点的喜爱情况 C．调查沙坪坝区所有学生运动的时间情况 D．调查全班同学某天家务劳动的次数情况 【答案】D 【详解】解：A．调查新能源汽车电池寿命具有破坏性，不适合普查，故不符合题意； B．调查重庆游客对洪崖洞的喜爱情况，调查范围大，人数多，适合抽样调查，故不符合题意； C．调查沙坪坝区所有学生运动时间，范围广，人数多，适合抽样调查，故不符合题意； D．调查全班同学某天家务劳动的次数，范围小，人数少，适合进行全面调查，符合题意． 2．下列调查中，最适宜采用抽样方式的是（   ） A．订购校服，了解学生的尺寸 B．调查你班学生对“苏超”的知晓率 C．调查“歼20”战机各零部件的质量 D．调查我市中学生每天体育锻炼的时间 【答案】D 【分析】当调查范围较大，不易开展全面调查，或对结果精确度要求不高时，适宜采用抽样调查；当调查范围小，要求结果精确，或事关安全重大时，适宜采用普查，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A，订购校服需要得到每位学生的准确尺寸，调查范围小，适宜普查； 选项B，调查一个班级学生对“苏超”的知晓率，调查范围小，适宜普查； 选项C，“歼20”战机零部件质量事关飞行安全，每个零件都必须检测，适宜普查； 选项D，我市中学生总人数多，调查范围大，不需要逐个调查，最适宜采用抽样调查． 覆盖二 列分式方程 1．近日，秋浦西路（虎泉路−−长江中路段）正在进行路面维修改造，采取半幅封闭施工，给市民出行带来极大不便．该路段全长800米，在维修200米后，为了能尽快完工，采用了新的维修技术，工作效率比原来提升了，结果比原计划提前2天完成任务．设原计划每天维修x米，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“原计划修剩余路程的时间减去提速后修剩余路程的时间等于提前的2天”找等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原计划每天维修x米，已修200米，剩余路程为米， ∴按原效率修完剩余路程的时间为天， ∵效率提升后，每天维修长度为米， ∴提速后修完剩余路程的时间为天， ∵最终提前2天完成任务，因此原时间比提速后时间多2天， ∴列方程得． 2．重庆是全国闻名的火锅之城，花椒作为火锅底料的核心原料，市场需求量巨大．某花椒种植基地计划采摘亩花椒，因市场行情变化需提前上市，实际每天采摘面积是原计划的倍，结果提前天完成采摘任务．设原计划每天采摘亩，由题意可得方程（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件分别表示出原计划和实际的采摘天数，再根据“实际比原计划提前天完成”的等量关系列出方程即可． 【详解】据题意，建立表格： 每天采摘（亩） 采摘面积（亩） 采摘天数（天） 原计划 实际 ∵实际比原计划提前天完成， ∴可得方程 ． 覆盖三 分式的运算正误 1．下列分式变形中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故A错误； B．当时无意义，故B错误； C．，故C错误； D．，变形正确． 2．下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的分子分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，根据性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵分子分母不是同时乘或除以同一个整式，∴与不一定相等，本选项不符合题意； B选项，∵，∴本选项不符合题意； C选项，∵变形为时，分子乘分母乘，乘的不是同一个数，∴与不一定相等，本选项不符合题意； D选项，，变形正确，本选项符合题意； 覆盖四 分式的值扩大或缩小 1．若分式中的和都扩大为原来的倍后，分式的值不变，则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将和都扩大为原来的倍，先确定分母的变化情况，再结合分式值不变的条件，推导得到需要满足的要求，再判断选项即可． 【详解】解：和都扩大为原来的倍， 分母变为，即分母扩大为原来的倍， 分式的值不变， 新的分子应扩大为原来的倍， A、若，新分子为，符合要求； B、若，新分子为，不符合要求； C、若，新分子为，不符合要求； D、若，新分子为，不符合要求． 2．若把分式中的和都扩大2倍，那么分式的值（   ） A．扩大2倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不变 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，将和替换为扩大后的数值，化简后与原分式对比即可得到结果，熟练掌握分式的化简方法是解题关键。 【详解】解：把和都扩大倍后，新分式的分子为，分母为 新分式为 分式的值缩小为原来的 覆盖五 二次根式移根化简 1．把根号外的因式移进根号内，结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质化简即可得到答案． 【详解】解：, 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式性质，熟练掌握二次根式性质化简是解决问题的关键． 2．把4根号外的因式移进根号内，结果等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘法法则解答即可. 【详解】解：原式=×=， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，掌握解答的方法是关键. 覆盖六 尺规作图 1．如图，已知，按照以下步骤作图： ①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于两点，连接；②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③连接并延长至点；④分别以点为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，两弧分别交于点；⑤作直线分别交于点，连接．根据作图步骤，对四边形的形状判断最准确的是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】C 【分析】设与交于点，先求出，，，，则，据此可得，即，再根据菱形和正方形的判定即可得． 【详解】解：如图，设与交于点， 由作图可知，平分，垂直平分， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵不一定是直角， ∴菱形不一定是正方形， 综上，四边形是菱形． 2．如图，在矩形中，，，按照如下步骤作图： 第一步：连接对角线； 第二步：分别以点，点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，； 第三步：连接分别交，于点，点，连接，． 由上述作图过程可知，的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的性质等知识．由作图可知垂直平分线段，推出，设，则有，解方程可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 由作图可知垂直平分线段， ， 设，则有， 解得， ， ． 故选：B． 覆盖七 估算二次根式 1．估算的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，推导得出原式的取值区间． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴估计的值在和0之间． 2．估算的值在（    ） A．3与4之间 B．4与5之间 C．5与6之间 D．6与7之间 【答案】B 【分析】先根据二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算的取值范围，由此即可得． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴， 即． 覆盖八 正确结论的是 1．如图，在中，，是的角平分线，过点分别作的垂线，垂足为点，点是的中点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】延长交于点，延长和交于点，证明，推出，利用三角形中位线定理可判断①；同理可判断②；根据，，可判断③；根据三角形的外角性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，平行线的性质可判断④． 【详解】解：延长交于点，延长和交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，故①说法正确； ∵是的角平分线，， 同理， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，故②说法正确； ∵，而， ∵不能确定与相等， ∴不能确定与相等，故③说法错误； ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④说法正确． 2．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连接．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有（      ） A．①②③④ B．①② C．①②③ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握相关知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据平行线的性质以及等腰三角形即可判断②；过点作于点，根据角平分线的性质可得，证，得，证，得，即可判断③；假设是的中点，此时，可得，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④． 【详解】解：垂直平分， ，故结论①正确； ， 四边形是正方形， ，，，， ， ， 平分，故结论②正确； 如图，过点作于点， 平分，， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，故结论③正确； 点是的中点， ， 假设点是的中点，则， ， ， ， 与在中，相矛盾，故假设不成立，即此时点不是的中点，故结论④错误； 综上所述，结论①②③正确． 故选：C． 覆盖一 二次根式的运算 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、与不是同类二次根式，无法合并，，A错误； B、，等式成立，B正确； C、，C错误； D、，D错误． 2．_____． 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式的合并，利用合并同类项的法则，将同类二次根式的系数相加，被开方数不变即可求解． 【详解】解：． 覆盖二 确定事件与随机事件 1．下列事件中是必然事件的是（   ） A．打开电视，正在播放广告 B．未来三天会下雨 C．直角三角形中两锐角互余 D．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 【答案】C 【详解】解：必然事件是指在一定条件下一定发生的事件，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件． 选项A：打开电视不一定正在播放广告，属于随机事件，所以A不符合要求； 选项B：未来三天不一定会下雨，属于随机事件，所以B不符合要求； 选项C：任意三角形内角和为，直角三角形有一个角为，因此两锐角和为=，一定互余，是必然事件，所以C符合要求； 选项D：经过有交通信号灯的路口，不一定遇到绿灯，属于随机事件，所以D不符合要求． 2．“据今晚的天气预报，泰山区明天的最高气温是28摄氏度”这一事件是_____．（填随机事件、必然事件或不可能事件） 【答案】随机事件 【详解】解：“据今晚的天气预报，泰山区明天的最高气温是28摄氏度”这一事件可能发生，也可能不发生， 因此该事件是随机事件. 覆盖三 由频率估计总数与概率 1．为考察某种植物幼苗的成活率，在同一条件下进行移植试验，结果如下表所示： 移植总数n 10 50 270 750 3500 7000 9000 14000 成活数m 8 47 235 662 3203 6335 8073 12628 成活的频率 0.800 0.940 0.870 0.883 0.915 0.905 0.897 0.902 根据表中的信息，估计这种幼苗移植成活的概率是（结果精确到0.01）（   ） A．0.88 B．0.89 C．0.90 D．0.91 【答案】C 【分析】当试验次数足够大时，频率会稳定在概率附近，据此即可解答． 【详解】解：观察表格数据可知，随着移植总数不断增大，成活的频率逐渐稳定在附近，即这种幼苗移植成活的概率为． 2．一个暗箱中装有个除颜色外其他完全相同的球，其中紫色的球有2个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到紫色球的频率稳定在，那么可以估算的值是__________． 【答案】10 【分析】本题考查利用频率估计概率，根据大量重复试验后频率的稳定值可估计事件发生的概率，再利用概率公式列方程求解即可． 【详解】解：由题意，大量重复试验后摸到紫色球的频率稳定在，因此估计摸到紫色球的概率为， 根据概率公式可得， 解得， 经检验符合题意． 覆盖四 分式有、无意义 1．使分式有意义x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件为分母不等于0，据此列不等式求解即可得到结果. 【详解】∵分式有意义时，分母不能为0， ∴对于分式，有， 解得. 2．若分式无意义，则__________． 【答案】2 【详解】解：根据分式无意义，则分母为0，可得， 解得． 覆盖五 分式值为零 1．分式的值为0，则x的值是（    ） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， 解，得或， 由，得， ∴． 2．当______时，分式值为0． 【答案】 【分析】根据分式值为零的条件，分子等于零且分母不等于零，据此求解x的值． 【详解】由分式的值为零的条件得，且， 由， 解得或， 由，得， 综上，x的值为． 覆盖六 二次根式有意义 1．要使二次根式有意义，则的值可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵二次根式有意义的条件是被开方数为非负数， ∴对于，可得不等式， 解得． ∴只有，满足条件． 2．若代数式有意义，则实数的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：根据二次根式被开方数为非负数，分式分母不为零，可得， 解得． 覆盖七 最简、同类二次根式 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．，被开方数含能开得尽方的因数，不符合要求； B．，被开方数是小数即含分母，不符合要求； C．，被开方数含分母，不符合要求； D．的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，符合要求． 2．已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____． 【答案】 4 【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可． 【详解】解：由题意得，是最简二次根式，也是最简二次根式，二者是同类二次根式， 因此被开方数相等，可得 解得． 覆盖八 最简公分母 1．分式与的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按照取系数最小公倍数、相同字母取最高次幂、单独出现的字母连同指数保留的规则计算即可 【详解】解：两个分式的分母分别为和 ∵ 系数分别为和，系数的最小公倍数是 字母的最高次幂为，字母的最高次幂为，单独出现的字母保留一次 ∴ 最简公分母为 2．分式，，的最简公分母是____________． 【答案】 【分析】 取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此求解即可． 【详解】解：各分式的分母分别为，，，则最简公分母为． 覆盖九 总体、个体、样本(容量) 1．为了解某市八年级学生的数学考试情况，评卷人从该市八年级考生中随机抽取了800名考生的数学成绩进行调查．下列说法正确的是（   ） A．这种调查方式属于普查 B．调查的总体是八年级学生 C．样本是随机抽取的800名考生的数学成绩 D．样本容量是800名学生 【答案】C 【分析】本题考查统计基础概念，需区分调查方式，明确总体、样本、样本容量的定义，根据定义逐一判断即可。 【详解】解：∵ 本次调查仅从总体中抽取部分对象进行研究，属于抽样调查，不属于普查， ∴A错误； ∵ 本次研究的内容是该市八年级学生的数学考试成绩， ∴总体是该市八年级全体学生的数学考试成绩，不是八年级学生， ∴B错误； ∵ 样本是总体中抽取的用于调查的研究对象， ∴本题样本是随机抽取的800名考生的数学成绩， ∴C正确； ∵ 样本容量是样本中包含的个体数目，是一个纯数值，没有单位， ∴样本容量为800，不是800名学生， ∴D错误. 2．为了解某区八年级6000名学生期末测试成绩的情况，从中抽取了600名学生的测试成绩进行统计分析，则这次调查的样本容量是_____． 【答案】600 【分析】根据样本容量是样本中包含的个体的数目，不带单位，直接求解即可． 【详解】解：由题意可知，抽取了600名学生的测试成绩进行统计分析， 因此这次调查的样本容量是． 覆盖十 特殊平行四边形的性质与判定 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（    ） A．对角线互相平分 B．四条边相等 C．四个角相等 D．对角线互相垂直 【答案】C 【详解】解：选项A，平行四边形的对角线互相平分，矩形和菱形都属于平行四边形，是两者共有的性质，不符合题意； 选项B，四条边相等是菱形具有的性质，矩形不具有，不符合题意； 选项C，矩形四个角都是直角，因此四个角相等，菱形仅对角相等，四个角不一定相等，符合题意； 选项D，对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不具有，不符合题意． 2．如图，在中，与相交于点，请添加一个条件，使四边形是菱形．添加的条件是_____．（写出符合题意的一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】由一组邻边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，进行解答． 【详解】解：由一组邻边相等的平行四边形是菱形，可添加（或或或）； 由对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可添加． 覆盖十一 平行四边形的性质求解 1．如图，在中，点，在边上，平分，平分．若，，则长为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】设，结合平行四边形的性质和角平分线的定义得出和，结合，，列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴． 2．如图，在中，，对角线相交于点，若的周长比的周长大2，则的长为______． 【答案】8 【分析】由题意易得，，求出即可． 【详解】解：∵的周长比的周长大2， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 解得． 覆盖十二 菱形的性质求解 1．如图，四边形为菱形，对角线，相交于点，于点，连接，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形对角线互相平分可得 为 中点，结合 利用直角三角形斜边中线定理可得 ，从而求出 的度数，最后利用菱形对角线互相垂直及平分对角的性质求出 ． 【详解】解： 四边形 是菱形 平分 ∵在中，为中点 ∵在中， 2．如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 覆盖十三 矩形的性质求解 1．如图，长方形纸片，点，分别在边，上．将长方形纸片沿着折叠，点落在点处，交于点．若比的倍多，则的大小是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查图形折叠的性质，矩形的性质，由折叠的性质可得，根据平角的定义得到，继而得到，，根据两直线平行内错角相等得到． 【详解】解：由折叠的性质，可知：， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 2．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是16和12，则重叠部分的四边形中的对角线的长是___． 【答案】15 【分析】如图：利用矩形的性质证明四边形为平行四边形，再证明，进而证明四边形为菱形，设，则，利用勾股定理建立等式求解得到x，再利用等面积法即可求得对角线的长． 【详解】解：∵两个全等的纸片是矩形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵如图：两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是16和12， ∴ ， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴，， 如图：连接，则， ∵， ∴． 覆盖十四 正方形的性质求解 1．如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点F．若，则的长为（    ） A．12 B．6 C．3 D．1.5 【答案】C 【分析】由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在正方形中，点在边上，点是的中点，过点作分别交，于点，，连接．若，，则的面积为________． 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质及勾股定理求出，设，根据利用勾股定理列方程求出，然后求出，则面积可得. 【详解】解：连接， ∵点是的中点，， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴在中，， ∴， 设，则， ∵， ∴即：， 解得：， ∴， ∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴. 覆盖十五 中位线的性质求解 1．如图，菱形的对角线，相交于O点，E，F分别是，边上的中点，连接．若，，则菱形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、三角形中位线定理和勾股定理，解题关键是利用中位线定理求出对角线长度，由勾股定理求出另一条对角线的长度，再结合菱形面积公式求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，，，， E，F分别是，边上的中点， ， 在中，， ， ． 2．如图，正五边形中，点分别是边的中点，则______． 【答案】/36度 【分析】先由正五边形的性质得到，，再由中点定义得到，判定是等腰三角形，即可得到，再由梯形中位线得到，进而由平行线的性质得到即可确定答案． 【详解】解：在正五边形中，，， 点分别是边的中点， ， 则， 在等腰中，，则， 连接，如图所示： 点分别是边的中点， ， ， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查正多边形中求角度，涉及正多边形性质、中点定义、等腰三角形的判定与性质、梯形中位线的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟记相关几何性质是解决问题的关键． 覆盖十六 折叠问题 1．在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，，所以四边形是正方形，则，而，则，所以，由，且，得，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出，并且求得是解题的关键． 【详解】解：如图①，四边形是矩形， ， 由折叠得， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 如图②，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， ， 解得， ， 故选：C． 2．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，易得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得：，根据，即可求解． 【详解】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵将沿着折叠，边恰好落在边上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 覆盖一 分解因式 1．因式分解______． 【答案】 【分析】直接提取公因式即可完成分解． 【详解】解∶ ． 2．若，则__________． 【答案】6 【分析】先对所求多项式进行因式分解，再将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式，得． 覆盖二 二次根式大小比较 1．比较下列两个数的大小：________（选填“＞”或“＜”） 【答案】 【分析】先将两个二次根式化为最简二次根式，再通过比较被开方数的大小得到两个数的大小关系． 【详解】解：， ∵ ∴． 2．比较大小：________． 【答案】 【分析】对于两个正无理数，可利用平方法比较大小，两个正数比较大小，平方后结果更大的原数也更大，分别计算两个数的平方，比较平方结果即可得到原数的大小关系. 【详解】解∵，，， . 覆盖三 可能性大小 1．如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝三种颜色．固定指针，自由转动转盘，停止后指针所指区域的颜色为______色的可能性最大（填“红”“黄”或“蓝”）． 【答案】黄 【分析】根据转盘被分为面积相等的4个扇形，对三种颜色的扇形数量进行比较即可判断． 【详解】解：∵转盘被分为面积相等的4个扇形， ∴转盘停止后指针指向4个扇形区域的可能性相等， ∵其中红色的扇形有1个、黄色的扇形有2个、蓝色的扇形有1个，即黄色的扇形数量最多， ∴停止后指针所指区域的颜色为黄色的可能性最大． 2．不透明的袋子里装有黄球4个，白球2个，红球1个，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机取出一个球，取出_________球的可能性最大． 【答案】黄 【分析】本题考查的是可能性大小的判断．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据题意得到相应的可能性，比较即可． 【详解】解：， 摸到黄球的可能性为，摸到白球的可能性为，摸到红球的可能性为， 所以摸到黄球的可能性最大， 故答案为：黄． 覆盖四 分式方程的解 1．方程的解为______． 【答案】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：, 将系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 2．方程的解为________． 【答案】 【分析】通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后进行检验，得到原方程的解． 【详解】解：原方程移项得：， 方程两边同乘最简公分母，去分母得：， 移项，合并同类项得：， 检验：当时， 是原分式方程的解． 覆盖五 二次根式数轴化简 1．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，化简_________． 【答案】 【分析】根据数轴得出的取值范围，判断与的符号，然后利用二次根式的性质及绝对值的意义化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴ ． 2．实数，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简的结果是________． 【答案】/ 【分析】先根据数轴的定义得出，再根据绝对值、二次根式的性质化简，然后计算加减即可得． 【详解】解：∵， ∴， 则 ． 覆盖六 分式方程的增根 1．若关于的分式方程有增根，则增根是___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的增根，分式方程的增根是使原分式方程中分母为零的未知数的值，因此令分母，即可求得增根． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴令分母， 解得． 故增根为． 故答案为：． 2．已知关于的分式方程有增根，则增根是______． 【答案】 【分析】考查了分式方程的增根．分式方程的增根是使分母为零的根．根据分式方程有增根，可得，求出的值即可． 【详解】解：∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， ∴增根为． 故答案为： 覆盖七 分式方程的无解 1．若关于x的方程无解，则________． 【答案】，1 【分析】分式方程无解包含两种情况：一是去分母后所得整式方程无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，将分式方程化为整式方程后，分两种情况讨论求解即可． 【详解】解：原方程为 方程两边同乘最简公分母去分母得：， 展开并移项合并同类项得：， 分两种情况讨论： 当整式方程无解时，满足未知数系数为且常数项不为，即 ，解得，此时，符合要求； 当整式方程的解为原分式方程的增根时， 原分式方程分母为和，因此增根为， 将代入得： ， 解得，符合要求； 综上，的值为或． 2．若分式无解，则m的值为_____． 【答案】1或 【分析】本题考查分式方程无解问题．将分式方程化为整式方程，分式方程无解，也就是分式方程有增根或整式方程无解两种情况，分别进行计算即可． 【详解】解：关于x的分式方程化为整式方程得， ，即， 由于分式方程无解， 所以，即， 或者分式方程有增根， 当时，， 解得， 综上所述，m的值为1或， 故答案为：1或． 覆盖八 分式的求值变形 1．已知，且，则______． 【答案】2 【分析】由得到，再代入代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．若，则的值为________． 【答案】 【分析】将原式进行变形，再把代入化简结果即可求出答案． 【详解】解： ； 当时，原式． 覆盖九 正方形的半角模型 1．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形边沿折叠到，延长交于G，连接，现在有如下4个结论：①；②；③的周长是一个定值；④连结，的面积等于．在以上4个结论中，正确的是_______． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要围绕正方形的折叠问题，通过全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积公式等来逐一判断四个结论是否正确．利用折叠性质得到相等的边和角，通过证明三角形全等得出线段和角的关系，再结合勾股定理计算边长，进而分析三角形周长和面积． 【详解】解：由折叠可知，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，． 又∵， ∴， ∴． ∵，，， ∴，故①正确． ∵， ∴． 由折叠得． ∵，即， ∴， ，即，故②正确． 设，则，，， ∴． 在中，根据勾股定理，即． 解得． ∴，，， ∴的周长为，是定值，故③正确． 连接， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． ∴的面积等于，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及三角形面积公式，熟练掌握这些知识并灵活运用是解题的关键． 2．如图，已知正方形的边长为6，点为边的中点，将正方形的边沿折叠到，延长交于点，连接．现有如下4个结论：①；②的周长是10；③；④五边形的面积为30．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①③④ 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用，根据正方形的性质和折叠的性质可得 ，于是根据“”判定依据全等三角形的性质以及折叠的性质，即可得到；再由，为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出，进而可得的周长，再进而根据求出五边形的面积解答即可． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， 由折叠可知：， ，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵正方形边长是，点是的中点， ∴， 设， 则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得： ， ∴，，， ∴的周长是， 故②错误； ， ， 由折叠可得，， ，故③正确； ，故④正确． 故答案为： ①③④． 覆盖十 新定义分式 1．定义：若两个分式与满足：，则称与这两个分式互为“美妙分式”．若分式与互为“美妙分式”，且均为不等于0的实数，则分式______． 【答案】或 【分析】本题考查了分式的加减法和实数的性质，绝对值的意义，熟练掌握分式加减法的法则，对新定义的理解是解题关键．根据分式与互为“美妙分式”，得到，求出①，②，分别把①②代入分式中求出结果即可． 【详解】解：与互为“美妙分式”， ， ， 或， 或， 、均为不等于的实数， ①，②， 把①代入， 把②代入， 综上：分式的值为或． 故答案为：或． 2．定义：若两个分式的和为n（n为正整数），则称这两个分式互为“n阶分式”．例如：，所以分式与互为“3阶分式”． （1）分式与______互为“4阶分式”； （2）若分式与互为“1阶分式”，则______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法，解分式方程，理解“n阶分式”的定义是解此题的关键． （1）根据“n阶分式”的定义，分式 的“4阶分式”为，通过分式减法计算即可； （2）根据“1阶分式”的定义，分式与的和为1，列出方程求解，注意分母不为零． 【详解】解：（1） 设另一个分式为， 则：， 故分式与互为“4阶分式”； （2）由定义得：， 去分母可得：， 解得：， 当时，，满足题意 ∴． 覆盖十一 取值范围问题 1．如图，在四边形中，，，E，F，分别为的中点，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、三角形的三边关系，根据三角形中位线定理求出、是解题的关键．连接，取的中点H，连接、，根据三角形中位线定理求出、，根据三角形的三边关系计算即可． 【详解】解：连接，取的中点H，连接、， ∵，，，， ∴， 同理，， 在中，，即， 当时，在上，此时； 当在直线时，在上，此时 故答案为：． 2．如图，在中，，，，点E是上一点，连接，，以，为边作，连接．若，则x的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，令交于点，作于，连接、，证明为等边三角形，得出，，求出，得出，，再求出，由题意可得，点的位置是固定不变的，为的中点，当点运动到点的位置时，最小为，此时，当点运动到点的位置时，最大为，此时，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，令交于点，作于，连接、， ， ∵在中，，，， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由题意可得，点的位置是固定不变的，为的中点， ∴当点运动到点的位置时，最小为，此时， 当点运动到点的位置时，最大为，此时， ∴若，则x的取值范围是， 故答案为：． 覆盖十二 最值问题 1．如图，在中，，点M、N分别是边上的点，且满足．连接，小鸣探究发现存在最小值，则的最小值为______． 【答案】 【分析】过点B作，且，，构造矩形，证明，推出，则，当A，N，E三点共线时等号成立，由此可解． 【详解】解：如图，过点B作，且，，连接， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ，． 在和中， ， ， ， ，当A，N，E三点共线时等号成立，连接 ，，， ， 的最小值为． 2．阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查旋转的性质，正方形性质及等边三角形判定与性质．将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，证明是，的垂直平分线，再求出，即可得到答案． 【详解】解：将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，如图： 由旋转可知，，，，，，，，，，， ∴，，，都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴的最小值即为的长， ∵，， ∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∵，， ∴是，的垂直平分线， ∴，， ∴，，四边形是长方形， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $