第1章 三角形 专项提升训练 2025-2026学年苏科版数学八年级上册

三角形问题专题练习 专题1 三角形的内角和 【模型积累】 结论:如图,∠A+∠BFC=∠DBF+∠FCE. 1.如图,AP,CP分别是四边形ABCD 的外角∠DAM,∠DCN的平分线,设∠ABC=α,∠APC=β,则∠ADC的度数为 ( ) B.α+β C.α+2β D.2α+β 2.如图,在直角三角形ABC中,∠C=90°,P,Q分别是AC,BC边上的两个动点,PM,QN分别平分∠APQ和∠BQP,交AB 于点M,N,MR,NR又分别平分∠BMP 和∠ANQ,两条角平分线交于点R,则∠R= °. 3.在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，这样的三角形我们称之为“倍角三角形”.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,P是线段AB上一点(不与点A,B重合),连接CP. (1)当∠B=72°时: ①若∠CPB=54°,则△ACP “倍角三角形”;(填“是”或“不是”) ②若△BPC是“倍角三角形”,求∠ACP 的度数. (2)当△ABC,△BPC,△ACP都是“倍角三角形”时,求∠BCP 的度数. 专题2 全等三角形的运用 【模型积累】 条件:如图,△ABC≌△DEF. 结论:AB=DE,AC=DF,BC=EF,∠A=∠D,B=∠E,∠C=∠F,S△ABC=S△DEF. 1.如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT的面积分别为S₁,S₂,S₃,若 则 S₂的值是 ( ) A.36 B.48 C.54 D.64 2.已知有两个三角形全等，若其中一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个三角形三边的长分别为3,3a-2b,a+2b,则a+b= . 3.如图,已知△ABC≌△DEB,点E在AB上,DE与AC 相交于点F. (1)当DE=8,BC=5时,求线段AE的长. (2)若∠D=35°,∠C=60°. ①求∠DBC的度数; ②求∠AFD的度数. 专题3 中线倍长法 【模型积累】 条件:如图,AD是△ABC的中线,延长AD到点E,使DE=AD,连接CE.结论:AB=CE,AB∥CE. 1.为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点M，使DM=AD,连接BM. [探究发现](1)图①中AC与BM 的数量关系是 ，位置关系是 ； [初步应用](2)如图②,在△ABC中,若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD 的取值范围； [探究提升](3)如图③,AD是△ABC的中线,过点A 分别向外作AE⊥AB,AF⊥AC,使得AE=AB,AF=AC,延长DA交EF 于点P,判断线段EF与AD 的数量关系和位置关系，并说明理由； (4)如图④,在△ABC中,D为BC的中点,DE⊥DF分别交AB,AC于点E,F.求证:BE+CF>EF. 专题4 一线三等角模型在全等三角形中的应用 【模型积累】 条件:∠1=∠2=∠3,AD=BC. 结论:△ADB≌△CBE. 1.如图，已知∠ ，垂足分别是D,E,若AD=3,BE=1,则DE的长是 . 2.在直线m上依次取互不重合的三个点D，A，E，在直线m上方有AB=AC,且满足∠BDA=∠AEC=∠BAC=α. (1)如图①,当α=90°时,线段DE,BD,CE之间的数量关系是 . (2)如图②,当( 时，(1)中结论是否仍然成立?若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由. (3)拓展与应用:如图③,当α=120°时,点 F 为 平分线上的一点，且AB=AF,分别连接FB,FD,FE,FC,试判断△DEF的形状,并说明理由. 专题5 线段和差问题的处理方法 【模型积累】通过用图中相等的线段来代换另一条线段，将线段的和差问题转化为证两条线段相等的问题，或用截长补短法将几条线段的和差问题转化为证两条线段相等的问题.一般先通过全等得到线段相等，再进行代换. 1.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D在边AB 上,AD=AC,点E在边BC上,CE=BD,过点E作EF⊥CD交AB 于点F.若AF=2,BC=8,则DF的长为 . 2.如图,直线 PA∥QB,∠PAB与∠QBA的平分线交于点C,过点C作一条直线l 与两直线PA，QB分别相交于点D，E. (1)如图①,当直线l与PA 垂直时,求证:AD+BE=AB. (2)如图②，当直线l与PA 不垂直且交点D，E都在AB 同侧时，(1)中的结论是否成立?如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由. (3)当直线l与PA 不垂直且交点D，E在AB 异侧时，(1)中的结论是否仍然成立?如果成立，请证明；如果不成立，请写出AD，BE，AB之间的数量关系.(不用证明) 专题 6 手拉手模型及应用 【模型积累】 图形 “等腰三角形”手拉手 “等边三角形”手拉手 “等腰直角三角形”手拉手 条件 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=∠DAE=α,在△ADE中,AD=AE 结论 1.[综合实践]在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形.兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”.因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”.如图①，△ABC与△ADE 都是等腰三角形,其中∠BAC=∠DAE,则△ABD≌△ACE(SAS). [初步把握]如图②，△ABC与△ADE 都是等腰三角形，AB=AC,AD=AE,,且∠BAC= ,则有 ≌ ; [深入研究]如图③，已知△ABC，以AB，AC为边分别向外作等边△ABD 和等边 ,并连接BE,CD,求证:BE=CD; [拓展延伸]如图④,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AE=AD,∠BAC=∠DAE= ，连接BD，CE交于点P，请判断BD和CE 的关系，并说明理由. 专题7 夹半角模型及应用 【模型积累】 图形 顶角为 的等腰三角形含半角 结论 1.△AED≌△AEF; 2.△CEF为直角三角形; 2.△AGF为等腰直角三角形； 3. EF=BE+DF 1.[问题背景]如图①，在四边形ABCD中， 90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°.探究图中线段 BE,EF,FD之间的数量关系. 小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG=BE,连接AG，先证明 △ADG,再证明 ，可得出结论，他的结论应是 . [探索延伸]如图②，在四边形ABCD中， E,F分别是 BC,CD上的点，且 上述结论是否仍然成立?请说明理由. [实际应用]如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西 的A 处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 方向以80海里/时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达 E，F处，且OE与OF 之间的夹角为 .试求此时两舰艇之间的距离. 专题8 三角形全等与面积问题 【模型积累】解决不规则图形的面积问题就是利用割补法将图形分割成几个三角形，由全等三角形的面积相等和同底等高、等底等高的三角形面积相等转化成规则图形的面积. 1.如图,在△ABC中,AB=AC,AB>BC,点 D 在边BC上,CD=2BD,点E,F在线段AD上,∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面积为18,则△ACF 与△BDE的面积之和是 ( ) A.6 B.8 C.9 D.12 2.阅读材料并完成习题： 在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题.请看这个例题：如图①,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD.若AC=5cm,求四边形ABCD 的面积. 解：延长线段CB到点E，使得BE=CD，连接AE，我们可以证明 根据全等三角形的性质得 AE=AC=5,∠EAB=∠CAD,则∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠DAC+∠BAC=∠BAD=90°,则 S△ABE =S△AEC.这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 的面积. (1)根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 cm². (2)请你用上面学到的方法完成下面的习题. 如图②,已知 FG=FN=HM=GH+MN=5cm,∠G=∠N=90°,求五边形FGHMN 的面积. 专题 9 全等三角形综合探究 【模型积累】运用全等三角形的判定和性质对一些开放题、阅读题、探究题进行综合实践；在对 SSA 进行探究时，会发现对三角形进行一些特殊的限制，SSA 就可以证明其全等。 1.如图，AC∥BD，AE，BE 分别平分∠CAB 和∠ABD，点 E 在 CD 上。用等式表示线段AB，AC，BD 之间的数量关系，并证明。 2.数学实验——探索“SSA”。 [提出问题] “两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”为什么不能判定两个三角形全等？ [分析问题] 在△ABC和△DEF 中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，对∠B 进行分类，分为“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究。 [解决问题] (1)当∠B 是直角时，根据 定理(简写)，可得△ABC≌△DEF。 (2)当∠B 是钝角时，△ABC≌△DEF 仍成立。只需要过点 C，F 作 CG⊥AB，FH⊥DE，垂足分别为 G，H。请完成证明。 (3)当∠B 是锐角时，△ABC 和△DEF 不一定全等。 如图，请你用直尺和圆规在方框中作出△DEF，满足：AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E 都是锐角，但△DEF 和△ABC 不全等。(不写作法，保留作图痕迹) 专题 10 线段的轴对称性及应用 【模型积累】线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一，同时也是作辅助线的方法，就是遇见线段的垂直平分线，连接垂直平分线上的点与线段的两端点，这样就出现了相等的线段，直接或间接地为全等创造条件。 1.如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=2，直线l是长方形ABCD的一条对称轴，且分别与 AD，BC 交于点E，F，若直线l上的动点 P使得△PAB和△PBC均为等腰三角形，则动点 P的个数为 。 2.如图，在△ABC中，AB>AC>BC，P为 BC 上一点(不与点 B，C 重合)。在AB 上找一点M，在 AC 上找一点 N，使得△AMN与△PMN全等，以下是甲、乙两位同学的作法。 甲：连接AP，作线段AP的垂直平分线，分别交AB，AC于M，N两点，则M，N两点即为所求。 乙：过点 P 作PM∥AC，交AB 于点M，过点 P 作PN∥AB，交AC于点N，则M，N两点即为所求。 (1)对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是 ( ) A.两人都正确 B.甲正确，乙错误 C.甲错误，乙正确 (2)选择一种你认为正确的作法，补全图形并证明。 3.如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90，AB=25 cm，DA=15 cm，CB=10 cm。动点E从A点出发，以2cm/s的速度向 B点移动，设移动的时间为 x s。 (1)当x为何值时，点 E在线段CD的垂直平分线上？ (2)在(1)的结论下，判断DE 与CE 的位置关系，并说明理由。 专题11 角的轴对称性及应用 【模型积累】角平分线的问题尽可能优先考虑角平分线的性质与判定的应用，根据角平分线的基本性质与判定作角平分线上的点到角两边的垂线段，得线段相等，或以角平分线为轴进行翻折. 1.如图,在△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC交AC于点D,AB=4,BD=5,AD=3,若点 P 是BC上的动点，则线段DP 长度的最小值是 ( ) A.3 B.2.4 C.4 D.5 2.如图,AD是△ABC的角平分线,DF⊥AB,垂足为F,DE=DG,若 和 的面积分别为50 和39，则△EDF 的面积为 ( ) A.11 B.5.5 C.7 D.3.5 3.在△ABC中,D是BC边上的点(不与点B,C重合),连接AD. (1)如图①，当D是BC边的中点时，,S△ABD : S△ACD= ; (2)如图②,当AD是∠BAC的平分线时,若AB=m, AC=n,求 的值；(用含m，n的代数式表示) (3)如图③,AD平分∠BAC,延长AD到点E,使得DE=AD,连接BE,如果AC=2,AB=4,S△BDE=6,求 S△ABC的值. 专题 12 等腰三角形的探究 【模型积累】根据等腰三角形的性质可得两底角相等，若遇等腰三角形常作底边上的中线或作底边上的高，构造三线合一的模型解题；要证两角相等，可证明两角所在的三角形是等腰三角形. 1.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点称为格点.现有格点A，B，在网格中任意找一点C(必须是格点)，使△ABC成为等腰三角形.这样的格点有 个. 2.如图，在直角三角形纸片ABC中， ，将纸片沿某条直线折叠，使点A 落在直角边BC上，记落点为 D，设折痕与AB，AC边分别交于点E，F. (1)若 ,求∠CDF 的度数; (2)若折叠后的△CDF为等腰三角形，连接AD，求∠ADC的度数； (3)在(2)的条件下，若△BDE也为等腰三角形，求纸片中∠B的度数. 3.在学习了“等边对等角”定理后，某数学兴趣小组的同学继续探究了同一个三角形中边与角的数量关系，得到了一个正确的结论：在同一个三角形中，较长的边所对的角较大.简称：在同一个三角形中，大边对大角.即在△ABC中，若AB>AC，则∠C>∠B.该兴趣小组的同学在此基础上对等腰三角形“三线合一”的性质的一般情况进行了深入探究，请你补充完整： (1)在△ABC中,AD是BC 边上的高. ①如图①,若AB=AC,则∠BAD=∠CAD; ②如图②,若AB≠AC,当AB>AC时,∠BAD ∠CAD.(填“>”“<”或“=”) 证明:∵AD是BC边上的高,∴∠ADB=∠ADC=90°. ∴∠BAD=90°-∠B,∠CAD=90°-∠C. ∵AB>AC，∴ (在同一个三角形中，大边对大角). ∴∠BAD ∠CAD. (2)在△ABC中,AD是BC边上的中线. ①如图①,若AB=AC,则∠BAD=∠CAD; ②如图③,若AB≠AC,当AB>AC时,∠BAD ∠CAD.(填“>”“<”或“=”) 证明： 专题13 等边三角形的探究 【模型积累】运用等边三角形角的数量特征和边的相等关系可得角的度数是 60°或线段相等，共顶点的两个等边三角形(也称手拉手图形)组成的图中，必定有全等三角形，也可合理利用60°角构造等边三角形得到相等线段. 1.已知△ABC是等边三角形，点 D在射线BC上(不与点B，C重合)，点D关于直线AC的对称点为E,连接AD,AE,CE,DE. (1)如图①，当点 D 为线段BC 的中点时，求证：△ADE是等边三角形； (2)当点D 在线段BC 的延长线上时，先根据题意在图②中补全图形，再连接BE，取线段BE的中点记为F，连接CF.用等式表示线段AD与CF 的数量关系，并证明. 2.在 中， D是BC上一点,且AD=AC. (1)如图①,延长BC到点E,使(CE=BD,,连接AE.求证:AB=AE; (2)如图②,在AB上取一点F,使DF=DB,P为BC延长线上的点,连接PA,PF.若PA=PF,，猜想 PC与BD 的数量关系并证明. 专题 14 直角三角形的探究 【模型积累】遇直角三角形斜边中点，作斜边上的中线；遇直角三角形，取斜边中点，作斜边上的中线；遇两个共斜边的直角三角形，取斜边中点，分别作斜边上的两中线；遇等腰三角形底边中点，连顶角顶点和底边中点，构造直角三角形. 1.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,P是BC的中点,M,N分别是CA,BA 延长线上的点，且 则∠MPN的度数为 . 2.如图①,在锐角三角形ABC中,CD,BE分别是AB,AC边上的高,M,N分别是线段BC,DE 的中点,连接DM,ME,MN. (1)求证:MN⊥DE. (2)猜想∠BAC与∠DME之间的关系，并证明你的猜想. (3)当∠BAC变为钝角时，如图②，上述(1)(2)中的结论是否还成立?若成立，直接回答，不需证明；若不成立，请说明理由. 专题15 等腰(等边)三角形综合探究 【模型积累】运用等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质，再结合全等三角形等知识对一些开放题、阅读题、探究题进行综合探究；有时需要运用作平行线、倍长中线等方法构造等腰三角形. 1.从三角形的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段为这个三角形的“等角分割线”.例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”. (1)如图①,在△ABC中,D是边BC上一点,若∠B=30°,∠BAD=∠C=40°,求证:AD为△ABC的“等角分割线”. (2)如图②,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°. ①利用直尺和圆规，作出△ABC的“等角分割线”； ②若BC=6，求①中画出的“等角分割线”的长度. (3)在△ABC中,∠A=42°,若△ABC存在“等角分割线” CD,求出所有符合要求的∠ACB的度数. 2.如图，在 中， (1)求 BC 的长; (2)动点Q从点B 出发以每秒1个单位长度的速度沿线段BC向终点C 运动，点Q出发的同时，动点 P从点C 出发以每秒1个单位长度的速度沿射线CO运动，当点Q到达终点时，点P 也随之停止运动，过点 Q作( ，垂足为G，设线段 PG的长度为d，点Q的运动时间为t秒，求d与t 的函数关系式； (3)在(2)的条件下，连接PQ，以PQ为边向上作等边三角形PQF，连接CF，若(CF=3,求此时PG的长. 参考答案 专题1 三角形的内角和 1. C 2.67.5 点拨:因为∠C+∠CPQ+∠CQP = 180°,∠C=90°, 所以∠CPQ+∠CQP=90°. 因为∠APQ+∠BQP+∠CPQ+∠CQP=360°, 所以∠APQ+∠BQP=270°. 因为 PM,QN分别平分∠APQ和∠BQP,所以∠MPQ+∠NQP=135°. 因为∠MPQ+∠NQP+∠PMN+∠QNM=360°, 所以∠PMN+∠QNM=225°. 因为 MR,NR 分别平分∠BMP 和∠ANQ, 所以∠NMR+∠MNR=112.5°. 因为∠NMR+∠MNR+∠R=180°,所以∠R=67.5°. 3.(1)①是 ②解:因为∠B=72°,△BPC 是“倍角三角形”,所以 △BCP 内角的度数分别是72°,72°,36°,所以∠BCP=36°或72°,所以∠ACP=54°或18°. (2)解:如答图①,当△ABC是等腰直角三角形,CP⊥AB时,满足条件,此时∠BCP=45°. 如答图②,当∠A=60°,CP⊥AB 时,满足条件,此时∠BCP=60°. 如答图③,当∠A=60°,∠BPC=100°时,满足条件,此时 如答图④,当∠B=60°,∠APC=100°时,满足条件,此时 如答图⑤,当∠B=60°,∠APC=90°时,满足条件,此时 综上所述，满足条件的∠BCP 的度数为30°或40°或45°或50°或60°. 专题2 全等三角形的运用 1. B点拨：设八个全等的直角三角形的面积均为a，依题意得 ,即 S₁+ 又∵ 解得 48,故选 B. 2.5或4 点拨:∵两个三角形全等,∴3a-2b=5,a+2b=7或3a-2b=7,a+2b=5,∴a=3,b=2或a=3,b=1,∴a+b=5或4.故答案为5 或4. 3.解:(1)∵△ABC≌△DEB,DE=8,BC=5,∴AB=DE=8,BE=BC=5,∴AE=AB-BE=8-5=3. (2)①∵△ABC≌△DEB, ∴∠A=∠D=35°,∠DBE=∠C=60°, ∵∠A+∠ABC+∠C=180°, ②∵∠AEF是△DBE的外角, ∵∠AFD是△AEF 的外角, 专题3 中线倍长法 1.(1)AC=BM AC∥BM (2)解:如答图①,延长 AD 到点M,使 DM=AD,连接BM.∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD, 在△ADC和△MDB中. ∴△ADC≌△MDB(SAS),∴BM=AC=8, 在△ABM中,AB-BM<AM<AB+BM, ∴12-8<AM<12+8,即4<2AD<20,∴2<AD<10, 即BC边上的中线AD 的取值范围为2<AD<10. (3)解:EF=2AD,EF⊥AD,理由如下: 如答图②,延长AD到点M,使得DM=AD,连接BM.由(2)可知,△BDM≌△CDA(SAS),∴BM=AC. ∵AC=AF,∴BM=AF,由(1)可知,AC∥BM, ∴∠BAC+∠ABM=180°,∵AE⊥AB,AF⊥AC, ∴∠BAE=∠FAC=90°,∴∠BAC+∠EAF=180°, ∴∠ABM=∠EAF,在△ABM和△EAF中, ∴AM=EF,∠BAM=∠E,∵AD=DM, ∴AM=2AD,∴EF=2AD, ∵∠EAM=∠BAM+∠BAE=∠E+∠APE, ∴∠APE=∠BAE=90°,∴EF⊥AD. (4)证明:如答图③,延长ED到点G,使GD=ED,连接CG,GF. ∵D是BC边上的中点,∴CD=BD,在△CDG和△BDE中. ∴△CDG≌△BDE(SAS),∴CG=BE, ∵CG+CF>GF,∴BE+CF>GF, ∵DE⊥DF,GD=ED, ∴DF垂直平分EG,∴GF=EF,∴BE+CF>EF. 专题4 一线三等角模型在全等三角形中的应用 1.2 点拨:∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°, ∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠BCE+∠ACD=90°, ∴∠EBC=∠DCA. 在△CEB和△ADC中. ∴△CEB≌△ADC(AAS),∴BE=DC=1,CE=AD=3. ∴DE=EC-CD=3-1=2. 2.(1)DE=BD+CE (2)解:DE=BD+CE仍然成立. 证明:∵∠BDA=∠BAC=∠AEC=α, ∴∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-α, ∴∠DBA=∠EAC,∵AB=AC, ∴△DBA≌△EAC(AAS),∴BD=AE,AD=CE, ∴DE=AD+AE=BD+CE. (3)解:△DEF 是等边三角形.理由: ,AF平分∠BAC,∴∠BAF=∠CAF=60°. ∵AB=AF=AC,∴△ABF和△ACF都是等边三角形, ∴FA=FC,∠FCA=∠FAB=∠AFC=60°, 同(2)可得,△BDA≌△AEC, ∴∠BAD=∠ACE,AD=CE, ∴∠FAD=∠FCE,∴△FAD≌△FCE(SAS), ∴DF=EF,∠DFA=∠EFC, ∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠EFC+∠AFE=∠AFC=60°,∴△DEF 是等边三角形. 专题5 线段和差问题的处理方法 1.4 点拨:如答图,设CD与EF 交于点K,延长AC到点 G,使AG=AB,连接BG,延长 EF 和CA,交于点 H.设∠BCD=α,∵∠ACB=90°,∴∠ACD=90°-α,∵AD= 2∠ACD=2α,∵EF⊥CD,∴∠CKF=90°,∴∠DFK= AG,∴∠ADC=∠ABG,∴CD∥GB,BD=CG=CE, ∴∠H=α=∠GBC,∵∠CAB=2α,∴∠AFH=α,∴∠H=∠AFH,∴AH=AF=2,在△CEH 和△CGB中, ∴△CEH≌△CGB(ASA),∴CH=CB=8,∴DF=AD-AF=AC-AH=CH-2AH=8-4=4.故答案为4. 2.(1)证明:如答图①,过点C作CF⊥AB于点 F. ∵AC平分∠PAB,BC平分∠QBA, ∴∠1=∠2,∠3=∠4. ∵l⊥AP,PA∥BQ,∴∠EDA=∠DEB=90°. ∵CF⊥AB, ∴∠AFC=90°,∴∠1+∠5=90°. 又∵∠2+∠6=90°,∴∠5=∠6. 在△CDA与△CFA中 ∴△ACD≌△ACF,∴AD=AF, 同理BF=BE.∵AB=AF+BF,∴AB=AD+BE. (2)解：(1)中结论成立，证明如下： 如答图②,在AB上截取AG=AD,连接CG. ∵AC平分∠PAB,∴∠DAC=∠CAB. 在△ADC与△AGC中 ∴△ADC≌△AGC(SAS),∴∠DCA=∠ACG. ∵AP∥BQ, ∴∠DAC+∠CAB+∠GBC+∠CBE=180°. ∵∠DAC=∠CAB,∠GBC=∠CBE, ∴∠CAB+∠GBC=90°, ∴∠ACB=90°,即∠ACG+∠GCB=90°. ∵∠DCA+∠ACG+∠GCB+∠BCE=180°, ∴∠DCA+∠BCE=90°,∴∠GCB=∠ECB, 在△BGC与△BEC中 ∴△BGC≌△BEC(ASA),∴BG=BE, ∴AD+BE=AG+BG=AB. (3)解:(1)中结论不成立. 当点 D在射线AP 上，点E 在射线BQ 的反向延长线上时(如答图③),AD-BE=AB; 当点 D在射线AP 的反向延长线上，点E在射线BQ上时(如答图④),BE-AD=AB. 专题6 手拉手模型及应用 1.[初步把握]△ABD △ACE [深入研究]证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AB=AD,AE=AC,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠DAC=∠BAE, 在△ABE和△ADC中 ∴△ABE≌△ADC(SAS), ∴BE=CD. [拓展延伸]解:BD=CE,BD⊥CE.理由: ∵∠BAC=∠DAE=90°, ∴∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE, 即∠CAE=∠BAD,在△ABD和△ACE中, ∴BD=CE,∠ABD=∠ACE. ∵∠BPC+∠ABD=∠BAC+∠ACE, ∴∠BPC=∠BAC=90°,∴BD⊥CE. 专题7 夹半角模型及应用 1.[问题背景]EF=BE+FD [探索延伸]解：结论EF=BE+FD仍然成立.理由：如答图①,延长FD到点G,使得DG=BE,连接AG. ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°, ∴∠B=∠ADG. ∵AB=AD,∴△ABE≌△ADG(SAS), ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG. ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠DAF+∠BAE= 又∵AG=AE,AF=AF, ∴△AFG≌△AFE(SAS),∴EF=GF. ∵GF=DF+DG=DF+BE,∴EF=BE+FD. [实际应用]解：如答图②，连接EF，延长AE，BF 相交于点C. 在四边形AOBC中， 又∵OA=OB,∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+ ∴实际应用符合探索延伸的条件， ∴EF=AE+FB=1.5×(60+80)=210(海里),即此时两舰艇之间的距离是210海里. 专题8 三角形全等与面积问题 1. A 点拨:∵∠1=∠2=∠BAC,∠1=∠BAE+∠ABE,∠BAC=∠BAE+∠CAF,∠2=∠FCA+∠CAF,∴∠ABE=∠CAF,∠BAE=∠FCA.在△ABE 和△CAF 中 ∵S△ABC=18,CD=2BD, 故选 A. 2.(1)12.5 (2)解:如答图,连接FH,FM,延长 MN 到点O,使NO=GH,连接FO. 在△GFH和△NFO中, ∴△GFH≌△NFO(SAS), ∴FH=FO. ∵FG=FN=HM=GH+MN=5cm,GH=NO, ∴HM=OM. 在△HFM和△OFM中 ∴△HFM≌△OFM(SSS), ∵△OFM的面积是 ∴△HFM的面积是12.5cm², ∴四边形 HFOM 的面积是 25 cm², ∴五边形 FGHMN的面积是25 cm². 专题9 全等三角形综合探究 1.解:线段AB,AC,BD之间的数量关系为AB=AC+BD.证法一:如答图①,在AB上截取AF=AC,连接EF. ∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠FAE. 在△ACE和△AFE中 ∴△ACE≌△AFE,∴∠C=∠AFE. ∵AC∥BD,∴∠C+∠D=180°. ∵∠AFE+∠BFE=180°,∴∠D=∠BFE. ∵BE平分∠ABD,∴∠DBE=∠FBE. 在△DBE和△FBE中 ∴△DBE≌△FBE,∴BF=BD, ∴AB=AF+BF=AC+BD. 证法二:如答图②,延长 AC到点 F,使 AF=AB,连接EF. ∵AE平分∠CAB,∴∠BAE=∠FAE. 在△ABE和△AFE中, ∴△ABE≌△AFE,∴BE=EF,∠ABE=∠F. ∵BE平分∠ABD,∴∠DBE=∠ABE,∴∠DBE=∠F. ∵AC∥BD,∴∠D=∠FCE. 在△BDE和△FCE中 ∴△BDE≌△FCE,∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+FC=AC+BD. 证法三：如答图③，延长AC和BE，两线交于点 F. ∵AC∥BD,∴∠F=∠DBE,∠FCE =∠D. ∵BE平分∠ABD,∴∠DBE=∠ABE, ∴∠F=∠ABE,∴AB=AF. ∵AE平分∠CAB,∴BE=EF. 在△BDE和△FCE中 ∴△BDE≌△FCE,∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+FC=AC+BD. 2.(1)HL (2)证明:如答图①. ∵∠ABC=∠DEF, 即∠CBG=∠FEH, 在△CBG和△FEH中 ∴△CBG≌△FEH(AAS),∴CG=FH. 在 Rt△ACG和Rt△DFH中, ∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL),∴∠A=∠D. 在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF(AAS). (3)解:如答图②,AC=DF,BC=EF,∠B=∠E,且∠B,∠E都是锐角,但△DEF 和△ABC不全等. ∴△DEF 即为所求. 专题10 线段的轴对称性及应用 1.5 2.(1)A (2)解：若选择甲同学的作法，补全图形如答图①所示. 证明：∵MN是线段AP 的垂直平分线， ∴MP=MA,NP=NA. ∵MN=MN,∴△PMN≌△AMN. 若选择乙同学的作法，补全图形如答图②所示. 证明:∵PM∥AC,PN∥AB, ∴∠PMN=∠ANM,∠PNM =∠AMN. ∵MN=NM,∴△PMN≌△ANM. 3.解：(1)当x=5时，点E在线段CD 的垂直平分线上.理由如下： 当x=5时,AE=2×5=10(cm),∴AE=BC, ∵AB=25 cm, ∴BE=25-10=15(cm),∴BE=AD. 在△ADE和△BEC中 ∴△ADE≌△BEC(SAS),∴DE=CE, ∴点 E在线段CD 的垂直平分线上，即当x=5时，点E在线段CD的垂直平分线上. (2)DE与CE 的位置关系是DE⊥CE.理由如下: ∵△ADE≌△BEC,∴∠ADE=∠CEB. ∵∠A=90°,∴∠ADE+∠AED=90°, ∴∠AED+∠CEB=90°, ∴∠DEC=180°-(∠AED+∠CEB)=90°,∴DE⊥CE. 专题11 角的轴对称性及应用 1. A 点拨:当 DP⊥BC时,DP 最短,∵BD平分∠ABC,∠A=90°,∴当 DP⊥BC时,DP=AD,∵AD=3,∴DP长度的最小值是3，故选 A. 2. B 点拨:如答图,作 DM=DE交AC 于点M,作DN⊥AC 于点N.∵DE=DG,∴DM=DG. 在Rt△DMN 和Rt△DGN中, ∴Rt△DMN≌Rt△DGN(HL).∵AD 是△ABC 的角平分线,DF⊥AB,DN⊥AC,∴DF=DN,∠EAD=∠MAD. 在Rt△DEF和Rt△DMN中, ∴Rt△DEF≌Rt△DMN(HL), ∴∠DEF=∠DMN,∴∠AED=∠AMD. 在△AED和△AMD中. ∴△AED≌△AMD.∵△ADG 和△AED的面积分别为 50和39, 故选 B. 3.(1)1:1 (2)解:如答图,过点 D 作 DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F. ∵AD为∠BAC的平分线, ∴DE=DF. ∵AB=m,AC=n, (3)解:∵AD=DE,∴由(1)知 ∵AC=2,AB=4,AD平分∠CAB, ∴由(2)知S△ABD : S△ACD=AB:AC=4:2=2:1, 专题12 等腰三角形的探究 1.8 2.解：(1)∵将纸片沿某条直线折叠，使点 A 落在直角边BC上, ∴∠AFE=∠DFE=65°, (2)如答图. ∵△CDF 为等腰三角形,∠FCD=90°, ∴∠CFD=∠CDF=45°. ∵将纸片沿某条直线折叠，使点 A 落在直角边BC 上， ∴AF=DF,AE=DE,∴∠FAD=∠FDA. ∵∠CFD=∠FAD+∠FDA,∴∠FDA=22.5°, ∴∠ADC=67.5°. (3)∵∠ADC=∠B+∠DAB,∴∠DAB=67.5°-∠B. ∵AE=DE,∴∠DAB=∠ADE=67.5°-∠B, ∴∠DEB=∠EAD+∠EDA=135°-2∠B. 若∠DEB=∠B,则135°-2∠B=∠B,∴∠B=45°. 若∠DEB=∠EDB,则∠DEB=∠EDB=135°-2∠B. ∵∠DEB+∠EDB+∠B=180°, 若∠EDB=∠B,则∠DEB+∠B+∠EDB=135°- °(不合题意，舍去). 综上所述，纸片中∠B的度数为30°或45°. 3.(1)②> ∠C>∠B > (2)②< 证明：如答图，延长AD 至点 E，使得DE=DA,连接BE. ∵AD是BC 边上的中线, ∴DB=DC. 在△EDB和△ADC中, ∴△EDB≌△ADC, ∴EB=AC,∠E=∠CAD. ∵AB>AC,∴AB>EB. ∴∠E>∠BAD. ∴∠CAD>∠BAD,即∠BAD<∠CAD. 专题 13 等边三角形的探究 1.(1)证明:∵点 D与点E 关于直线AC 对称, ∴AD=AE,∠DAC=∠EAC. ∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°. ∵D为线段BC 的中点， ∴∠DAC=∠EAC=30°,∴∠DAE=60°. ∵AD=AE,∴△ADE是等边三角形. (2)解：补全图形如答图.线段 AD与CF 的数量关系为AD=2CF.证明如下: 如答图,延长CF到点G,使GF=CF,连接BG. ∵F为线段BE 的中点,∴BF=EF. 在△BFG和△EFC中 ∴△BFG≌△EFC,∴GB=CE,∠G=∠FCE, ∴BG∥CE. ∵△ABC是等边三角形,∴AC=BC,∠ACB=60°, ∴∠ACD=120°. ∵点D,E关于直线AC 对称, ∴CD=CE,∠ACD=∠ACE=120°, ∴CD=BG,∠BCE=60°. ∵BG∥CE,∴∠BCE+∠CBG=180°,∴∠CBG=120°. ∠ACD=∠CBG. 在△ACD和△CBG中 ∴△ACD≌△CBG,∴AD=CG,∴AD=2CF. 2.(1)证明:在△ACD中,AD=AC,∴∠ADC=∠ACD,∴∠ADB=∠ACE. 在△ADB和△ACE中 ∴△ADB≌△ACE(SAS),∴AB=AE. (2)解:PC与BD 的数量关系为PC=2BD. 证明:在线段PC上取一点 E,使CE=BD,连接AE,如答图. 由(1)得△ADB≌△ACE(SAS),∴∠AEC=∠B=60°, ∴∠AEP=120°, ∵DF=DB,∠B=60°,∴△DBF是等边三角形, ∴∠FDB=∠DFB=60°, ∴∠PFD+∠PFA=120°,∠PDF=120°, ∴∠AEP=∠PDF, ∵PA=PF,∴∠PAF=∠PFA, ∵∠APE+∠PAF=180°-∠B=120°, ∴∠APE=∠PFD. 在△APE和△PFD中, ∴△APE≌△PFD(AAS),∴PE=DF=BD=CE, ∴PC=2BD. 专题14 直角三角形的探究 1.45°点拨:如答图,连接PA 并延长到点 D. ∵∠BAC=90°,P是BC的中点, AP,∴∠M=∠APM,∠N=∠APN, ∵∠DAM=∠M+∠APM,∠DAN=∠N+∠APN, ∴∠DAM=2∠APM,∠DAN=2∠APN, ∴∠MAN=∠DAM+∠DAN=2∠APM+2∠APN=2(∠APM+∠APN)=2∠MPN, 2.(1)证明:∵CD,BE分别是AB,AC边上的高,M是BC的中点， ∵N为DE 的中点,∴MN⊥DE. (2)解:∠DME=180°-2∠BAC.证明如下: 在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC, ∵DM=ME=BM=MC, ∴∠BMD+∠CME=(180°-2∠ABC)+(180°- 2∠ACB)=360°-2(∠ABC+∠ACB)=360°-2(180°-∠BAC)=2∠BAC, ∴∠DME=180°-2∠BAC. (3)解：(1)中结论成立，(2)中结论不成立.理由如下：在△ABC中,∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC, ∵DM=ME=BM=MC, ∴∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC=2(180°-∠BAC)=360°-2∠BAC, ∴∠DME=180°-(360°-2∠BAC)=2∠BAC-180°. 专题15 等腰(等边)三角形综合探究 1.(1)证明:∵∠B=30°,∠BAD=∠C=40°, ∴∠ADB=∠BAC=180°-40°-30°=110°. 又∵∠B=∠B, ∴△ABD 的三个内角与△ABC的三个内角的度数分别相等. ∵∠B=30°,∠BAD=40°, ∴∠ADC=∠B+∠BAD=70°. 又∵∠BAC=110°, ∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=70°=∠ADC, ∴AC=DC,∴△ACD是等腰三角形, ∴AD为△ABC的“等角分割线”. (2)解:①如答图,作∠BAC的平分线,交 BC于点D,线段AD即为所求.理由如下： ∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=90°-30°=60°. ∵AD平分∠BAC,∴∠DAC=∠DAB=30°=∠B, ∴∠ADC=60°=∠BAC. 又∵∠C=∠C, ∴△ADC的三个内角与△ABC的三个内角分别相等. ∵∠BAD=∠B,∴AD=BD,∴△ABD是等腰三角形, ∴AD为△ABC的“等角分割线”. ②设CD=x. ∵在△ADC中,∠C=90°,∠DAC=30°, ∴AD=2CD=2x,∴BD=AD=2x. ∵BC=6,∴x+2x=6,∴x=2,∴AD=2x=4. (3)解:当△ACD是等腰三角形,DA=DC时,∠ACD=∠A=42°,∴∠ACB=∠BDC=42°+42°=84°; 当△ACD 是等腰三角形, DA = AC 时,∠ACD =∠ADC=69°,∠BCD=∠A=42°, 当△ACD是等腰三角形,CD=AC时,不存在; 当△BCD是等腰三角形,DC=BD时,∠ACD=∠BCD=∠B=46°,∴∠ACB=92°; 当△BCD是等腰三角形,DB=BC时,∠BDC=∠BCD, 设∠BDC=∠BCD=x,则 则 由题意得， 解得x=74°, 当△BCD是等腰三角形,CD=CB时,不存在. 综上,∠ACB的度数为84°或111°或92°或106°. 2.解:(1)∵∠COB=90°,∠B=30°,OC=3,∴BC=6. (2)∵∠COB=90°,QG⊥OC,∴GQ∥OB, ∴∠CQG=∠B=30°. ∵QB=t,∴CQ=6-t. 当0≤t≤2时, 当2<t≤6时, (3)如答图①，当点 P 在点G上方时，在CB上截取一点K,使得CK=CP,连接PK. ∵∠PCK=60°,CP=CK,∴△PCK 是等边三角形, ∴PC=PK,∠CPK=∠FPQ=60°,∴∠CPF=∠KPQ.在等边△PQF中,PF=PQ,∴△CPF≌△KPQ(SAS), ∴CF=KQ,∴CQ=CK+KQ=PC+CF, 如答图②，当点 P 在点G 下方时，同法可证CP=CF+CQ,则有t=3+6-t,解得 综上所述，PG的长为 或 学科网（北京）股份有限公司 $