第1章 三角形 讲义 -2026-2027学年苏科版八年级数学上册考点解惑

该初中数学三角形单元复习讲义通过思维导图和知识框架图系统梳理知识体系，涵盖三角形的线段、角、全等判定、等腰三角形等核心内容，用表格呈现判定思路等逻辑关系，清晰展现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础的三边关系到综合的“一线三等角”全等模型，培养推理意识与几何直观。基础题巩固概念，优质题提升创新意识，助力不同层次学生发展，为教师精准教学提供支持。

第1章 三角形 思维导图 1.1 三角形中的线段和角 1.1.1 三角形的基本概念 三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 三角形的表示方法：通常用三个顶点的大写字母表示，如顶点为A、B、C的三角形记作，读作“三角形ABC”。 三角形的分类： 1. 按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）、直角三角形（有一个角是直角的三角形）、钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）。其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2. 按边分类：不等边三角形（三边都不相等的三角形）、等腰三角形（有两边相等的三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角），等边三角形是特殊的等腰三角形，即三边都相等的三角形。 1.1.2 三角形中的主要线段 1. 三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。 性质：三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。锐角三角形的三条高都在三角形内部，交点在三角形内部；直角三角形的两条高恰好是它的两条直角边，交点在直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，交点在三角形外部。 2. 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形的三条中线都在三角形内部，交于一点，这个点叫做三角形的重心。三角形的每一条中线都将三角形分成面积相等的两个三角形。 3. 三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 性质：三角形的三条角平分线都在三角形内部，交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 注意：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，二者概念不同。 1.1.3 三角形三边关系 核心定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。 理论依据：两点之间，线段最短。 应用：判断三条线段能否组成三角形，若较短两条线段的和大于最长线段，则可构成三角形，反之则不能；已知三角形两边长度，确定第三边的取值范围；证明线段不等关系。 1.1.4 三角形的内角和与外角 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于。 应用：已知三角形两个内角的度数，求第三个内角的度数；根据三个内角的关系，求出各内角的度数；判断三角形的形状。 2. 直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余。 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 3. 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 性质： · 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； · 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角； · 三角形的外角和等于。 1.2 全等三角形 1.2.1 全等图形与全等三角形定义 全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。全等图形的形状相同，大小相等，对应角相等，对应边相等。 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的表示方法：若和全等，记作，记全等三角形时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，方便找对应边和对应角。 1.2.2 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等； 2. 全等三角形的对应角相等； 3. 拓展性质：全等三角形对应边上的高相等、对应边上的中线相等、对应角的角平分线相等；全等三角形的周长相等，面积相等。 注意：周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等。 1.3 全等三角形的判定 1.3.1 基本判定定理 1. 边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等。 应用：若已知两个三角形的三边对应相等，可直接判定全等；当三角形的三边长度确定时，三角形的形状和大小就完全确定，这就是三角形的稳定性，原理就是SSS判定定理。 2. 边角边（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 注意：这里的角必须是两边的夹角，如果是两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等，不可以作为判定定理。 3. 角边角（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 4. 角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。由三角形内角和定理可知，两角相等则第三个角也相等，因此AAS本质可以由ASA推导得到。 5. 斜边直角边（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 注意：HL定理只适用于直角三角形的全等判定，对于一般三角形不适用；判定两个直角三角形全等，除了HL，也可以用SSS、SAS、ASA、AAS。 1.3.2 判定全等三角形的思路 已知条件 判定思路 有两组边对应相等 找夹角相等（SAS）或找第三边相等（SSS），直角三角形找斜边相等（HL） 有一组边和一组角对应相等 若边是角的对边，找另一组角相等（AAS）；若边是角的邻边，找夹这个角的另一边相等（SAS），或找另一组角相等（ASA或AAS） 有两组角对应相等 找任意一组边对应相等（ASA或AAS） 1.4 线段垂直平分与角平分线 1.4.1 线段垂直平分线 定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 符号表示：若直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，则。 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号表示：若点P满足，则点P在AB的垂直平分线上。 三角形垂直平分线性质：三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部。 1.4.2 角平分线 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边的距离相等。 1.5 等腰三角形 1.5.1 等腰三角形的性质 1. 基本性质：等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，简称为等边对等角。 符号表示：在中，若，则。 2. 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。 三层含义： · 若等腰三角形中，已知是顶角平分线，则这条角平分线平分底边且垂直于底边； · 若已知是底边上的中线，则这条中线平分顶角且垂直于底边； · 若已知是底边上的高，则这条高平分顶角且平分底边。 3. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线（或底边上的中线所在直线，或底边上的高所在直线）。 1.5.2 等腰三角形的判定 1. 定义判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。 2. 等角对等边：有两个角相等的三角形，这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边”。 符号表示：在中，若，则。 1.5.3 等边三角形 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，是特殊的等腰三角形。 性质： 1. 等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，且每个内角都是； 2. 等边三角形满足等腰三角形的所有性质，三线合一依然成立； 3. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 判定： 1. 定义判定：三边都相等的三角形是等边三角形； 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 3. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 1.5.4 含角的直角三角形性质与斜中定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 符号表示：在中，，，则。 斜中定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【类型一】三角形的三边关系 1．以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】判定三条线段能否构成三角形，只需验证两条较短边长的和是否大于最长边长，若满足则可以构成三角形，反之则不能． 【详解】选项A：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项B：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项C：，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形； 选项D：，满足两边之和大于第三边，能构成三角形． 2．已知三角形的三边长分别为3，x，6，下列能组成三角形的x值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：由题意得，即， 对比选项，只有满足该范围． 3．已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 【答案】5 【分析】设三角形第三边长为，根据三角形三边关系定理得到的取值范围，再结合周长为偶数确定的奇偶性，进而求出符合条件的第三边长． 【详解】解：设三角形第三边长为， ∵三角形两边长分别为2和5， ∴， ∴， ∴三角形周长为， ∵ 周长为偶数，7为奇数， ∴ x为奇数， ， ∴． 【类型二】三角形的中线 1．若是的中线，下列结论错误的是（   ） A． B． C．点D平分 D． 【答案】A 【详解】解：∵ 是 的中线， ∴ D是的中点，即点D平分， 可得， 是中线无法推出，因此A结论错误． 2．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 【答案】C 【分析】根据题意可得，再求出，利用三角形中线的定义可得的长，即可求得的周长． 【详解】解：， ， ， 、是的两条中线， ， 的周长是． 3．已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，分别列出三个三角形的周长等式，整理变形即可求出的长． 【详解】解：根据题意得：， 由，得， ∵是的中线， ∴． ∴． 又∵， ∴，解得． 【类型三】三角形的角平分线 1．如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质求出的度数，再根据是的角平分线求出．再利用直角三角形两锐角互余，求出的度数． 【详解】∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 2．如图，将折叠，使点落在边上的处，则折痕是（    ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．边的垂直平分线 【答案】A 【分析】折叠是一种全等变换，折叠前后对应部分全等，即对应角相等、对应边相等．根据折叠的性质，分析折痕与各元素的关系，从而判断折痕的性质． 【详解】解：∵折叠后点落在边上的处， ∴与关于折痕对称， 根据折叠的性质，对称的两个三角形全等，即， 根据全等三角形的性质，全等三角形的对应角相等，所以 根据角平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线， 由于，即折痕把分成了两个相等的角， 所以折痕是的角平分线． 3．如图，在中，是的角平分线，，则__________，__________，__________．    【答案】 【分析】根据角平分线的定义即可得到答案． 【详解】解：∵是的角平分线，， ∴，，， 故答案为：，， 【点睛】此题考查了角平分线的相关计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 【类型四】三角形的高线 1．如图，在中，边上的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图知：在中，边上的高是． 2．中边上的高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确三角形高的定义：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高．再据此逐一判断各选项中边上高的画法是否符合定义． 【详解】解：三角形边上的高是从点向边（或其延长线）作垂线，垂足在边（或其延长线）上 选项A：垂足在上，不符合题意； 选项B：垂足在上，但不是从点作的垂线，不符合题意； 选项C：垂足在上，不符合题意； 选项D：从点向的延长线作垂线，垂足在延长线上，符合题意． 3．如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 【答案】 【分析】此题考查了三角形高的概念．根据三角形高的概念求解即可． 【详解】解：∵交的延长线于点F， ∴中边上的高是． 故答案为：． 【类型五】全等三角形的性质 1．如图，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴． 2．如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，延长交于点F，下列结论中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转性质可得对应边相等、对应角相等及旋转角为，通过计算角度判断各选项． 【详解】解：设与交于点， 绕点顺时针旋转得到， ，，，， 选项C正确，不符合题意； 在中，， ， 选项D正确，不符合题意； ， 在中，， ， ， 选项B正确，不符合题意； 若，则，即， ，而的度数不确定， 不一定成立， 选项A不一定正确，符合题意． 故选：A． 3．如图，已知，若，则的长是______________． 【答案】2 【分析】根据全等三角形的性质得到，即可求出的长． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【类型六】等腰三角形的边与角 1．等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形三边关系，分情况讨论边长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而得到正确周长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当等腰三角形腰长为时，三边长为，，， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边， ∴不能构成三角形，此种情况舍去； ②当等腰三角形腰长为时，三边长为，，， ∵，满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴周长为， 综上，该等腰三角形的周长为． 2．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 3．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【答案】或 【分析】本题需分两种情况讨论，分别为等腰三角形的顶角是锐角和顶角是钝角，结合四边形内角和性质计算顶角的度数． 【详解】解：①当这个等腰三角形的顶角是钝角时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当这个等腰三角形的顶角是锐角时，如图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 综上所述，这个等腰三角形的顶角为或． 【类型七】两个斜边一半—30°对应的直角边 1．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴． 2．如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【详解】解：∵是等边三角形，平分交于点， ∴，，，且平分， ∴是直角三角形，， 又∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．若，，则的长是__________． 【答案】2 【分析】先根据直角三角形的性质得出，故可得出，再由线段垂直平分线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵在中，，， ，， ． ， ． 的垂直平分线交于点， ． 【类型八】两个斜边一半一斜边上的中线 1．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意判断 为直角三角形，再利用斜边中线的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出 、 两点间的距离． 【详解】解：， 是直角三角形，， 是的中点，， ∴． 2．如图，在中，，的边经过的中点E，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】根据勾股定理和直角三角形斜边中线的性质求出的长，再结合及线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵在中，，为的中点 ∴ （直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半） ∵， ∴ ∵点在上 ∴ 3．如图，在中，，D是边的中点．已知，则___________°． 【答案】66 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，利用等边对等角求出的度数，再利用角的和差关系求解. 【详解】解：在中，，是边的中点， ∴（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴（等边对等角）， ∵， ∴， ∵ ∴ 故答案为：66. 【类型九】全等三角形的判定—SAS、SSS 1．如图，线段、相交于点，且互相平分． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明：∵线段、相交于点O，且互相平分， ，，， ∴． (2)证明：∵， ∴， ∴． 【分析】（1）由相互平分以及对顶角的性质可得、、，再利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，再利用内错角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的性质得，再根据即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 3．如图，在四边形中，，点，在边上，且，连接，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明，再利用证明，据此可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【类型十】全等三角形的判定—ASA、AAS 1．如图，点A在线段上，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ∴； (2)7 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用线段的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴，， ∴． 2．已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先由已知条件可依据“”判定和全等，从而得，进而可得，然后再依据“”判定和全等即可得出结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 3．如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）首先利用三角形的高线的性质证明 ，然后利用即可证明 ； （2）利用全等三角形的性质可以得到 、 的长度，然后利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明： 的两条高 ， 交于点 ， ， 即 ， 在 与 中， ； （2）解： ， ， ， ，， ， ， ． 【类型十一】全等三角形的判定—HL 1．如图，在与中，于点．若，求证：． 【答案】证明：， ∴ ∵， ， 在和中， ， ； ∴． 【分析】由，结合，推出，得，确定两个三角形均为直角三角形．利用定理证明．最后根据全等三角形对应边相等，即可解答． 【详解】略 2．如图，已知，在中，，是上一点，且，为上的一点，交于． (1)求证：≌； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据全等三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质证明即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：， 在与中， ∴≌； （2）证明：∵≌； ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 3．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）证，利用全等三角形的性质证明，结合即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， 在和， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 【类型十二】等边三角形的判定 1．如图，在中，点、是边上两点，且． (1)求证：； (2)如果且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等边三角形．理由见解析 【分析】（1）由得到，再由即可得到； （2）由得到，根据等角的余角相等求得，得到，，可得到是等边三角形． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 2．如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 【答案】证明见解析 【分析】根据等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，从而得到，由可得，从而得到，即可求解． 【详解】证明：，点是的中点， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形． 3．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)证明：，， 平分， ， 又， 是等边三角形； (2) (3)证明：，， ， 在和中， ， ， ． 【分析】（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质求出的度数，结合，根据等边三角形的判定定理证明是等边三角形； （2）先利用等腰三角形的性质求出的度数，再结合等边三角形的性质求出的度数，在中利用含角的直角三角形的性质求出的长度，进而得到的长； （3）先根据角的和差关系推出，再利用等边三角形和等腰三角形的性质得到对应边、角相等，通过证明，结合全等三角形的性质与线段的和差关系证明． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， 由（1）得，是等边三角形， ，， ， ， ， ， ； （3）略 【类型十三】证明角的大小比较 1．如图，已知：与相交于点，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题重点考查三角形的基本性质（包括三边关系定理和内角与对边的关系），熟练掌握“大角对大边”原则和三角形不等式，并通过角度和边长的比较进行逻辑推导是解题的关键． 根据大边对大角原则证明即可． 【详解】证明：在中， ， ， ， ， ， ， ． 2．如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是线段的和差关系，三角形的三边关系的应用，本题先证明，结合，从而可得答案． 【详解】证明， ， ， ． 3．如图，已知O为内的任一点，求证：．    【答案】见解析 【分析】对于证明线段之间不等关系的题目，常常把线段转化为一个或多个三角形的边，然后利用三角形三边关系证明． 【详解】证明：如图，延长交于点D． ∵三角形两边的和大于第三边， ∴，① ，② ①+②，得， 即． 同理可得，， ∴， 即． ∴，，， ∴， 即． ∴． 【点睛】本题考查三角形的三边关系．解题的关键是构造三角形，利用三角形的三边关系进行证明． 【类型一】三边关系化简绝对值 1．已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号合并同类项即可． 【详解】解：∵的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系，可得，， ∴，， ∴ ． 2．已知三角形的三边长分别为1，a，4，则化简的结果等于（） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边关系和绝对值的化简，熟练掌握三角形三边关系确定字母的取值范围，以及绝对值的性质是解题的关键． 先根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后化简式子得到结果． 【详解】解：∵三角形三边长分别为，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故选：A． 3．已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系得到三边满足的不等式关系，判断绝对值内各式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可求解． 【详解】，，是三角形的三边， 根据三角形三边关系可得，， ，，， ． 【类型二】三角形中线求面积 1．如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由为的中线，求出，根据为的中线可得，，进而即可求解． 【详解】解：∵为的中线，的面积为， ∴， ∵为的中线， ∴，， ∴， ∴． 2．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【分析】点，是线段的三等分点，根据同高三角形面积之比等于对应底边之比，可得出，，最后便可以求出的面积． 【详解】解：∵点，是线段的三等分点， ∴， ∴ 同理， ∴ ， ∵， ∴． 3．如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 【答案】3 【分析】根据三角形面积公式，利用 得到 ，利用点 、 分别为 、 的中点得到 ，，所以阴影部分的面积 ． 【详解】解：， ， ， 点 、 分别为 、 的中点， ，， ， 即阴影部分的面积 ． 【类型三】三线合一 1．如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵等腰三角形中，，， ∴平分 ∴． 2．如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等腰三角形的“三线合一”和三角形中线平分其面积的性质，可推出的面积是面积的一半． 【详解】解：，且平分， 为的中线，为中点， 为的中线， ，， ，， ，即， ， ． 3．如图，在四边形中，和都是直角，且，现将沿翻折，点的对应点为与边相交于点，恰好是的角平分线，则_________，若，则___________． 【答案】 22.5 1 【分析】由条件可知是等腰直角三角形，再由是角平分线可求出，进而求解；根据是的角平分线和是直角，可以联想到构造等腰三角形，延长交的延长线于F ，然后证明即可求解． 【详解】解：， ． 平分， ． ， ； 如图，延长交的延长线于F ． 平分， ， ， ． 在和中， ， ， ， ． 【类型四】线段垂直平分线的性质与判定 1．如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 2．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接．若，则的度数是____________． 【答案】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得，则，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握并运用是解决问题的关键． 3．如图，在中，，是的角平分线． (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（）过点作的垂线即可； （）证明，得到，，再根据线段垂直平分线的判定即可求证； 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）证明：如图， 由（）得是的高线， ∴， ∴， ∵， ∴, ∵是的角平分线， ∴, 在和中, ， ∴， ∴，， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 【类型五】角平分线的性质与判定 1．如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为，则的面积是（     ） A．6 B．9 C．10 D．15 【答案】D 【分析】因为是的角平分线，所以可根据角平分线的性质，得到点到、的距离相等，即和的高相等；因为两个三角形高相等，所以面积比等于对应底和的长度比，结合已知与的比例，可得到和的面积比；因为的面积是和的面积之和，所以结合总面积和两个三角形的面积比，可求出的面积． 【详解】解：过点作， ∵平分， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 又∵的总面积， ∴， ∴， 解得． 2．如图，在中，，分别平分，，于点，．若的周长为，则的面积为_____． 【答案】28 【分析】利用角平分线的性质，过点分别作、的垂线，得到点到三边的距离相等；再将的面积拆分为、、的面积之和，结合三角形周长计算总面积． 【详解】解：过点作于点，于点，连接． 平分，，， ． 平分，，， ． ， ． ， ． 的周长为，即， ． 3．如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（）由垂直定义可得，然后证明，所以，再由角平分线的判定方法即可求证； （）证明，所以，然后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 【类型六】三角形的高夹角问题 1．如图，在中，，，于点，于点，与交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理与三角形高线的性质，解题的关键是利用三角形高线交于一点的性质，结合直角三角形的角的关系计算角度． 先由三角形内角和求出的度数，再根据三角形三条高线交于一点得出，最后结合直角三角形的两个锐角互余，计算出的度数． 【详解】解：延长交于点M， 因为，， 所以． 因为，，与交于F， 根据“三角形的三条高线交于一点”，可得也是的一条高，即， 所以， 所以． 故选：B． 2．如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则_______ 度． 【答案】14 【分析】本题考查了三角形的高，三角形内角和定理，角平分线定义等知识点，能求出和∠EAC的度数是解此题的关键．根据三角形内角和定理求出，根据角平分线定义求出，即可求出答案． 【详解】解：∵是高， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， 故答案为：14． 3．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、三角形的高和角平分线的定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理． 由角平分线的定义先求出的度数，再求出和的度数，即可得答案． 【详解】解：，平分， ； ， ， ， ， ． 【类型七】尺规作图 1．如图，在中，，，完成下列尺规作图： (1)作边上的高； (2)作，使，且点E在边上． 【答案】(1)如图，即为所求， (2)如图，即为所求， 【分析】（1）以点为圆心，以大于点到的距离为半径画弧，交于点、，再分别以点、为圆心，以大于的长度为半径画弧，两弧交于一点，作射线，交于，即为所求； （2）以点为圆心，长为半径画弧交于点，此时，，，利用即可得出，即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 2．如图，，点在的内部．用两种不同的方法求作：经过点的直线，分别交，于点，，使得是等边三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 【答案】如图所示即为所求； 【分析】方法一，①在上截取，连接，②过P作的平行线，分别交于点．方法二，作的平分线，过P作角平分线的垂线，分别交于点，即可． 【详解】略 3．如图，在四边形中，请用尺规作图在四边形内求作一点P，使得C，点P到的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 【答案】解：如图所示为所求： 【分析】先作线段的垂直平分线，的角平分线，交于点即可． 【详解】略 【类型八】无刻度尺作图 1．作图： (1)如图1，，平分，平分，分别交于点，请你仅用无刻度直尺作出的重心点； (2)已知：如图2，四边形是等腰梯形，点是边上一点，连接，请你仅用无刻度直尺作出，使得． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形重心的相关知识，线段垂直平行线的判定和性质等知识． （1）由等腰三角形三线合一的性质得出M，N分别为和的中点，则连接和交于点Q，点Q即为所求． （2）连接，它们相交于点O，延长，它们相交于V点，通过证明可判断垂直平分，同理可证点S在的垂直平分线上，从而得到，则，即． 【详解】（1）解：连接和交于点Q，点Q即为所求． （2）解：如图所示，即为所求． 2．（1）如图1，已知是的角平分线，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线； （2）如图2，已知，且分别平分与，与相交于O，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图．也考查了三角形三条角平分线相交于点． （1）连接A点和与的交点，并延长交于F，则满足条件； （2）的延长线相交于P点，可证明和都为等腰三角形，同时可判断O点为的角平分线的交点，则延长交于Q，所以满足条件． 【详解】解：（1）如图1，为所作； （2）如图2，为所作． 3．（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【答案】（1），，，；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质与判定是解题的关键； （1）利用线段垂直平分线定理的逆定理； （2）连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），证明得到，则，然后根据线段垂直平分线的判定定理可判断垂直平分； （3）如图（3），连接、、、，与相交于，延长交于，则为所作． 【详解】（1）证明：∵，， 直线垂直平分； 故答案为，； （2）如图，连接、，它们相交于点，延长交于，如图（2），则为的垂直平分线． 理由如下： ， ， ，， ， ， ， 而， 垂直平分； （3）如图（3），为所作． 【类型一】两圆一线画等腰三角形 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】D 【分析】结合网格特点与等腰三角形的定义，线段垂直平分线的定义可得答案. 【详解】解：如图， ∴当是等腰三角形，则符合条件的格点P共有个. 2．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及应用设计与作图等知识，利用图形分类讨论是解题关键． 根据等腰三角形的性质分别利用为底以及为腰的等腰三角形得出符合题意的图形即可． 【详解】解：如图所示，当，，，，都能得到符合题意的等腰三角形． 故选：B． 3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是网格中的两个格点，如果C也是网格中的格点，且使为等腰三角形，那么符合条件的点C有______个． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，分情况讨论是解题的关键．结合图形，利用格点，分别讨论为等腰三角形的底边时和为等腰三角形其中的一条腰时的情况，即可解决． 【详解】解：如图，（1）为等腰三角形的底边时，符合条件的C点有4个； （2）为等腰三角形其中的一条腰时，符合条件的C点有4个； 故答案为8． 【类型二】三线合一与斜中定理结合 1．如图，在中，，D是上一点，，垂足为点E，连接，M、N分别是的中点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可． 【详解】证明：如图，连接、， ，，是的中点， ， 是的中点， ． 2．如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)的面积为 【分析】本题主要考查直角三角形、等腰三角形的性质和勾股定理，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． （1）连接、，由直角三角形的性质可求得，则由等腰三角形的性质可证明； （2）由条件可求得、，在中可求得，则可求得的面积． 【详解】（1）证明：连接、，如下图所示： ∵，点为中点， ∴， 同理可得， ∴， ∵点为中点， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵点为中点，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴的面积为． 3．如图，四边形中，，，E、F分别是和的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)6 【分析】本题考查斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）利用直角三角形斜边中线以及等腰三角形的性质可以证明结论成立； （2）利用直角三角形的斜边上的中线的性质和等边三角形的判定与性质得到，，是等边三角形，可得出结论． 【详解】（1）证明：连接、，如图所示： ，，E、F分别是和的中点， 在中，在中， ， 是的中点， ； （2）解：，，E、F分别是和的中点， 在中， ， ， 是等边三角形， 【类型三】角平分线与垂直平分线结合 1．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点P，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ， ∵是的角平分线，， ， ∵在和中， ， ， ． (2)2 【分析】（1）由垂直平分线的性质，得到，由角平分线的性质得到，证明，即可得证； （2）根据（1）可知，结合已知条件得到，进而得到． 【详解】（1）略 （2）解：根据（1）可知， ， ∴， ∴． 2．如图，在四边形中，，点、分别是边、上一点，连接、、．过点作于点，已知平分、，． (1)若，求的长度； (2)求证：点在的垂直平分线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明，可得，即可求解； （2）连接，由（1）知，，易得，根据，求出，再根据，，推出，进而得到，结合，证明，推出，即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上． 3．已知：如图，平分，，，垂足分别为点，，是的垂直平分线．求证：． 【答案】见解析 【分析】连接．根据角平分线的性质可得，根据垂直平分线的性质可得，即可证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】证明：连接． 是的平分线，，， ． 又垂直平分， ． ． ． 【类型四】全等模型—一线三等角 1．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，证明． （1）根据证明，得出，即可证明； （2）根据，得出，根据三角形全等的性质即可得出，得出，根据平行线的判定得出． 【详解】（1）证明：在和中 ， ∴； ∴， ∵， ∴． （2）解：当时，．理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴． ∴． ∴． 2．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 3．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）50；（3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【类型五】全等模型一倍长中线 1．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 【答案】(1)B (2)2（或3，4，5，6之一） (3)证明：如图③，延长至点，使，连接． 同（1），可证， ∴， ∵，∴， ∴， ∵， ∴； ∴． (4)4 【分析】（1）由题意知，，，可得； （2）由得，在中，根据三角形三边关系可得，进而即可求解； （3）倍长至E，连 ，同（1）可证， 得出，结合，可得，由等边对等角可得，等量代换后可得，根据等角对等边即可得出结论； （4）倍长 至G，连，同（1），可证，进而证明，可得. 【详解】（1）解：在和中， ， ， 故选：B； （2）解：， ， 在中，，，，， ∴， 即， ∵为整数，， ∴的长可以为 2，3，4，5，6 中之一. （3）略 （4）解：如图，延长至点，使，连， ∴， 同（1），可证， ∴. ∵， ∴， ∵， ∴. 在 中，， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，三角形三边关系的应用，中线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握倍长中线的辅助线作法是解题的关键． 2．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）先推导出得到再根据三角形的三边关系，得到求出则解得 即可解答； （2）延长至，使，连接，则，推导出得到推导出证明得到，即可解答； （3）延长到，使得，连接，延长到，使得，连接，推导出得到继而证明得到推导出证明出可求出即可解答． 【详解】（1）解：如图，延长到点，使，连接， 是的中线， ， 解得： 即AD的取值范围为：； （2）证明：如图2，延长至，使，连接，则， 为的中点， ， ， ， 在和中， （3）解：如图3，延长到，使得，连接，延长到，使得，连接， 是的中点， ， 在和中， 又∵ 即． 3．【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 【答案】（）①，②； （）证明见解析； （）证明见解析 【分析】（）①延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定定理解答即可； ②利用全等三角形的性质和三角形的三边关系定理列不等式解答即可； （）延长至点，使，连接，利用全等三角形的判定与性质得到，，再利用等腰三角形的判定与性质和等式的性质解答即可； （）延长交于点，过点作于点，于点，利用全等三角形的判定与性质得到，，利用线段的垂直平分线的性质得到，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论． 【详解】（）解：①延长至点，使，连接，如图， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ， 的依据是； ②， ， ， ， ， ； （）证明：延长至点，使，连接，如图， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （）证明：延长交于点，过点作于点，于点，如图， 则， ， ， 在和中， ， ， 在和中， ， ， ， ， 为的垂直平分线， ， ， ， ， ． 【类型六】全等模型—截长补短 1．问题背景： （1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系． 小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______； 探究延伸： （2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由； 探究延伸： （3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用： （4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离． 【答案】（1）； （2）上述结论仍然成立，即，理由见解析； （3）上述结论仍然成立，即，理由见解析； （4） 米 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用． （1）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （2）延长到，使，连接，先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （3）延长到，使，连接，根据 ，，得到， 先证明，得到，，结合，进行等量代换得到，进而证明，即可得出结论：； （4）连接，延长交的延长线于， 将题干信息转换到几何图形上，可判断得到其符合第（3）问中的条件，由第（3）问中的结论可得：，根据距离速度时间求得、的长，代入计算即可得到两舰艇之间的距离的长． 【详解】解：（1）如图，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ，， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，即，理由如下： 如图，延长到，使，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）上述结论仍然成立，即，理由如下： 如图，延长到，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ； （4） 如图，连接，延长交的延长线于， 同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处， ，， 指挥中心观测两同学视线之间的夹角为， ， ． 两同学到指挥中心的距离相等，同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进， ，， ， 符合第（3）问中的条件， 由第（3）问中的结论可得：， 根据题意得，（米）， （米）， （米）． 答：此时两同学之间的距离为米． 2．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 【答案】(1)图见解析，，， (2)成立，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论； （3）在上取一点，使，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明，即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：成立，证明如下： 延长到点，使，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：在上取一点，使， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，，的角平分线交于D，交的角平分线于E，过点E作，交于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】延长，相交于点M，分别证明和即可得解． 【详解】证明：延长，相交于点M， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义和全等三角形的判定和性质．熟练掌握角平分线的定义，通过添加辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【类型七】等腰模型一手拉手 1．如图，点为线段上一点．，是等边三角形，线段，交于点，线段，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，如图．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 【答案】(1)证明：，是等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ． (2)证明：， ， 又， ． 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． 又， 为等边三角形． (3)结论（1）成立，结论（2）不成立 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）先证明，得出，再根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形，即可证明结论； （3）证明，得出，即可证明结论（1）成立；根据旋转得出，从而得出，说明不可能是等边三角形，证明结论（2）不成立． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：结论（1）成立，结论（2）不成立； ，是等边三角形， ，，， ，即 在和中， ， ， ． 如图，交的延长线于点，交的延长线于点， 将绕点按逆时针方向旋转， ， 此时， 不可能为等边三角形． 2．如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； (1)求证：． (2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，利用“边角边”即可证明； （2）证明，可得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴，， ∵点、分别为线段、的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 3．如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，当点在的内部时，求证：； (2)如图2，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，在中，，是一个变化的角，以为边作等边，连接，试探究，随着的变化，的长度的取值范围？ 【答案】(1)见详解 (2)12 (3) 【分析】（1）先证明，证明即可得出结论； （2）先证明，得出，，再证明，即可求出结论； （3）以为边作等边，连接，然后可得，，进而可得，最后根据三角形三边不等关系可进行求解． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长； （3）解：以为边作等边，连接，如图所示： ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由三角形三边关系可得：， 当B、E、F三点共线时，可取等号， ∴， ∴． 【类型八】动点求t— 全等 1．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点从点出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点从点出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)直接写出线段的长，用含的代数式表示并写出的取值范围； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）分类讨论当和当时两种情况即可； （2）由题意得，可得，分类讨论当和当时两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解； 本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得厘米， 当时，； 当时，； 则； （2）由题意得， ∴， 当时，， 此时， 解得； 当时，， 此时， 解得； 综上所述：当或时，与的面积相等； （3）由题意得是直角三角形， ∴当时，即点在上运动时，有， ∴， ∵厘米，厘米， ∴， 解得； （4）存在，理由如下： ∵， ∴， ∴， 在长方形中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 2．如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． (1)当点在线段上时， （用含的代数式表示）； (2)当的面积为时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2)为秒或秒 (3)或 【分析】本题考查了线段的和与差、三角形全等的判定定理与性质，熟记判定定理与性质是解题关键．需注意的一点是：动点D的位置要分情况讨论，避免漏解． （1）根据求解即可． （2）根据可求出的长，因为要求t则需要求出的长，由点D的位置可知，需分点D在点B右侧和点D在点B左侧两种情况，根据线段的和与差分别讨论即可； （3）先假设，则有，同（2）分两种情况讨论解出t的值，再检验两种情况下的t值，能否使得即可． 【详解】（1）解：当点在线段上时，， ． （2）解：， ， 求的长分以下两种情况： 若在点右侧，，即，则； 若在点左侧，，即，则. 综上所述：当为或时，的面积为； （3）解：如果，则有 同（2）分两种情况： ①若在点右侧，当E在射线上时，D必在上，如下图： 则 由，即可得： 检验： 因此，由定理可得， ②若在点左侧，当E在的反向延长线上时，D必在延长线上，如下图： 则，， 由，即可得： 检验： ， ∴由定理可得， 综上，秒或4秒时，． 3．如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上由B出发向C点运动，同时点Q在线段上由C点出发向A点运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度3厘米/秒，用含t的式子表示第t秒时，　　厘米，　　厘米． (2)如果点P的速度是3厘米/秒，t为何值时，和恰好是以点B和C为对应点的全等三角形？ (3)如果点P比点Q的运动速度每秒快1厘米，t为何值时，和恰好都是以、为顶角的等腰三角形． 【答案】(1) (2)秒或秒 (3)点比点的运动速度每秒快1厘米，秒时，和恰好都是以、为顶角的等腰三角形 【分析】本题考查了动点问题在实际生活中的运用，全等三角形的性质的运用，行程问题的数量关系的运用，解答时运用全等三角形的性质求解是关键． （1）根据路程速度时间就可以得出结论； （2）分类讨论，当和时，由全等三角形的性质就可以求出结论； （3）设的速度为厘米／秒，则的速度为厘米／秒，就有就可以求出的值． 【详解】（1）解：由题意，得， ， 故答案为：； （2）解：当时，， ， ， 秒； 当时，， ∵点为的中点， ， ， ， ∴， ， （秒）， 故秒或秒时，和恰好是以点和为对应点的全等三角形全等； （3）解：设的速度为厘米／秒，则的速度为厘米／秒． ， ， ， ， ， 秒． 答：点比点的运动速度每秒快 1 厘米，秒时，和恰好都是以、为顶角的等腰三角形． 【类型九】动点求t— 等腰 1．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】（1）根据动点运动情况，得到，作差即可得到； （2）当点B在线段的垂直平分线上时，，列方程求解即可； （3）连接，由对称可知，再借助，可知，故可以得出，进而推出，再利用垂直关系和等腰三角形三线合一的性质，由此得到此时点P是的中点，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴； （2）解：由题意，得， ∵点B在线段的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （3）解：存在， 如图，连接， 由对称的性质，可知， 当，则， ∴， ∴， 又， ∴，即， 解得． 2．如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，、分别与交于点、．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求的值； (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当点为的中点时，求的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)存在，或或 【分析】（1）根据垂直平分线定义建立方程求解运动时间； （2）根据角平分线性质，通过全等三角形得到线段相等关系，进而建立关于的方程求解； （3）利用平移性质得到平行线，结合中点与垂直平分线的关系，推导出线段相等，再利用等腰三角形性质建立方程求解； （4）对为等腰三角形的三种情况（、、）分别讨论，结合几何性质和线段长度关系，求出对应的值． 【详解】（1）解：运动秒后，，， 垂直平分时，， 即， 解得：； （2）解：如图，连接， 点在的平分线上， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 由平移的性质可得， ，即， ， 点为的中点， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ； （4）解：当时，过点作于点， 在图①中，， ， ， 由平移的性质得， ， 在和中， ， ， 点和点重合， ，， ， ； 当时，； 当时，则点在的垂直平分线上， 同理可得，， ， 综上所述，的值为或或9． 3．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． (1)_______；用含的代数式表示 (2)求证：≌； (3)当为何值时，是等边三角形？说明理由； (4)当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)为时，是等边三角形，见解析 (4)为或时，为直角三角形 【分析】（1）在中，利用度角的对边等于斜边的一半，即可得出的长，此题得解； （2）由，可得出，利用平行线的性质可得出，结合，即可证出≌； （3）由（2）可知：当是等边三角形时，是等边三角形，由可得出，进而可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （4）由（2）可知：当为直角三角形时，是直角三角形，分和两种情况考虑，利用度角的对边等于斜边的一半，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：， ． 在中，，，， ． 故答案为：； （2）证明：，， ， ． 在和中， ， ≌． （3）， 当是等边三角形时，是等边三角形． ， ． ，， ， ， 当为时，是等边三角形． （4）， 当为直角三角形时，是直角三角形． 当时，， 即， 解得：； 当时，， 即， 解得：． 综上所述：当为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了解含度角的直角三角形、全等三角形的判定、等边三角形的性质以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）在中，利用度角的对边等于斜边的一半找出的长；（2）利用全等三角形的判定定理证出≌；（3）利用全等三角形的性质及等边三角形的性质，找出关于的一元一次方程；（4）分和两种情况，利用度角的对边等于斜边的一半找出关于的一元一次方程． 【类型十】等腰三角形的新定义 1．【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【问题提出】 利用测量的方法，识别下列四个图形（都是利用两个直角三角板拼成的）是不是等补四边形． 【方案设计】 甲组同学提出利用学习过的“多边形的内角和”，通过测量的方法量出三角板锐角度数，根据等补四边形的定义解答， 【测量工具】量角器、铅笔、纸等． 【操作步骤】 分别测量出每个直角三角形的一个锐角，并且标上度数，如下图所示： 【问题解决】（1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是等补四边形的有______（填写序号）． 【交流讨论】 （2）乙组同学提出，利用测量的方法不光麻烦，也有测量误差，不如利用推理证明，例如：下面的问题就可以推理证明来解答：如图所示，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点为E．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【定义应用】 （3）丙组同学根据定义得出等补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图所示，四边形是等补四边形，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，请你对猜想进行证明． 【拓展反思】 （4）丁组同学认为学以致用，提出如下问题：如图所示，在等补四边形ABCD中，，，若四边形的面积为8，求的长．你能帮他们完成吗？ 【答案】（1）②④（2）是等补四边形，理由见解析（3）见解析（4） 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质等知识点，解题的关键是正确理解新定义． （1）根据等补四边形的定义并结合图形即可求解； （2）由旋转得，而，故，即可证明； （3）设，将绕着点A顺时针旋转m度得到，则，结合已知可得，则C，B，E三点共线，再由等腰三角形的性质即可求证； （4）将绕点B顺时针旋转得，则，然后证明D、C、G三点共线，由，得到，即可求解． 【详解】解：（1）①中两组对角的和为，，且邻边不相等，故不是等补四边形； ②中有一组对角的和为，且根据等腰直角三角形得到一组邻边相等，故是等补四边形； ③中两组对角的和为，，故不是等补四边形； ④中有一组对角的和为，且根据两个全等的直角三角形得到一组邻边相等，故是等补四边形； ∴是等补四边形的有②④； 故答案为：②④ （2）是等补四边形， 理由：由旋转得， ， ， 四边形是等补四边形； （3）设，将绕着点A顺时针旋转m度得到， ， ， ， ， C，B，E三点共线， 在中，， ， ，即：平分； （4）如图所示，， ∴将绕点B顺时针旋转得， ， ∵ ， ， D、C、G三点共线， ， ， （负值舍去）． 2．学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．         （1）操作理解：小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图①-④所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有_____；（填序号） （2）性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图1，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．求证：平分； （3）拓展应用：如图2，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，求的度数． 【答案】（1）②；（2）证明见解析；（3）的度数为或或 【分析】本题考查了全等三角形判定与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练运用相关性质进行推理证明，利用分类讨论的思想求角的大小． （1）根据邻等对补四边形的定义，从对角是否互补，是否有一组邻边相等逐个验证，可得结果； （2）延长至点，使，连接，证明，由等量关系得出，，可得，故可证明平分； （3）先根据邻等对补四边形的对角互补，推出，再根据邻等对补四边形有一组邻边相等，分类讨论，求出每一种情况下的度数，综合可得结果． 【详解】（1）解：①，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ②，，满足对角互补，且有两组邻边相等，所以该四边形是邻等对补四边形； ③，不满足对角互补，所以该四边形不是邻等对补四边形； ④该四边形没有相等的两条邻边，所以不是邻等对补四边形； 综上可知，是邻等对补四边形的有②， 故答案为：②． （2）证明：延长至点，使，连接，如下图所示： 四边形是邻等对补四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴平分． （3）解：在中，， ∵， ∴， ∵四边形是邻等对补四边形， ①当，时，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当，时，如图， ∵，，， ∴， ∴，， ∴； ③当时，如图，同②； ④当，时，如图， ∴； 综上所述：的大小为或或． 3．【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 【应用】如图2，和是“友好三角形”，，与相交于点D． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）若的面积为1，点P是直线上的一动点，连接，当图中出现一个三角形和是“友好三角形”时，求出此时的面积． 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ． 【答案】（1）见解析；（2）2或4；（3）或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形中线的性质及等腰三角形的性质等知识，理解题中新概念是解题的关键． （1）由题意得点D是的中点，再证明，得，从而可证结论成立； （2）分两种情况：当点P在线段的延长线上时；当点P在线段的反向延长线上时；利用“友好三角形”的意义即可求解； （3）分是顶角与底角两种情况考虑，利用三角形内角和求出底角或顶角即可求解． 【详解】（1）证明：∵和是“友好三角形”， ∴D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的边上的中线， ∴和是“友好三角形”； （2）解：当点P在线段的延长线上时，如图2， 当时，和是“友好三角形”, ∴， ∵， ∴， ∴； 当点P在线段的反向延长线上时，如图3， 当和是“友好三角形”时,则， ∴， ∴， ∴； 综上，的面积为2或4； （3）解：当是顶角时，则底角为， ∴； 当是底角时，则顶角为， ∴； 综上，k的值为或； 故答案为：或． 1．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合三角形的三边关系：两边之和大于第三边，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，故该选项不符合题意； B、，能构成三角形，故该选项不符合题意； C、，不能构成三角形，故该选项符合题意； D、，能构成三角形，故该选项不符合题意． 2．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形与等边三角形的判定和性质，利用“有一个内角是的等腰三角形是等边三角形”的结论即可求解. 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等边三角形， ∴. 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出，从而求出的长． 【详解】解：∵是的角平分线， 且，， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，已知在四边形中，，平分，，，四边形的面积为，则是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作的垂线，交的延长线于点，设，由角平分线的性质可得，根据建立方程并求解即可． 【详解】解：如图，过点作的垂线，交的延长线于点，设， ∵平分， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 5．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 【答案】 【详解】解：若添加时，则有： ， ∴，故符合题意． 6．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 【答案】2 【分析】根据三角形的周长和中线的定义求与的差． 【详解】解：∵是的一条中线， ∴． ∵的周长为，的周长为， ∴， ， 即． 7．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 【答案】 【分析】过点分别作、的垂线，垂足为、，由角平分线的性质可得，从而得到，则，由中线的性质可得． 【详解】解：如图，过点分别作、的垂线，垂足为、， ∵是的平分线，且，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线， ∴． 8．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】根据，得到，利用即可得证. 【详解】略 9．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，求证：． 证明：由，可在上截取，连接． …… 请你完成证明过程． 【答案】见解析 【分析】在上截取，连接，利用三角形的外角定理进行证明． 【详解】证明：在上截取，连接， ， 是的外角， ， ， ， ． 10．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． (1)解：延长到，使，连接。 在和中， （__________） (2)则的取值范围为__________． (3)【问题解决】 如图3，在中，是的中线，，且．求的长． 【答案】(1)对顶角相等，； (2) (3) 【分析】（1）根据对顶角相等以及边角边的判定定理进行填空，即可求解； （2）根据全等三角形的性质可得，结合三角形的三边关系，即可求解． （3）延长，交的延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得． 【详解】（1）略 （2）∵， ∴， 在中，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）解：如图，延长，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，即， ∴垂直平分， ∴． 1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线是线段 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．锐角三角形的三条高不一定交于一点 D．三角形的高和中线一定在三角形的内部 【答案】A 【详解】解：A．三角形的角平分线是三角形一个角的顶点和它对边交点之间的线段，说法正确，本选项符合题意； B．应为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法缺少条件，错误，故本选项不符合题意； C．锐角三角形的三条高交于三角形内部一点，原说法错误，故本选项不符合题意； D．三角形的中线一定在三角形内部，但三角形的高不一定在三角形内部，例如钝角三角形的两条高在三角形外部，原说法错误，故本选项不符合题意． 2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的稳定性，进行判断即可． 【详解】解：由图可知A，B，D都应用了三角形的稳定性， C应用了四边形的不稳定性． 3．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线结合平行可以得到等腰三角形即：，进而可求. 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴ ． 4．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③：④．则上述结论中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质可得，，，即得，进而得到，得到，即可判定①；由 得，可证，即可判定②；由得，可证，即可判定③；由可知不是等边三角形，而为等边三角形，即可判定④，综上即可求解． 【详解】解：和均为等边三角形， ，，， 、、三点共线， ， ，， ， 在和中， ， ，故①正确； ， 在和中， ， ，故②正确； ， 在和中， ， ，故③正确； ， 不是等边三角形， 而为等边三角形， 与不能全等，故④错误； 综上，结论中正确的是①②③． 5．（25-26七年级下·四川达州·期中）在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多，较大的锐角的度数为 _____． 【答案】 【分析】设较小锐角的度数为，根据题意表示出所求锐角，利用直角三角形两锐角互余的性质列方程求解即可． 【详解】设较小锐角的度数是度，则较大的锐角的度数是， 根据直角三角形两锐角互余，可得 ， 解得， 将代入，得， 即较大的锐角的度数为． 6．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，的垂直平分线交于，则的周长是_______． 【答案】8 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵的垂直平分线交于，的垂直平分线交于， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长是． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在中，，点是射线上的一个动点，连接，以为边在其右侧作等边，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】以为边在其右侧作等边，连接，证得，结合有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得是等边三角形，分析得出点N是直线l上的动点，当时，则有最小值，整理得，故可得结论． 【详解】解：∵是正三角形， ∴，， 以为边在其右侧作等边，连接，如图所示： ∴， ∴，即 ∴， ∴，，， ∵是等边三角形， ∴，， 记所在的直线为l， 由题意可得：当时，则有最小值， ∵，， ∴此时， ∵， ∴． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，，，用直尺和圆规在上找一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】作图见解析 【分析】分别以点、为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于两点；过这两点画直线，这条直线就是的垂直平分线；该垂直平分线与边的交点即为点． 【详解】解：如图点D即为所求； 9．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，与相交于点，连接、，，，点E在的下方，连接、，，连接、．求证：垂直平分． 【答案】见解析 【分析】由“”可证，可得，且，可得垂直平分． 【详解】证明：在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴, ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 10．（24-25七年级下·河南郑州·期中）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，，连接，． 实践探究： (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：①________，②________； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点在射线上运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长． 【答案】(1)①；② (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）通过证明，可推出，再根据和推出； （2）当点在延长线上时，通过证明，传递边与角的等量关系，可验证（1）的结论依然成立； （3）分点在线段上和延长线上两种情况，结合前两题的全等三角形结论，分别计算出． 【详解】（1）解：，即，，即， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即． （2）解：成立，理由如下： ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，即． （3）解：当点在上时， 由（1）可知， ，， ， ； 当点在延长线上时， 由（2）可知， ，， ， ， 综上，或． 1．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用线段垂直平分线的性质，将的长度转化为的周长来求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E， ∴ ∵的周长为. 2．（25-26九年级下·上海宝山·阶段检测）如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，利用点、、分别为中点的条件，逐步推导的面积，进而求出阴影部分的面积 【详解】解：点为的中点， ， 点为的中点， ， ， ， 点为的中点， ， 即图中阴影部分的面积为． 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，，为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．12 【答案】B 【分析】连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，如图， 中，，点是边的中点， ， ， 解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最小值， 4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 5．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线与面积，掌握相关知识点是解题的关键． 由是的中线，得，由，得，即可求解． 【详解】解：是的中线， ， ， ， ． 故答案为：． 6．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 【答案】60 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，，，则可证明，故当B、P、E三点共线时，有最小值，由等边对等角可得，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ∵等边中，点，分别是、的中点， ，，， ∴垂直平分， ， ， ∴当B、P、E三点共线时，有最小值， ， ， ． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 【答案】18 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短，添加辅助线构造全等三角形，利用两点之间线段最短得到取最小值时点的位置是解题的关键． 如图，在下方作，且使得，则，，可证得，则，，进而可知当点在上时，取得最小值，此时，，即可求解． 【详解】解：如图，在下方作，且使得，则，， 又∵， ∴，则， ∴，则， 即，当点在上时，取得最小值， 此时，， 故答案为：18． 8．（25-26八年级上·河北沧州·期末）学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 问题：作的平分线 作法： （1）甲同学用尺规作出了角平分线； （2）乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线； （3）丙同学也用尺规作出了角平分线； （4）工人师傅利用带刻度的角尺，通过移动角尺使上下相同刻度在角的两边上，即得为的平分线． 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的过程中用了三角形全等的判定和性质，其判定三角形全等的依据是______； 对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定作法正确，其中也用到了三角形全等的判定方法，其依据是______（写出一种即可）； 对丙同学的作法陷入了沉思，大家由作图痕迹分析出：______，____________． 解决： (1)请将上述讨论补充完整； (2)完成对丙同学作法的证明，即将分析出的条件作为已知，证明为的平分线． 【答案】(1)；；；； (2)证明见解析 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据、的判定方法证得三角形全等可得结论； （2）利用平行线的判定与性质、等腰三角形的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：甲同学用尺规作出了角平分线，其判定三角形全等的依据是；乙同学用到的三角形全等的判定方法，其依据是，由丙同学的作图痕迹可知、， 故答案为：；；；；； （2）解：由作图可知， ， ， ， ， ， 平分． 9．（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2) (3)证明： ， ， 在和中， ，   ， ， 由（1）得，即 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 【分析】（1）由等边三角形的性质得，由三线合一得到，由得，则． （2）先求得，由平移得，则，即可等量代换，则． （3）由，求得，可根据“”证明，得，而，所以，即可根据“有一个角等于的等腰三角形是等边三角形”证明是等边三角形． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是的中点， ， ，垂足为， ， ， 的度数是． （2）解：，， ， ∵是由沿方向平移得到的， ∴ ∵， ， ， ， ∴的长是． （3）略 10．（25-26八年级上·陕西安康·期末）【问题提出】 （1）如图①，在中，是边上的中线，点分别在线段，上，连接，交于点．若，的面积记为，四边形的面积记为，则，之间的数量关系是_____； （2）如图②，在四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，取的中点，连接，．求证：平分四边形的面积； 【问题解决】 （3）如图③，某商场计划在一块三角形空地中举办户外促销活动，现有甲、乙两个品牌入驻，划定四边形是甲品牌的活动场地，是乙品牌的活动场地，且要保证甲、乙两个品牌活动场地面积相等，已知处加装了围栏，，点是乙品牌场地入口，且．求围栏端点与入口之间的距离． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）围栏端点与入口之间的距离为 【分析】本题考查了三角形中线的性质，全等三角形的性质与判定． （1）根据是边上的中线，得出，结合图形，即可得出； （2）先证明得出，则，即可得出结论 （3）延长至点，使，连接，证明得出，同理可得平分四边形的面积，进而可得的长． 【详解】（1）∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴ 即； 故答案为：． （2）证明：点是的中点， ， ． 点是的中点， ． 在和中， ． ． ． 平分四边形的面积． （3）解：如图③，延长至点，使，连接． ， ，． ， ． ，， ． ，， ． ，，，． ． ， ． ． ， ． ． ． ． 平分四边形的面积， ． ． 即围栏端点与入口之间的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形 思维导图 1.1 三角形中的线段和角 1.1.1 三角形的基本概念 三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的三条线段叫做三角形的边，相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。 三角形的表示方法：通常用三个顶点的大写字母表示，如顶点为A、B、C的三角形记作，读作“三角形ABC”。 三角形的分类： 1. 按角分类：锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）、直角三角形（有一个角是直角的三角形）、钝角三角形（有一个角是钝角的三角形）。其中锐角三角形和钝角三角形统称为斜三角形。 2. 按边分类：不等边三角形（三边都不相等的三角形）、等腰三角形（有两边相等的三角形，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角），等边三角形是特殊的等腰三角形，即三边都相等的三角形。 1.1.2 三角形中的主要线段 1. 三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。 性质：三角形的三条高所在的直线交于一点，这个点叫做三角形的垂心。锐角三角形的三条高都在三角形内部，交点在三角形内部；直角三角形的两条高恰好是它的两条直角边，交点在直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，交点在三角形外部。 2. 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。 性质：三角形的三条中线都在三角形内部，交于一点，这个点叫做三角形的重心。三角形的每一条中线都将三角形分成面积相等的两个三角形。 3. 三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 性质：三角形的三条角平分线都在三角形内部，交于一点，这个点叫做三角形的内心，内心到三角形三边的距离相等。 注意：三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，二者概念不同。 1.1.3 三角形三边关系 核心定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边。 理论依据：两点之间，线段最短。 应用：判断三条线段能否组成三角形，若较短两条线段的和大于最长线段，则可构成三角形，反之则不能；已知三角形两边长度，确定第三边的取值范围；证明线段不等关系。 1.1.4 三角形的内角和与外角 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于。 应用：已知三角形两个内角的度数，求第三个内角的度数；根据三个内角的关系，求出各内角的度数；判断三角形的形状。 2. 直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余。 判定：有两个角互余的三角形是直角三角形。 3. 三角形的外角定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 性质： · 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； · 三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角； · 三角形的外角和等于。 1.2 全等三角形 1.2.1 全等图形与全等三角形定义 全等图形：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。全等图形的形状相同，大小相等，对应角相等，对应边相等。 全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。全等三角形的表示方法：若和全等，记作，记全等三角形时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，方便找对应边和对应角。 1.2.2 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等； 2. 全等三角形的对应角相等； 3. 拓展性质：全等三角形对应边上的高相等、对应边上的中线相等、对应角的角平分线相等；全等三角形的周长相等，面积相等。 注意：周长相等或面积相等的两个三角形不一定全等。 1.3 全等三角形的判定 1.3.1 基本判定定理 1. 边边边（SSS）：三边分别相等的两个三角形全等。 应用：若已知两个三角形的三边对应相等，可直接判定全等；当三角形的三边长度确定时，三角形的形状和大小就完全确定，这就是三角形的稳定性，原理就是SSS判定定理。 2. 边角边（SAS）：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。 注意：这里的角必须是两边的夹角，如果是两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等，不可以作为判定定理。 3. 角边角（ASA）：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。 4. 角角边（AAS）：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。由三角形内角和定理可知，两角相等则第三个角也相等，因此AAS本质可以由ASA推导得到。 5. 斜边直角边（HL）：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 注意：HL定理只适用于直角三角形的全等判定，对于一般三角形不适用；判定两个直角三角形全等，除了HL，也可以用SSS、SAS、ASA、AAS。 1.3.2 判定全等三角形的思路 已知条件 判定思路 有两组边对应相等 找夹角相等（SAS）或找第三边相等（SSS），直角三角形找斜边相等（HL） 有一组边和一组角对应相等 若边是角的对边，找另一组角相等（AAS）；若边是角的邻边，找夹这个角的另一边相等（SAS），或找另一组角相等（ASA或AAS） 有两组角对应相等 找任意一组边对应相等（ASA或AAS） 1.4 线段垂直平分与角平分线 1.4.1 线段垂直平分线 定义：垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 符号表示：若直线l是线段AB的垂直平分线，点P在l上，则。 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号表示：若点P满足，则点P在AB的垂直平分线上。 三角形垂直平分线性质：三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等，这个点叫做三角形的外心。锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部。 1.4.2 角平分线 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 三角形角平分线性质：三角形三条角平分线交于一点（内心），内心到三角形三边的距离相等。 1.5 等腰三角形 1.5.1 等腰三角形的性质 1. 基本性质：等腰三角形的两腰相等，两个底角相等，简称为等边对等角。 符号表示：在中，若，则。 2. 三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“三线合一”。 三层含义： · 若等腰三角形中，已知是顶角平分线，则这条角平分线平分底边且垂直于底边； · 若已知是底边上的中线，则这条中线平分顶角且垂直于底边； · 若已知是底边上的高，则这条高平分顶角且平分底边。 3. 等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线（或底边上的中线所在直线，或底边上的高所在直线）。 1.5.2 等腰三角形的判定 1. 定义判定：有两边相等的三角形是等腰三角形。 2. 等角对等边：有两个角相等的三角形，这两个角所对的边也相等，简称“等角对等边”。 符号表示：在中，若，则。 1.5.3 等边三角形 定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形，是特殊的等腰三角形。 性质： 1. 等边三角形的三边都相等，三个内角都相等，且每个内角都是； 2. 等边三角形满足等腰三角形的所有性质，三线合一依然成立； 3. 等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 判定： 1. 定义判定：三边都相等的三角形是等边三角形； 2. 三个角都相等的三角形是等边三角形； 3. 有一个角是的等腰三角形是等边三角形。 1.5.4 含角的直角三角形性质与斜中定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 符号表示：在中，，，则。 斜中定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 【类型一】三角形的三边关系 1．以下列各数为边长，能构成三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知三角形的三边长分别为3，x，6，下列能组成三角形的x值是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知三角形两边长分别为2和5，且周长为偶数，则第三边的长为_________． 【类型二】三角形的中线 1．若是的中线，下列结论错误的是（   ） A． B． C．点D平分 D． 2．如图，、是的两条中线，若，，则的周长是（   ） A．45 B．35 C．26 D．22 3．已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【类型三】三角形的角平分线 1．如图，在中，，是的角平分线，，则的度数为（  ） A．20° B． C． D． 2．如图，将折叠，使点落在边上的处，则折痕是（    ） A．的角平分线 B．的中线 C．的高 D．边的垂直平分线 3．如图，在中，是的角平分线，，则__________，__________，__________．    【类型四】三角形的高线 1．如图，在中，边上的高是（     ） A． B． C． D． 2．中边上的高的作法正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，，交的延长线于点F，交的延长线于点E，则中边上的高是____． 【类型五】全等三角形的性质 1．如图，已知，，则的长为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 2．如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，延长交于点F，下列结论中不一定正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，已知，若，则的长是______________． 【类型六】等腰三角形的边与角 1．等腰三角形的一边长为，另一边长为，则它的周长为（     ） A． B．或 C． D．或 2．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 3．已知一个等腰三角形两腰上的高所在直线的夹角是，那么这个等腰三角形的顶角的度数是___________． 【类型七】两个斜边一半—30°对应的直角边 1．景区正殿梁架（如图1），其顶部可近似地看成一个等腰三角形，记为等腰三角形（如图2），若，于点，，则的长为（  ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．如图，在等边中，平分交于点，过点作于点，若，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交的延长线于点．若，，则的长是__________． 【类型八】两个斜边一半一斜边上的中线 1．如图，公路，互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则，两点间的距离是（     ）    A． B． C． D． 2．如图，在中，，的边经过的中点E，若，则的长为（    ） A．3 B．5 C．6 D．10 3．如图，在中，，D是边的中点．已知，则___________°． 【类型九】全等三角形的判定—SAS、SSS 1．如图，线段、相交于点，且互相平分． (1)求证：； (2)求证：． 2．如图，点C在线段上，，且，．连接，．求证：． 3．如图，在四边形中，，点，在边上，且，连接，，．求证：． 【类型十】全等三角形的判定—ASA、AAS 1．如图，点A在线段上，已知，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 2．已知：如图，与相交于点F，与相交于点G，，，．求证：． 3．如图，的两条高交于点． (1)求证：； (2)若，求的面积． 【类型十一】全等三角形的判定—HL 1．如图，在与中，于点．若，求证：． 2．如图，已知，在中，，是上一点，且，为上的一点，交于． (1)求证：≌； (2)求证：． 3．如图，在中，．点在外，连接，作于点，交于点，，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【类型十二】等边三角形的判定 1．如图，在中，点、是边上两点，且． (1)求证：； (2)如果且，试判断的形状，并说明理由． 2．如图，在中，，点D是的中点，连接，点在的左侧，连接、，，平分，且．求证：是等边三角形． 3．如图，在中，，，，垂足为，且，，其两边分别交，于点，． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长； (3)求证：． 【类型十三】证明角的大小比较 1．如图，已知：与相交于点，，，求证：． 2．如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 3．如图，已知O为内的任一点，求证：．    【类型一】三边关系化简绝对值 1．已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 2．已知三角形的三边长分别为1，a，4，则化简的结果等于（） A．6 B．7 C．8 D． 3．已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 【类型二】三角形中线求面积 1．如图，为的中线，为的中线，为的中线，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上的一点（不与点，重合），点，是线段的三等分点，记的面积为，的面积为，若，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．如图，在中，点在边上，，连接，点为上一点，点、分别为、的中点，连接，．若△的面积为9，则阴影部分的面积为 _____ ． 【类型三】三线合一 1．如图，等腰三角形中，，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，在上截取，作的平分线与相交于点，连接．若的面积为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在四边形中，和都是直角，且，现将沿翻折，点的对应点为与边相交于点，恰好是的角平分线，则_________，若，则___________． 【类型四】线段垂直平分线的性质与判定 1．如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 2．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点，连接．若，则的度数是____________． 3．如图，在中，，是的角平分线． (1)尺规作图：求作的高线； (2)在（1）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【类型五】角平分线的性质与判定 1．如图，在中，，的平分线交边于点D．若的面积为，则的面积是（     ） A．6 B．9 C．10 D．15 2．如图，在中，，分别平分，，于点，．若的周长为，则的面积为_____． 3．如图，于点，于点F．若，． (1)求证：平分． (2)已知，，求的长． 【类型六】三角形的高夹角问题 1．如图，在中，，，于点，于点，与交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，分别是的高线和角平分线，已知，，则_______ 度． 3．如图，在中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，，求的度数． 【类型七】尺规作图 1．如图，在中，，，完成下列尺规作图： (1)作边上的高； (2)作，使，且点E在边上． 2．如图，，点在的内部．用两种不同的方法求作：经过点的直线，分别交，于点，，使得是等边三角形．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） 3．如图，在四边形中，请用尺规作图在四边形内求作一点P，使得C，点P到的距离相等．（保留作图痕迹，不写画法） 【类型八】无刻度尺作图 1．作图： (1)如图1，，平分，平分，分别交于点，请你仅用无刻度直尺作出的重心点； (2)已知：如图2，四边形是等腰梯形，点是边上一点，连接，请你仅用无刻度直尺作出，使得． 2．（1）如图1，已知是的角平分线，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线； （2）如图2，已知，且分别平分与，与相交于O，请你仅用无刻度的直尺作出的平分线． 3．（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程． 要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证 ______=_____，______=_____ （2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由． （3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线． 【类型一】两圆一线画等腰三角形 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，若存在格点P，使得是等腰三角形，则符合条件的格点P共有（     ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．如图，已知中，，，，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画（    ） A．3条 B．4条 C．5条 D．6条 3．如图，在正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是网格中的两个格点，如果C也是网格中的格点，且使为等腰三角形，那么符合条件的点C有______个． 【类型二】三线合一与斜中定理结合 1．如图，在中，，D是上一点，，垂足为点E，连接，M、N分别是的中点，求证：． 2．如图，已知在中，于，于，，分别是，的中点． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 3．如图，四边形中，，，E、F分别是和的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【类型三】角平分线与垂直平分线结合 1．如图，的外角的平分线交边的垂直平分线于点P，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 2．如图，在四边形中，，点、分别是边、上一点，连接、、．过点作于点，已知平分、，． (1)若，求的长度； (2)求证：点在的垂直平分线上． 3．已知：如图，平分，，，垂足分别为点，，是的垂直平分线．求证：． 【类型四】全等模型—一线三等角 1．如图，三点在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)当满足__________时，？ 2．已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 3．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【类型五】全等模型一倍长中线 1．【提出问题】 数学课上老师提出如下问题：如图①，在中，是边上的中线，，，若边的长为整数，求边的长．小张同学在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接，能得到，所以，进而利用三角形的任意两边之和大于第三边解决问题． 【思考发现】 (1)如图①，的理由是　　　　； A．                B．               C．                D． (2)根据小明的方法思考，可得的长可能为　　　　；（写出一个即可） 【类比迁移】 (3)如图②，是的中线，交于点，交于点，． 求证：． 以下是部分证明过程： 证明：如图③，延长至点，使，连结． ⋯⋯ 请完成上述证明过程． 【学以致用】 (4)如图④，在和中，，，，连结、，取的中点，连结．若，则　　　　． 2．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)【问题背景】如图1，是的中线，，求的取值范围． 我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得AE的取值范围，从而得到中线的取值范围．请按照上述思路，写出求解的取值范围的完整过程； (2)【变式思考】如图2，中，是中线，分别以为腰向外作等腰和等腰，，连接．求证：； (3)【探究延伸】如图3，在四边形中，对角线相交于点，点是的中点，，当时，求的长． 3．【学习问题】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （）①由已知和作图能得到，依据是 ；            ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是 ； 【学习反思】题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【类比运用】 （）如图，是中点，点在上，且，求证：； 【拓展运用】 （）如图，已知直线，点、是直线上两点，点、是直线上两点，点是线段中点，且，两平行线、间的距离为．求证：． 【类型六】全等模型—截长补短 1．问题背景： （1）如图，在四边形中，，，，，，绕点旋转，它的两边分别交、于、．探究图中线段，，之间的数量关系． 小李探究此问题方法是：延长到，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______； 探究延伸： （2）如图，在四边形中，，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、，上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”）并说明理由； 探究延伸： （3）如图，在四边形中，，，，绕点旋转．它的两边分别交、于、．上述结论是否仍然成立？并说明理由； 实际应用： （4）如图，在某次消防演习中，同学甲在指挥中心（处）北偏西的处．同学乙在指挥中心南偏东的处，且两同学到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，同学甲向正东方向以米秒的速度前进，同时同学乙沿北偏东的方向以米秒的速度前进，分钟之后，指挥中心观测到甲、乙两同学分别到达、处．且指挥中心观测两同学视线之间的夹角为，试求此时两同学之间的距离． 2．已知，在四边形中，，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时． 小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明_____；再证明了_____，即可得出，，之间的数量关系为_____． (2)请你借鉴小王的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． (3)如图3，若、分别是边、延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段，，之间的数量关系为_____．（不用证明） 3．如图，在中，，的角平分线交于D，交的角平分线于E，过点E作，交于点F，求证：． 【类型七】等腰模型一手拉手 1．如图，点为线段上一点．，是等边三角形，线段，交于点，线段，交于点，连接． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，如图．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 2．如图，和都是等腰直角三角形，，，，连接、； (1)求证：． (2)若点、分别为线段、的中点，连接、，则______． 3．如图，和都是等腰三角形，，且，连接、． (1)如图1，当点在的内部时，求证：； (2)如图2，，且点落在边上．若为上的一点，且，求的周长； (3)如图3，在中，，是一个变化的角，以为边作等边，连接，试探究，随着的变化，的长度的取值范围？ 【类型八】动点求t— 全等 1．如图，在长方形中，厘米，厘米．动点从点出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点从点出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒． (1)直接写出线段的长，用含的代数式表示并写出的取值范围； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且？若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 2．如图在中已知，，是的高，，，直线，动点从点开始沿射线方向以的速度运动，动点也同时从点开始在直线上以的速度向远离点的方向运动，连接、，设运动时间为s． (1)当点在线段上时， （用含的代数式表示）； (2)当的面积为时，求的值； (3)当时，求的值． 3．如图，已知中，厘米，厘米，点D为的中点．如果点P在线段上由B出发向C点运动，同时点Q在线段上由C点出发向A点运动．设运动时间为t秒． (1)若点P的速度3厘米/秒，用含t的式子表示第t秒时，　　厘米，　　厘米． (2)如果点P的速度是3厘米/秒，t为何值时，和恰好是以点B和C为对应点的全等三角形？ (3)如果点P比点Q的运动速度每秒快1厘米，t为何值时，和恰好都是以、为顶角的等腰三角形． 【类型九】动点求t— 等腰 1．如图，在中，，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点B出发，沿方向匀速运动，速度为．过点P作，交于点D，点D关于的对称点为E，连接，，．设运动时间为（）． 解答下列问题： (1)的长为______；（用含t的代数式表示） (2)当点B在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由； 2．如图①，在中，，，，在中，，，边与重合，边在上，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为，、分别与交于点、．设运动时间为，解答下列问题： (1)当垂直平分时，求的值； (2)当为何值时，点在的平分线上？ (3)当点为的中点时，求的值； (4)连接，在运动过程中，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、． (1)_______；用含的代数式表示 (2)求证：≌； (3)当为何值时，是等边三角形？说明理由； (4)当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值． 【类型十】等腰三角形的新定义 1．【问题背景】 在学习特殊四边形的过程中，我们积累了相关图形研究经验，请运用已有经验，完成下面研究． 定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． 【问题提出】 利用测量的方法，识别下列四个图形（都是利用两个直角三角板拼成的）是不是等补四边形． 【方案设计】 甲组同学提出利用学习过的“多边形的内角和”，通过测量的方法量出三角板锐角度数，根据等补四边形的定义解答， 【测量工具】量角器、铅笔、纸等． 【操作步骤】 分别测量出每个直角三角形的一个锐角，并且标上度数，如下图所示： 【问题解决】（1）用三角板拼出如图所示的4个四边形，其中是等补四边形的有______（填写序号）． 【交流讨论】 （2）乙组同学提出，利用测量的方法不光麻烦，也有测量误差，不如利用推理证明，例如：下面的问题就可以推理证明来解答：如图所示，是等边三角形，在上任取一点D（B、C除外），连接，把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点为E．请根据给出的定义判断，四边形是否为等补四边形，并说明理由． 【定义应用】 （3）丙组同学根据定义得出等补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图所示，四边形是等补四边形，，是它的一条对角线．小组成员结合图形得到猜想：平分，请你对猜想进行证明． 【拓展反思】 （4）丁组同学认为学以致用，提出如下问题：如图所示，在等补四边形ABCD中，，，若四边形的面积为8，求的长．你能帮他们完成吗？ 2．学习等腰三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验．请运用已有经验，对“邻等对补四边形”进行研究．定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形．         （1）操作理解：小明用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图①-④所示的4个四边形，其中是邻等对补四边形的有_____；（填序号） （2）性质探究：根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质．下面研究与对角线相关的性质．如图1，四边形是邻等对补四边形，，是它的一条对角线．求证：平分； （3）拓展应用：如图2，在中，，，分别在边、上取点、，使四边形是邻等对补四边形，求的度数． 3．【定义】我们把三角形被一边上的中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”． 【性质】如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等． 【理解】如图1，在中，是边上的中线，那么和是“友好三角形”，并且． 【应用】如图2，和是“友好三角形”，，与相交于点D． （1）求证：和是“友好三角形”； （2）若的面积为1，点P是直线上的一动点，连接，当图中出现一个三角形和是“友好三角形”时，求出此时的面积． 【类比学习】根据上面学习知识的活动与经验，回答下面问题： （3）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰中，，则它的特征值 ． 1．（25-26七年级下·河南商丘·阶段检测）下列各组数中，不可能成为一个三角形的三边长的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知中，，，则的长为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，是的角平分线，于点E，于点F，，则的长是（     ） A．2 B． C．3 D．4 4．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）如图，已知在四边形中，，平分，，，四边形的面积为，则是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·山西太原·阶段检测）如图，在与中，，若利用“边角边”来判定，还需添加的一个直接条件为________． 6．（25-26七年级下·上海宝山·阶段检测）如图，是的一条中线，的周长是10，的周长是12，那么_________． 7．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）如图，中，是的平分线，是边上的中线，若的面积是，，，则的面积是__________． 8．（25-26七年级下·江苏苏州·阶段检测）已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 9．（25-26八年级下·山东青岛·阶段检测）如图，已知中，，求证：． 证明：由，可在上截取，连接． …… 请你完成证明过程． 10．（25-26七年级下·广东揭阳·阶段检测）【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． (1)解：延长到，使，连接。 在和中， （__________） (2)则的取值范围为__________． (3)【问题解决】 如图3，在中，是的中线，，且．求的长． 1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线是线段 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．锐角三角形的三条高不一定交于一点 D．三角形的高和中线一定在三角形的内部 2．（25-26八年级下·广东珠海·期中）以下生活现象不是利用三角形稳定性的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·河南驻马店·期中）如图，在中，的角平分线和相邻的外角平分线交于点，过点作交于，交于，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）如图，和均为等边三角形，且两个三角形在线段同侧，①；②；③：④．则上述结论中正确的是（     ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③ 5．（25-26七年级下·四川达州·期中）在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多，较大的锐角的度数为 _____． 6．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，，的垂直平分线交于，连接，的垂直平分线交于，则的周长是_______． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在中，，点是射线上的一个动点，连接，以为边在其右侧作等边，连接，则的最小值为__________． 8．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，已知，，，用直尺和圆规在上找一点D，使．（不写作法，保留作图痕迹） 9．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）如图，与相交于点，连接、，，，点E在的下方，连接、，，连接、．求证：垂直平分． 10．（24-25七年级下·河南郑州·期中）综合与实践：数学活动课上，老师带领同学们以等腰三角形为背景，探究线段之间的关系． 问题情境：已知，在中，，，，点是直线上的一个动点，连接，在直线的右侧作，且，，连接，． 实践探究： (1)如图1是“智慧小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段上，请直接写出线段与的数量关系与位置关系：①________，②________； (2)如图2是“善思小组”在探究过程中画出的图形，此时点在线段的延长线上，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由； (3)拓展应用：“希望小组”在探究过程中提出了一个新的问题，点在射线上运动的过程中，如果，，请直接写出线段的长． 1．（25-26八年级上·黑龙江鹤岗·期末）如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 2．（25-26九年级下·上海宝山·阶段检测）如图，在中，已知点D、E、F分别为边、、的中点，若的面积为16，则图中阴影部分的面积为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，中，，，，垂直平分分别交边，于点E，，为线段上一动点，D为边的中点，则周长的最小值是（    ） A．4 B．7 C．9 D．12 4．（25-26八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 5．（25-26八年级上·黑龙江双鸭山·期末）如图，是的中线，点P在上，且，若，则的面积为_______． 6．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）如图，在等边中，点D，E分别是BC，AC的中点，，点P是AD边上的一个动点，当最小时，求______°． 7．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，分别为边上的动点，且，连接．当取最小值时，_____． 8．（25-26八年级上·河北沧州·期末）学习完第十三章《三角形》和第十四章《全等三角形》等相关知识后，数学兴趣小组的同学开启了作角平分线的智慧之旅，深入探究了角平分线的作法． 问题：作的平分线 作法： （1）甲同学用尺规作出了角平分线； （2）乙同学用圆规和直角三角板作出了角平分线； （3）丙同学也用尺规作出了角平分线； （4）工人师傅利用带刻度的角尺，通过移动角尺使上下相同刻度在角的两边上，即得为的平分线． 讨论：大家对甲同学和工人师傅的作法都深信不疑，认为判断角平分线的过程中用了三角形全等的判定和性质，其判定三角形全等的依据是______； 对乙同学的作法半信半疑，通过讨论最终确定作法正确，其中也用到了三角形全等的判定方法，其依据是______（写出一种即可）； 对丙同学的作法陷入了沉思，大家由作图痕迹分析出：______，____________． 解决： (1)请将上述讨论补充完整； (2)完成对丙同学作法的证明，即将分析出的条件作为已知，证明为的平分线． 9．（25-26八年级下·内蒙古·期末）如图，是等边三角形，是的中点，，垂足为，是由沿方向平移得到的，连接，已知过点，交于点． (1)求的度数； (2)若，求的长度； (3)求证：是等边三角形． 10．（25-26八年级上·陕西安康·期末）【问题提出】 （1）如图①，在中，是边上的中线，点分别在线段，上，连接，交于点．若，的面积记为，四边形的面积记为，则，之间的数量关系是_____； （2）如图②，在四边形中，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，取的中点，连接，．求证：平分四边形的面积； 【问题解决】 （3）如图③，某商场计划在一块三角形空地中举办户外促销活动，现有甲、乙两个品牌入驻，划定四边形是甲品牌的活动场地，是乙品牌的活动场地，且要保证甲、乙两个品牌活动场地面积相等，已知处加装了围栏，，点是乙品牌场地入口，且．求围栏端点与入口之间的距离． 学科网（北京）股份有限公司 $