精品解析：河南省信阳市平桥区2026年春季学期九年级中考前模拟考试 数学试卷

2026年河南省中招模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设点表示的数为， 由数轴可知，， 观察四个选项可知，只有选项B符合． 2. 如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东的方向，教学楼B位于点O的南偏西的方向，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把换成，结合图形，角度的和差计算即可求解． 【详解】解：， ∴ ． 3. 2026年4月30日，“东数西算”工程全面实施，全国一体化算力网加快构建，智能算力规模超过159万PFLOPS（每秒执行千万亿次浮点运算能力），位居全球前列．其中数据“159万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，只需先将159万化为普通整数，再按规则确定和的值即可． 【详解】解：∵万， 将的小数点向左移动6位，可得，， ∴159万用科学记数法表示为． 故选D. 4. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个，进行判断即可. 【详解】解：观察可知：左视图为2列，第1列有2个，第2列有1个，主视图为3列，第1列为1个，第2列为2个，第3列为1个， 移走①，左视图发生改变，移走②，左视图和主视图均不变，移走③，左视图和主视图都发生改变，移走④主视图发生改变. 故可移走②号小正方体. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项、积的乘方、单项式除法的法则逐一判断选项． 【详解】选项A： 合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变， ，A错误． 选项B： 单项式除以单项式，系数相除，同底数幂相除， ，计算正确，B正确． 选项C： 积的乘方等于各因式乘方的积， ，C错误． 选项D： 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ，D错误． 6. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为， 当时，方程有两个不相等的实数根． 对选项A：方程中，，，，，该方程无实数根，不符合题意； 对选项B：方程中，，，，，该方程有两个相等的实数根，不符合题意； 对选项C：方程中，，，，，该方程无实数根，不符合题意； 对选项D：方程中，，，，，该方程有两个不相等的实数根，符合题意． 7. 如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】先由三角形的中位线的性质求得，再根据平行线的性质得到，，再根据平行线的性质与角平分线定义得到，从而得到，然后由求解即可． 【详解】解：∵，分别为和的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 8. 这么中，那么燃，周末到河南．河南，承载了炎黄子孙血脉相承的民族记忆．“贾湖遗址”“双槐树遗址”“仰韶村遗址”“二里头遗址”是探索中华文明的四大圣地，小豫准备从中任选两个参观，则他选择的恰巧是“双槐树遗址”和“二里头遗址”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先画出树状图，则可得小豫从中任选两个参观的所有等可能的结果，再找出他选择的恰巧是“双槐树遗址”和“二里头遗址”的结果，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：将“贾湖遗址”、“双槐树遗址”、“仰韶村遗址”、“二里头遗址”分别记为，画出树状图如下： 由图可知，小豫从中任选两个参观共有12种等可能的结果，其中，他选择的恰巧是“双槐树遗址”和“二里头遗址”的结果有2种， 则他选择的恰巧是“双槐树遗址”和“二里头遗址”的概率为． 9. 如图，在圆心角为的扇形中，半径，点是上一点，将沿所在直线折叠，点恰好落在上的点处，则图中阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用折叠前后线段相等、扇形半径相等，推出为等边三角形，得到关键角度，进而求出，再在中求出的长度，再计算的高，得到其面积，同时计算圆心角为的扇形的面积，最后根据，代入数值即可得到结果． 【详解】解：连接，过点作于点，如图： 由折叠的性质可知，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴． 10. 函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（ ） A. 飞机着陆后前滑行的距离为 B. 飞机着陆后滑行才能停下来 C. 飞机滑行过程中，最后滑行了 D. 飞机滑行过程中，最后滑行用时 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，先对函数配方得到飞机滑行的总时间和总滑行距离，再逐一计算每个选项判断正误. 【详解】先对函数配方得 ∵二次函数开口向下，顶点坐标为， ∴飞机着陆后滑行停下，总滑行距离为. 对选项A：将代入函数得 ，A描述正确； 对选项B：由顶点可知最大滑行距离为，即飞机滑行才能停下，B描述正确； 对选项C：总滑行时间为，最后对应从到，将代入得，最后滑行距离为，C描述错误； 对选项D：当滑行距离为时，令，整理得，解得（舍去大于总时间的解），因此最后用时，D描述正确. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个能与合并的最简二次根式，你的答案是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先将原根式化为最简二次根式，从而根据要想能合并需为同类二次根式，同类二次根式的被开方数相同可得出答案． 【详解】解：由题意得：， 根据同类二次根式的被开方数相同可得答案为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查同类二次根式的知识，属于基础题，注意解答本题的关键是将原根式化为最简二次根式，掌握同类二次根式的被开方数相同． 12. 2026年5月20日是第37个中国学生营养日，主题是“校园营养餐健康助成长”．如图是主管部门抽测的某种学生快餐的营养成分统计图，若脂肪有，则蛋白质有_____g． 【答案】45 【解析】 【分析】根据扇形统计图可知脂肪所占的百分比，结合脂肪的质量求出总质量，再利用总质量乘以蛋白质所占的百分比即可求解． 【详解】解：由扇形统计图可知，脂肪占总质量的，蛋白质占总质量的 因为脂肪有， 所以该快餐的总质量为 则蛋白质的质量为． 13. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解不等式组中的第二个不等式得到的解集，再根据不等式组无解的条件得到关于的不等式，进而求出的取值范围． 【详解】解：解不等式， 移项得， 系数化为得， 原不等式组可化为， 不等式组无解， ． 14. 下图所示图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子……按照此规律排列下去，则图⑩中的棋子颗数为_____． 【答案】 104 【解析】 【分析】观察图形中棋子数量的变化，将每个图形的棋子数表示为序号的平方与常数4的和，归纳出第个图形的通项公式，代入进行计算即可． 【详解】解：图①中棋子数量为， 图②中棋子数量为， 图③中棋子数量为， 图④中棋子数量为， ， 由此规律可知，第个图形中棋子的数量为， 当时，棋子数量为． 15. 如图，在中，，，，D，E分别为边，上的动点（可与端点重合），且，则的最小值为_____，最大值为______． 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】如图，作，且使，连接，证明，得到，推出当点A，E，F三点共线时，有最小值，即的长度，过点A作交的延长线于点G，然后利用勾股定理求解；当点E和点B重合时，有最大值，即的长度，证明是等边三角形，得到，然后求出最大值即可． 【详解】解：如图，作，且使，连接， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴当点A，E，F三点共线时，有最小值，即的长度 如图，过点A作交的延长线于点G， ∵，， ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴的最小值为； ∵点E为边上的动点 ∴当点E和点B重合时，有最大值，即的长度，如图， ∵， ∴是等边三角形 ∴ ∴ ∴的最大值为3． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）用二次根式乘法法则计算，并化简，根据负指数幂法则计算，计算，合并得到最终结果； （2）先对括号内的分式通分，进行减法运算，将除法转化为乘法，同时对分母因式分解，约分后化简，得到最终结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. “题”炼思维 “说”出风采．某校甲、乙两班联合举办了“说题”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩（单位：分）：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89． 乙班10名学生竞赛成绩（单位：分）：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81． 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 优秀（分）率 甲班 80分 a分 79分 51.4分2 40% 乙班 80分 80分 b分 27分2 60% 【解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出：______，______． （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． （3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，成绩优秀（80分及以上）的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 【答案】（1）；和 （2）乙班成绩比较好；理由：两班平均数均为80分，但乙班中位数高于甲班，方差小于甲班，表明乙班高分较多，且成绩波动较小 （3）估计这两个班可以获奖的总人数是人 【解析】 【分析】（1）按照中位数的定义即可求得；按照众数的定义可求得b； （2）平均数相同时，根据中位数与方差判断； （3）用样本估计总体的思想计算即可． 【小问1详解】 解：甲班10名学生的成绩按从低到高排列，第5、6个数据都是79，则中位数为，即； 乙班10名学生成绩中出现次数最多的是80分与85分，都出现了两次，故众数为80与85，即和85； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这两个班可以获奖的总人数是人． 18. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）已知点，请用无刻度的直尺和圆规过点C作出线段的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． （3）若（2）中所作的垂线交x轴于点D，请直接写出点D的坐标． 【答案】（1）， （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）如图，连接，，首先证明出，然后分别以点A和点B为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点E，作直线即可； （3）如图，连接，由垂直平分线的性质得到，设，然后利用勾股定理列方程求出，然后求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得，， 解得， ∴一次函数的表达式为； 将代入得，， 解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，， ∵， ∴当时，， 解得， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴轴，且， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线，即为所求； 【小问3详解】 解：如图，连接 ∵垂直平分 ∴ ∴ 设 ∴ 解得 ∴ 19. 如图，某数学实践小组想测量学校里的旗杆的高度，太阳光下，旗杆顶端的影子落在水平地面上的点处，同一时刻，在点处用高的测角仪测得点的仰角为，测角仪的顶端的影子落在地面上的点处，测得． （1）求的正切值． （2）求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】（1） （2）旗杆的高度为米． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定，可得，得到，通过式子变形，求出，即可； （2）延长交于点，根据矩形的判定和性质，可得，，设，根据，求出，根据，解出，即可求出． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：延长交于点，则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， 解得：， ∴（）， 答：旗杆的高度为米． 【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，即可． 20. “七秩问天路，携手探九霄”．今年4月24日是第11个中国航天日，恰逢中国航天事业创建70周年．5月24日23时08分，长征二号F遥二十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，随后将搭载的神舟二十三号载人飞船成功送入预定轨道．航天事业的蓬勃发展，带动了航天模型的热销．某商店计划购进A，B两款航天模型共100个进行销售．相关信息如下： 信息一 每个B款模型的进价比每个A款模型的进价贵20元． 信息二 用400元购进A款模型的数量和用500元购进B款模型的数量相等． 信息三 计划购进B款模型的数量不超过A款模型数量的． 信息四 实际销售时，A，B两款模型的利润率均为40%． （温馨提示：利润率） 请利用以上信息解决下列问题： （1）求A，B两款模型每个的进价分别是多少元． （2）要使销售完这批航天模型后的利润最大，请设计出利润最大的进货方案，并求出最大利润． 【答案】（1）A款模型每个的进价为80元，B款模型每个的进价为100元 （2）进货方案为购进A款模型60个，B款模型40个，最大利润为3520元 【解析】 【分析】（1）设A款模型每个的进价为x元，则B款模型每个的进价为元，根据等量关系：用400元购进A款模型的数量和用500元购进B款模型的数量相等，列出分式方程并求解即可； （2）设A款模型购进m个，则B款模型购进个，根据题意中不等关系求出m的取值范围；设销售完这批航天模型后的利润为w元，得到关于m的一次函数，求出函数的最大值即可． 【小问1详解】 解：设A款模型每个的进价为x元，则B款模型每个的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以（元）； 答：A款模型每个的进价为80元，B款模型每个的进价为100元； 【小问2详解】 解：设A款模型购进m个，则B款模型购进个， 根据题意得：， 解得， 即； 设销售完这批航天模型后的利润为w元， 则，其中， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，且最大值为（元）， 此时（个）； 答：进货方案为购进A款模型60个，B款模型40个，最大利润为3520元． 21. 如图，内接于，D为的直径上一点，射线交于点E，交的切线于点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：∵是的切线 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是的直径 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴； （2）3 【解析】 【分析】（1）由切线得到，推出，结合等边对等角得到，然后由直径得到，推出，然后利用等角的余角相等证明即可； （2）首先求出，然后证明，得到，代入求出，进而求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ 由（1）得， ∴ 由（1）得， 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． （1）求该抛物线的顶点坐标． （2）若， ①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线． ②当时，的最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） ①该抛物线的解析式为： ②或 【解析】 【分析】（1）根据配方法化为顶点式，进而求得顶点坐标； （2）①根据抛物线的对称轴为直线，，求得点代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； ②分情况讨论：，，，，根据二次函数的性质，分别求得最值，结合题意列出方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解： ∴该抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线， 【小问2详解】 解：①∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与轴交于点，，且， ∴， 将代入得 解得： ∴该抛物线的解析式为： 图略 ②当时，最小值为，最大值为 依题意， 解得：； 当时，即时，最大值为，最小值为 依题意， 解得：， 当时，即时，最小值为， 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 当时，最大值为 依题意， 解得：（舍去）或（舍去） 综上所述，或 23. 【问题情境】 李老师在数学课上布置了这样一道探究题：在中，，，D为射线上一点，连接，作交于点E，作点E关于的对称点F，连接，过F作交直线于点G．试探究线段，与之间的数量关系． 【探究证明】 （1）如图1，当点D在线段上时，猜想线段，与之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】 （3）延长交直线于点H，连接．若，，请直接写出的面积． 【答案】（1）解： 、与的数量关系为：． 证明： 点是点关于直线的对称点，点在上， 又， ，， ，，点在直线上， ，． 过点作直线于点， ，， ，即， 四边形中，，，， 四边形是矩形． ，， 又，， ． 在和中， ， ， ， ， ，． 四边形是矩形，， 四边形是正方形， ． 点在线段上， ， ． （2）解：（1）结论不成立．； 理由如下：过点作直线于点， 同理可证，四边形是矩形， 由已知，，． ∴，． ∴， ∵， ∴， ，， 四边形是正方形，． ． （3）或 【解析】 【分析】（1）利用对称性发现 且 ，作 于，证明四边形是正方形，再证 ，从而得到 ，最终推出 ． （2）作 于，同理证明即可． （3）分两种情况讨论，利用相似三角形求出相关线段长，再结合前两问结论计算的面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， ∴． ① 当点在线段上时，． 在中，． ，点在直线上， ． ∵，， ， ∵， ， ，即， ， ，． ． 过点作于点， ， 是等腰直角三角形，． 设，则． ，， ， ，即， 解得， ，． 由（1）知，且， ． ． ，在直线上， ． ② 当点在的延长线上时，． 同理，． 同理，可证得， ，， ，． 过点作于点， 设，则， 由同理可得，， ，即， 解得， ，． 由（2）知． ． ，在直线上， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南省中招模拟考试试卷 数学 注意事项： 1．本试卷共三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东的方向，教学楼B位于点O的南偏西的方向，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 2026年4月30日，“东数西算”工程全面实施，全国一体化算力网加快构建，智能算力规模超过159万PFLOPS（每秒执行千万亿次浮点运算能力），位居全球前列．其中数据“159万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，若移走一个小正方体后，该几何体的左视图和主视图均不变，则可移走的小正方体的编号为（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，平分，，分别为和的中点，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4 8. 这么中，那么燃，周末到河南．河南，承载了炎黄子孙血脉相承的民族记忆．“贾湖遗址”“双槐树遗址”“仰韶村遗址”“二里头遗址”是探索中华文明的四大圣地，小豫准备从中任选两个参观，则他选择的恰巧是“双槐树遗址”和“二里头遗址”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在圆心角为的扇形中，半径，点是上一点，将沿所在直线折叠，点恰好落在上的点处，则图中阴影部分的面积为（    ） A. B. C. D. 10. 函数是描述现实世界变化规律的数学模型，运用函数知识可以解决很多现实问题．如某型号飞机着陆后滑行的距离s（m）关于滑行的时间t（s）的函数关系式是．请结合函数图象，用数学眼光判断下列关于该运动情况的描述，其中错误的是（ ） A. 飞机着陆后前滑行的距离为 B. 飞机着陆后滑行才能停下来 C. 飞机滑行过程中，最后滑行了 D. 飞机滑行过程中，最后滑行用时 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个能与合并的最简二次根式，你的答案是______． 12. 2026年5月20日是第37个中国学生营养日，主题是“校园营养餐健康助成长”．如图是主管部门抽测的某种学生快餐的营养成分统计图，若脂肪有，则蛋白质有_____g． 13. 若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是______． 14. 下图所示图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中图①中有5颗棋子，图②中有8颗棋子，图③中有13颗棋子，图④中有20颗棋子……按照此规律排列下去，则图⑩中的棋子颗数为_____． 15. 如图，在中，，，，D，E分别为边，上的动点（可与端点重合），且，则的最小值为_____，最大值为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简： （1）； （2）． 17. “题”炼思维 “说”出风采．某校甲、乙两班联合举办了“说题”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息． 【收集数据】 甲班10名学生竞赛成绩（单位：分）：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89． 乙班10名学生竞赛成绩（单位：分）：85，80，77，85，80，73，90，74，75，81． 【整理数据】 班级 甲班 6 3 1 乙班 4 5 1 【分析数据】 班级 平均数 中位数 众数 方差 优秀（分）率 甲班 80分 a分 79分 51.4分2 40% 乙班 80分 80分 b分 27分2 60% 【解决问题】 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出：______，______． （2）请你根据【分析数据】中的信息，判断哪个班成绩比较好，并简要说明理由． （3）甲班共有学生45人，乙班共有学生40人，按竞赛规定，成绩优秀（80分及以上）的学生可以获奖，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？ 18. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数（）的图象交于点，与x轴交于点B． （1）求一次函数和反比例函数的表达式． （2）已知点，请用无刻度的直尺和圆规过点C作出线段的垂线（保留作图痕迹，不写作法）． （3）若（2）中所作的垂线交x轴于点D，请直接写出点D的坐标． 19. 如图，某数学实践小组想测量学校里的旗杆的高度，太阳光下，旗杆顶端的影子落在水平地面上的点处，同一时刻，在点处用高的测角仪测得点的仰角为，测角仪的顶端的影子落在地面上的点处，测得． （1）求的正切值． （2）求旗杆的高度．（结果精确到，参考数据：，，） 20. “七秩问天路，携手探九霄”．今年4月24日是第11个中国航天日，恰逢中国航天事业创建70周年．5月24日23时08分，长征二号F遥二十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，随后将搭载的神舟二十三号载人飞船成功送入预定轨道．航天事业的蓬勃发展，带动了航天模型的热销．某商店计划购进A，B两款航天模型共100个进行销售．相关信息如下： 信息一 每个B款模型的进价比每个A款模型的进价贵20元． 信息二 用400元购进A款模型的数量和用500元购进B款模型的数量相等． 信息三 计划购进B款模型的数量不超过A款模型数量的． 信息四 实际销售时，A，B两款模型的利润率均为40%． （温馨提示：利润率） 请利用以上信息解决下列问题： （1）求A，B两款模型每个的进价分别是多少元． （2）要使销售完这批航天模型后的利润最大，请设计出利润最大的进货方案，并求出最大利润． 21. 如图，内接于，D为的直径上一点，射线交于点E，交的切线于点，． （1）求证：． （2）若，求的长． 22. 在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，． （1）求该抛物线的顶点坐标． （2）若， ①求该抛物线的解析式，并在给出的平面直角坐标系中画出这条抛物线． ②当时，的最大值与最小值的差为，请直接写出的值． 23. 【问题情境】 李老师在数学课上布置了这样一道探究题：在中，，，D为射线上一点，连接，作交于点E，作点E关于的对称点F，连接，过F作交直线于点G．试探究线段，与之间的数量关系． 【探究证明】 （1）如图1，当点D在线段上时，猜想线段，与之间的数量关系，并证明． （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【拓展应用】 （3）延长交直线于点H，连接．若，，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $