精品解析：2025年河南省信阳市平桥区六校联考三模数学试题

2025年九年级第三次模拟测试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题 （每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中最大的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查实数的大小比较，无理数的估算，根据实数比较大小的法则：正数大于负数，正数大于0，两个负数中绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴最大的数是， 故选：A． 2. 已知某款医疗纳米机器人实现了米级精度， 可靶向修复细胞． 数据用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示较小数，掌握科学记数法的形式为，其中，为整数是解题的关键．将0.0000000015用科学记数法表示时，需确定其有效数字部分和指数． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算及二次根式的运算，掌握这些运算法则是解题的关键．根据这些法则逐一分析各选项的运算是否正确． 【详解】解：根据幂的乘方运算法则，，故A错误． B. 与不是同类二次根式，无法合并，故B错误． C. 根据整式的除法法则，系数部分 = 1，字母部分，故 = ，故C正确． D. 根据二次根式减法法则，合并同类项得，故D错误． 故选：C． 4. 下列图形经过折叠可以围成一个完整的正六棱柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何体的展开图．熟记常见的几何体的展开图，是解题的关键．根据正六棱柱的展开图即可解答． 【详解】解：A、能围成一个无盖的正六棱柱，不符合题意； B、可以围成一个正六棱柱，符合题意； C、两个底面在同侧，不能围成正六棱柱；不符合题意； D、侧面只有五个面，不能围成正六棱柱；不符合题意； 故选：B． 5. 将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的定义和平角的定义，在中，根据三角形外角的定义可求出的度数，再根据平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，由题意可知， ， ， ， 故选：D． 6. 为了调查全校学生对羽毛球、篮球、乒乓球、排球四类球类运动的喜欢情况，调查人员随机选取了120名学生进行调查，要求每名学生只选出一类自己最喜欢的球类运动，并根据调查结果绘制了如图的扇形统计图，下列说法不正确的是（ ） A. 该调查采用的是抽样调查 B. 估计全校最喜欢乒乓球的学生最多 C. “羽毛球”对应的圆心角为 D. 估计全校最喜欢篮球的学生有36人 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，调查方式，用样本估计总体．根据题意可得调查分式，判断选项A；根据扇形统计图判断选项B；先求出“羽毛球”的百分比，再乘以即可判断选项C；根据样本估计总体判断选项D． 【详解】解：A、本次调查采用的是抽样调查．故本选项正确，不符合题意； B、样本中喜欢羽毛球的有， ∴喜欢乒乓球的学生最多，由此估计全校喜欢乒乓球的学生最大．故本选项正确，不符合题意； C、，∴“羽毛球”对应的圆心角为．故本选项正确，不符合题意； D、全校学生人数未知，无法估计全校最喜欢篮球的学生人数．故本选项错误，符合题意． 故选：D 7. 若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．当判别式小于0时，方程无实数根．根据题意表示出判别式并小于0，则可列出不等式，解出即可判别． 【详解】解：一元二次方程 无实数根， ， 解得． 选项中只有满足 ， 故选：A． 8. 若，则下列一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键； 根据不等式的性质逐个分析判断即可． 【详解】不等式两边同时减去1得，，不一定有成立，故选项A不符合题意； 不等式两边同时加上1得，，故选项C不符合题意； 又，所以，故选项B符合题意； 因为满足，但不满足，故选项D不符合题意； 故选：B． 9. 如图，将扇形沿射线方向平移得到扇形，点D为的中点，， 当点D的对应点落在上时， 阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点 作于点H，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出，再根据三角函数求出，最后根据，求出结果即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点 作于点H， 由平移的性质可知，，点为的中点，，， ，， ， ， 在等腰中，， ， ． 【点睛】本题考查了平移的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，平行线的性质，解直角三角形，根据题意作出辅助线是解题的关键． 10. 如图，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发， 沿匀速运动， 回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点函数图象，菱形的性质，相似三角形的判定和性质等，过点作于，由函数图象可知，，进而由得，又由得，设，则，利用勾股定理可得，得到，，再根据解答即可求解，理解题意，看懂函数图象是解题关键． 【详解】解：如图，过点作于， 由函数图象可知，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， 又由函数图象可得，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 由图象可知，当动点运动到点时，即为拐点， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题3分，共15分 11. 若有意义，则任写一个符合条件的a的值___________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件求出a的取值范围，进而可得出结论． 【详解】解：∵有意义， ∴， 即符合条件的a的值可以为1． 故答案为：1（答案不唯一） 12. 若，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了求代数式值，整体代入是关键．根据题意得到，把变形为，利用整体代入即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故答案为： 13. 唐宋诗词以凝练的文字承载着时代风貌、文人哲思与民族情感，传承文明，连接古今．正面印有唐宋诗词经典作品的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片作品来自不同朝代的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用概率公式计算概率，掌握树状图或列表法求概率是解题的关键．运用树状图列出所有可能的结果，找出符合条件的结果数量，利用公式解题即可． 【详解】解：四张卡片中，范仲淹和陆游是宋代人，李白和白居易是唐代人， 画树状图如下： 由图可知，共有12种等可能的情况，其中抽取的卡片作品来自不同朝代的情况有8种， 因此抽取的卡片作品来自不同朝代的概率为， 故答案为：． 14. 如图， 是四边形的外接圆， 直线与相切于点B，，，则 的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，连接、，先根据圆周角定理得，则，再根据切线的性质求出，根据平行线的性质得，则，再根据圆内接四边形的性质可求出的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线与相切于点B， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形绕着它中心O在平面内自由旋转，在x轴上取点 ，将线段绕点P逆时针旋转 得到线段，连接．若，则的最大值为___________，此时的长为___________． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，图形的旋转问题，证明是解题的关键．连接，，根据等腰直角三角形的性质可得，，可证明，从而得到，进而得到当最大时，最大，当点D在x轴正半轴时，最大，此时点P，O，D三点共线；在中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最大， 当点D在x轴正半轴时，最大，此时点P，O，D三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为； 如图， ∵点Dx轴正半轴，， 此时点A在y轴上， 在中，， ∴． 故答案为：； 三、解答题 （本大题共8个小题，共75分） 16. （1） 计算： （2） 化简： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． （1）利用算术平方根、负整数指数幂、绝对值化简后，再进行乘法和减法运算即可； （2）利用单项式乘以多项式和平方差公式展开，再进行整式加减即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 17. 某学校举办的我爱家长主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制整数）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 82 90 90 90 90 90 90 90 90 98 b．学生评委打分的频数分布直方图如图（每组数据包含最小值，不包含最大值）．其中91~94组的数据为： 91 91 92 92 92 93 93 93 93 93 93 93． c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 90 m 学生评委 91.4 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①_________， ________； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则x___________90 （填“>” “=” 或 “<” ）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制整数）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．5名专业评委给进入决赛的甲、乙两位选手的打分或分析如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 平均分 分，方差： 乙 90 94 90 94 k 若乙排序比甲靠前，则k需要满足什么条件？ 【答案】（1）①90；92；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、方差的概念及计算，频数分布直方图实际应用．熟练掌握相对应的概念计算数值，并分类讨论平均数是否相等是解决本题的关键． （1）根据教师评委打分的分值中次数出现最多的即为众数可求解m的值，根据学生评委的人数可知第23个数为总位数，结合频数分布直方图可求解n的值，根据平均数的计算公式即可求解． （2）分类讨论甲乙的平均数的大小，当乙的平均数大于甲的平均数时，乙排序比甲靠前可求解k的取值范围；由甲乙的平均数的大小相等时，可求解k的值，再求解乙的方差比较大小即可得． 【小问1详解】 解：①因为教师评委打分：82 90 90 90 90 90 90 90 90 98， 出现次数最多的为90，即， 因为学生评委共45人，则中位数为第23个数， 由频数分布直方图可知，前三组的频数和为， 所以中位数为与第四组，即数据为91 91 92 92 92 93 93 93 93 93 93 93， 所以； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，则 90 90 90 90 90 90 90 90 ， 所以． 【小问2详解】 解：乙选手的平均分为， ①当时，乙排序比甲靠前， 所以，解得：． ②当时， 则有，解得：． 所以， ，此时甲排序比乙靠前． 综上所述，若乙排序比甲靠前，则． 18. 在平行四边形中，E是边上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的中点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线，三角形内角和，矩形的判定，平行四边形的性质，等边对等角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）作出的垂直平分线，即可得出的中点F； （2）先结合点是的中点，得，根据以及等边对等角得，结合三角形内角和性质得出，故，运用有一个直角的平行四边形是矩形，即可作答． 【小问1详解】 解：点即为所求作的点（作法不唯一） 【小问2详解】 证明：由（1）得：点是的中点， ． 连接 ， ， ． ， ， ，即， 又四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 19. 如图，一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数 的图象交于点． （1）______； （2）若的面积为，求的值； （3）当时，对于的每一个值，都有，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数与几何图形的综合，数形结合分析是关键． （1）根据直线与坐标轴的交点即可求解； （2）根据题意，设，由几何图形面积的计算得到，则，运用待定系数法即可求解； （3）把代入、，得出，，根据列不等式即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：一次函数 的图象与轴交于点， 当时，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：点在反比例函数， ∴设， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵点是一次函数与反比例函数的交点， ∴点在一次函数的图象上， ∴， 解得，； 【小问3详解】 解：当时，，， ∵当时，对于的每一个值，都有， ∴的图象在的图象上方， ∴， 解得：． 20. 我国古代数学著作蕴含着璀璨的智慧结晶，如《周髀算经》中以日影测天；《海岛算经》里以立表测望．如今，让我们沿着古人的智慧足迹，尝试解决这样一个实际问题：如图，为了估算一条东西向河流（两岸互相平行）的宽度，兴趣小组在河的对岸l选定一个目标点A，在近河岸m取点B，用测角仪测得点A位于点B的北偏东 方向；从点B出发向南走15米到达点C，用测角仪测得点A位于点C的北偏东 方向．请你根据以上测量结果求出此河流的宽度．（参考数据： 【答案】河流的宽度约为45米 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方位角和三角函数是解题的关键．延长交直线于点．设米，得到米，米，由米得到米，列方程即可求出答案． 【详解】解：延长交直线于点． 由题意得：米，直线． 设米， 在中，， 米， 在中，， 米， 米， 米， 即． 解得， （米）． 答：河流的宽度约为45米． 21. 小明家注重早餐营养，计划在超市选购燕麦脆，目前看中了A款酸奶水果燕麦脆和B款每日坚果燕麦脆，两款燕麦脆的相关信息如下表： 属性与类别 A款酸奶水果燕麦脆 B款每日坚果燕麦脆 每袋碳水化合物含量（g） 160 135 每袋脂肪含量（g） 60 70 产品特点与优势 水果干丰富，口感清甜 坚果含量高，富含优质脂肪 （1）已知每袋A款燕麦脆的价格是每袋B款燕麦脆的价格的1.25倍，用100元（刚好用完）购买A款燕麦脆的袋数比购买B款燕麦脆的袋数少1袋．求A、B两款燕麦脆的单价； （2）小明家准备购买两款燕麦脆共10袋．若要求购买的10袋燕麦脆中碳水化合物总含量不低于脂肪总含量的2.5倍，且总费用最低，请确定A、B两款燕麦脆的购买数量． 【答案】（1）A款燕麦脆的单价为25元，B款燕麦脆的单价为20元 （2）应购买8袋款燕麦脆，2袋款燕麦脆 【解析】 【分析】该题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意． （1）设款燕麦脆的单价为元，则款燕麦脆的单价为元，根据题意列出分式方程解答即可． （2）设购买款燕麦脆袋，购买款燕麦脆袋，由题意列不等式求出，设购买的10袋燕麦脆的总费用为元，列出一次函数，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设款燕麦脆的单价为元，则款燕麦脆的单价为元， 由题意得： 解得：， 经检验，是原分式方程的解． ． 答：A款燕麦脆的单价为25元，B款燕麦脆的单价为20元． 【小问2详解】 解∶设购买款燕麦脆袋，购买款燕麦脆袋， 由题意得：， 解得：． 设购买的10袋燕麦脆的总费用为元， 由题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值， 应购买8袋款燕麦脆，2袋款燕麦脆． 22. 在平面直角坐标系中有一抛物线： ， （1）求抛物线的对称轴和与轴的交点坐标； （2）若 时，的最大值与最小值的差为，求的值； （3）若 ，抛物线上有两点 ，当 时，均满足，直接写出的取值范围． 【答案】（1）对称轴为， （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象的性质，掌握对称轴直线的计算，图象开口，增减性是关键． （1）根据对称轴直线，抛物线与坐标轴的交点进行计算即可； （2）分类讨论：当时，图象开口向上，对称轴直线为，此时函数的最小值为，，函数值有最大值，最大值为；当时，图象开口向下，对称轴直线为，此时函数的最大值为，，函数值有最小值，最小值为；结合题意即可求解； （3）根据题意，得到当时关于的对称点为，结合函数的增减性即可求解． 【小问1详解】 解：抛物线： ， ∴对称轴直线为， 当时，， ∴抛物线与轴的交点为； 【小问2详解】 解：当时，图象开口向上，对称轴直线为，此时函数的最小值为， ∴ 在中，根据离对称轴越远，值越大得到，，函数值有最大值，最大值为， ∴， 解得，； 当时，图象开口向下，对称轴直线为，此时函数的最大值为， ∴在中，根据离对称轴越远，值越小得到，，函数值有最小值，最小值为， ∴， 解得，； 综上所述，或； 【小问3详解】 解：由，则抛物线开口向上，对称轴直线为， ∵， ∴当时取得最小值， ∵抛物线的对称轴直线为， ∴和对应的函数值相同， ∵当 时，均满足， ∴， 解得，． 23. 综合与实践 如图1，点P是直线m上一点，作 关于直线m的对称图形 然后将 绕点P逆时针旋转 得到，则称 是关于 的刚性变换图形，点P为刚性变换中心，直线m为刚性变换轴，经过刚性变换重合的点称为对应点． （1）请类比平移、轴对称和旋转三大变换的学习过程，归纳两条刚性变换前后图形的性质； （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，是 关于 的刚性变换图形， 连接， ，． ①设与x轴夹角为α，直接用含α的代数式表示 的值___________； ②若点A坐标为 ， 求点坐标； （3）如图3， 在中， ，点P是边BC上一动点 （可与端点重合），是关于的刚性变换图形，是AP关于的刚性变换图形，连接 ，设 ，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）①刚性变换前后图形是全等图形；②刚性变换前后图形对应点到刚性变换中心距离相等； （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据轴对称图形与旋转图形的性质求解． （2）①根据轴对称图形与旋转图形的性质求解；②过点A作轴于M，过点A作轴于M，证明，得到，，即可求解． （3）当点P分别与点B点C重合时，求出m值，从而可求得m的取值范围． 【小问1详解】 解：如图1，连接、、、， ∵关于直线m的对称图形 ， ∴，m垂直平分， ∴， ∵绕点P逆时针旋转 得到， ∴，， ∴，， ∴刚性变换前后图形性质：①刚性变换前后图形是全等图形；②刚性变换前后图形对应点到刚性变换中心距离相等． 【小问2详解】 解：①∵是 关于 的刚性变换图形， ∴关于x轴的对称图形 ，绕点O逆时针旋转 得到， ∴， ∴， ∴； ②过点A作轴于M，过点A作轴于M，如图2， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴，， ∴， 【小问3详解】 解：过点C作于M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点P与点B重合时，如图，P1 ∵是关于的刚性变换图形， ∴，， ∴ ∵是AP关于的刚性变换图形， ∴，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴； 当点P与点C重合时，如图， ∵是关于的刚性变换图形，是AP关于的刚性变换图形， ∴，，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴， ∴； ∵点P是边BC上一动点 （可与端点重合）， ∴ 即 【点睛】本题考查新定义，轴对称的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，点的坐标变换，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定．熟练掌握相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级第三次模拟测试卷 数 学 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题 （每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列各数中最大的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 已知某款医疗纳米机器人实现了米级精度， 可靶向修复细胞． 数据用科学记数法表示（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列图形经过折叠可以围成一个完整的正六棱柱的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一副直角三角板按如图所示方式摆放，其中含角的直角三角板的斜边与含角的直角三角板的一直角边贴合，含角的直角三角板的另一条直角边过含角的直角三角板的直角顶点，那么的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 为了调查全校学生对羽毛球、篮球、乒乓球、排球四类球类运动的喜欢情况，调查人员随机选取了120名学生进行调查，要求每名学生只选出一类自己最喜欢的球类运动，并根据调查结果绘制了如图的扇形统计图，下列说法不正确的是（ ） A. 该调查采用的是抽样调查 B. 估计全校最喜欢乒乓球的学生最多 C. “羽毛球”对应的圆心角为 D. 估计全校最喜欢篮球的学生有36人 7. 若关于x的一元二次方程 无实数根，则m的值可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则下列一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将扇形沿射线方向平移得到扇形，点D为的中点，， 当点D的对应点落在上时， 阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的对角线交于点，点是边的中点，动点从点出发， 沿匀速运动， 回到点后停止，设点运动的路程为，线段的长为，图是与的函数关系的大致图象，点是中间非直线型图象的最低点，则拐点的横坐标的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分 11. 若有意义，则任写一个符合条件的a的值___________． 12. 若，则的值为___________． 13. 唐宋诗词以凝练的文字承载着时代风貌、文人哲思与民族情感，传承文明，连接古今．正面印有唐宋诗词经典作品的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同，把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则抽取的卡片作品来自不同朝代的概率为___________． 14. 如图， 是四边形的外接圆， 直线与相切于点B，，，则 的度数为___________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形绕着它中心O在平面内自由旋转，在x轴上取点 ，将线段绕点P逆时针旋转 得到线段，连接．若，则的最大值为___________，此时的长为___________． 三、解答题 （本大题共8个小题，共75分） 16. （1） 计算： （2） 化简： 17. 某学校举办的我爱家长主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段． （1）初赛由10名教师评委和45名学生评委给每位选手打分（百分制整数）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评委打分： 82 90 90 90 90 90 90 90 90 98 b．学生评委打分的频数分布直方图如图（每组数据包含最小值，不包含最大值）．其中91~94组的数据为： 91 91 92 92 92 93 93 93 93 93 93 93． c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 90 90 m 学生评委 91.4 n 93 根据以上信息，回答下列问题： ①_________， ________； ②若去掉教师评委打分中最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则x___________90 （填“>” “=” 或 “<” ）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制整数）．对每位选手，计算5名专业评委给其打分平均数和方差．平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．5名专业评委给进入决赛的甲、乙两位选手的打分或分析如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 平均分 分，方差： 乙 90 94 90 94 k 若乙排序比甲靠前，则k需要满足什么条件？ 18. 在平行四边形中，E是边上一点，连接． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出的中点F；（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若，求证：四边形是矩形． 19. 如图，一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数 的图象交于点． （1）______； （2）若面积为，求的值； （3）当时，对于的每一个值，都有，请直接写出的取值范围． 20. 我国古代数学著作蕴含着璀璨的智慧结晶，如《周髀算经》中以日影测天；《海岛算经》里以立表测望．如今，让我们沿着古人的智慧足迹，尝试解决这样一个实际问题：如图，为了估算一条东西向河流（两岸互相平行）的宽度，兴趣小组在河的对岸l选定一个目标点A，在近河岸m取点B，用测角仪测得点A位于点B的北偏东 方向；从点B出发向南走15米到达点C，用测角仪测得点A位于点C的北偏东 方向．请你根据以上测量结果求出此河流的宽度．（参考数据： 21. 小明家注重早餐营养，计划在超市选购燕麦脆，目前看中了A款酸奶水果燕麦脆和B款每日坚果燕麦脆，两款燕麦脆的相关信息如下表： 属性与类别 A款酸奶水果燕麦脆 B款每日坚果燕麦脆 每袋碳水化合物含量（g） 160 135 每袋脂肪含量（g） 60 70 产品特点与优势 水果干丰富，口感清甜 坚果含量高，富含优质脂肪 （1）已知每袋A款燕麦脆的价格是每袋B款燕麦脆的价格的1.25倍，用100元（刚好用完）购买A款燕麦脆的袋数比购买B款燕麦脆的袋数少1袋．求A、B两款燕麦脆的单价； （2）小明家准备购买两款燕麦脆共10袋．若要求购买的10袋燕麦脆中碳水化合物总含量不低于脂肪总含量的2.5倍，且总费用最低，请确定A、B两款燕麦脆的购买数量． 22. 在平面直角坐标系中有一抛物线： ， （1）求抛物线的对称轴和与轴的交点坐标； （2）若 时，的最大值与最小值的差为，求的值； （3）若 ，抛物线上有两点 ，当 时，均满足，直接写出的取值范围． 23. 综合与实践 如图1，点P是直线m上一点，作 关于直线m的对称图形 然后将 绕点P逆时针旋转 得到，则称 是关于 的刚性变换图形，点P为刚性变换中心，直线m为刚性变换轴，经过刚性变换重合的点称为对应点． （1）请类比平移、轴对称和旋转三大变换的学习过程，归纳两条刚性变换前后图形的性质； （2）如图2，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，是 关于 的刚性变换图形， 连接， ，． ①设与x轴夹角为α，直接用含α的代数式表示 的值___________； ②若点A坐标为 ， 求点坐标； （3）如图3， 在中， ，点P是边BC上一动点 （可与端点重合），是关于的刚性变换图形，是AP关于的刚性变换图形，连接 ，设 ，请直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$