精品解析：河北石家庄市、张家口市部分校2025-2026学年高二下学期6月测试数学试题

6月高二年级测试 数学 考试说明： 1．本试卷共150分.考试时间120分钟. 2．请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小． 【详解】由给出的四组数据的散点图可以看出， 图1和图3是负相关，相关系数小于0， 图2和图4是正相关，相关系数大于0， 图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以接近于，接近于1， 由此可得． 2. 若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的各项的二项式系数和求得，结合展开式的通项公式计算即可求解. 【详解】由题得，解得. 的通项为. 令，则系数为. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.21 B. 0.22 C. 0.28 D. 0.32 【答案】B 【解析】 【详解】随机变量服从正态分布， 则 4. 由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 30种 D. 48种 【答案】C 【解析】 【分析】分最高位是4和最高位是3两种情况，结合排列组合知识求解． 【详解】当万位为3时，个位可从三个偶数中任选1个，共种选择； 剩余个数字全排列排中间千、百、十位，共种排法， 共有种. 当万位为时，个位只能从剩余偶数中任选1个，共种选择； 剩余个数字全排列排中间三位，共种排法， 共有种. 两类相加，总共有种. 5. 月日是我国的植树节，这一天，小明参加了学校组织的植树活动，种植了，两种树苗各棵，种树苗的成活率为，种树苗的成活率为，记，两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项分布的期望性质直接计算即可. 【详解】，都服从二项分布，即， 则，， 所以. 6. 已知，，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对立事件的概率及全概率公式，即可求解. 【详解】由全概率公式，得， 又，，，， 代入得，解得. 7. 暑假马上要到了，小明要去张家口坝上旅游，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，每天穿戴的情况独立，记表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算每天既戴帽子又戴墨镜的概率和只戴墨镜不戴帽子的概率，服从二项分布，使用二项分布概率公式求解. 【详解】设事件表示戴帽子和戴墨镜，则，， 因为帽子和墨镜每天至少戴一件即，所以， 单日只戴墨镜不戴帽子的概率为， 表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，， . 8. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求得随机变量的分布列，再利用公式可求，最后利用二次函数的性质可求其最大值. 【详解】由题意知，随机变量可能的取值为. ； . 所以. 所以当时，取得最大值，最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强 B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 C. 已知变量，线性相关，由样本数据算得经验回归方程为，且由样本数据得，，则 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 【答案】BD 【解析】 【分析】选项A利用相关系数的概念求解即可，选项B利用残差平方和的概念求解即可，选项C利用变量，的均值一定在回归方程的图像上求解即可，选项D利用小概率原理求解即可. 【详解】选项A：在一元线性回归方程中，若线性相关系数的绝对值越大，则两个变量的线性相关性越强，故错误， 选项B：回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好，正确， 选项C：将，代入方程解得：，故错误， 选项D：可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05，正确. 10. 盒中有6个玩具球，其中有2个是红色的，其余均是蓝色的，现从盒中随机地抽取3个球，则下列事件的概率是的是（ ） A. 恰有1个球是红色的 B. 3个球全是蓝色的 C. 恰有2个球是红色的 D. 至多有2个球是蓝色的 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式与组合数公式计算即可逐一判断. 【详解】对于A，事件“恰有1个球是红色的”概率为，不是，A错误； 对于B，事件“3个球全是蓝色的”概率为，B正确； 对于C，事件“恰有2个球是红色的”概率为，C正确； 对于D，事件“至多有2个球是蓝色的”概率为，不是，D错误. 11. 高二（2）班小明等五名同学报名参加学校组织的数学、物理、化学、生物四个科目的竞赛，每人都要报名且限报其中一项．记事件“恰有三名同学报了同一个科目，其他科目报名人数不超过1人”，事件“只有小明同学一人报化学竞赛科目”，则（ ） A. 五名同学的报名情况共有种 B. “每个科目都有人报名”的报名情况共有240种 C. “五名同学最终只报了两个科目”的概率是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先计算五名同学报名的总情况数，再根据各选项的要求分别计数，结合古典概型公式和条件概率公式逐一判断每个选项的正误. 【详解】对于A：五名同学每人都有4种报名选择，根据分步乘法计数原理，总报名情况数为 种，A正确； 对于B：“每个科目都有人报名”，5人分到4个科目，人数分布只能是 ， 先从5人中选2人作为一组，剩余3人各成一组，共 种分组方式； 再将4组全排列分配给4个科目，共 种排列方式； 总情况数为 种，B正确； 对于C：“五名同学只报了两个科目”，先从4个科目选2个，共 种选法； 再减去5人全选第一个科目、全选第二个科目的2种情况，总符合情况数为 ； 总报名情况为 ，概率为 ​，C错误； 对于D：事件要求恰3人同科目，其余两人各在不同科目， 先选人所在科目有种不同的选法，选人有不同的选法， 将剩余两人安排到剩余的3个科目中的两个，每人一科，有​种不同的选法， 可得； 要求发生且只有小明1人报化学， 因此3人同科目只能从非化学的3个科目选，再从剩余4人选3人，最后剩余1人从剩余2个非化学科目选， 得 ， 因此 ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，，则__________． 【答案】64 【解析】 【详解】∵ 随机变量，根据二项分布的期望与方差公式可得，. ∴ ，解得，∴ . 13. 某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜中珠子从出口5出来，那么你取胜的概率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】可基于独立事件概率的计算方法分析路径概率，用组合数公式，结合每条路径的发生概率，因为每段路径的选择是独立事件，根据独立重复试验的概率公式，再乘以路径总数即可得到从出口5出来的总概率． 【详解】珠子在每个岔路口向左、向右下滑的概率均为，从顶端到最下方出口，一共需要经过5次独立的向左/向右选择； 要从编号5的出口出来，需要在5次选择中恰好选4次向右、1次向左， 根据独立重复试验的概率公式：． 14. 已知能够被15整除，其中，则__________． 【答案】14 【解析】 【分析】由，结合二项式定理可得除以的余数，从而能到的值 ， 【详解】 . 因为75可以被整除， 所以可以被整除. 由能够被15整除，知能够被15整除，又，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 代驾服务在中国已从一个新兴的细分市场发展成为覆盖亿用户、年订单量突破亿的庞大产业．某用户只在某市的网、网两个代驾平台选择代驾，根据历史数据，选择网的概率为，选择网的概率为，网代驾准时到达率为，网代驾准时到达率为．已知该用户每次选择的代驾准时到达与否相互独立． （1）求该用户选择代驾准时到达的概率； （2）在该用户的次选择代驾中，记准时到达的次数为，若的方差大于，求的最小值． 【答案】（1）0.89 （2）10 【解析】 【小问1详解】 令事件“代驾准时到达”，“选择网，“选择网”． 依题意，，，，， 由全概率公式得， 所以该用户选择代驾准时到达的概率为． 【小问2详解】 依题意，， 则． 由的方差大于，得， 解得，所以的最小值为． 16. DeepSeek是专注通用人工智能的中国公司，致力于大模型研发应用．其开源推理模型DeepSeek-R1性能出色，在多任务上比肩OpenAI-O1正式版，且可免费商用．在测试DeepSeek-R1时，如果输入的问题没有语法错误，则DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为． （1）在某次测试中输入了6个问题，DeepSeek-R1的回答有4个被采纳．现从这6个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的数学期望； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为，求DeepSeek-R1的回答被采纳的概率． 【答案】（1） 1 2 3 （2） 【解析】 【分析】（1）由题可知，所有可能取值为1，2，3，由超几何分布公式分别求出各个变量对应的概率，写出分布列，再根据期望公式求出期望即可； （2）利用全概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题可知，所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布列为： 1 2 3 所以． 【小问2详解】 记“输入的问题出现语法错误”为事件，则，， 记“DeepSeek-R1的回答被采纳”为事件，则，， 所以． 17. 宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2 （1）用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； （2）该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值． 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③， 【答案】（1） （2）35万元． 【解析】 【分析】（1）通过换元将对数型回归转化为线性回归，利用最小二乘法求解参数，注重是对公式的理解和代入计算. （2）结合第一问的回归模型，构建总收益函数，通过求导找到极值点，进而得到最大值，同时考查了对数运算的化简技巧. 【小问1详解】 令，则可转化为，由表可知， 得到，， 由最小二乘法公式得， ， 所以 ，所以回归方程为 . 【小问2详解】 设2026年该企业投入食用枸杞生产的资金为万元， 则投入生产药用枸杞片的资金为万元， 其中，设2026年总收益为万元， 则，， 令，令，得， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 故年总收益的最大值约为35万元． 18. 为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞答比赛，答题规则是：每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即为选手答对.已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为，同组成员每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． （1）求甲答对每道题的概率； （2）已知乙选手答对每道题的概率为（含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于，求甲的同组成员每道题答对的概率的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将甲答对题目拆分为甲独立答对、甲答错后同组成员答对两种互斥情况，利用互斥事件概率加法公式计算甲答对每道题的概率。 （2）设出甲、乙答对题目的个数，枚举甲答对个数多于乙的所有互斥情况，分别计算对应概率并求和，再解关于的不等式得到的最小值. 【小问1详解】 甲答对题目分为两种互斥情况： ① 甲自己独立答对，概率为 ； ② 甲没答对，同组成员答对，概率为 ； 因此甲答对每道题的概率为： . 【小问2详解】 设甲答对题数为，乙答对题数为， 则，，， 包含三种互斥情况： ；； ， 分别计算概率：​，， ，，， 因此：  ， 根据题意列不等式： ，整理得 ， 结合，解得， 因此的最小值为. 19. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）： 产品 合格 不合格 合计 调试前 80 60 140 调试后 40 20 60 合计 120 80 200 （1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产品重新做参数调试，再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）认为参数调试与产品质量无关联． （2） 0 1 2 ． （3） 【解析】 【分析】（1）提出假设，根据列联表的数据求出的值，对照参考表检验即可； （2）先根据分层抽样求出合格品和不合格产品的个数，可知的所有可能取值为0，1，2，分别求出各自变量的概率，写出分布列，再按照离散型随机变量的期望公式求解即可； （3）由题可知，变量服从二项分布，要求事件“”的概率最大时的取值，即先求出和时的取值范围，再结合只能取整数，求出最大的值即可. 【小问1详解】 解：（1）提出假设：认为参数调试与产品质量无关联， 根据列联表中的数据，计算得到， 故依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断零假设不成立， 因此原假设成立，即认为参数调试与产品质量无关联． 【小问2详解】 由题意知，用按比例分配的分层随机抽样法抽取的6件产品中， 合格产品有件，则不合格产品有2件， 的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 故的分布列为： 0 1 2 则. 【小问3详解】 由题可知，随机抽取调试后的产品的合格率为，故， 则，，，，， 由， 故由可得， 又，则当时，． 由可得，即当时，， 故当事件“”的概率最大时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 6月高二年级测试 数学 考试说明： 1．本试卷共150分.考试时间120分钟. 2．请将各题答案填在答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 对四组数据进行统计，获得如下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若的展开式的各项的二项式系数和为32，则展开式中的系数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.21 B. 0.22 C. 0.28 D. 0.32 4. 由数字0，1，2，3，4可以组成没有重复数字，并且比30000大的偶数有（ ） A. 12种 B. 18种 C. 30种 D. 48种 5. 月日是我国的植树节，这一天，小明参加了学校组织的植树活动，种植了，两种树苗各棵，种树苗的成活率为，种树苗的成活率为，记，两种树苗最终成活的棵数分别为，，则（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 6. 已知，，，则为（ ） A. B. C. D. 7. 暑假马上要到了，小明要去张家口坝上旅游，帽子和墨镜每天至少戴一件，他每天戴帽子的概率为，戴墨镜的概率为，每天穿戴的情况独立，记表示他在3天的游玩时间中只戴墨镜的天数，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是，随机变量表示最终的比赛局数，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 在一元线性回归方程中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越强 B. 回归分析中常用残差平方和来刻画拟合效果好坏，残差平方和越小，拟合效果越好 C. 已知变量，线性相关，由样本数据算得经验回归方程为，且由样本数据得，，则 D. 根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05 10. 盒中有6个玩具球，其中有2个是红色的，其余均是蓝色的，现从盒中随机地抽取3个球，则下列事件的概率是的是（ ） A. 恰有1个球是红色的 B. 3个球全是蓝色的 C. 恰有2个球是红色的 D. 至多有2个球是蓝色的 11. 高二（2）班小明等五名同学报名参加学校组织的数学、物理、化学、生物四个科目的竞赛，每人都要报名且限报其中一项．记事件“恰有三名同学报了同一个科目，其他科目报名人数不超过1人”，事件“只有小明同学一人报化学竞赛科目”，则（ ） A. 五名同学的报名情况共有种 B. “每个科目都有人报名”的报名情况共有240种 C. “五名同学最终只报了两个科目”的概率是 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量，若，，则__________． 13. 某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜中珠子从出口5出来，那么你取胜的概率为__________． 14. 已知能够被15整除，其中，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 代驾服务在中国已从一个新兴的细分市场发展成为覆盖亿用户、年订单量突破亿的庞大产业．某用户只在某市的网、网两个代驾平台选择代驾，根据历史数据，选择网的概率为，选择网的概率为，网代驾准时到达率为，网代驾准时到达率为．已知该用户每次选择的代驾准时到达与否相互独立． （1）求该用户选择代驾准时到达的概率； （2）在该用户的次选择代驾中，记准时到达的次数为，若的方差大于，求的最小值． 16. DeepSeek是专注通用人工智能的中国公司，致力于大模型研发应用．其开源推理模型DeepSeek-R1性能出色，在多任务上比肩OpenAI-O1正式版，且可免费商用．在测试DeepSeek-R1时，如果输入的问题没有语法错误，则DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为，当出现语法错误时，DeepSeek-R1的回答被采纳的概率为． （1）在某次测试中输入了6个问题，DeepSeek-R1的回答有4个被采纳．现从这6个问题中抽取3个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的数学期望； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为，求DeepSeek-R1的回答被采纳的概率． 17. 宁夏枸杞是中国国家地理标志产品．某枸杞厂2026年之前只生产食用枸杞，下表为年投入资金（万元）与年收益（万元）的8组数据： 10 20 30 40 50 60 70 80 13.5 15.8 18.5 20 22 23 24 24.2 （1）用模拟生产食用枸杞年收益与年投入资金的关系，求出回归方程； （2）该企业又自主研发出一种药用枸杞片，预计其收益为投入的5%．2026年该企业计划共投入300万元用于生产两种枸杞产品，求年总收益的最大值． 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， ② 161 29 20400 109 603 ③， 18. 为倡导合作学习、共同发展的理念，某中学高二（1）班举办了以小组为单位的诗词竞答比赛，答题规则是：每组选出一名选手作答，若选手没有把握答对，则在规定时间内寻求同组成员帮助作答，同组成员答对即为选手答对.已知甲选手每道题自己有把握独立答对的概率为，同组成员每道题能答对的概率为，假设每道题答对与否互不影响． （1）求甲答对每道题的概率； （2）已知乙选手答对每道题的概率为（含同组成员帮助作答的情况），现甲、乙两人各答两个问题，若甲选手答对题目的个数比乙选手答对题目的个数多的概率不低于，求甲的同组成员每道题答对的概率的最小值． 19. 某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时的为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下的列联表（单位：件）： 产品 合格 不合格 合计 调试前 80 60 140 调试后 40 20 60 合计 120 80 200 （1）根据表中数据，依据小概率值的独立性检验，判断能否认为参数调试与产品质量有关联； （2）现从调试后的样本中按合格和不合格，用按比例分配的分层随机抽样法抽取6件产品重新做参数调试，再从这6件产品中随机抽取2件作对比分析，记抽取的2件中不合格的件数为，求的分布列和数学期望； （3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值． 参考公式及数据：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $