2025～2026学年北师大版数学七年级下册期末自测卷

**基本信息** 本试卷立足北师大八年级下册内容，以生活情境（如财政预算、出租车收费）和几何探究（如“猪蹄模型”）为载体，融合代数运算、空间观念与数据分析，全面考查抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平行线判定、概率事件、轴对称|结合AI图标考轴对称，体现科技情境| |填空题|5/15|函数关系、格点轴对称、行程图像|行程图像分析考数据解读，培养数据意识| |解答题|8/75|几何模型探究、统计估算、折叠变换|“猪蹄模型”递进式探究发展推理能力；统计题用频率估计概率强化应用意识|

苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 里充光多第 数学八年级下册期末自测试卷 (2025~2026学年北师大新教材数学七年下册) (本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟) 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 一、单选题 1.为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了5%，已 知该地区去年的义务教育财政预算支出约为3.8x10“元，则今年的义务教育财政预算支出约 为() A.3.8×100元 B.5.7×1010元 C.3.99×100元D.3.99×10"元 2.如图，点E在AD的延长线上，下列条件能判断AB∥CD的是() B 3 2 4 D E A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.ZC=ZCDE D.∠C+∠ADC=180° 3.掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面 的点数.下列说法正确的是() A.出现点数为6的概率是 B.出现点数为O是随机事件 C.出现点数为偶数是必然事件 D.出现点数为奇数是不可能事件 4.如图，点0在直线AB上，OC⊥OD,若LB0D=25°，则∠AOC的补角的大小为() 试卷第1页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 里充光多笔 A.25° B.65 C.115° D.1559 5.现有长为144cm的铁丝，要截成n小段(n>2),每段的长度不小于1cm,如果其中任意 三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为() A.9 B.10 c.11 D.12 6.以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是() D 7.“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是() A.确定性事件B.随机事件 C.必然事件 D.不可能事件 8.如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有() (a) (b) (c) (d) A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 9.弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的重量xkg)间有下面的 关系： 0 2 3 4 5 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是() A.x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 试卷第2页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 里充光多第 B.弹簧不挂重物时的长度为0cm C.物体质量每增加1kg,弹簧长度y增加0.5cm D.所挂物体质量为7kg时，弹簧长度为13.5cm 10.某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为xkm,收费为y元，则y与x(x≥3)之 间的关系式为() 里程数 收费/元 3km以下（含3km) 8 3km以上每增加1km 1.8 A.y=1.8x B.y=1.8x+8 C.y=8x D.y=1.8x+2.6 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分》 1.若y=2,则6（行y的值为 12.用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知AB∥CD,C表示吸管，若 ∠1=76°，则∠2= 度。 图① 图② 13.图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点.其中点A,B,C均在格点上.请 在给定的网格中，找一格点D,使以点A,B,C,D为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件 的点D的个数是个. 试卷第1页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 里充光多第 C 14.小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路 后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘 公交车到了学校.如图是他们从家到学校已走的路程sm和小明所用时间t(mn)的关系图， 则下列说法中正确的是 .①小明吃早饭用时5min；②小华到学校的平均速度是 240mmin;③小明跑步的平均速度是100m/min;④小华到学校的时间是7：05. ◆s/m 小华小明 1200 500 813 20 t/min I5.如图，在ABC中，AD是BC边上的中线，AC=3,AD=5,则AB的取值范围是 三、解答题（本题共8小题，共75分.第16题10分，17~21题每题8分，22题12分，23 题13分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16.计算： (1)(3b)2: (2)-(ab)2; 3)(-4a2）3; 试卷第2页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒 甲充光今第 (④(y2z）° 17.先化简，再求值：x+2)x-2)+x1-x),其中x=7. 18.如图，点A,B,C,P均在正方形方格纸的格点上，按要求完成下列问题. (I)经过点P画AB的平行线，交AC于点Q; (2)过点P,画AC的垂线段PM,交AC于点M; (3)连接PA,PC; (4)线段PA,PQ,PM,PC中，最短的线段为 ，理由是 19.【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪 的猪蹄，于是将这个图形称为猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系。 E B D D D C F 图1 图2 图3 图4 (I)如图1，AB∥CD,P是AB、CD之间的一点，连接BP、DP,试说明： ∠B+∠D=∠BPD;请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过P作PM∥AB. A :PM∥AB.(辅助线的作法) .∠B=∠BPM.( :AB∥CD.(己知) .PM∥CD.( .∠D=∠DPM.( 试卷第1页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 甲充光今第 :∠BPM+∠DPM=∠BPD.(角的和差定义) .∠B+ =∠BPD.(等量代换) (2)如图2，若AB∥CD,∠BEP=150°，∠PFD=128°，则∠EPF=°； (3)如图3，AB∥CD,点P在AB的上方，问∠PEA,∠PFC,∠EPF之间有什么数量关系？ 请说明理由. 20.植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在 相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数n 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数m 37 77 a 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 n (1)完成上述表格：a= b= ； (2)这种树苗成活的概率估计值为 （精确到0.1). (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 21.如图，AD=CB,AB=CD,BE⊥AC,垂足为E,DF⊥AC,垂足为F,求证： D B (I)△ABC≌△CDA; (2BE=DF. 22.如图，将长方形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在点C、D的位置，CD交 BC于点G,再将△C'FG沿FG折叠，点C落在C"的位置(C"在折痕EF的左侧). 4 E D (1)如果∠FED'=65°，求∠EFC的度数； 试卷第2页，共20页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 里充光多第 (2)如果∠AED'=40°，则∠EFC"= (3)探究∠EFC"与∠AED的数量关系，并说明理由. 23.在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动. 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：1+2×1+1=4； 第二个等式：4+2×2+1=9； 第三个等式：9+2×3+1=16； 第四个等式：16+2×4+1=25； 第n个等式可写为：n2+2n+1=(n+1)2 老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理： (1+2×1+1+(4+2×2++…+（n-12+2(n-1+1+(n2+2n+1)=4+9+…+n2+(n+1 整理得，1+(4+9+…+n2)+2×1+2+…+m)+n=(4+9+…+n2）+(n+12 … 1+2+3+…+n=. 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式。 第一个等式：13+3×12+1+1=2； 第二个等式：23+3×22+2+1=33： 第三个等式：33+3×32+3+1=43； 第四个等式：43+3×42+4+1=53； …… 【问题解决】 (1)请你完成【思考与推理】中省略的步骤. (2)你能写出【类比推广】中的第5个等式： 猜想第n个等 式： 请你证明这个猜想。 (3)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于12+22+32+…+n2的公式. 试卷第1页，共20页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 数学八年级下册期末自测试卷 （2025~2026学年北师大新教材数学七年下册） (本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟) 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题(共30分) 一、选择题(本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 一、单选题 1．为进一步提高义务教育质量，某地区今年义务教育财政预算支出比去年上调了．已知该地区去年的义务教育财政预算支出约为元，则今年的义务教育财政预算支出约为（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题主要查了同底数幂相乘．用乘以，即可求解． 【详解】解：元， 即今年的义务教育财政预算支出约为元． 故选：C 2．如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定定理． 根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.∵， ∴， 该选项符合题意； B. ∵， ∴， 该选项不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项不符合题意； D. ∵， ∴， 该选项不符合题意； 故选：A． 3．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法正确的是（   ） A．出现点数为6的概率是 B．出现点数为0是随机事件 C．出现点数为偶数是必然事件 D．出现点数为奇数是不可能事件 【答案】A 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：A．出现点数为6的概率是，正确，符合题意； B．出现点数为0是不可能事件； C．出现点数为偶数是随机事件； D．出现点数为奇数是随机事件； 故选A． 4．如图，点在直线上，，若，则的补角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂线以及余角和补角，熟练掌握余角和补角的性质是解题的关键； 根据垂直定义可得，从而利用角的和差关系可得，然后利用邻补角的定义，进行计算即可解答； 【详解】解：， ， ， ， 的补角的大小为； 故选：B 5．现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解：段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 6．以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称图形的特点逐一判断即可． 【详解】解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 7．“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是（   ） A．确定性事件 B．随机事件 C．必然事件 D．不可能事件 【答案】B 【详解】解：“随意打开九年级下册数学教科书，正好是25页”这个事件是随机事件． 8．如图，下面4个正方形的边长都相等，其中阴影部分的面积相等的图形有（    ） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】观察图形可发现：四个正方形是全等的，面积相等；a，b，d三个图形中空白部分可以组成一个完整的圆，根据圆的面积相等可得这三个图形中阴影部分的面积相等，得出答案． 【详解】由图可知：（a）、（b）、（d）的空白处均可组成一个完整的半径相等的圆，而正方形的面积相等，根据等量减去等量差相等的原理得这三个图形中阴影部分的面积相等． 故选：． 【点睛】本题既考查了全等图形的知识，还考查了整体与部分的关系． 9．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂的物体的重量间有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（   ） A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】由表中的数据进行分析发现：物体质量每增加，弹簧长度y增加；当不挂重物时，弹簧的长度为，然后逐个分析四个选项，得出正确答案． 本题考查了函数，能够根据所给的表格进行分析变量的值的变化情况，得出答案． 【详解】解：A、y随x的增加而增加，x是自变量，y是因变量，故选项正确； B、弹簧不挂重物时的长度为，故选项错误； C、物体质量每增加，弹簧长度y增加，故选项正确； D、由C知，，则当时，，即所挂物体质量为时，弹簧长度为，故选项正确； 故选：B 10．某市出租车收费标准如下表：设行驶里程数为，收费为y元，则y与x（）之间的关系式为（   ） 里程数 收费/元 3以下（含3） 8 3以上每增加1 1.8 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的关系式，审题是解题的关键． 根据3以下（含3）收费8元，3以上每增加1米收费1.8元，列出关系式即可． 【详解】解：由题意得，所付车费为：， 即． 故选：D． 第二部分 非选择题(共90分) 二、填空题(本题共5 小题，每小题3分，共15分) 11．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 12．用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则______度． 【答案】 【分析】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质；关键是利用数形结合的思想解题；根据对顶角的性质和平行线的性质，可以求得的度数，从而可以得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点均在格点上．请在给定的网格中，找一格点，使以点为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点的个数是_______个．    【答案】2 【分析】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【详解】解：如图所示，      即：满足条件的点的个数为2个， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是解题的关键． 14．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：00先出发去学校，走了一段路后，在途中停下来吃了早饭，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公交车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程和小明所用时间的关系图，则下列说法中正确的是_________．①小明吃早饭用时；②小华到学校的平均速度是；③小明跑步的平均速度是；④小华到学校的时间是7：05．    【答案】①②③ 【分析】观察图像，根据路程、速度、时间之间的关系依次判断即可． 【详解】由图知小明从家出发，第8分钟至第13分钟在吃早饭，因此小明吃早饭用了5分钟，故①正确； 由图知小华从家到学校的路程为1200米，用时分钟，因此小华到学校的速度为，故②正确； 由图知小明从第13分钟至第20分钟跑步到学校，用时分钟，跑的路程为米，因此小明跑步的速度为，故③正确； 由图知小华到学校的时间为7：13，故④错误． 故答案为：①②③ 【点睛】本题主要考查了用图像法表示变量之间的关系，读懂题意，能从所给图像中获取信息是解题的关键． 15．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ____________ ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．延长至E，使，连接，易证得，可求得的长，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 三、解答题(本题共8小题，共75分.第16题10分，17~21题每题8分，22题12分，23题13分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先根据积的乘方运算法则计算，再根据幂的乘方运算法则计算，即积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘． （2）（3）（4）仿照（1）解答． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 17．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先利用平方差公式和单项式乘多项式法则展开式子，再合并同类项化简，最后代入计算结果． 【详解】解： 当时，原式． 18．如图，点，，，均在正方形方格纸的格点上，按要求完成下列问题． (1)经过点画的平行线，交于点； (2)过点，画的垂线段，交于点； (3)连接，； (4)线段，，，中，最短的线段为______，理由是______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)，垂线段最短． 【分析】（）根据网格作平行线即可； （）根据题意画出垂线段即可； （）根据题意画图即可； （）由垂线段最短直接判定即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图， （4）解：线段，，，中，最短的线段为，理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 19．【模型发现】某学校数学兴趣小组的学生在活动中发现：图1中的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系． (1)如图1，，是、之间的一点，连接、，试说明：；请将下面的说理过程补充完整： 说明：如图，过作． ∵．（辅助线的作法） ∴．（__________________） ∵．（已知） ∴．（__________________） ∴．（__________________） ∵．（角的和差定义） ∴______．（等量代换） (2)如图2，若，，，则______°； (3)如图3，，点在的上方，问，，之间有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1)两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，内错角相等； (2)82 (3)，理由见解析 【分析】（1）过作，根据“两直线平行，内错角相等”得，再根据“平行于同一条直线的两条直线互相平行”得，进而根据“两直线平行，内错角相等”得，由此可得； （2）过点作（点在点的右侧），则，由此得，证明得，由此得，然后根据即可得出答案； （3）过点作（点在点的右侧），则，证明得，然后根据即可得出，，之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过作， ∵，（辅助线的作法） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（已知） ∴，（平行于同一条直线的两条直线互相平行） ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，（角的和差定义） ∴．（等量代换） （2）解：过点P作（点在点的右侧），如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：，，之间的数量关系是：；理由如下： 过点作（点在点的右侧），如图3所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即，，之间的数量关系是：． 20．植树节为每年3月12日，某中学买了一批树苗组织学生去植树，资料显示该种树苗在相同条件下成活试验的部分结果如下表： 每批棵数 50 100 150 400 800 1000 成活的棵数 37 77 316 640 800 成活的频率 0.74 0.77 0.78 0.79 0.80 (1)完成上述表格：_____，_____； (2)这种树苗成活的概率估计值为_____（精确到0.1）． (3)如果想要有600棵树能够成活，那么在相同条件下至少需要买多少棵树苗？ 【答案】(1)117，0.80 (2)0.8 (3) 【分析】（1）利用数据占比目标数总数计算即可； （2）利用大量测试下，概率估计值为试验频率可得； （3）利用除以成活概率进行估算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：因为在相同条件下，当试验次数很大时，事件发生的频率可作为概率的近似值，而试验数据量最大为1000棵，对应频率为， 所以这种树苗成活的概率估计值是， （精确到）； （3）解：（棵）， 答：在相同条件下至少需要买棵树苗． 21．如图，，垂足为，垂足为．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接用即可证明； （2）由，可得出，由， 可得出，由即可得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ∴ （2）∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用各种方法进行判定三角形全等是解题的关键． 22．如图，将长方形纸片沿折叠后，点、分别落在点、的位置，交于点，再将沿折叠，点落在的位置（在折痕的左侧）． (1)如果，求的度数； (2)如果，则                  ； (3)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)30 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据折叠的性质求出，然后根据平行线的性质求解即可； （2）先求出的度数，然后利用平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，根据折叠可求出的度数，由角的和差关系求出的度数，再根据折叠求出的度数，最后根据角的和差关系求解即可； （3）设，然后类似（2）的方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴. （3）解： 理由：设， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴． 23．在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动． 【思考与推理】老师提供了下列一组等式： 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； … 第n个等式可写为： 老师引导同学们将这n个等式相加，做了如下推理： 整理得， …… … 【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式． 第一个等式：； 第二个等式：； 第三个等式：； 第四个等式：； …… 【问题解决】 (1)请你完成【思考与推理】中省略的步骤． (2)你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：___________________，请你证明这个猜想． (3)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式． 【答案】(1)详见解析 (2)，，证明见解析 (3)，见解析 【分析】本题考查了整式的混合运算，数字类规律探索，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键． （1）根据等式的性质以及完全平方公式计算即可； （2）根据已知的前4个等式总结出第5个等式，以及第n个等式的规律，并将等式左右两边利用多项式乘多项式展开即可证明相等； （3）先通过，将等式中的从、、、依次取到时，就可得个等式，再累加即可， 【详解】（1）解：剩余步骤为：， ∴， ∴； （2）解：【类比推广】中的第5个等式：；猜想第n个等式：， 证明：左边， 右边， ∵左边右边， ∴原式成立； （3）解：， 当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式： ， ， ， ， ， 将这个等式的左右两边分别相加得：， 即 ． 试卷第2页，共20页 试卷第1页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $