期末解答题专项突破2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级下册（四大板块）

**基本信息** 聚焦鲁教版五四制八年级下册期末四大核心板块，以题载知，覆盖特殊平行四边形、二次根式、一元二次方程、图形的相似，题型从基础到综合，突出知识逻辑与中考高频考点，培养几何直观、推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊平行四边形|5道|性质证明、计算（周长/面积）|菱形→矩形→正方形性质与判定递进，结合平行四边形基础| |二次根式|6道|运算、化简求值、阅读题、应用题|概念→运算→实际应用，培养运算能力与应用意识| |一元二次方程|5道|解方程、根的判别式、应用题（增长率/面积/利润）|解法→根的性质→实际问题模型构建，发展模型意识| |图形的相似|5道|性质应用、位似作图、证明、测量应用|相似判定与性质→位似变换→实际测量，提升几何直观与推理能力|

期末重难点突破训练2025-2026学年鲁教版 （五四制）八年级下册（四大板块） 板块一：特殊平行四边形 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于E． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， ． （2）解：在菱形中，， 在中，，， ， ， ， 周长． 2．如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F． （1）求证：四边形CDOF是矩形； （2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由． 【答案】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知）， ∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF． ∵∠AOC+∠BOC=180°， ∴2∠COD+2∠COF=180°． ∴∠COD+∠COF=90°． ∴∠DOF=90°． ∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知）． ∴OD⊥AC，AD=DC ∴∠CDO=90°． ∵CF⊥OF， ∴∠CFO=90°． ∴四边形CDOF是矩形． （2）解：当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．理由如下： ∵∠AOC=90°，AD=DC， ∴OD=DC． 又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形． 因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形． 3.已知：如图，△ABC中，M是BA延长线上一点，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，过点A作AF∥BC，与DE的延长线相交于点F． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形． （2）如果AF平分∠MAC，求证：四边形ADCF是矩形． 【答案】证明：（1）∵AD是△ABC的中线，E是AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥AB， ∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形； （2）∵四边形ABDF是平行四边形， ∴AF＝BD． ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∴AF＝CD． ∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∵AF平分∠MAC， ∴∠MAF＝∠CAF． ∵AF∥BC， ∴∠MAF＝∠B，∠CAF＝∠ACB， ∴∠B＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCF是矩形． 4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点F，且BD平分∠ABC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，求△BDE的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∴∠ADB＝∠ABD， ∴AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． （2）解：∵AD∥BC，点E在BC的延长线上， ∴AD∥CE， ∵DE∥AC， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴CE＝AD＝BC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠BDE＝∠BFC＝90°， ∵AC＝6，CD＝3， ∴DE＝AC＝6，CD＝BC＝CEBE＝3， ∴BE＝2CD＝6， ∴BD12， ∴S△BDEBD•DE12×6＝36， ∴△BDE的面积为36． 5.如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，作于，于，则，   点是正方形对角线上的点， ， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ， ∴， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形． （2）解：的值是定值，定值为，理由如下： 正方形和正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是定值． 板块二：二次根式 1．计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： （2）解： ． 2．计算： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）． 【解答】解：（1）； （2）． 3.计算：． 【答案】解：原式＝49﹣20﹣3 ＝26． 4.先化简，再求值：，其中． 【答案】 解：， ， 当时， 原式， ， 5.阅读下面问题： ＝＝﹣1； ＝＝﹣； ＝＝﹣2． （1）求的值； （2）计算：+++…++． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）原式＝＝﹣； （2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9． 6.某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（，结果保留到小数点后两位） 【答案】(1)米 (2)1350.70元 【详解】（1）解：依题意，（米）． 答：该长方形闲置区域的周长为米． （2）解： （平方米）． ∴其余区域的面积为平方米， （元）． 答：购买红毯大约需要花费1350.70元． 板块三：一元二次方程 1.解方程： (1)；(2)． 【答案】(1)，(2)， 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得，． （2）解：， ， ， ， 解得，． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝13，求m的值． 【答案】（1）证明：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0， ∵（m﹣1）2≥0， ∴Δ＝（m﹣3）2﹣4×（﹣m） ＝m2﹣6m+9+4m ＝m2﹣2m+1+8 ＝（m﹣1）2+8≥8＞0， 则方程有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系可得：x1+x2＝m﹣3，x1x2＝﹣m， ∵x12+x22﹣x1x2＝13， ∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，即（m﹣3）2+3m＝13， 整理得：m2﹣3m﹣4＝0，即（m﹣4）（m+1）＝0， 所以m﹣4＝0或m+1＝0， 解得：m＝4或m＝﹣1． 3.受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由40000元/平方米，下降到32400元/平方米． （1）求房价年平均下降率； （2）按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 【答案】解：（1）设房价年平均下降率为x， 依题意得：40000（1﹣x）2＝32400， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． 答：房价年平均下降率为10%． （2）32400×（1﹣10%）＝32400×90%＝29160（元）． 答：下一年该市的平均房价约为每平方米29160元． 4.如图，在一块长25m、宽20m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的小路，剩余部分栽种花草，且花草面积为456m2． (1)求小路的宽； (2)每平方米小路的建设费用为100元，求修建两条小路的总费用． 【小题1】解：设小路的宽为x m，则栽种花草的部分可合成长（25-x）m、宽（20-x）m的矩形， 依题意得：（25-x）（20-x）=456， 整理得：x2-45x+44=0， 解得：x1=1，x2=44（不合题意，舍去）． 答：小路的宽为1m． 【小题2】100×[（25+20）×1-1×1] =100×[45×1-1×1] =100×[45-1] =100×44 =4400（元）． 答：修建两条小路的总费用为4400元． 5.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元，通过调查发现，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．为了扩大销售量，增加利润，超市准备适当降价销售． （1）若将这种饮料每箱降价x元，则每天的销售量是 　 　箱（用含x的代数式表示） （2）如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？ 【答案】解：（1）设这种饮料每箱降价x元，则每天的销售量为100+2x， 故答案为：（100+2x）； （2）根据题意得：（120﹣x）（100+2x）＝14000， 整理得：﹣2x2+140x+12000＝14000， 解得x1＝20，x2＝50， ∵为了扩大销售量， ∴x＝50． 答：每箱应降价50元． 板块四：图形的相似 1.如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵四边形四边形， ∴ ∴ 故答案为： （2）解：∵四边形四边形 ∴ ∵， ∴ 解得： 2.在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在网格中画出关于轴成轴对称的． (2)若能在网格中画出以为位似中心，位似比为的，请画出来，若不能在网格中画出来，请写出三个点的坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)不能画出来，，，或，， 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：不能画出来．当和在原点同侧时，，，，即，，； 当和在原点异侧时，，，，即，，； 综上，，，或，，． 3.如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 【答案】证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵，， ∴，且，     ∴． 4．如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，估算古塔的高度. 【答案】解：根据题意得：AB⊥AF，CD⊥AF，HG⊥AF，GH=CD ∴HGAB，CDAB ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∵米，米，米， ∴ ，解得： 米， ∴ ，解得： 米， 答：古塔的高度约为68.7米. 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末重难点突破训练2025-2026学年鲁教版 （五四制）八年级下册（四大板块） 板块一：特殊平行四边形 1．如图，在菱形中，对角线与相交于点O，过点D作交的延长线于E． (1)求证：； (2)若，，求的周长． 2．如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F． （1）求证：四边形CDOF是矩形； （2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由． 3.已知：如图，△ABC中，M是BA延长线上一点，AD是△ABC的中线，E是AC的中点，过点A作AF∥BC，与DE的延长线相交于点F． （1）求证：四边形ABDF是平行四边形． （2）如果AF平分∠MAC，求证：四边形ADCF是矩形． 4．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点F，且BD平分∠ABC，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若，求△BDE的面积． 5.如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作，交于点，以、为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形； (2)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 板块二：二次根式 1．计算： (1)；(2)． 2．计算： （1）； （2）． 3.计算：． 4.先化简，再求值：，其中． 5.阅读下面问题： ＝＝﹣1； ＝＝﹣； ＝＝﹣2． （1）求的值； （2）计算：+++…++． 6.某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（，结果保留到小数点后两位） 板块三：一元二次方程 1.解方程： (1)；(2)． 2.已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为x1、x2，且x12+x22﹣x1x2＝13，求m的值． 3.受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由40000元/平方米，下降到32400元/平方米． （1）求房价年平均下降率； （2）按照这个年平均下降率，预计下一年该市的平均房价每平方米多少元？ 4.如图，在一块长25m、宽20m的矩形空地上，修建两条同样宽的相互垂直的小路，剩余部分栽种花草，且花草面积为456m2． (1)求小路的宽； (2)每平方米小路的建设费用为100元，求修建两条小路的总费用． 5.某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润为120元，通过调查发现，若每箱降价1元，每天可多售出2箱．为了扩大销售量，增加利润，超市准备适当降价销售． （1）若将这种饮料每箱降价x元，则每天的销售量是 　 　箱（用含x的代数式表示） （2）如果要使每天销售饮料获利14000元，问每箱应降价多少元？ 板块四：图形的相似 1.如图，四边形四边形，，． (1)___________； (2)求边的长度． 2.在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，，． (1)在网格中画出关于轴成轴对称的． (2)若能在网格中画出以为位似中心，位似比为的，请画出来，若不能在网格中画出来，请写出三个点的坐标． 3.如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 4．如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 5．某校社会实践小组为了测量古塔的高度，在地面上C处垂直于地面竖立了高度为2米的标杆，这时地面上的点E，标杆的顶端点D，古塔的塔尖点B正好在同一直线上，测得米，将标杆向后平移到点G处，这时地面上的点F，标杆的顶端点H，古塔的塔尖点B正好在同一直线上（点F，点G，点E，点C与古塔底处的点A在同一直线上），这时测得米，米，请你根据以上数据，估算古塔的高度. 学科网（北京）股份有限公司 $