25.3第四课时：因式分解法学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦九年级上册25章一元二次方程的因式分解法，通过“数的平方与3倍关系”问题导入，对比小颖、小亮、小明的解法引出因式分解法原理，衔接配方法、公式法，搭建从旧知到新知的学习支架。 以问题情境驱动探究，通过错误解法辨析强化推理意识，例题涵盖提公因式、公式法及物理上抛应用，培养运算能力与模型意识。分层练习与方法对比设计，助学生灵活选择解法，提升数学思维品质，适合课堂教学与自主学习。

人教版九年级数学上册第25章一元二次方程 第三课时：25.2.3因式分解法学案 一、素养目标 1.会用因式分解法(提公因式法、运用公式)解一元二次方程； 2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性； 4.掌握因式分解法解方程原理与方法，培养逻辑推理、数学运算能力，增强模型意识，提升数学思维品质. 二、教学重点、难点 重点：用因式分解法解一元二次方程. 难点：让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便. 三、教学过程 探究新知 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？ 小颖、小亮、小明都设这个数为x，根据题意，可得方程x2＝3x.但他们的解法各不相同.看看他们做得对吗？ 小颖：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0，因此 即x1＝0，x2＝3，所以这个数是0或3. 小亮：将方程x2＝3x两边同时约去x，得x＝3，所以这个数是3. (方程两边约去x时，必须确保x≠0，但这里x恰恰能够等于0，所以这种变形是错误的.结果会丢掉一个根.) 小明：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0即 x(x－3)＝0于是 x＝0，或 x－3＝0因此 x1＝0，x2＝3所以这个数是0或3. 如果a·b＝0，那么a＝0，或b＝0. x2－3x＝0 即 x(x－3)＝0 于是 x＝0，或 x－3＝0 因此 x1＝0，x2＝3 所以这个数是0或3. 可以发现，在上述解法中，由x2－3x＝0到x＝0或x－3＝0的过程，不是用开平方降次，而是先分解因式，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 练一练 用因式分解法解下列方程： ( 解： ( 2 ) 左边分解因式，得 ( x ＋ 3 )( 3 x － 2 )＝ 0 于是 x ＋ 3 ＝ 0 ，或 3 x － 2 ＝ 0 即 x 1 ＝－ 3 ， x 2 ＝ )(1) 4x＝5x2 (2) 3x(x＋3)－2(x＋3)＝0 解：(1)移项，得 4x－5x2＝0 左边分解因式，得 x(4－5x)＝0 于是 x＝0，或 4－5x＝0 即 x1＝0，x2＝ 例4 解下列方程： (1) x(x－2)＋x－2＝0 (2) 5x2－2x－＝x2－2x＋ ( 解： ( 2 ) 移项、合并同类项，得 4 x 2 － 1 ＝ 0 因式分解，得 ( 2 x ＋ 1 )( 2 x － 1 )＝ 0 于是得 2 x ＋ 1 ＝ 0 ，或 2 x － 1 ＝ 0 x 1 ＝ ， x 2 ＝ ) ( 解： ( 1 ) 因式分解，得 ( x － 2 )( x ＋ 1 )＝ 0 于是得 x － 2 ＝ 0 ，或 x ＋ 1 ＝ 0 x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝- 1 ) 归纳总结 利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)移：移项，将方程的右边化为0； (2)分：将方程的左边分解成两个一次因式的乘积的形式； (3)化：令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程； (4)解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的根. 思考 学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？ 配方法要先配方，再开方，进而降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先将方程一边化为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法只在解某些一元二次方程时比较简便.总之，解一元二次方程的基本思路是：先将二次方程化为两个一次方程，即降次，再分别解两个一次方程. 问题 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么物体经过xs后的离地高度(单位：m)约为10x－5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面？ 解：设物体经过xs落回地面，这时它离地面的高度为0m，即 10x－5x2＝0方程的左边分解因式，得 x(10－5x)＝0 于是 x＝0，或 10－5x＝0 即 x1＝0，x2＝2 对于这两个根，x1＝0表示物体抛离地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m；而x2＝2表示物体在抛离地面2s时落回地面. 课堂练习 1.解下列方程： (1) x2＋x＝0 (2) x2－x＝0 (3) 3x2－6x＝－3 (4) 4x2－81＝0 (5) 3x(2x＋1)＝4x＋2 (6) (x－4)2＝(5－2x)2 2. 如图，把小圆形场地的半径增加5m，得到大圆形场地，大圆形场地与小圆形场地的面积比为9∶4.求小圆形场地的半径. 参考答案： 1、 （1）0，-1（2）0，（3）1（4）4.5，-4.5 （5）-0.5， （6）3,1 2、 10米 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，提高用分解因式法解方程的能力. 在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法. 部分学生因式分解基础薄弱，不会灵活变形整理方程，易漏根、错根。今后需课前巩固因式分解旧知，加强题型变式训练，引导学生对比多种解法，强化转化思想，规范书写步骤，提升学生运算与应用能力。 6、 课堂检测 1、 解方程 (1) (2)． (3) (4) (5) (6) 2、若关于x的方程x2－2x+k－1=0 。 （1）方程有实数根，则k的取值范围 （2）若方程的一个根是-1，求另一个根及k值. 3、先化简，再求值：，其中 参考答案： 1、 （1）9，（2）（3）1，（4）1，-5 （5）-1,5（6）2，-1.5 2、 k≤2 , k=-2,另一根是3 3、 ， 学科网（北京）股份有限公司 $