25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

 第25章  一元二次方程

25.2 降次—解一元二次方程

25.2.4   一元二次方程的根与系数的关系

【学习目标】

1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系.

2. 通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与两根之和与两根之积的规律发现、完成归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程.

学习重点：探索一元二次方程的根与系数的关系.

学习难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题.

【复习导入】

一元二次方程	两根		x1+x2=？	x1·x2=？
	x1	x2
x²－8x+1 = 0
x²－2x－1 = 0
x²+3x－4 = 0

填一填，然后想一想如何验证你发现的规律.

 

 

      

【合作探究】

探究点：探索一元二次方程的根与系数的关系

 

思考1：观察求根公式               它有什么特点？

 

 

因为 x1＝                     ，x2＝                  .  

 

所以 x1 + x2=                       x1·x2=

 

 

 

 

 

 

 

思考2：我们知道，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的左边可以分解因式为

 a(x - x1)(x - x2)，那么方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2. 反过来，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2，那么上面的关系还能通过什么方法得出？

 

 

 

 

归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系

如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么，.

(前提条件是b2－4ac≥0)

 

 

典例精析

例1  利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积.

(1) x2–6x–15 = 0；    (2) 3x2+7x－9 = 0；     (3) 5x–1 = 4x2.

 

 

 

 

 

归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别 Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可.

 

例2  已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.

 

 

 

 

 

变式题  已知关于x的方程3x2－18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.

 

 

 

 

例3  不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和.

 

 

 

 

 

 

归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入.

 

常见的求值式子如下：