25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程根与系数的关系，课堂导入通过填写具体方程的两根及和积表格，引导学生观察规律，搭建从已学解方程到本节规律探究的学习支架，衔接前后知识脉络。 资料亮点在于注重学生自主探索，通过求根公式推导与因式分解验证，培养推理能力与抽象能力。典例与练习涵盖已知一根求参数、不解方程求代数式值等场景，提升模型意识与应用意识，助力学生用数学思维分析问题，发展理性精神。

第25章 一元二次方程 25.2 降次—解一元二次方程 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 【学习目标】 1. 熟练掌握一元二次方程根与系数的关系. 2. 通过创设一定的问题情境，注重由学生自己探索，让学生参与两根之和与两根之积的规律发现、完成归纳验证以及演绎证明等整个数学思维过程. 学习重点：探索一元二次方程的根与系数的关系. 学习难点：不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 【复习导入】 一元二次方程 两根 x1+x2=？ x1·x2=？ x1 x2 x²－8x+1 = 0 x²－2x－1 = 0 x²+3x－4 = 0 填一填，然后想一想如何验证你发现的规律. 【合作探究】 探究点：探索一元二次方程的根与系数的关系 思考1：观察求根公式 它有什么特点？ 因为 x1＝ ，x2＝ . 所以 x1 + x2= x1·x2= 思考2：我们知道，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的左边可以分解因式为 a(x - x1)(x - x2)，那么方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2. 反过来，如果一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个根为 x1 和 x2，那么上面的关系还能通过什么方法得出？ 归纳总结：一元二次方程的根与系数的关系 如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1、x2，那么，. (前提条件是b2－4ac≥0) 典例精析 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. (1) x2–6x–15 = 0； (2) 3x2+7x－9 = 0； (3) 5x–1 = 4x2. 归纳：在求两根之和、两根之积时，先把方程化为一般式，判别 Δ≥0，如是则代入 a、b、c的值即可. 例2 已知关于x的方程5x2+kx－6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 变式题 已知关于x的方程3x2－18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 例3 不解方程，求方程2x2+3x－1=0的两根的平方和、倒数和. 归纳：求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入. 常见的求值式子如下： 练一练 1.设x1，x2为方程x2－4x+1=0的两个根，则： (1) ， (2) ， (3) ， (4) . 2. 已知 x1，x2 是方程 x2－x－2026 = 0 的两个实数根，则代数式 －2026x1 + 的值是 ( ) A. 4053 B. 4052 C. 2026 D. 1 当堂反馈 1.[教材变式]不解方程，求下列方程两个根的和与积. (1)x2＋4x－1＝0； (2)2x2＋4x＋1＝0； (3)6x2－x＝2x2＋3. 2.[高频易错]已知关于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k2－k＋1＝0有两个实数根. (1)求k的取值范围； (2)若该方程有两个实数根x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1)＝11，求k的值. 参考答案 【复习导入】 【合作探究】 探究点：探索一元二次方程的根与系数的关系 典例精析 例1 解：（1） a=1 , b= – 6 , c= – 15. Δ = b2– 4ac =( – 6 )2 – 4 × 1 ×(– 15) = 96 > 0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1 + x2 = –( – 6 ) =6，x1 x2 = – 15 . （2）a = 3 , b =7, c = –9. Δ= b2 - 4ac = 72 –4×3×(-9) =157 > 0，∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是x1，x2，那么x1 + x2 =， x1 x2 =. （3） 方程可化为4x2–5x +1 =0，a =4，b = – 5，c = 1.Δ = b2- 4ac =(– 5)2 – 4×4×1=9>0. ∴方程有两个实数根.设方程的两个实数根是x1， x2，那么x1 + x2 =，x1 x2 = 例2 解：设方程的两个根分别是x1，x2，其中x1=2 . 所以x1 x2 =2x2=即x2 = 由于x1 + x2=2+ = 得k=－7. 答：方程的另一个根是k=－7. 变式题 解：设方程的两个根分别是x1，x2，，其中x1=1.所以x1 + x2=1+ x2=6，即 x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 例3 解：根据根与系数的关系可知： ∵∴ 练一练 1.（1）4 （2）1 （3）14 （4）12 2.A 当堂反馈 1.(1)解：x1＋x2＝－4，x1x2＝－1. (2)解：x1＋x2＝－2，x1x2＝. (3)解：原方程化为一般形式得4x2－x－3＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝－. 2.(1)解：∵方程有两个实数根， ∴Δ＝(2k＋1)2－4(k2－k＋1)≥0，解得k≥. (2)解：∵x1＋x2＝－2k－1，x1x2＝k2－k＋1，(x1＋1)(x2＋1)＝11， ∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＝11，即k2－k＋1－2k－1＋1＝11. 整理得k2－3k－10＝0，解得k1＝－2，k2＝5.∵k≥，∴k＝5. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $