25.3第二课时实际问题与一元二次方程(2)学案 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程解决实际问题，以传染病传播实例导入，通过探究传播问题抽象出(1+x)^n模型，再结合成本平均下降率问题巩固，搭建从具体实例到数学模型的学习支架，衔接方程解法与实际应用。 资料特色在于以生活实例引导学生用数学眼光观察数量关系，通过分析等量关系、检验根的实际意义培养数学思维，归纳a(1±x)^n=b模型强化数学语言表达，习题覆盖不同情境，助力学生掌握建模方法，提升应用意识。

人教版九年级数学上册第25章一元二次方程 第二课时25.3.2实际问题与一元二次方程(2)学案 一、素养目标 1.能从生活实际问题中提取数量关系，抽象出一元二次方程模型，掌握建模基本流程； 2.熟练列、解一元二次方程，能检验方程根的实际意义，舍去不符合题意的解； 3.能用一元二次方程解决增长率、面积、营销等实际问题，增强用数学解决生活问题的意识. 二、教学重点、难点 重点：掌握建立数学模型解决传播、平均变化率等问题. 难点：能根据具体问题中的数量关系，建立正确的数学模型. 三、教学过程 课堂导入 传染病是由各种病原体引起的能在人与人、动物与动物或人与动物之间相互传播的一类疾病.传染病是经过各种途径传染给另一个人或物种的感染病.通常这种疾病可借由直接接触已感染的个体、感染者的体液及排泄物、感染者所污染到的物体，可以通过空气传播、水源传播、食物传播、接触传播、土壤传播、垂直传播(母婴传播)、体液传播、粪口传播等. 探究1 某种传染病的传染速度很快，如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？ 分析：设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 解：设每轮传染中平均1个人传染了x个人. 列方程 1＋x＋x(1＋x)＝121 (1＋x)2＝121 解方程，得 x1＝10，x2＝－12(不合题意，舍去) 因此，每轮传染中平均1个人传染了10个人. 通过探究本题，谈谈你对类似的传播问题中数量关系的认识. 想一想：若传染源为1个人(或物)，每轮传染中平均一个人(或物)传染了x个人(或物)，则第n轮传染后共有(1＋x)n个人(或物)被传染. 思考 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？由此体会阻断病毒传播的必要性. (10＋1)3＝113＝1331(人) 探究2 两年前生产1t甲种食品的成本是10000元，生产1t乙种食品的成本是12000元.随着生产技术的进步，现在生产1t甲种食品的成本是6000元，生产1t乙种食品的成本是7200元.哪种食品成本的年平均下降率较大？ 问题1 甲、乙两种食品的成本年平均下降额分别是多少？ 甲：(10000－6000)÷2＝2000(元) 乙：(12000－7200)÷2＝2400(元) 显然，乙种食品成本的年平均下降额较大. 问题2 甲、乙两种食品的成本的年平均下降率分别是多少？它们和年平均下降额相同吗？ 成本的年平均下降率＝×100% 年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数) 设甲种食品成本的年平均下降率为x， 设乙种食品成本的年平均下降率为y. 解：设甲、乙两种食品成本的年平均下降率分别为x和y，根据题意，得 10000(1－x)2＝6000，12000(1－y)2＝7200 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775(不合题意，舍去) y1≈0.225，y2≈1.775(不合题意，舍去) 综上可知，甲、乙两种食品成本的年平均下降率相同，约为22.5%. 想一想：为什么选择22.5%作为答案？ 根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数，所以应选取22.5%. 思考 经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的食品，它的成本下降率一定大吗？应怎样全面比较几 个对象的变化情况？ 经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格. 归纳总结 若平均增长(或降低)百分率为x， 增长(或降低)前的量是a,增长(或降低)n次后的量是b， 则它们的数量关系可表示为：a(1±x)n＝b. 其中增长用“＋”表示，降低用“－”表示. 课堂练习 1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支.如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支？ 2.青山村所种水稻2020年平均每公顷产15000kg，2022年平均每公顷产18000kg.求水稻每公顷产量的年平均增长率(结果写成a%的形式，其中a保留小数点后两位) 参考答案： 1、 解：设每个支干长出x个小分支,列方程为：1+x+x²=91，解得x=9,（-10舍去）答：略 2、 解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x,列方程为15000(1+x)²=18000，解得x≈9.54% 答：略 四、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 五、教学反思 本节课围绕一元二次方程解决实际问题展开，结合生活实例引导学生建模列式，初步培养了学生数学应用意识。但教学中发现，部分学生审题不细致，难以找准题目等量关系，解方程计算失误较多，还容易忽略方程解的实际意义检验。课堂分层指导不足，学困生跟不上解题思路。后续教学需强化审题方法指导，规范解题步骤，加强针对性练习与个别辅导，注重数学建模思维的逐步渗透。 6、 课堂检测 1、解方程 （1） （2） （3） （4） 2、.在古代有一部落，15位族人外出狩猎回来，其中有5个人染上了瘟疫，经过两轮传染后部落里共有125个人染上了瘟疫，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 3.某商店6月份的利润是2.5万元，要使8月份的利润达到3.6万元，这两个月的月平均增长率是多少？ 参考答案： 1、（1）2，-1（2）（3）1， （4） 2、解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.根据题意，列出方程 5+5x+x(5+5x)=125，整理得 5(1+x)2=125 解方程，得 x1=4，x2=-6(不合题意，舍去) 答：每轮传染中平均一个人传染了4个人. 3、解：设这两个月的月平均增长率是x.根据题意，列出方程 2.5(1+x)2=3.6 解方程，得 x1=0.2，x2=-2.2(不合题意，舍去) 答：这两个月的月平均增长率为20%. 学科网（北京）股份有限公司 $