期末考点分类训练之三角形的证明2025-2026学年北师大版数学八年级下册（七考点）

**基本信息** 以三角形内角和定理为基础，按“一般三角形-特殊三角形-特殊线”逻辑分层，覆盖选择、填空、解答题型，突出性质应用与推理证明，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形内角和定理|5题|角度计算、折叠综合|从内角和定理推导角平分线、高线相关角关系| |等腰三角形|6题|分类讨论、性质判定|结合内角和探究边与角的转化，延伸至三线合一| |等边三角形|3题|性质应用、多结论判断|基于等腰三角形拓展，强化全等与旋转思想| |含30°角的直角三角形|3题|边长计算、性质应用|直角三角形中特殊角与边的数量关系推导| |直角三角形|4题|判定、余角性质|内角和定理的特殊化，关联勾股定理预备知识| |垂直平分线|5题|性质应用、最值问题|从线段垂直平分线定义延伸至轴对称性质| |角平分线|8题|性质证明、面积计算|通过角平分线性质构建全等模型，强化逻辑推理|

期末考点分类训练之三角形的证明2025-2026学年 北师大版八年级下册（七考点） 考点1：三角形内角和定理 1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（　　） A．20° B．30° C．45° D．50° 【答案】A。 2．如图，点O在△ABC内，且点O是△ABC两个角平分线的交点．若∠OBC+∠OCB＝55°，则∠A的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】A 3.如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 4.如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为 ．    【答案】25° 5．小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则 ． 【答案】 考点2：等腰三角形 1.等腰三角形的一个底角为，则另外两个内角的度数分别是（ ） A. ， B. ，或， C. ， D. ，或， 【答案】C 2.如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 3.如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 4．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 5.已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 ． 【答案】22 6.如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】（1）证明：，， ， ． 又是上一点， ． 在与中 ， ； （2）证明：， ． 又中， ， ， ； 考点3：等边三角形 1．如图，等边三角形中，是上的高，点E，F分别在上，且，则图中与相等的线段（不包含）一共有（ ） A．4条 B．6条 C．7条 D．8条 【答案】C 2.如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 3.如图所示，是等边三角形，、、分别在，，上，且，，． (1)试判断是否为等边三角形，并说明理由； (2)若，请直接写出的周长． 【答案】 （1）解：是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理， ∴是等边三角形； （2）由（1）可知：是等边三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在中 ∵ ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴的周长为． 考点4：含30°角的直角三角形的性质 1.如图，在中，为直角，，于D，若，则的长度是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 2.如图，在中，，，则边上的高的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 3.如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 考点5：直角三角形 1．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】B 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　） A．∠A与∠1互余 B．∠B与∠2互余 C．∠A＝∠2 D．∠1＝∠2 【答案】D 3.将一副三角板如图所示放置，使得两条直角边在一条直线上，则∠1的度数是（　　） A．55° B．60° C．75° D．80° 【答案】C 4.直角三角形的一个锐角为35°，则另一锐角为 　 　°． 【答案】55 考点6：垂直平分线 1．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是（　　） A．24° B．30° C．32° D．36° 【答案】C 2.如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点G，连结，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．18 B．20 C．22 D．36 【答案】C 3.如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 【答案】A 4．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　 　． 【答案】6 5．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为　 　． 【答案】15 考点7：角平分线 1．如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB=7cm，AC=3cm，则BD等于（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 【答案】D 2．如图，P是 的三条角平分线的交点，连接 若 的面积分别为 ，则 （　　） ． A． B． C． D．无法确定 【答案】C 3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　） A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 【答案】B 4．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，以下结论：①∠AED＝90°;②点 E 是 BC 的中点;③DE＝BE;④AD＝AB＋CD;其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 5．如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，且BC=8cm，BD=5cm，则　DE=　 　cm． 【答案】3 6．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是18cm2，AB=10cm，AC=8cm，则DE=　 　． 【答案】2 7．在中，是的平分线，是的平分线，连接，作，，，的面积 ． 【答案】18 8．如图，在中，平分，，于点，点在上，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明： 平分 ， ， 于 ， ． 在 与 中， ， ≌ ， ． （2）解：设 ，则 ， 平分 ， ， ． 在 与 中， ， ≌ ， ， 即 ， 解得 ， 即 ． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考点分类训练之三角形的证明2025-2026学年 北师大版八年级下册（七考点） 考点1：三角形内角和定理 1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB＝125°，则∠CAD的度数为（　　） A．20° B．30° C．45° D．50° 2．如图，点O在△ABC内，且点O是△ABC两个角平分线的交点．若∠OBC+∠OCB＝55°，则∠A的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 3.如图1，中，点E和点F分别为上的点，把纸片沿折叠，使得点A落在的外部处，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4.如图，在△ABC中，∠A＝50°，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，则∠E的度数为 ．    5．小东同学使用激光笔进行折射实验．当光线从空气进入水中时，它的传播方向会发生改变．已知实验装置中液面与玻璃杯底面平行，其截面图如图所示．若，，则 ． 考点2：等腰三角形 1.等腰三角形的一个底角为，则另外两个内角的度数分别是（ ） A. ， B. ，或， C. ， D. ，或， 2.如图，在中，点D在上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.如图是古建筑中的房梁三角架的示意图．在中，，是的中点，连接，是上一点，且．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，则图中的等腰三角形共有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 5.已知等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长等于 ． 6.如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，． (1)求证：； (2)求证：． 考点3：等边三角形 1．如图，等边三角形中，是上的高，点E，F分别在上，且，则图中与相等的线段（不包含）一共有（ ） A．4条 B．6条 C．7条 D．8条 2.如图，已知等边和等边，点P在的延长线上，的延长线交于点M，连接；下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3.如图所示，是等边三角形，、、分别在，，上，且，，． (1)试判断是否为等边三角形，并说明理由； (2)若，请直接写出的周长． 考点4：含30°角的直角三角形的性质 1.如图，在中，为直角，，于D，若，则的长度是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 2.如图，在中，，，则边上的高的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 考点5：直角三角形 1．△ABC中，已知∠A、∠B、∠C的度数之比是1：2：3，则△ABC的形状是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．下列结论中，不一定成立的是（　　） A．∠A与∠1互余 B．∠B与∠2互余 C．∠A＝∠2 D．∠1＝∠2 3.将一副三角板如图所示放置，使得两条直角边在一条直线上，则∠1的度数是（　　） A．55° B．60° C．75° D．80° 4.直角三角形的一个锐角为35°，则另一锐角为 　 　°． 考点6：垂直平分线 1．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线EF交∠ABC的平分线BD于E，如果∠BAC＝60°，∠ACE＝24°，那么∠BCE的大小是（　　） A．24° B．30° C．32° D．36° 2.如图，在中，是的中线，是边的中垂线，且与相交于点G，连结，若四边形与四边形的面积分别为8和13，则的面积为（    ） A．18 B．20 C．22 D．36 3.如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是（　　） A．8 B．3 C．6 D．4 4．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为　 　． 5．如图所示，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为　 　． 考点7：角平分线 1．如图所示，在△ABC中，AC⊥BC，AE为∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB=7cm，AC=3cm，则BD等于（　　） A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm 2．如图，P是 的三条角平分线的交点，连接 若 的面积分别为 ，则 （　　） ． A． B． C． D．无法确定 3．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（　　） A．11 B．5.5 C．7 D．3.5 4．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，AE 平分∠BAD，DE 平分∠ADC，以下结论：①∠AED＝90°;②点 E 是 BC 的中点;③DE＝BE;④AD＝AB＋CD;其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．如图，△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，且BC=8cm，BD=5cm，则　DE=　 　cm． 6．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，△ABC的面积是18cm2，AB=10cm，AC=8cm，则DE=　 　． 7．在中，是的平分线，是的平分线，连接，作，，，的面积 ． 8．如图，在中，平分，，于点，点在上，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司 $