陕西省西安中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题

西安中学2026届高二第二学期第二次月考 数学试题 （满分120分，时间120分钟） 一、选择题（本题共8小题，每题4分，共32分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A．10种 B．12种 C．20种 D．60种 2．若，则（ ） A．1 B．10 C．11 D．55 3．已知6道试题中有4道语文题和2道数学题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回，在第一次抽到语文题的条件下，第二次抽到数学题的概率为（ ） A． B． C． D． 4．设随机变量服从正态分布，且，则（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.9 5．最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒1盒、莲花清瘟胶囊2盒、999感冒灵颗粒2盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为、、，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（ ） A． B． C． D． 6．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 7．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现．在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如图），记第2行的第3个数字为，第3行的第3个数字为，…，第行的第3个数字为，则（ ） A．220 B．186 C．120 D．96 8．某人在11次射击中击中目标的次数为，若，若最大，则（ ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、选择题（本题共3小题，每题5分，共15分．在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求） 9．下列有关样本相关系数，叙述正确的是（ ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．越接近1，表示两变量的线性相关程度越强 D．越接近0，表示两变量的线性相关程度越强 10．学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示3名学生会成员中来自甲班的人数，下列命题中正确的是（ ） A．服从超几何分布 B． C．的期望 D．的方差 11．定义：设是的导函数，是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的有（ ） A．， B．函数既有极大值又有极小值 C．函数有三个零点 D．对任意，都有 三、填空题（本题共3小题，每题4分，共12分） 12．函数的单调递减区间是_______． 13．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂1种颜色，要求最多使用3种颜色，且相邻的2个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有______种． 14．甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外三人中的任何一人，则经过6次传球后，球在甲手中的概率为_______． 四、解答题（本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（10分）学考过后，学校对课表进行了调整．一天的课表有7节课，其中上午5节，下午2节，要排语文，数学，外语，体育，化学，生物，物理7节课．（本题结果均用数字作答） （1）数学课不排在第7节课，共有多少种不同的排课方法？ （2）体育课不排在第1节课，数学课不排在第7节课，共有多少种不同的排课方法？ （3）数学课与体育课必须相邻，共有多少种不同的排课方法？ 16．（10分）在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题． 已知，若的展开式中，_______． （1）求的值； （2）求的系数； （3）求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 17．（13分）某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在100天里的销售记录，绘制了以下频数分布表： 日销售量（单位：个） 频数 15 25 30 20 10 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立． （1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率； （2）用表示在未来3天里日销售量不低于150个的天数，求随机变量的分布列、数学期望和方差． 18．（13分）已知（为自然对数的底数） （1）求函数的最大值； （2）设，若对任意，总存在．使得，求实数的取值范围． 19．（15分）数列（卡特兰数列）最早由我国清代数学家明安图（1692-1765）在研究三角函数幂级数的推导过程中发现，成果发表于1774年出版的《割圜密率捷法》中，后由比利时数学家卡特兰（，1814-1894）的名字来命名，该数列的通项被称为第个数，其通项公式为．在组合数学中，有如下结论：由个和个构成的所有数列，，，…，中，满足“对任意，，…，，都有”的数列的个数等于． 已知在数轴上，有一个粒子从原点出发，每秒向左或向右移动一个单位，且向左移动和向右移动的概率均为．记第秒末粒子回到原点的概率为 （1）求； （2）设粒子在第秒末第一次回到原点的概率为． （i）假设粒子第1秒向右，求粒子在第6秒末第一次回到原点的概率； （ii）求．（用组合数表示） 学科网（北京）股份有限公司 $