第七章 概念、命题与证明（复习讲义）数学新教材北京版七年级下册

该初中数学复习讲义通过知识框架图和对比表格系统梳理第七章“概念、命题与证明”的知识体系，涵盖命题与证明、三线八角、平行线判定与性质等核心内容，用表格归纳对顶角、同位角等角的位置特征与性质，突出逻辑推理与几何直观的内在联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础的命题判断到综合的几何证明，融入实验探究（如不倒翁稳定性）和规律归纳（花卉图案计数）题型，培养推理意识与创新意识。每个题型配典型例题和解题步骤，帮助基础学生掌握规范推理，优秀学生提升逻辑论证能力，为教师实施精准复习提供支持。

第七章 概念、命题与证明（复习讲义） 1.理解命题、真命题、假命题与证明的含义，能区分命题条件和结论； 2.掌握简单几何命题的推理步骤，规范书写证明过程； 3.掌握余角、补角、对顶角的定义与等量关系并熟练计算角度； 4.准确辨别同位角、内错角、同旁内角三类三线八角； 5.分清平行线判定与性质的因果逻辑，灵活运用进行推理； 6.理解平移概念，掌握平移前后图形线段、角度、形状大小不变的特征； 7.能规范书写几何推理步骤，提升识图与逻辑论证能力。 重点一、命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 注意：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 注意： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 重点二、余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.重点三、对顶角 1.两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 2.对顶角的性质：对顶角相等. 重点四、同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 重点五、平行线的定义、画法、公理 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3. 公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 重点六、平行线的判定与性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 题型一 命题 1．下列语句是命题的是（   ） A．对顶角一定相等吗 B．人们经常用实验、归纳的方法去发现命题 C．画一个角等于已知角 D．若，则 2．下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 3．下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．连接两点 C．任何一个三角形一定有直角 D．等角的补角相等 题型二 写出命题的题设与结论 4．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 5．把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 6．写出下列命题的条件和结论： (1)能被整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 题型三 判断命题真假 7．下列语句中，是真命题的是（     ） A．不相交的两条直线平行 B．两点之间，线段最短 C．垂直于同一条直线的两直线互相垂直 D．画一个角等于已知角 8．命题“如果，那么”是______________命题．（填“真”或“假”） 9．分别指出下列命题的题设和结论，并判断命题的真假： (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)个位数是3的整数一定能被3整除； (3)对顶角的平分线在同一条直线上． 题型四 举例说明假命题 10．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例． (1)异号两数相加和为零． (2)若，则． 11．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举反例加以说明． (1)如果，那么C是AB的中点． (2)三条线段长分别为a，b，c，如果，那么这三条线段一定能组成三角形． (3)三角形的内角和等于180°． 12．已知命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角． (1)请将上述命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例． 题型五 举反例 13．下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 14．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，______． 15．给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” (1)写出命题的题设和结论； (2)直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 题型六 实验 16．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 17．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ___________． 18．阅读下面的材料，完成后面的两个问题． 西安大唐不夜城的“真人不倒翁”，这一特色表演吸引了不计其数的游客前往．某校科学探究小组的成员们产生了疑问：为什么表演者不会倒呢？物体的稳定性与哪些因素有关呢？他们进行了如下猜想： 猜想一：与物体的接触面大小有关； 猜想二：与物体的重心高低有关． 为验证猜想，他们设计并进行了如下实验：如图，首先制作了几块质量相同、底面积大小不相同、重心（图中黑点所示）高低不同的圆柱体，然后将它们依次放在同一块木板上（物体不滑动），慢慢转动木板，直至圆柱体翻倒，记录此时木板转过的角度． 实验结果如表： 实验次数 圆柱体的底面直径（cm） 圆柱体的重心高度（cm） 木板转过的角度（度） 第1次 4 5 30 第2次 6 5 45 第3次 8 5 60 第4次 6 7.5 35 第5次 6 10 25 (1)根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A、实验中圆柱体翻倒时木板转过的角度越小，该圆柱体的稳定性越好 B、为验证猜想二，应选择第1、2、3次的实验数据 C、在其他条件一定时，物体的接触面越大，稳定性越好 D、在其他条件一定时，物体的重心越高，稳定性越好 (2)解决问题：要给货车装如图所示的三种货物为了货车不易翻倒，从下到上依次装货物的顺序应为（    ） A．①②③   B．③①②   C．②①③   D．③②① 题型七 归纳 19．如图，会展中心将深色和浅色两种花卉摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，第4个图案需要41盆花卉，以此类推．按照以上规律，解决下列问题： (1)第5个图案需要花卉____________盆； (2)第n个图案需要花卉____________盆（用含n的代数式表示）； (3)已知花卉市场国庆期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多81盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数． 20．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… 根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第5等式：______________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明其正确性． 21．某数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：他们继续研究下列用白色圆点和黑色圆点组成的图案中两种圆点的个数问题． 将以上图案中两种圆点的个数统计如下表： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 …… 黑色圆点的个数 … 白色圆点的个数 … 根据以上信息，完成下列问题： (1)第6个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (2)请用含n的式子填空：第n个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (3)第几个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5？ 题型八 类比 22．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程叫做裂项． 【类比探究】（1）猜想并写出： ① ； ② ． 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：． 23．综合与探究： 【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数均不等于的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式； ______；______； （3）算一算：； （4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式为正整数，，，要求写出推导过程将结果写成乘方幂的形式；结果用含a，n的式子表示 24．你能比较两个数与的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较和的大小（a是非零自然数）．然后，我们分析这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小 ①_________；②_________；③_________ ④_________；⑤_________；⑥_________ (2)从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想和大小关系； (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：_________ 题型九 演绎 25．六年级3个班，每班选2人参加跳绳比赛，每次每班只能一人参赛．第一次参赛的是；第二次参赛的是；第三次参赛的是．下面是同班选手的有（   ）． A．B和F B．C和F C．C和D 26．有若干个大小相同的小球（大于100个）一个挨着一个摆放，刚好摆成一个等边三角形；又将这些小球换一种摆法，正好摆成一个正方形，求小球至少有多少个？ 27．有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克．先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶，这时各桶油都是16千克．问甲、乙、丙三个油桶中原来各有油多少千克？ 题型十 证明 28．一个读书小组共有六位同学，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴、其中有六本书，书名分别是，，他们每人至少读过其中的一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2，2，4，3，5本书，而书分别被小组中的1，4，2，2，2位同学读过．那么吴同学读过几本书？书被小组中的几位同学读过？ 29．如图，直线与直线相交于点O，且平分． (1)若比大，求的度数． (2)证明：是的平分线． 30．如图，直线、相交于点，，平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 题型十一 求余角补角 31．如图所示，直线与直线相交于点O，是的平分线，在内，且，． (1)求的度数； (2)写出的所有补角． 32．如图，直线，相交于点，是的角平分线，． (1)请写出图中两对互余的角和两对相等的角；（直角除外） (2)如果，试求，的度数． 33．如图，直线与相交于点O，． (1)如果，那么根据______，可得． (2)如果，求的度数． 题型十二 对顶角 34．如图，直线，相交，，求的度数． 35．如图，已知直线和相交于点，，平分，，求的度数． 36．如图，点、分别在、上，连接、、，分别交、于点、．有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 题型十三 用直尺、三角板画平行线 37．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C、D均在格点上，连接，，请利用网格作图． (1)过点D作的平行线交于点E； (2)过点B作线段的垂线，垂足为F； (3)连接，的面积为___________； (4)在直线上画一点P，使得的值最小，其理由是___________． 38．如图，已知，请在网格中按下列要求作图： (1)过点C作直线，使得； (2)过点B作直线，使得． 39．如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线； (2)过点P画的垂线，垂足为H； (3)过点P画的垂线，交于点C；、、这三条线段大小关系是________，（用“<”号连接），理由是________． 题型十四 平行公理的应用 40．如图，，，延长交的平分线于点．若，，则______． 41．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤平分；⑥平分．其中正确结论的是______． 42．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 题型十五 同位角、内错角、同旁内角 43．下列图形中，与不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 44．如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 45．如图，这是某学校操场旁的一太阳能智能路灯的侧面示意图，是太阳能电板，，为支架，为固定支撑杆，灯体是，其中，平行于水平地面． (1)在不添加字母和辅助线的前提下，图中与构成同旁内角的角共有______个； (2)若，，．求证：． 题型十六 平行线的判定 46．如图，已知，可以判定哪些直线平行？请说明理由． 47．已知直线与直线、分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且． (1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数． 48．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型十七 平行线的性质 49．已知：如图，，，点在线段的延长线上． (1)求证：平分； (2)若，判断与的位置关系并说明理由． 50．如图，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 51．如图，点B、C在线段的异侧，点E、F分别是线段上的点，已知． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 题型十八 根据平行线的性质探究角的关系 52．已知，，平分，点为射线上一点，连接． (1)如图，若点为线段上一点，，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由； (2)如图，若点为延长线上一点，上述（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出，，之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，如果，，求的度数．（用含的式子表示） 53．直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 (1)如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 (2)如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 54．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： (1)如图1，若，写出与的数量关系：______； 【深入探究】： (2)如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系． 题型十九 根据平行线的性质求角的度数 55．如图，点在的延长线上，，交于点，且，． (1)求证：； (2)若，点、在线段上，且，射线平分，求的度数． 56．如图，已知平分． (1)求证：； (2)求的度数． 57．将一副三角板如图放置，点B与点F重合．，，，． (1)如图1，当在下方，且时，求的度数； (2)如图2，当在上方，且时，求的度数； (3)若，则的度数为______． 题型二十 平行线的性质在生活中的应用 58．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 59．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】①路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，，求的度数； ②一种路灯的示意图如图3，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 60．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； (4)一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 题型二十一 根据平行线的判定与性质证明 61．如图，已知：于D，于G，若．则吗？下面是部分推理过程，请你将其补充完整： 于D，于G（已知）， ① （② ）， （③ ）， （④ ）， 又（已知） （⑤ ）， ， ⑥ （两直线平行，同位角相等）． 又（已证）， ⑦ =⑧ （等式的基本事实）． 62．点H、点D在上，点F、点G在上，点E在上，已知，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴（ ）． ∴（                                      ）． ∵（已知）， ∴（ ）． ∴ （ ）． ∴（ ）． 63．如图，点，在上，点，在上，点在上．已知，，．求证：． 证明：，（________）， （___________________）， ∴____________（同位角相等，两直线平行）， （________________________________）， （_____________）， （________________________）， （_______________________________________）， （_________________________________________）． 题型二十二 生活中的平移现象 64．国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动．下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 65．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是_______________． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 66．如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是_____． 题型二十三 利用平移的性质求解 67．如图，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为_________． 68．如图，将沿方向平移到的位置．已知的周长是，四边形的周长是，则平移的距离为_____ ． 69．如图，将沿射线的方向平移个单位到的位置，点，，的对应点分别为点，，． (1)若，求的长度． (2)若等于，求的度数． 题型二十四 利用平移解决实际问题 70．在如图所示的长方形草坪上修建了两条宽度相同的小路（阴影部分）（单位：米）． (1)求草坪（空白部分）的面积（用含的代数式表示）． (2)当时，求小路（阴影部分）的面积． 71．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 72．白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·北京·期末）如图，与是（     ） A．直线，被直线所截形成的内错角 B．直线，被直线所截形成的内错角 C．直线，被直线所截形成的内错角 D．直线，被直线所截形成的内错角 2．（25-26七年级下·北京大兴·期中）如图，直线，相交于点，，垂足为．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，直线，直线分别交于点平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·北京西城·期中）下列说法中正确的是（   ） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相垂直 B．相等的两个角一定是对顶角 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 5．（25-26七年级下·湖南湘西·阶段检测）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（    ）度时，与平行． A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·北京·期中）我们知道，由角的数量关系可得两条直线的位置关系．如图，请写出一组角的数量关系，使成立：______． 7．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，若将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，则阴影部分的面积为_______． 8．（2026·北京丰台·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一个实数c的值为____． 9．（25-26七年级上·北京·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直线上的点处，若，则的余角的度数是______，的度数为______． 10．（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为__________． 11．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）如图，，．试确定直线a与直线c的位置关系，并说明理由． (1)问题的结论：a_______c； (2)理由如下： 因为 所以（            ） 因为 所以_______（       ） 所以a_______c（                    ）． 12．（24-25七年级下·北京顺义·期末）阅读材料，并完成任务． 数学课上，同学们学习了两条直线平行的判定方法．之后小明又进行了探究，部分过程如下： （1）如图，两条直线，被第三条直线所截，其中与，与分别叫做外错角； （2）经过画图、观察、测量、验证等过程，得到猜想：“外错角相等，两直线平行”； （3）对于（2）中的猜想，先分清命题的条件和结论，然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后完成证明． 已知：如图，， 求证：______． 画图： 证明： 请你阅读以上材料，补全上表． 13．（24-25七年级下·北京大兴·期末）如图，在四边形中，，过点作交点，交的延长线于点，求证：． 14．（24-25七年级下·北京房山·期末）如图，已知直线，． (1)求证：； (2)画的角平分线交于点，求证：． 15．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知是直线上一点，过点作射线，且． (1)如图，的度数为__________； (2)如图，若平分，，垂足为．求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 能力提升进阶练 16．（2026·北京朝阳·二模）如图，点在上，于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 17．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知直线与相交于点O，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，连接，平分，点E为延长线上一点，连接，的平分线交的延长线于点G，交于点F，且．则与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，将周长为12的三角形沿直线向右平移个单位长度，得到三角形交于点，连接．给出下列结论：①；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 21．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，已知，，，．则结论：①；②；③平分；④．正确的是______． 22．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，已知，，则__________． 23．（24-25七年级下·北京西城·期中）某校举办数学节活动，其中一项活动环节是进活动室门需要先破译密码．根据下面四个已知条件，推断正确密码是__________． ①只有两个汉字正确且位置正确； ②只有两个汉字正确但位置都不正确； ③只有三个汉字正确但位置都不正确； ④四个汉字都不正确． 24．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）如图，直线与直线相交于点O，平分，，，求的度数_______． 25．（2025·湖南长沙·二模）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A、B、C、D、E、F、G、H八道工序，加工要求如下：①工序C、D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B、D都完成后进行，工序F须在工序C、D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C Đ E F G H 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 3 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 ___________分钟． 26．（24-25七年级下·北京昌平·期中）参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到以下消息：（分别以相应字母来对应他们的成绩） 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E （1）请参照表中文字信息的翻译方式，写出表中第一条文字信息的数学表达式______； （2）根据上述信息判断谁的得分最高：______． 27．（24-25九年级下·北京海淀·阶段检测）周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如下表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备进科技馆，离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完________个展馆； （2）若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序________． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 每半小时一场，共3场 无 无 每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 15 15 60 90 28．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 29．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）如图，，作的角平分线交于点，的角平分线交于点，过点作交于点． (1)过点作垂线，且点位于右侧，依题意补全图形； (2)求证：． 证明：， ．（________________）， ， （________），（________________） 且． ． 平分，平分， ，（________）， ， ，即， ， ， ， ．（________） 30．（24-25七年级下·北京密云·期末）如图，，直线分别与直线、交于、两点，点在直线上，点是射线上的一个动点（不与点、重合），过点作交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时． ①结合题意，补全图1； ②用等式表示和之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，直接写出和的数量关系． 31．（24-25七年级下·北京·期末）已知平分 ，平分 ，且 (1)如图1， 求证∶； (2)如图2， 若且求证： (3)若H是直线上一动点（不与D 重合），平分交所在直线于点I，请在下图中画出图形，并直接写出对应的 与的数量关系． 32．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，和过点的直线满足是线段上的动点，过点作直线与平行． (1)如果，那么___________； (2)设的角平分线是射线，的角平分线是射线． ①如果射线交于点，求； ②如果射线有公共点，直接写出的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 概念、命题与证明（复习讲义） 1.理解命题、真命题、假命题与证明的含义，能区分命题条件和结论； 2.掌握简单几何命题的推理步骤，规范书写证明过程； 3.掌握余角、补角、对顶角的定义与等量关系并熟练计算角度； 4.准确辨别同位角、内错角、同旁内角三类三线八角； 5.分清平行线判定与性质的因果逻辑，灵活运用进行推理； 6.理解平移概念，掌握平移前后图形线段、角度、形状大小不变的特征； 7.能规范书写几何推理步骤，提升识图与逻辑论证能力。 重点一、命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 注意：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 注意： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 重点二、余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 重点三、对顶角 1.两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 2.对顶角的性质：对顶角相等. 重点四、同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 重点五、平行线的定义、画法、公理 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3. 公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 重点六、平行线的判定与性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 题型一 命题 1．下列语句是命题的是（   ） A．对顶角一定相等吗 B．人们经常用实验、归纳的方法去发现命题 C．画一个角等于已知角 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题，掌握命题的定义是解题的关键，判断是否为命题，①是否为陈述句，②是判断语句．根据命题的定义分别判断下列选项即可． 【详解】解：A、不是陈述句，故不是命题，本选项不符合题意； B、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； C、没有作出判断，故不是命题，本选项不符合题意； D、符合命题的定义，本选项符合题意； 故选：D． 2．下列语句中，是命题的是(    ) A．作线段 B．吗？ C．垂直用符号“⊥”表示 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查命题的定义，根据“能判断真假的陈述句叫做命题”，逐一分析各选项是否符合该定义． 【详解】命题的定义是“能判断真假的陈述句”， 选项A“作线段”是操作指令，不是陈述句，也无法判断真假，所以选项A不是命题； 选项B“吗？”是疑问句，不是陈述句，所以选项B不是命题； 选项C“垂直用符号‘⊥’表示”是陈述符号的表示方法，并非能判断真假的命题类语句，所以选项C不是命题； 选项D“对顶角相等”是陈述句，且可以判断其为真，符合命题的定义，所以选项D是命题． 故选：D． 3．下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．连接两点 C．任何一个三角形一定有直角 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】命题是判断一件事情的语句，解题只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，C，D都对对应事件作出了明确判断，都属于命题； 而选项B连接两点只是作图操作指令，没有对任何事件作出判断，不属于命题． 题型二 写出命题的题设与结论 4．命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 5．把命题“3的倍数是奇数”改写成“如果……，那么……”的形式是_____． 【答案】如果一个数是3的倍数，那么这个数是奇数 【分析】先分清命题“的倍数是奇数”的题设与结论，“如果”后接题设部分，“那么”后接结论部分，即可完成改写． 【详解】解：命题“的倍数是奇数”中，题设为一个数是的倍数，结论为这个数是奇数， 因此改写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是的倍数，那么这个数是奇数． 6．写出下列命题的条件和结论： (1)能被整除的数一定是偶数． (2)两直线平行，同旁内角互补． (3)平行于同一条直线的两条直线平行． 【答案】(1)条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． (2)条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． (3)条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 【分析】本题主要考查命题，条件和结论的概念，熟练掌握其概念是做题的关键． （1）根据原命题改写为“如果一个数能被整除，那么这个数一定是偶数”，即可得出答案； （2）根据原命题改写为“如果两直线平行，那么同旁内角互补”，即可得出答案； （3）根据原命题改写为“如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线平行”，即可得出答案． 【详解】（1）解：条件：一个数能被2整除；结论：这个数是偶数． （2）解：条件：两直线平行；结论：同旁内角互补． （3）解：条件：两条直线都平行于同一条直线；结论：这两条直线平行． 题型三 判断命题真假 7．下列语句中，是真命题的是（     ） A．不相交的两条直线平行 B．两点之间，线段最短 C．垂直于同一条直线的两直线互相垂直 D．画一个角等于已知角 【答案】B 【详解】解：∵选项A中“不相交的两条直线平行”缺少“同一平面内”的前提，不在同一平面的不相交直线不一定平行，结论错误，∴A是假命题； ∵选项B中“两点之间，线段最短”是几何基本公理，结论正确，∴B是真命题； ∵选项C中，同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，不是互相垂直，结论错误，∴C是假命题； ∵选项D中“画一个角等于已知角”是作图指令，不是能判断真假的陈述句，不属于命题，∴D不符合要求． 8．命题“如果，那么”是______________命题．（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】要判断命题的真假，只需验证在条件成立时，结论是否一定成立．若对任意满足条件的，结论都成立，则为真命题；若存在反例使条件成立但结论不成立，则为假命题． 【详解】解：根据等式的基本性质，等式两边同时乘以同一个数，等式仍然成立， 当时，在等式两边同时乘以，得； 同理，在等式两边同时乘以，得， 因此，即， 对任意实数，结论恒成立，故该命题为真命题． 9．分别指出下列命题的题设和结论，并判断命题的真假： (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)个位数是3的整数一定能被3整除； (3)对顶角的平分线在同一条直线上． 【答案】(1)题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等，是假命题 (2)题设：个位数是3的整数，结论：一定能被3整除，是假命题 (3)题设：对顶角的平分线，结论：在同一条直线上，是真命题 【分析】本题主要考查了写出原命题的题设和结论，判断命题的真假，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可； （2）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可； （3）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可． 【详解】（1）解：题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等， 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题； （2）解：题设：个位数是3的整数，结论：一定能被3整除， 所有数位上的数字之和为3的倍数的整数一定能被3整除，个位数是3的整数不一定能被3整除，原命题是假命题； （3）解：题设：对顶角的平分线，结论：在同一条直线上，原命题是真命题． 题型四 举例说明假命题 10．判断下列命题是真命题还是假命题．如果是假命题，请举出一个反例． (1)异号两数相加和为零． (2)若，则． 【答案】(1)假命题．反例见解析 (2)假命题．反例见解析 【分析】本题主要考查了真命题和假命题的判断， 根据真假命题的定义解答，举出反例即可． 【详解】（1）解：异号两数相加和为零，为假命题．反例：； （2）解：若，则，为假命题，，则． 11．判断下列命题是真命题还是假命题，若是假命题，则举反例加以说明． (1)如果，那么C是AB的中点． (2)三条线段长分别为a，b，c，如果，那么这三条线段一定能组成三角形． (3)三角形的内角和等于180°． 【答案】(1)假命题．反例：当点C在AB的延长线上，且时，不是的中点． (2)假命题．反例：当时，，但长为5，1，3的三条线段不能组成三角形． (3)真命题 【分析】（1）利用点在线段的延长线上，并且满足，判断此时是不是的中点； （2）任意写出三个不相等的数，满足，但不能组成三角形，据此即可判断； （3）根据三角形的内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）解：假命题．反例：当点在线段的延长线上，且时，不是的中点． （2）解：假命题．反例：当时，，但长为，，的三条线段不能组成三角形． （3）解：真命题． 【点睛】本题考查的是判断命题真假的题目，关键是判断命题的说法是否正确． 12．已知命题：一个锐角和一个钝角一定互为补角． (1)请将上述命题改写成“如果……那么……”的形式； (2)判断这个命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举一个反例． 【答案】(1)如果两个角一个是锐角，一个是钝角 ，那么这两个角互补 (2)假命题，反例为：一个角为，一个角为 【分析】本题主要考查命题及真假命题的判断，熟练掌握各个概念是解题的关键； （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据真假命题的判定及反例可直接进行求解． 【详解】（1）解：如果两个角一个是锐角，一个是钝角 ，那么这两个角互补； （2）该命题是假命题， 反例为：一个角为，一个角为， 满足条件一个锐角和一个钝角，但，因此这两个角不互补． 题型五 举反例 13．下列能说明命题“若，则”是假命题的一组反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】要说明命题“若，则”是假命题，只需找到满足条件，但不满足结论的反例，据此对各选项判断即可． 【详解】解：∵反例需要满足原命题条件，不满足原命题结论， 对各选项逐一判断： 选项A，，满足，且，满足结论，不能作为反例． 选项B，，，不满足条件，不能作为反例， 选项C，，满足即，计算得，，可得，不满足原命题结论，可作为反例， 选项D，，，不满足条件，不能作为反例． 14．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为_______，______． 【答案】 2（不唯一） （不唯一） 【详解】解：取，， 此时，，满足， 但，即不满足， 因此，可说明该命题是假命题，答案不唯一． 15．给出命题：“如果两个角是同位角，那么这两个角相等．” (1)写出命题的题设和结论； (2)直接判断命题是真命题还是假命题，若是假命题，请举出一个反例．（只举例，不必详细说明理由） 【答案】(1)命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等． (2)命题是假命题，反例见详解（反例答案不唯一，正确即可） 【分析】本题主要考查命题，反例，掌握命题是有题设和结论组成，有真命题，假命题之分，反例的含义是解题的关键． （1）“如果”后面的部分为题设，“那么”后面的部分为结论； （2）反例是指符合某个命题的条件，而又不符合该命题结论的例子，由此即可求解 【详解】（1）解：命题的题设为两个角是同位角，结论为这两个角相等； （2）解：命题是假命题， 反例：如图， 与是同位角，但是． 题型六 实验 16．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 【答案】35 【分析】先判断滑动的方向，再进一步求解即可． 【详解】解：把左边的数往下滑动到，划动下，把右边的数往上滑动到，滑动下， ∴想把图中的闹钟时间设置成，最少会响次“嘀”声． 17．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ___________． 【答案】282500 【分析】本题考查了数字与数位上数字的关系，解决本题的关键是通过前后两次升位后的号码之间的联系． 需要找出两次号码变化之间存在的关系得到，通过观察可设，从而结合已知条件找到x与a的关系，即可求解． 【详解】解：设小明家原来的电话号码的六位数为， 则经过第一次升位后电话号码为七位数，即 经过第二次升位后，电话号码又变为八位数，即， 根据题意，有， 记， 代入上式有， 解得， ∵， ∴， ∵a为整数， ∴， 将代入， 得， 将代入， 得， 则小明家原来的电话号码为282500． 故答案为：282500 ． 18．阅读下面的材料，完成后面的两个问题． 西安大唐不夜城的“真人不倒翁”，这一特色表演吸引了不计其数的游客前往．某校科学探究小组的成员们产生了疑问：为什么表演者不会倒呢？物体的稳定性与哪些因素有关呢？他们进行了如下猜想： 猜想一：与物体的接触面大小有关； 猜想二：与物体的重心高低有关． 为验证猜想，他们设计并进行了如下实验：如图，首先制作了几块质量相同、底面积大小不相同、重心（图中黑点所示）高低不同的圆柱体，然后将它们依次放在同一块木板上（物体不滑动），慢慢转动木板，直至圆柱体翻倒，记录此时木板转过的角度． 实验结果如表： 实验次数 圆柱体的底面直径（cm） 圆柱体的重心高度（cm） 木板转过的角度（度） 第1次 4 5 30 第2次 6 5 45 第3次 8 5 60 第4次 6 7.5 35 第5次 6 10 25 (1)根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A、实验中圆柱体翻倒时木板转过的角度越小，该圆柱体的稳定性越好 B、为验证猜想二，应选择第1、2、3次的实验数据 C、在其他条件一定时，物体的接触面越大，稳定性越好 D、在其他条件一定时，物体的重心越高，稳定性越好 (2)解决问题：要给货车装如图所示的三种货物为了货车不易翻倒，从下到上依次装货物的顺序应为（    ） A．①②③   B．③①②   C．②①③   D．③②① 【答案】(1)C (2)B 【分析】本题考查的是通过实验归纳总结及物体稳定性的相关知识， （1）根据圆柱体的稳定性取决于圆柱体的底面直径、重心高度及木板转过的角度的综合考虑作出判断即可； （2）由实验可知，重心越低，稳定性越好，据此得出应把重的货物装在下面即可解决． 【详解】（1）解：A、实验中圆柱体翻倒时木板转过的角度越小，该圆柱体的稳定性越好，错误；因为圆柱体的稳定性取决于圆柱体的底面直径、重心高度及木板转过的角度的综合考虑，故本选项不符合题意； B、为验证猜想二，应选择第2、4、5次的实验数据，故本选项不符合题意； C、在其他条件一定时，物体的接触面越大，稳定性越好，故本选项符合题意； D、在其他条件一定时，物体的重心越低，稳定性越好，故本选项不符合题意； 故选：C； （2）解：由实验可知，重心越低，稳定性越好， 因此货车装货物时应把重的货物装在下面，可使货车不易翻倒，应把轻的货物（泡沫板）放在最上边，中间放木板，最下边放钢板， 故选：B． 题型七 归纳 19．如图，会展中心将深色和浅色两种花卉摆成如图所示的排列图案，第1个图案需要5盆花卉，第2个图案需要13盆花卉，第3个图案需要25盆花卉，第4个图案需要41盆花卉，以此类推．按照以上规律，解决下列问题： (1)第5个图案需要花卉____________盆； (2)第n个图案需要花卉____________盆（用含n的代数式表示）； (3)已知花卉市场国庆期间所摆的花卉图案中深色花卉比浅色花卉多81盆，求该花卉图案中深色花卉的盆数． 【答案】(1)61 (2) (3)1681 【分析】本题考查了图形规律的探索，一元一次方程的应用等知识，找到规律是解题的关键． （1）分别求出第1个到第5个图案需要的花卉的盆数，即可求解； （2）根据（1）所求得到规律，即可求解； （3）设第x个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多81盆，此时深色花卉盆数为，浅色花卉盆数为，根据等量关系：深色花卉比浅色花卉多81盆，列出方程并求解即可． 【详解】（1）解：第1个图案需要花卉的盆数为， 第2个图案需要花卉的盆数为， 第3个图案需要花卉的盆数为， 第4个图案需要花卉的盆数为， 第5个图案需要花卉的盆数为． 故答案为：61； （2）解：由（1）可得，第n个图案需要花卉的盆数为． 故答案为：； （3）解：设第x个花卉图案中深色花卉比浅色花卉多81盆， 由题意得， 解得， 则． 答：该花卉图案中深色花卉的盆数为1681． 20．观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… 根据以上规律，解决下列问题： (1)写出第5等式：______________； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并说明其正确性． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算的规律探索，正确理解题意是解题的关键． 根据题目给出的4个等式，找到规律，即可解答． 【详解】（1）解：根据规律，第5等式为， 故答案为． （2）第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：，… 根据以上规律，第n个等式为． 故答案为． 21．某数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：他们继续研究下列用白色圆点和黑色圆点组成的图案中两种圆点的个数问题． 将以上图案中两种圆点的个数统计如下表： 第1个图案 第2个图案 第3个图案 第4个图案 第5个图案 …… 黑色圆点的个数 … 白色圆点的个数 … 根据以上信息，完成下列问题： (1)第6个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (2)请用含n的式子填空：第n个图案中，白色圆点的个数为________，黑色圆点的个数为________． (3)第几个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5？ 【答案】(1)， (2)， (3)9 【分析】本题主要考查图形的变化规律，一元二次方程的应用，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律． （1）根据前五个图形中所求图案的个数进行解答即可； （2）根据前六个图形中所求图案的个数总结规律即可； （3）根据题意列出一元二次方程即可解答． 【详解】（1）解：第6个图案中，白色圆点的个数为，黑色圆点的个数为， 故答案为：， （2）第n个图案中，白色圆点的个数为， 黑色圆点的个数为， 故答案为：， （3）由题意可得，， 解得， 解得或（不合题意，舍去） 答：第个图案中白色圆点的个数与黑色圆点的个数之比为6∶5． 题型八 类比 22．类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．阅读感知：在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程叫做裂项． 【类比探究】（1）猜想并写出： ① ； ② ． 【理解运用】（2）类比裂项的方法，计算：． 【答案】 （1）① ，② ，（2） 【分析】（）根据题中材料即可求解； （）根据（）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算． 本题考查了有理数的四则混合运算，掌握裂项法是解题的关键． 【详解】解：（） ， 故答案为：，； （） ． 23．综合与探究： 【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数均不等于的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地把写作，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：______；______； 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 除方乘方幂的形式 （2）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成乘方幂的形式； ______；______； （3）算一算：； （4）小明深入思考后发现：“除方”运算能够转化成乘方运算，且结果可以写成幂的形式，请推导出“除方”的运算公式为正整数，，，要求写出推导过程将结果写成乘方幂的形式；结果用含a，n的式子表示 【答案】（1），；（2），；（3） ；（4） 【分析】（1）由新定义列出算式计算即可； （2）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （3）根据新定义列出算式，化为乘方形式即可； （4）根据新定义计算即可． 本题考查了有理数的混合运算，涉及新定义，解题的关键是熟练掌握有理数相关运算法则，能根据新定义列出算式． 【详解】（1），， 故答案为：，； （2）， ， 故答案为：，； （3） ； （4） 24．你能比较两个数与的大小吗？为了解决这个问题，我们先把它抽象成这样的问题：写成它的一般形式，即比较和的大小（a是非零自然数）．然后，我们分析这些简单情形入手，从而发现规律，经过归纳，猜想出结论． (1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小 ①_________；②_________；③_________ ④_________；⑤_________；⑥_________ (2)从第（1）题的结果经过归纳，可以猜想和大小关系； (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：_________ 【答案】(1) (2)当或时，；当时， (3) 【分析】此题考查的是乘方的比较大小，找出规律并归纳总结是解决此题的关键． （1）根据有理数的乘方计算出结果，然后比较大小即可； （2）根据（1）归纳总结即可得出结论； （3）根据（2）所得结论即可比较大小． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴； ⑤∵， ∴； ⑥∵， ∴； 故答案为：； （2）解：当或时，； 当时，； （3）解：根据以上规律得， 故答案为：． 题型九 演绎 25．六年级3个班，每班选2人参加跳绳比赛，每次每班只能一人参赛．第一次参赛的是；第二次参赛的是；第三次参赛的是．下面是同班选手的有（   ）． A．B和F B．C和F C．C和D 【答案】A 【分析】本题考查了合情推理与演绎推理的应用，通过分析每次参赛选手的班级归属，排除不可能同班的组合，确定同班关系． 【详解】解：第一次参赛：A、B、C分别来自三个不同班级，每个班级各派1人； 第二次参赛：B再次出现，说明B所在的班级两次均派B参赛，因此该班级另一人未在第二次出现，此时D、E来自另外两个班级，且这两个班级第一次分别派了A和C，故D与A同班，E与C同班； 第三次参赛：A（与D同班）再次出现，E（与C同班）再次出现，F为新选手，由于B所在的班级未在第三次派B，因此F必为B的同班同学； 结论：B和F同班，C和D分属不同班级，C和F也分属不同班级， 故答案为A． 26．有若干个大小相同的小球（大于100个）一个挨着一个摆放，刚好摆成一个等边三角形；又将这些小球换一种摆法，正好摆成一个正方形，求小球至少有多少个？ 【答案】最少有个球 【分析】本题考查的是规律推理类题目解答此类问题的关键是找到题中的规律与等量关系，设等边三角形共由k排组成，正方形每排有x个小球，由摆放小球的个数相同可得到关系，进而经过推理得到k与x的值，即可解答． 【详解】解：设等边三角形共由k排组成，正方形每排有x个小球， 则组成等边三角形的小球的个数为，组成正方形的小球的个数为， 根据题意有， k、x都是大于1的整数，且k与是相邻的正整数，且小球的个数大于100个，即， ， 满足等式的最小的k值为49 ，故， 则， 最少有个球． 27．有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克．先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶，这时各桶油都是16千克．问甲、乙、丙三个油桶中原来各有油多少千克？ 【答案】甲油桶中原来有油26千克，乙油桶中原来有油14千克，丙油桶中原来有油8千克． 【分析】此题属逆推问题，要从结果算起，关键是弄清倒油的规律． 运用逆推，从最后结果倒推：分别计算出丙不给甲乙时，乙不给甲丙时，甲不给乙丙时各自桶内的克数，进而可求各桶原有数量． 【详解】解：从最后结果倒推，丙不给甲乙，则 甲千克， 乙千克， 丙千克； 乙不给甲丙：则 甲千克， 乙千克， 丙千克； 甲不给乙丙：则 甲千克， 乙千克， 丙千克； 答：甲原来有26千克，乙原来有14千克，丙原来有8千克． 题型十 证明 28．一个读书小组共有六位同学，分别姓赵、钱、孙、李、周、吴、其中有六本书，书名分别是，，他们每人至少读过其中的一本书，已知赵、钱、孙、李、周分别读过其中的2，2，4，3，5本书，而书分别被小组中的1，4，2，2，2位同学读过．那么吴同学读过几本书？书被小组中的几位同学读过？ 【答案】吴同学读过1本书，书被小组中的6位同学读过 【分析】本题就是一道典型的利用和的关系列方程的题目，再结合不等式得到本题的解，列方程的关键是怎样找题目中的等量关系．设吴同学读过本书，书被小组中的位同学读过，根据题意列出方程，再根据每人至少读过其中的一本书，一本书最多被6人读到范围，讨论求解即可． 【详解】解：设吴同学读过本书，书被小组中的位同学读过． ， 则， ，得， 所以吴同学读过1本书，书被小组中的6位同学读过． 29．如图，直线与直线相交于点O，且平分． (1)若比大，求的度数． (2)证明：是的平分线． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了垂线的性质，角平分线的性质及角的计算，熟练掌握垂线的性质，角平分线的性质及角的计算的方法进行计算是解决本题的关键． （1）根据垂线的性质可得，由，可得，即可算出的度数，再根据角平分线的性质可得的度数，再根据代入计算即可得出答案； （2）根据角平分线的性质，可得，由垂线的性质可得，即可得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为平分线． 30．如图，直线、相交于点，，平分． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了角平分线的定义以及邻补角的定义，垂线的定义； （1）直接利用角平分线的定义以及结合邻补角的定义得出答案； （2）结合已知得出的度数，再利用角平分线的定义得出答案． 【详解】（1）解： 与的位置关系：互相垂直， 理由：平分， ， ， ， 与的位置关系：互相垂直； （2）：：， ， ， ， ． 题型十一 求余角补角 31．如图所示，直线与直线相交于点O，是的平分线，在内，且，． (1)求的度数； (2)写出的所有补角． 【答案】(1) (2)，，. 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可； （2）根据补角的定义，进行求解即可. 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴的补角为，，. 32．如图，直线，相交于点，是的角平分线，． (1)请写出图中两对互余的角和两对相等的角；（直角除外） (2)如果，试求，的度数． 【答案】(1)互余的角有和，和，和，和，和，和，和，和；相等的角有和，和，和，和（各写两组即可） (2)； 【分析】（1）根据互余的两个角和为，再结合图形解答即可； （2）由（1）知，，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ， ∴， ， ∵ ， ∴ ， ∵，是的角平分线， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上，互余的角有和，和，和，和，和，和，和，和； 相等的角有和，和，和，和（直角除外）； （2）解：由（1）知，， ∵， ，， 平分， ． 33．如图，直线与相交于点O，． (1)如果，那么根据______，可得． (2)如果，求的度数． 【答案】(1)对顶角相等； (2) 【分析】（1）由对顶角相等即可求解； （2）由对顶角相等得，再由互余关系即可求解． 【详解】（1）解：∵对顶角相等， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴． 题型十二 对顶角 34．如图，直线，相交，，求的度数． 【答案】，， 【分析】本题利用对顶角相等的性质，以及平角为的定义，结合已知的度数，即可计算出三个角的度数． 【详解】解：已知直线，相交，． 和组成平角， ． 直线相交，对顶角相等，，． 35．如图，已知直线和相交于点，，平分，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】由垂直定义可得，又，则，再通过角平分线定义可得，最后由角度和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为． 36．如图，点、分别在、上，连接、、，分别交、于点、．有三个论断：①；②；③． (1)请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，写出所有的真命题； (2)在（1）中选择一个真命题，并证明其正确性． 【答案】(1)命题见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据命题的定义进行书写即可； （2）利用平行线的判定与性质结合对顶角相等进行证明． 【详解】（1）解：命题1：若，，则； 命题2： 若，，则； 命题3：若，，则； （2）解：第一种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 第二种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 第三种情况： 已知：，， 求证：． 证明：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型十三 用直尺、三角板画平行线 37．如图，所有小正方形的边长都为1个单位，A、B、C、D均在格点上，连接，，请利用网格作图． (1)过点D作的平行线交于点E； (2)过点B作线段的垂线，垂足为F； (3)连接，的面积为___________； (4)在直线上画一点P，使得的值最小，其理由是___________． 【答案】(1)如图所示，直线即为所求： (2)如图所示，直线即为所求： (3)7 (4)；理由：两点之间，线段最短 【分析】（1）利用网格的格点特征确定线段的走向，过点D画出与平行的直线，使其与相交得到点； （2）结合网格中格点线段的垂直关系，画出过点且与垂直的直线，该直线与的交点即为垂足； （3）运用割补法，用包含的矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可得出的面积； （4）依据两点之间线段最短的原理，连接与直线的交点即为所求点，此时的值最小． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的面积为． （4）略 38．如图，已知，请在网格中按下列要求作图： (1)过点C作直线，使得； (2)过点B作直线，使得． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平移思想，直线即可； （2）根据网格特点，画出直线即可. 【详解】（1）略 （2）略 39．如图，点P是的边上的一点． (1)过点M画的平行线； (2)过点P画的垂线，垂足为H； (3)过点P画的垂线，交于点C；、、这三条线段大小关系是________，（用“<”号连接），理由是________． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)如图，即为所求． (3)如图，即为所求作的的垂线． ，，垂线段最短． 【分析】（1）取格点N，连接，根据格点特点可得； （2）根据题意作图即可； （3）取格点D，连接，交于点C，由网格线的特征易得，即可得到；根据点到直线的所有连线中，垂线段最短即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型十四 平行公理的应用 40．如图，，，延长交的平分线于点．若，，则______． 【答案】 【分析】如图，过作，记的交点为，过作，过作，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作，记的交点为，过作，过作， ∵， ∴， 而， ∴，，，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 41．如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③；④；⑤平分；⑥平分．其中正确结论的是______． 【答案】①②④ 【分析】根据平行线的性质可证，即可判断①，根据平行线的性质结合已知角度关系可判断③④，过E作，再证明，而，即可判断②；题目条件无法判断⑤⑥． 【详解】解：， ，，故①正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确， ③不正确； 过E作，如图， 平分，， ， ， ， ， ，故②正确， 题目条件无法证明平分，平分，故⑤⑥不一定正确． 42．在一次数学综合实践活动课上，同学们进行了如下探究活动：将一块等腰直角三角板的顶点放置在直线上，旋转三角板． (1)如图1，在边上任取一点（不同于点，），过点作，若，求的度数； (2)如图2，过点作，请探索并说明与之间的数量关系； (3)将三角板绕顶点转动，过点作，并保持点在直线的上方，在旋转过程中，探索与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)解：，  理由如下： 如图，过点作， ， ， ，， ， ， ； (3)解：①当点在直线的上方时，；②当点在直线与直线之间时，；③当点在直线的下方时，． 理由如下： ①如图3-1中，当点在直线的上方时，过点作． ∵，， ， ，， ， ； ②当点在直线与直线之间时，由（2）可知，； ③当点在直线的下方时，过点作． ∵，， ， ，， ， ． 综上所述，①当点在直线的上方时，；②当点在直线与直线之间时，；③当点在直线的下方时，． 【分析】（1）根据平行线的性质可知，结合，可求出的度数； （2）过点作，得到，通过平行线的性质把和转化到上即可； （3）分三种情形：①如图3−1中，当点F在直线的上方时，②当点F在直线与直线之间时，．③当点F在直线的下方时，分别利用平行线的性质解决问题即可． 【详解】（1）解：如图1中， ∵， ，     ， ， ， 即； （2）略 （3）略 题型十五 同位角、内错角、同旁内角 43．下列图形中，与不是同位角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由同位角定义直接判断即可． 【详解】解：ACD三个选项中与是同位角，B选项中与不是同位角． 44．如图，和是直线 ， 被直线 所截形成的 角；和是直线 ， 被直线 所截形成的 角． 【答案】，，，同旁内；，，，同位． 【分析】本题主要考查同旁内角，同位角的概念，利用同旁内角、同位角的概念进行判断填空即可． 【详解】根据题意，和是直线，被直线所截形成的同旁内角； 和是直线，被直线所截形成的同位角． 故答案为：，，，同旁内；，，，同位． 45．如图，这是某学校操场旁的一太阳能智能路灯的侧面示意图，是太阳能电板，，为支架，为固定支撑杆，灯体是，其中，平行于水平地面． (1)在不添加字母和辅助线的前提下，图中与构成同旁内角的角共有______个； (2)若，，．求证：． 【答案】(1)3； (2)见解析． 【分析】（1）根据同旁内角的含义求解即可； （2）如图，过点C作，再证明，进一步可得结论. 【详解】（1）解：在不添加字母和辅助线的前提下，图中与构成同旁内角的角有，，； ∴共有个. （2）证明：如图，过点C作． ， ． ， ． ，即， ． ， ， ． 题型十六 平行线的判定 46．如图，已知，可以判定哪些直线平行？请说明理由． 【答案】； 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【分析】利用平行线的判定进行判断即可． 【详解】略 47．已知直线与直线、分别交于E、F两点，和的角平分线交于点P，且． (1)求证：； (2)如图2，和的角平分线交于点Q，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义，可知，再由已知可求，根据同旁内角互补两直线平行即可证明； （2）设，根据角平分线性质可得，再根据即可表示出，根据即可求出． 【详解】（1）证明：∵和的角平分线交于点P，且， ∴，， ∴， ∴； （2）解：设， ∵平分， ∴，， ∵和的角平分线交于点P，且， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 48．如图，已知，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行，即可证明； （2）证明，即可求得． 【详解】（1）证明：∵，， ， ∴； （2）解，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型十七 平行线的性质 49．已知：如图，，，点在线段的延长线上． (1)求证：平分； (2)若，判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得出，再结合已知条件即可证明； （2）根据两直线平行，同旁内角互补得出，结合已知条件可得，根据同位角相等，两直线平行证明即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 50．如图，，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）由可证，等量代换得，从而可证； （2）由角平分线的定义得，然后根据两直线平行同旁内角互补即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：平分，， ， ， ， ． 51．如图，点B、C在线段的异侧，点E、F分别是线段上的点，已知． (1)求证：； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理，是解题的关键． （1）根据对顶角相等结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行即可证得结论； （2）根据对顶角相等结合已知得出，证得，即得； （3）根据平行线的性质和已知得出，然后根据平行线的性质即可求得． 【详解】（1）证明：， 又， ， ； （2）证明：，， ， ， ； （3）解：， 由（2）可知，， 解得，， ∵； ． 题型十八 根据平行线的性质探究角的关系 52．已知，，平分，点为射线上一点，连接． (1)如图，若点为线段上一点，，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由； (2)如图，若点为延长线上一点，上述（1）中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请写出，，之间的数量关系，并证明； (3)在（2）的条件下，如果，，求的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为，证明见解析 (3) 【分析】（1）如图，过点作，根据平行线的性质得，根据平行公理的推论得，继而得到，可得结论； （2）（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为．如图，过点作，根据平行线性质得，根据平行公理的推论得，继而得到，即可得证； （3）根据已知得推出，由角平分线的定义得，再根据平行线性质得，继而得到 ，即可得解． 【详解】（1）解：． 理由：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为． 证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即（1）中的结论不成立，，，之间的数量关系为； （3）解：∵，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴的度数为． 53．直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 (1)如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 (2)如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)与之间存在的数量关系是或或 【分析】（1）过点I作，根据平行线的判定和性质即可证明； （2）根据题意得出，．过点F作，利用平行线的判定和性质得出，过点I作，结合图形即可求解； （3）设，，得出，．确定，，，然后分三种情况分析：①当点I，Q在直线的两侧时，②当点I，Q在直线的左侧时，③当点I，Q在直线的右侧时，作出相应图形，求解即可． 【详解】（1）解：过点I作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ，． 如图②，过点F作． ， ，， ，      ， , ， 过点I作， ， ，，      ， ． （3），， ，， 与的平分线交于点Q， 设，， ，． ，，，      ①当点I，Q在直线的两侧时，如图③-1，过点I作． ， ，， ， 过点Q作， ， ，， ， ．      ②当点I，Q在直线的左侧时，如图③-2． 同①，得， ． ．      ③当点I，Q在直线的右侧时，如图③-3． 同①，得，． ． 综上所述，与之间存在的数量关系是或或． 54．【问题情境】：在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图1，已知直线，点E、G分别为直线、上的点，点F是平面内任意一点，连接、． 【探索发现】： (1)如图1，若，写出与的数量关系：______； 【深入探究】： (2)如图2点P、Q分别是直线上的点，且，直线，交于点K，“智胜小组”探究与之间的数量关系．请写出它们的关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的探究基础上，，“科创小组”探究与之间的数量关系．请直接写出它们的关系． 【答案】(1) (2)与之间的数量关系为，理由见解析 (3) 【分析】（1）过点F作平行于的直线，利用平行线的内错角相等，将和转化为同一个角的两部分． （2）利用推出，再利用平行线的性质即可求证． （3）过点M作，设，利用平行线的性质即可求证． 【详解】（1）解：过点F作， ， ， ，， ． （2）解：设， 与是对顶角， ， ， ， ， 又， ， ， ． （3）∵， ∴设， 过点M作， ， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 题型十九 根据平行线的性质求角的度数 55．如图，点在的延长线上，，交于点，且，． (1)求证：； (2)若，点、在线段上，且，射线平分，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）设，结合平行线的性质可得，则，由角平分线的定义可得，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 56．如图，已知平分． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明：， ， ， ． (2) 【分析】（1）先证明，进一步利用平行公理推论可得结论． （2）由平行线的性质求解，，再进一步结合角平分线的含义求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ， ∵，， ， ， 平分， ， ． 57．将一副三角板如图放置，点B与点F重合．，，，． (1)如图1，当在下方，且时，求的度数； (2)如图2，当在上方，且时，求的度数； (3)若，则的度数为______． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）由平行线的性质，即可得出结果； （2）由平行线的性质结合角的和差关系进行求解即可； （3）分两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （3）解：①当在上方时，如图， 则， ∴三点共线， ∴； ②当在下方时，如图， 则， ∴三点共线， ∴； 综上：的度数为或. 题型二十 平行线的性质在生活中的应用 58．在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情境：如图1，已知，． ①问题探究：求证：； ②拓展探究：，，之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，则的度数为 ． 【答案】(1)①见解析；②，见解析 (2) 【分析】（1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点F作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ， ； ②如图所示，过点F作， ， ， ， ； （2）如图所示，过点作， 依题意，， ∴ ∴， ∴． 59．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，求证：． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】①路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，，求的度数； ②一种路灯的示意图如图3，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3)①，② 【分析】（1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明； （2）过点F作交CD于点G，则，根据平行线的性质即可证明； （3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解； ②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵， ， ∴， ∵， ∴， ； （2）解：， 证明如下：如图，过点F作交CD于点G， ∵由（1）知， ， ∴，， ∵， ∴； （3）解：①如图，作，则， ∴，， ∴； ②如图，过点E作， ∴， ∴， ，， ， ∴， 即与所成锐角的度数为． 60．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动．探究平行线的“等角转化”功能． (1)【问题初探】如图1，，，试判断与的位置关系，并说明理由． (2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)【迁移应用】路灯维护工程车的工作示意图如图2所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______； (4)一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）先证明，根据平行线的性质可得，结合已知等量代换得出，即可得证； （2）过点作，可得，根据平行于同一条直线的两直线平行可得，得到，即可得证； （3）过的顶点作平行线，即过点作，根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解； （4）过点作，得到，再求出，最后根据得到，据此求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图所示，过点作， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示，过点作， ， 工作篮底部与支撑平台平行，即， ， ， ， ； （4）解：如图所示，过点作， ， ， ， 底部支架与吊线平行，即， ， ， ． 题型二十一 根据平行线的判定与性质证明 61．如图，已知：于D，于G，若．则吗？下面是部分推理过程，请你将其补充完整： 于D，于G（已知）， ① （② ）， （③ ）， （④ ）， 又（已知） （⑤ ）， ， ⑥ （两直线平行，同位角相等）． 又（已证）， ⑦ =⑧ （等式的基本事实）． 【答案】推理过程见详解 【分析】利用垂直的定义、平行线的判定和性质及等量代换等知识点求解可得． 【详解】解：于D，于G（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 又（已知） （等式的基本事实）， ， （两直线平行，同位角相等）． 又（已证）， （等式的基本事实）． 62．点H、点D在上，点F、点G在上，点E在上，已知，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴（ ）． ∴（                                      ）． ∵（已知）， ∴（ ）． ∴ （ ）． ∴（ ）． 【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 【分析】先推导，可得到，推导出，得到，即可解答． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（同角的补角相等）． ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）． 63．如图，点，在上，点，在上，点在上．已知，，．求证：． 证明：，（________）， （___________________）， ∴____________（同位角相等，两直线平行）， （________________________________）， （_____________）， （________________________）， （_______________________________________）， （_________________________________________）． 【答案】已知；垂直的定义；；两直线平行，同旁内角互补；已知；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【详解】证明：，（已知）， （垂直的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， （已知）， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行 ）， （两直线平行，同位角相等）． 题型二十二 生活中的平移现象 64．国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动．下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A：图形的大小发生了改变，不合题意； B：图形的形状和大小没有改变，可以通过平移得到，符合题意； C：图形的方向发生了改变，不合题意； D：图形大小不同，不能通过平移得到，不合题意． 65．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是_______________． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【答案】（2）（6） 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可． 【详解】解：由平移的定义可得只有（2）（6）是平移，（1）（3）（4）（5）都不是平移， 故答案为：（2）（6）． 66．如图，王亮用电脑制作了“丰”字卡片，正方形卡片的边长为9厘米，“丰”字每一笔的宽度都是厘米，则卡片上剩余部分(空白区域)的面积是_____． 【答案】平方厘米 【分析】本题考查了平移及性质，根据平移的性质即可求解，正确理解平移的性质是解题的关键． 【详解】解：根据平移的性质知，“丰”字每一笔的面积与长为厘米，宽为厘米的小长方形的面积相等，可将横着的三笔都平移到上方，竖着的一笔平移到左侧， 则剩余部分(空白区域)的面积为平方厘米， 故答案为：平方厘米． 题型二十三 利用平移的性质求解 67．如图，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，连接，则阴影部分的周长为_________． 【答案】 11 【分析】本题考查平移的性质．根据平移性质得到，，然后计算出阴影部分周长为的周长即可求解．利用平移的性质得到，是解答的关键． 【详解】解：∵将沿方向平移，得到， ∴，， ∴， ∴阴影部分的周长为． 68．如图，将沿方向平移到的位置．已知的周长是，四边形的周长是，则平移的距离为_____ ． 【答案】5 【分析】利用平移的性质得到，，平移的距离为，结合的周长是，四边形的周长是，再进一步求解即可． 【详解】解：由题知， ∵由沿方向平移得到， ∴，， ∵的周长是，四边形的周长是， ∴，， 两式相减得， ， ∴， 即平移的距离为． 69．如图，将沿射线的方向平移个单位到的位置，点，，的对应点分别为点，，． (1)若，求的长度． (2)若等于，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平移的性质得出的长，再根据求解即可； （2）利用平移的性质得出，， 根据平行线的性质依次求出，的度数． 【详解】（1）解：，将沿射线的方向平移个单位到的位置， ， ； （2）解：由平移的性质得：，， ，， ． 题型二十四 利用平移解决实际问题 70．在如图所示的长方形草坪上修建了两条宽度相同的小路（阴影部分）（单位：米）． (1)求草坪（空白部分）的面积（用含的代数式表示）． (2)当时，求小路（阴影部分）的面积． 【答案】(1)（平方米） (2)平方米 【分析】本题考查了列代数式，代数式求值，多项式乘以多项式的运算，平移的性质，熟练掌握平移的性质和多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． （1）将两条小路进行平移，则空白部分可以看成一个新的长方形，表示出长和宽，再利用多项式乘以多项式的运算法则计算面积即可； （2）根据小路面积等于大长方形面积减去空白部分面积列式，计算多项式乘以多项式，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解：将两条小路进行平移，则空白部分可以看成一个新的长方形， 长为：，宽为：， ∴草坪（空白部分）的面积为：（平方米） （2）解：小路面积为：（平方米）， 当时，（平方米）． 71．在图①中，将线段向右平移1个单位长度得到与阴影部分；在图②中，将折线向右平移1个单位长度得到折线与阴影部分（4个图形中的长方形均相同，长为，宽为）． (1)请你在图③中类似设计一个有两个折点的折线，同样向右平移1个单位长度，从而得到一个封闭图形． (2)设图①、图②、图③中除去阴影部分后剩余部分的面积分别为，，，则__________，__________，__________． (3)图④为一块长方形地，中间有一条小路（小路任何地方的水平宽度均是1个单位长度），其余部分种草，求草地的面积，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；； (3)草地的面积为．理由见解析 【分析】本题考查了图形的平移，长方形面积的计算，掌握通过平移转化图形，将不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． （1）模仿图②的折线形式，设计一条有两个折点的折线，向右平移1个单位后连接端点，形成封闭图形； （2）剩余面积为大长方形面积减去阴影面积，阴影部分可通过平移转化为宽为，长为的长方形，面积为 b，因此剩余面积均为； （3）用平移法将小路左侧的草地向右平移个单位，拼成新的长方形，计算新长方形的面积即为草地面积． 【详解】（1）解：（答案不唯一）如图所示． （2）解：大长方形面积：都是； 阴影面积：不管形状怎么变，水平宽度始终是，长是，所以阴影面积都是； 剩余面积：大长方形面积−阴影面积； ∴． 故答案为：；   ； ． （3）解：草地的面积为． 理由：把“小路”沿着左右两条边线“剪去”，将左侧的草地向右平移个单位长度， 得到一个新长方形，它的长为，宽为，故其面积是． 72．白老师带领同学们为我市劳动公园的三块空地提供铺草和设计小路的方案，三块长方形空地的长都为，宽都为．白老师的设计方案如图1所示，阴影部分为一条平行四边形小路，，长方形除去阴影部分后剩余部分为草地． (1)求图1中草地的面积． (2)如图2所示，有两条宽均为1米的小路（图中阴影部分），其余部分为草地，求草地的面积． (3)设计方案如图3所示，阴影部分为草地，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口P处走到出口Q处，求所走的路线（图中虚线）长．（直接写出结果．） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了图形的平移变换在面积与长度计算中的应用，熟练掌握平移的性质（平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，能将不规则图形转化为规则图形 ）是解题的关键． （1）通过平移的思想，把小路平移后，草地可拼成一个新的长方形，利用长方形面积公式计算． （2）同样用平移，将两条小路平移到边缘，得到新长方形，再算面积． （3）把横向和纵向的小路长度分别分析，横向长度是长方形的长，纵向长度通过计算得出，再求和． 【详解】（1）解：把平行四边形小路平移，使草地部分拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 , ∴草地的面积为； （2）解：将两条小路分别平移到长方形空地的边缘，此时草地拼成一个长为，宽为的长方形． 草地面积 ∴草地的面积为； （3）解：横向路线长度为长方形的长；纵向路线长度，把纵向部分平移后，相当于个 ． 路线总长 ∴所走的路线（图中虚线）长为 基础巩固通关测 1．（25-26七年级下·北京·期末）如图，与是（     ） A．直线，被直线所截形成的内错角 B．直线，被直线所截形成的内错角 C．直线，被直线所截形成的内错角 D．直线，被直线所截形成的内错角 【答案】B 【分析】先确定与的边，找出截线和被截直线，再根据内错角的定义判断． 【详解】解：∵的两边为的两边为， ∴这两个角在截线的两侧，且夹在与之间， 因此与是直线、被直线所截形成的内错角． 2．（25-26七年级下·北京大兴·期中）如图，直线，相交于点，，垂足为．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合对顶角相等、垂直定义及余角定义，数形结合求解即可． 【详解】解：由图可知，， ， ， 则． 3．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，直线，直线分别交于点平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵平分交于点， ∴. 4．（25-26七年级下·北京西城·期中）下列说法中正确的是（   ） A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相垂直 B．相等的两个角一定是对顶角 C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】C 【分析】根据平面内直线的位置关系、对顶角定义、平行公理和平行线的性质逐一判断选项，即可得到正确答案． 【详解】解：A、在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，不是互相垂直，故A错误，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故B错误，不符合题意； C、根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故C正确，符合题意； D、只有两条平行线被第三条直线所截，内错角才相等，任意两条直线被截内错角不一定相等，故D错误，不符合题意． 5．（25-26七年级下·湖南湘西·阶段检测）某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（    ）度时，与平行． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，都与地面l平行，得，根据平行线的性质，求得，再根据平行线的判定，得到，再根据，即可求解． 【详解】解：， ， ， 要使，则， ， ， ． 6．（25-26七年级下·北京·期中）我们知道，由角的数量关系可得两条直线的位置关系．如图，请写出一组角的数量关系，使成立：______． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定条件，写出角的数量关系即可． 【详解】解：由，可得， 由，可得， 由，可得． 7．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，若将边长为的正方形先向上平移，再向右平移，得到正方形，则阴影部分的面积为_______． 【答案】24 【分析】根据平移的性质可得阴影部分的长，宽，即可求解． 【详解】解：由平移可得，，， ∴，， ∴． 8．（2026·北京丰台·一模）能说明命题“若，则”是假命题的一个实数c的值为____． 【答案】（答案不唯一，小于0的实数均可） 【分析】根据不等式的基本性质，当时，不等式两边同乘，不等号方向改变，因此由可推出，据此解答即可． 【详解】解：∵当时，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴当，则， 故取的实数均满足题意，如当可说明原命题是假命题． 9．（25-26七年级上·北京·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直线上的点处，若，则的余角的度数是______，的度数为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角与补角，角度的计算，先根据余角的定义得出，再根据补角的定义即可求出． 【详解】解：如下图∶ ∵，， ∴， ∴ 故答案为：，． 10．（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为__________． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键． 过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 11．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）如图，，．试确定直线a与直线c的位置关系，并说明理由． (1)问题的结论：a_______c； (2)理由如下： 因为 所以（            ） 因为 所以_______（       ） 所以a_______c（                    ）． 【答案】(1) (2)内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；；平行于同一直线的两直线平行． 【详解】（1）解：问题的结论是： （2）解：因为 所以（内错角相等，两直线平行） 因为 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（平行于同一直线的两直线平行） 12．（24-25七年级下·北京顺义·期末）阅读材料，并完成任务． 数学课上，同学们学习了两条直线平行的判定方法．之后小明又进行了探究，部分过程如下： （1）如图，两条直线，被第三条直线所截，其中与，与分别叫做外错角； （2）经过画图、观察、测量、验证等过程，得到猜想：“外错角相等，两直线平行”； （3）对于（2）中的猜想，先分清命题的条件和结论，然后画出相应的图形、写出已知和求证，最后完成证明． 已知：如图，， 求证：______． 画图： 证明： 请你阅读以上材料，补全上表． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定定理、对顶角相等，根据对顶角相等并结合题意可得，再由同位角相等，两直线平行即可得证，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解： 已知：如图，， 求证：． 画图： 证明：∵，， ∴， ∴ 13．（24-25七年级下·北京大兴·期末）如图，在四边形中，，过点作交点，交的延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据题意，结合图形，易得，证得，结合平行线的性质和已知条件，得到，则有，证得结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 14．（24-25七年级下·北京房山·期末）如图，已知直线，． (1)求证：； (2)画的角平分线交于点，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意，结合图形，得到，证得结论； （2）根据题意，得，结合已知条件，则有，即可证得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图，作的角平分线交于点H， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 15．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知是直线上一点，过点作射线，且． (1)如图，的度数为__________； (2)如图，若平分，，垂足为．求的度数； (3)在（2）的条件下，作射线，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2)的度数为； (3)的度数为或． 【分析】本题考查角平分线，余角，补角，解题的关键是正确理解相关定义． （1）根据补角的概念，计算即可； （2）根据角平分线可得的度数，由位置关系得出的度数，计算即可； （3）根据两角互余可得的度数，按的位置进行分类讨论，计算即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴和互为邻补角， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，平分， ∴， ∵，垂足为， ∴， ∴， 答：的度数为． （3）解：由（2）知，， ∵与互余， ∴， ∴， 由（1）知，， 当在内部时，如图， ， 当在外部时，如图， ， 综上所述，或， 答：的度数为或． 能力提升进阶练 16．（2026·北京朝阳·二模）如图，点在上，于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直的定义，得，根据平行线的同位角相等，得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．（24-25七年级下·陕西汉中·期中）如图，已知直线与相交于点O，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直的定义、对顶角相等、角的和差等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．由垂直的定义可得，再根据对顶角相等可得，然后根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵直线与相交于点O，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 18．（24-25七年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，连接，平分，点E为延长线上一点，连接，的平分线交的延长线于点G，交于点F，且．则与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算.根据平行线的性质，结合角平分线平分角，得到，，根据平角的定义结合垂直和角平分线，推出，得到，进而得到，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分，的平分线交的延长线于点G， ∴，， 由条件可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即. 故选：C． 19．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）如图，将周长为12的三角形沿直线向右平移个单位长度，得到三角形交于点，连接．给出下列结论：①；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则．其中，正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据平移的性质和平行线的性质逐一判断即可． 本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 【详解】解：①根据平移的性质，得，故①正确，符合题意； ②根据平移的性质，可得， ∴， ∵，即， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③G是，的交点，但不一定是中点，故③错误，不符合题意； ④根据平移的性质可得，，， ∴四边形的周长为， ∴，即三角形沿方向平移的距离为，故④正确，符合题意； 综上所述，①②④符合题意． 故选：C． 20．（24-25七年级下·北京·期中）如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列判断错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键． 根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，正确，故此选项不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∵， ∴，正确，故此选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，原结论错误，故此选项符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，正确，故此选项不符合题意； 故选：C． 21．（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，已知，，，．则结论：①；②；③平分；④．正确的是______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，同角（等角）的余角相等，平行线的判定等知识，根据得到，判断①正确；根据，得到②正确；根据， 证明，进行角的代换证明，得到④正确；证明，判断③不正确． 【详解】解： ， ，， 故①正确； ∵ ∴， ， ②正确； ， ， ， ， ， ④正确； ， ，不能判断平分； ③不正确； 故正确的是①②④ 故答案为：①②④． 22．（24-25七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）如图，已知，，则__________． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角的和差等知识点，正确作出辅助线、构造平行线成为解题的关键． 如图：过B作，过C作，易得；由平行线的性质可得、，再根据角的和差以及等量代换即可解答． 【详解】解：如图：过B作，过C作，即,, ∵， ∴． ∴，， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（24-25七年级下·北京西城·期中）某校举办数学节活动，其中一项活动环节是进活动室门需要先破译密码．根据下面四个已知条件，推断正确密码是__________． ①只有两个汉字正确且位置正确； ②只有两个汉字正确但位置都不正确； ③只有三个汉字正确但位置都不正确； ④四个汉字都不正确． 【答案】北京学校 【分析】本题考查逻辑推理，结合①②④可确定第二、第四个字分别为“京”“校”，结合③④确定另外两个字及位置，即可求解． 【详解】解：由①②可得，没有“市”字， 由④可得，没有“一”字， 结合①可得，第二、第四个字分别为“京”“校”， 结合③④可得，有“学”“校”“北”三个字，且“北”字不是左边数第三个字， 综上可得，从左到右四个字分别为：北，京，学，校． 推断正确密码是：北京学校， 故答案为：北京学校． 24．（24-25七年级下·内蒙古通辽·期中）如图，直线与直线相交于点O，平分，，，求的度数_______． 【答案】108° 【分析】本题考查了垂线、角平分线的定义以及对顶角、邻补角．正确找出各个角之间的关系是解答本题的关键．由垂直定义得，根据，可得，得，由角平分线定义，得．即得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 故答案为：． 25．（2025·湖南长沙·二模）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动，已知某木艺艺术品加工完成共需A、B、C、D、E、F、G、H八道工序，加工要求如下：①工序C、D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B、D都完成后进行，工序F须在工序C、D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C Đ E F G H 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 3 若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要的时间是 ___________分钟． 【答案】28 【分析】本题考查逻辑推理，有理数的运算，结合题意进行正确的推理即可． 【详解】解：假设这两名学生为甲，乙， ∵工序、须在工序完成后进行，工序须在工序、都完成后进行，且工序都需要 9 分钟完成， ∴甲学生做工序，乙学生做工序，需要 9 分钟， 然后甲学生做工序，同时乙学生做工序， 乙学生工序完成后接着做工序， 此时需要 9 分钟， 最后乙学生做工序，甲学生同时做工序完成后接着做工序， 此时需要 10 分钟， 则（分钟）， 即若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要 28 分钟． 故答案为： 28 ． 26．（24-25七年级下·北京昌平·期中）参加学校科普知识竞赛决赛的5名同学A，B，C，D，E在赛后知道了自己的成绩，想尽快得知比赛的名次，大家互相打听后得到以下消息：（分别以相应字母来对应他们的成绩） 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E （1）请参照表中文字信息的翻译方式，写出表中第一条文字信息的数学表达式______； （2）根据上述信息判断谁的得分最高：______． 【答案】 【分析】此题考查推理与论证问题，关键是根据题意得出结论解答． （1）根据题意列出数学表达式即可； （2）根据推理得出几位同学的名次即可． 【详解】解：（1） 信息序号 文字信息 数学表达式 1 C和D的得分之和是E得分的2倍 2 B的得分高于D 3 A和B的得分之和等于C和D的总分 4 D的得分高于E 故答案为：； （2）由（1）得四个代数式①；②；③；④； 由①和③得到一个推论⑤ 由②④得⑥； 由①得⑦，代入④得到，整理得到⑧； 由⑤得⑨，把⑦和⑨代入②得，整理得⑩， 最后把⑥⑧⑩结合一起，得到 所以得分最高是 故答案为： 27．（24-25九年级下·北京海淀·阶段检测）周末，明明要去科技馆参观，该科技馆共有A、B、C、D、E、F六个展馆，各展馆参观所需要的时间如下表，其中展馆B和展馆E设有特定时间段的专业讲解，若明明准备进科技馆，离开（各展馆之间转换时间忽略不计）． （1）若不考虑专业讲解的情况下，明明最多可以参观完________个展馆； （2）若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，请给出最合理的参观顺序________． 展馆 A B C D E F 专业讲解 无 每半小时一场，共3场 无 无 每1小时一场，共2场 无 参观所需时间（分钟） 60 30 15 15 60 90 【答案】 5 或 【分析】本题考查了时间的计算，推理与论证； （1）根据题意明明有3个小时即180 分钟，按照参观时间从小到大依次排序即可解答． （2）根据题意结合时间表，因为的时间和为 90 分钟，根据表格数据解答即可． 【详解】解：（1）明明有3个小时，即180分钟的参观时间，按照参观时间从小到大排序，依次为（15分钟）和（15 分钟），（30 分钟），（60 分钟），（60 分钟），（90 分钟）最多可以参观完五个展馆． （2）为了赶上展馆的专业讲解，并且不浪费时间最合理的安排是：先参观展馆 90 分钟，正好去参观展馆30分钟，正好去参观展馆，到结束，这样可以保证不浪费时间，并完成展馆的专业讲解． 或者先参观展馆共30分钟，正好去参观展馆 30 分钟，正好去参观展馆60 分钟，正好去参观展馆60 分钟，到结束，这样可以保证不浪费时间，并完成展馆的专业讲解． 则若B、E展馆必须参观且正好赶上专业讲解，本着不浪费时间的原则，最合理的参观顺序是或， 故答案为：或． 28．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点D，使得直线，画出直线； (2)找一格点E，使得直线于点F，画出直线，并注明垂足F； (3)找一格点G，使得直线，画出直线； (4)连接，则线段的大小关系是_______．（用“”连接） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】（1）根据平行线的定义画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可 （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 本题考查作图-应用与设计作图，垂线段最短，平行线的定义，垂线的定义． 【详解】（1）解：根据平行线的定义，画图如下： 则即为所求． （2）解：根据题意，画图如下， 则即为所求． （3）解：根据题意画图如下： 则直线即为所求． （4）解：根据斜边大于直角边，得． 29．（24-25七年级下·北京怀柔·期末）如图，，作的角平分线交于点，的角平分线交于点，过点作交于点． (1)过点作垂线，且点位于右侧，依题意补全图形； (2)求证：． 证明：， ．（________________）， ， （________），（________________） 且． ． 平分，平分， ，（________）， ， ，即， ， ， ， ．（________） 【答案】(1)见解析； (2)两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；同位角相等两直线平行． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，作垂线，角平分线定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意作垂线即可； （2）根据平行线的判定和性质，垂直的定义，角平分线定义，进行作答即可． 【详解】（1）解：所作图形如下： （2）证明：， ．（两直线平行，内错角相等）， ， （），（两直线平行，同旁内角互补） 且． ． 平分，平分， ，（）， ， ，即， ， ， ， ．（同位角相等两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；；同位角相等两直线平行． 30．（24-25七年级下·北京密云·期末）如图，，直线分别与直线、交于、两点，点在直线上，点是射线上的一个动点（不与点、重合），过点作交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时． ①结合题意，补全图1； ②用等式表示和之间的数量关系，并证明； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，直接写出和的数量关系． 【答案】(1)①见解析② (2) 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理的推论，垂直的定义，平角，正确作出图形是解题的关键． （1）①根据题意作图，即可解答；②理由如下：过点P作，有，继而求出可得到，则，即可解答． （2）过点P作，有，先求出 则有，，即可解答． 【详解】（1）解：①作图如图 ②理由如下： 过点P作，如图 有， ∵， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， 即． （2）过点P作，如图 有， ∵， ∴ ∴，， ∴． 31．（24-25七年级下·北京·期末）已知平分 ，平分 ，且 (1)如图1， 求证∶； (2)如图2， 若且求证： (3)若H是直线上一动点（不与D 重合），平分交所在直线于点I，请在下图中画出图形，并直接写出对应的 与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 与的数量关系为或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理，角平分线的性质，利用这些性质进行角之间的转化是解题的关键． （1）过点E作，利用平行线的性质和角的转化即可得到答案； （2）过点F作，利用平行线的性质和角的转化即可得到答案； (3)分点H在点D的左侧，点H在点D的右侧，画出图形，利用平行线和角平分线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点E作， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：①当点H在点D的左侧时， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点I作，则， ∴，， ∴； ②当点H在点D的右侧时， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点I作，则， ∴，， ∴； 综上所述， 与的数量关系为或． 32．（24-25七年级下·北京海淀·期末）如图，和过点的直线满足是线段上的动点，过点作直线与平行． (1)如果，那么___________； (2)设的角平分线是射线，的角平分线是射线． ①如果射线交于点，求； ②如果射线有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)85 (2)①；② 【分析】（1）首先求出，得到，然后根据平行线的性质求解即可； （2）①如图所示，过点B作，过点Q作，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可； ②根据题意分两种情况讨论：当点A和点Q重合时，当点P和点Q重合时，然后根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； （2）①如图所示，过点B作，过点Q作 ∵ ∴ ∵的角平分线是射线 ∴ ∵， ∴ ∴； ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵的角平分线是射线 ∴ ∵ ∴ ∴； ②如图所示，当点A和点Q重合时， 由①可得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图所示，当点P和点Q重合时， ∵，的角平分线是射线 ∴ ∴综上所述，如果射线有公共点，的取值范围为． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $