专题01 概念、命题与证明易错压轴题型专训（专项训练）数学新教材北京版七年级下册

**基本信息** 聚焦概念命题与几何推理，以22类题型构建“概念-推理-应用”逻辑链，提炼反例法、归纳法等解题方法，强化压轴题突破，培养逻辑推理与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念与推理|题型1-6（6类）|反例法证假命题、归纳法找规律、演绎推理步骤|从命题概念到推理方法，形成“概念生成-推理训练”链条| |几何性质应用|题型7-18（12类）|辅助线构造平行线、角关系转化、判定性质综合|以余角补角为基础，递进至平行线性质与判定，压轴题强化应用意识| |图形平移|题型19-22（4类）|平移性质应用、动态面积计算|从平移现象到性质应用，结合实际问题培养空间观念|

专题01 概念、命题与证明易错压轴题型专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、命题 1 题型二、实验 2 题型三、归纳 3 题型四、类比 5 题型五、演绎 6 题型六、证明 8 题型七、余角、补角的计算 9 题型八、同（等）角的余（补）角相等的应用 11 题型九、对顶角 11 题型十、用直尺、三角板画平行线 11 题型十一、平行公理及其应用 11 题型十二、同位角、内错角、同旁内角 11 题型十三、平行线的判定 11 题型十四、平行线的性质 11 题型十五、根据平行线的性质探究角的关系（压轴） 11 题型十六、根据平行线的性质求角的度数（压轴） 11 题型十七、平行线的性质在生活中的应用（压轴） 11 题型十八、根据平行线的判定与性质证明（压轴） 11 题型十九、生活中的平移现象 11 题型二十、图形的平移 11 题型二十一、利用平移的性质求解 11 题型二十二、利用平移解决实际问题 11 题型一、命题 1．若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（     ）． A．， B．， C．， D．， 2．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例即可，则反例中的n可以为（    ） A． B． C．0 D．2 3．命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”的题设为：________． 题型二、实验 4．规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第2023个图案用几根火柴棒（    ） A．8093 B．8095 C．8092 D．8091 5．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 6．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ___________． 题型三、归纳 7．如图，已知用若干个完全一样的“△”去设计图案，第个图案中有个“△”，第个图案中有个“△”，第个图案中有个“△”，…按此规律排列下去，则第个图案中“△”的个数为___________个． 8．一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐．现把张这样的餐桌按如图方式拼接起来，四周可坐用餐的人数为__________（用含n的代数式表示）． 9．2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图案中需要8个基本图形……按此规律拼接下去，第n个图案中需要__________个基本图形．（用含n的代数式表示） 题型四、类比 10．我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： … 以上的系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式系数和为________． 11．哥德巴赫在教学中发现：，，，，，，，…，，，……由此归纳出了“哥德巴赫猜想”：任一大于2的偶数都可写成两个___之和． 12．十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法． 同样，十进制数转化为六进制数可用除六取余法．如图是将十进制数13和500转化为二进制数和六进制数的方法，参照该方法将十进制数2000转化为八进制数为_____．    题型五、演绎 13．某届“新希望杯”竞赛临近前，有10所学校向组委会申请增加参赛名额，组委会同意增加29个参赛名额，每所学校至少增加一个名额． (1)求证：不管怎样分配，至少有3所学校增加的参赛名额相同： (2)求证：如果增加相同参赛名额的学校少于4所，那么增加的29名参赛选手中至少有5名选手来自于同一所学校． 14．湖的周围有一条环行的公共汽车线路．从路上一点A乘车向右绕湖一周时，从A到B地是平路，B地到C地是上坡路，C地到A地是下坡路．11 时正，汽车甲从A出发向右开，同时汽车乙从A地出发向左开．途中两车在11时28分相遇，然后甲在12时正，乙在11时48分，分别回到A地．公共汽车走平路、上坡路和下坡路的速度分别为20公里/小时、15公里/小时和30公里/小时，不考虑途中停车的时间．问： (1)相遇处在哪一段路上：、还是，说明理由； (2)求平路的长． 15．在一个圆周上任意写上9个1和10个0，然后进行如下的操作：在两个相同的数之间写上0，在两个不同的数之间写上1，并擦掉原有的数字，接着进行同样的操作．如此继续，问能否经过有限次这种操作，使圆周上的19个数字都变成0？ 题型六、证明 16．把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 如图，点，，在同一条直线上，已知平分，，，求证． 证明：∵（已知） ∴______（______） ∴______， ∵平分（已知） ∴____________（角平分线定义） ∵（已知） ∴______（______）， ∴（______）． 17．高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板（如图）．将小桌板放下后，桌面与车厢的底部平行，从侧面观察得到如图2所示的示意图，，垂足为A，．有同学认为，与的度数和是一个定值，下面是小林同学计算的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图3，过点B作． 因为（已知）， 所以________ （________）， 所以（________）． 因为， 所以________（垂直的定义）． 因为， 所以________（两直线平行，同旁内角互补）， 所以， 所以________． 18．如图是小志在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A地出发沿北偏东方向到补给地B，从补给地B沿北偏西方向到C地与伙伴汇合，小志通过指南针确定：从C地出发沿着与BC垂直的方向前进，就可以保持与AB的方向一致，到达目的地D，并且距离最短。小志解释理由如下，请你填空： 因为（已知）， 所以（①_______），且CD最短． 因为（已知）， 所以②_______，（③_______） 因为， 所以④_______°． 因为（已知）， 所以⑤_______°， 所以⑥________， 所以⑦________（⑧________）． 题型七、余角、补角的计算 19．如图1，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 20．（1）一个角的补角比这个角的倍大，求这个角的度数． （2）如图，与互余，平分．若，求的度数． 21．如图，点是直线上一点，射线和射线分别平分和． (1)求的度数； (2)图中有几对互余的角？请写出所有互余的角． 题型八、同（等）角的余（补）角相等的应用 22．如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 23．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：（已知）， （____________）， （已知）， ____________（等量代换）， （已知） （____________） ____________（平角的定义）， （等角的补角相等）． 24．小明在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点滚向挡板，碰着上的点后进行第一次反弹滚向挡板（、为定点），碰着上的点后进行第二次反弹滚向点．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小明完善证明过程． (1)因为， 所以． 所以，， 又因为， 所以____________________（____________________）， 同理，，又因为， 所以（____________________）， 所以（等量代换）， 又因为， 所以， 所以________， 所以（____________________）． 【引申拓展】 (2)如图3，小明把挡板固定，将挡板绕点逆时针旋转至直线，若，球从打到挡板和球从打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则___________（用含的代数式表示）； ②当___________时，． 题型九、对顶角 25．如图，直线，相交于点，，，则________． 26．如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)求证：． 27．如图，直线，相交于点O，直线经过点，，分别平分，，在内部，． (1)若，求的度数； (2)若，，求与的数量关系． 题型十、用直尺、三角板画平行线 28．在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点作的垂线，垂足为点，该垂线经过的一个格点记为点． (2)过点作的平行线，该平行线经过的一个格点记为． (3)过点作的平行线，该平行线经过的一个格点记为． (4)与的位置关系为________________． (5)线段的长度是点到直线________的距离；线段、的大小关系为________（用“”连接）． 29．如图，直线与直线相交于点C，P点在直线外． (1)根据下列语句画图：过点P作，交于E；过点P作，垂足为点F，交于O点． (2)若，求的度数． 30．如图所示，在的方格纸中，点均在格点上，仅用直尺完成： (1)在图中过点作线段的垂线段，垂足为． (2)在图中过点作线段的平行线． 题型十一、平行公理及其应用 31．如图，，，有下列4个结论：①；②；③；④中．则正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 32．如图，直线与直线平行，直线与直线、分别交于点、，平分，直线与直线交于点．若，，则______． 33．如图，已知，那么和平行吗？为什么？ 题型十二、同位角、内错角、同旁内角 34．如图所示，平分角的仪器源自几何原理，兴于工匠应用，定型于现代数学教学的便捷分角工具，下列说法不正确的是（     ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 35．如图，两条直线，被直线所截．构成8个角．简称为“三线八角”，下面对各个角的描述正确的是（    ） A．与互为同位角 B．与互为同旁内角 C．与互为内错角 D．与互为对顶角 36．如图，在中，，过点B作三角形的边上的高，过D点作三角形的边上的高． （1）的同位角是_______ ． （2）的内错角是_______ ． （3）点B到直线的距离是线段_______ 的长度． （4）点D到直线的距离是线段_______ 的长度． 题型十三、平行线的判定 37．如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，要使，则需添加条件：_____．（只写出一个即可） 38．某次几何课上，老师借助字母M，命制了如下两小题，请你帮老师写出试题的证明过程． (1)如图1，已知，，求证：． (2)如图2，若，，求证：． 39．如图，点、分别在、上，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（_______）， 又∵（_______）， ________（_______）， ∴（_______）， ∴， 又∵（平角的定义） ∴（_______）， 又∵（已知）， ∴（_______）， ∴．（_______） 题型十四、平行线的性质 40．如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． (1)若，请求出的度数； (2)若，求证：． 41．已知：如图，，，，求的度数． 小明的解题过程如下： 解：过点作， ∵（已知）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴． 请仿照小明的解法，解答下列问题： 如图，，点在与之间，且，，求的度数． 42．如图，，直线分别与直线，相交于点E，F，M是和之间的一点，N在上，连接，． (1)求证：平分； (2)延长交于点G，当时，求的度数； (3)在（2）条件下，当______时，． 题型十五、根据平行线的性质探究角的关系（压轴） 43．如图，点在直线上，点在直线上，点在之间，且满足． (1)试说明：； (2)如图，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图，若，点在线段上，连接，若，请直接写出与的等量关系． 44．利用平行线的相关知识，七年级的聪聪做了一个潜望镜，潜望镜中的两面镜子，光线经过镜子反射后，得到光线；光线经过镜子反射后，得到光线进入聪聪的眼中，根据光的反射原理，始终有，． (1)如图1，光线与光线互相平行吗？请说明理由； (2)如图2，受聪聪影响，明明思考后发现，当时，镜子和的位置可以发生改变，且，和有不变的数量关系，请求出，和之间的数量关系； (3)如图3，受启发的丹丹，对聪聪设计的潜望镜上方的镜筒和镜子进行改造，使其成为可调节的潜望镜了，以便更灵活地上下观察，此时，若入射光线和反射光线的夹角为，请直接写出与的数量关系． 45．已知直线被直线所截，交点分别为点、，平分交于点，且． (1)如图1，试说明； (2)点是射线上一交点，（不与重合），平分、交于点，过点作，交于点． ①如图2，当点在线段上时，若．求的大小； ②在点运动过程中，设，试探索之间的数量关系，并说明理由． 题型十六、根据平行线的性质求角的度数（压轴） 46．如图，已知，点是直线上一个定点，点在直线上运动，设，在线段上取一点，射线上取一点，使得．    (1)当时， ； (2)当时，求； (3)过点M作，垂足为M，交直线于点K，直接写出的角度 47．如图1，平分，． (1)求证：． (2)若是线段上一点，，平分交于点． ①求的度数． ②如图2，平分交于点．当时，求的度数． 48．已知． (1)如图1，点是，之间的一点，连接，，求证：． (2)如图2，点，是，之间的两点，当时，请直接写出和之间的数量关系． (3)如图3，线段平分．交直线于点，的平分线交于点且，已知，，求的度数． 题型十七、平行线的性质在生活中的应用（压轴） 49．按要求完成下列各题： (1)如图1：潮潮用三根木棍a，b，c制作了如图所示的模型，固定c不动，转动a和b，使得__________时，可以使得，其依据是______________________． (2)潮潮的孪生兄弟实实，偶然间在数学教材上看见一幅神奇的平行线图如图2，为了验证这些直线是否互相平行，请你帮助实实同学设计一个方案，在只使用一个含的直角三角板的情况下，验证直线互相平行，并说明设计依据． (3)据此，潮潮实实，在晚上回家写作业的时候，为了转动台灯的灯管面（线段）与桌（线段）面平行，已知，，，请求出图3中的应该为多少？（用含x，y的式子表示），并说明理由． 50．问题情境： 某农业科技园设计了一款智能温室，其屋顶结构由一块可调节的遮光板构成．已知，，．为了均匀采光，设计师在屋顶上安装了一条平行于的可移动轨道，并在轨道上设置一个可移动的光传感器．初始时，传感器满足，其中是上的一个固定支架点（如图1）． 知识初探： (1)设计师测量了初始状态下传感器与遮光板的夹角的度数，请你直接写出__________； 深入探究： (2)在实际运行中，轨道会沿的方向平移（即线段沿射线方向平移），平移后的传感器的位置记为，点的位置记为，为固定传感器，连接．设计师研究了两种位置情况，请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． 拓展延伸： (3)设计师发现：在上述平移过程中，当系统调节到某一理想光照状态时，满足，请直接写出的度数为__________． 51．某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即． (1)如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由． (2)如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间． (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由． 题型十八、根据平行线的判定与性质证明（压轴） 52．如图，点，分别在直线，上，点是直线与外一点，且点，，三点不在同一直线上，连接，． 【问题提出】 (1)如图1，若，，，探究直线，的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图2，过点作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线，的位置关系是__________； 【问题迁移】 (2)如图3，直线、平分交的延长线于点，平分交的延长线交于点，交于点，若，，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图4，直线在上方，且，若点在直线上运动，平分，平分交直线于点，连接，试探究与之间存在的数量关系． 53．综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 54．如图1，直线与直线，分别交于C，D两点，点M在直线上，射线平分交直线于点Q，． (1)试说明． (2)如图2，射线交直线于点F，交线段于点P，且． ①若，直接写出的度数． ②点N在射线上，满足，连接，请补全图形，探究与满足的等量关系，并说明理由． 题型十九、生活中的平移现象 55．甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能大致看成用其中一部分平移得到的是（    ） A．明 B．立 C．从 D．鼎 56．下列现象不属于平移的是（   ） A．人们乘电梯从一楼到三楼 B．小朋友坐滑梯下滑 C．一个铁球从高处自由下落 D．秒针在转动 57．有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止．其中，可以看作平移的是_____（填序号）． 题型二十、图形的平移 58．如图，沿方向平移后得到，已知，，则______． 59．如图，是由沿射线方向平移得到的，若的周长为，则四边形的周长为______．    60．“骐骥驰骋纹”是将“骐、骥、驰、骋”四个马字旁汉字的笔意，与中国传统云纹、雷纹、回纹融合，勾勒出“四马齐驱、拾级而上”的视觉意象，寓意开拓进取、生生不息． 小明想自己绘制一个“骐骥驰骋纹”图案．为此，他先绘制出一个横距为，纵距为的“小马”图案（如图1），然后将图1中的“小马”图案以相同的方式连续平移三次，得到了一个由匹“小马”组成的“骐骥驰骋纹”图案（如图2）． 已知小明每次平移图案时，先水平向右平移，再竖直向上平移，并且水平方向平移距离是竖直方向平移距离的倍．若图2中“骐骥驰骋纹”图案的横距是纵距的倍，求小明每次平移图案时竖直方向的平移距离． 题型二十一、利用平移的性质求解 61．如图，将一块直角三角尺沿着所在的直线向右平移了一段距离，点C与点F对应．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)在图（1）中，过点F作直线的平行线； (2)在图（2）中，过点A作直线的垂线段，垂足为点G． 62．如图，将沿射线方向平移得到，点位于点和点之间． (1)如果，，求移动的距离的长． (2)与是否平行？并说明理由． 63．已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1的速度沿水平方向向右平移，设平移的时间为，两个正方形重叠部分的面积为．完成下列问题： (1)平移时，________； (2)根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为四种，请填写下表： 运动状态 平移时间的范围 两正方形重叠部分的面积 第一种运动状态 ________ 第二种运动状态 ________ 第三种运动状态 ________ ________ 第四种运动状态 ________ 0 (3)当时，小正方形平移的时间为________秒． 题型二十二、利用平移解决实际问题 64．如图，在宽为、长为的长方形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，根据图中数据，计算耕地的面积． 65．某商场在开业前装修，准备在大厅的楼梯上铺设红地毯，已知楼梯的竖直高度为，水平跨度为，且． (1)至少需要多长的地毯？ (2)若所铺设的地毯每平方米售价为50元，楼梯的宽度为，则至少需要多少元钱去购买地毯？ 66．光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 概念、命题与证明易错压轴题型专训（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、命题 1 题型二、实验 2 题型三、归纳 3 题型四、类比 5 题型五、演绎 6 题型六、证明 8 题型七、余角、补角的计算 9 题型八、同（等）角的余（补）角相等的应用 11 题型九、对顶角 11 题型十、用直尺、三角板画平行线 11 题型十一、平行公理及其应用 11 题型十二、同位角、内错角、同旁内角 11 题型十三、平行线的判定 11 题型十四、平行线的性质 11 题型十五、根据平行线的性质探究角的关系（压轴） 11 题型十六、根据平行线的性质求角的度数（压轴） 11 题型十七、平行线的性质在生活中的应用（压轴） 11 题型十八、根据平行线的判定与性质证明（压轴） 11 题型十九、生活中的平移现象 11 题型二十、图形的平移 11 题型二十一、利用平移的性质求解 11 题型二十二、利用平移解决实际问题 11 题型一、命题 1．若要证明命题“若，则”为假命题，可以举的反例为（     ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】要证明原命题为假命题，只需找到满足命题条件，但不满足命题结论的例子即可，即反例需同时满足和． 【详解】解：对各选项逐一验证： 选项A：， ，得，满足命题条件，又，即，不满足命题结论，该选项可以作为反例； 选项B：，满足，也满足，不能作为反例； 选项C：，满足，也满足，不能作为反例； 选项D：，，不满足命题条件，不能作为反例． 2．判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例即可，则反例中的n可以为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题．本题考查了举反例判断假命题，只要从符合中找出一个数，能使不成立，就可以说明此命题是假命题，所以准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键． 【详解】解：时，，符合题意； 而当时虽然满足小于，但是计算结果也成立，故不能作为反例，故不符合题意； 故选：A． 3．命题“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”的题设为：________． 【答案】两条直线都与第三条直线平行 【分析】命题可改写为“如果…，那么…”的形式，“如果”引出的部分为命题的题设，“那么”引出的部分为命题的结论．据此确定该命题的题设即可． 【详解】解：∵该命题“如果”引出的部分为“两条直线都与第三条直线平行”， ∴题设为：两条直线都与第三条直线平行． 题型二、实验 4．规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第2023个图案用几根火柴棒（    ） A．8093 B．8095 C．8092 D．8091 【答案】A 【分析】观察图形的变化即可得第1个图形火柴棒的个数；摆第2个图案要用的火柴棒；摆第3个图案要用的火柴棒；即可得第n个图形的火柴棒个数，从而可求解． 【详解】观察图形的变化可知： 摆第1个图案要用火柴棒的根数为：5； 摆第2个图案要用火柴棒的根数为：； 摆第3个图案要用火柴棒的根数为：； … 则摆第n个图案要用火柴棒的根数为：； 故第2023个图案要用火柴棒的根数为： 故选：A 【点睛】本题主要考查规律型：图形的变化类，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，解题的关键是利用规律解决问题． 5．生活中人们经常利用手机设置闹钟，下图是设置界面，采用24小时制，左边的数表示小时，右边的数表示分钟，数字每跳动一次会发出“嘀”的一声，划动屏幕中对应数字所在列，数可以增大也可以减小．若想把图中的闹钟时间设置成06：05，最少会响________次“嘀”声． 【答案】35 【分析】先判断滑动的方向，再进一步求解即可． 【详解】解：把左边的数往下滑动到，划动下，把右边的数往上滑动到，滑动下， ∴想把图中的闹钟时间设置成，最少会响次“嘀”声． 6．小明家电话号码原为六位数，第一次升位是在首位号码和第二位号码之间加上数字8，成为一个七位数的电话号码；第二次升位是在首位号码前加上数字2，成为一个八位数的电话号码．小明发现，升位后的电话号码的八位数恰是原来电话号码的六位数的81倍，则小明家原来的电话号码是 ___________． 【答案】282500 【分析】本题考查了数字与数位上数字的关系，解决本题的关键是通过前后两次升位后的号码之间的联系． 需要找出两次号码变化之间存在的关系得到，通过观察可设，从而结合已知条件找到x与a的关系，即可求解． 【详解】解：设小明家原来的电话号码的六位数为， 则经过第一次升位后电话号码为七位数，即 经过第二次升位后，电话号码又变为八位数，即， 根据题意，有， 记， 代入上式有， 解得， ∵， ∴， ∵a为整数， ∴， 将代入， 得， 将代入， 得， 则小明家原来的电话号码为282500． 故答案为：282500 ． 题型三、归纳 7．如图，已知用若干个完全一样的“△”去设计图案，第个图案中有个“△”，第个图案中有个“△”，第个图案中有个“△”，…按此规律排列下去，则第个图案中“△”的个数为___________个． 【答案】2943 【分析】本题考查了图形类的规律探究，掌握探究的方法并总结规律并运用规律是解题的关键．由前个图形总结归纳得到第个图案的规律，从而可得答案． 【详解】解：第个图案中有个“△”，， 第个图案中有个“△”，， 第个图案中有个“△”，， ∴第个图案中有“△”， 当时，． 故答案为：． 8．一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐．现把张这样的餐桌按如图方式拼接起来，四周可坐用餐的人数为__________（用含n的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】此题考查图形的变化规律．首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，找出规律解决问题． 结合图形发现：图中两端坐2人，剩下的两边每一张桌子是4人，则n张餐桌拼接，四周可坐 人． 【详解】解：1张长方形餐桌的四周可坐人， 2张长方形餐桌的四周可坐人， 3张长方形餐桌的四周可坐人， …， n张长方形餐桌的四周可坐人． 故答案是：． 9．2024年10月30日4时27分，神舟十九号载人飞船成功发射，蔡旭哲、宋令东和王浩泽顺利进入太空．某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图．如图，第1个图案中需要4个基本图形，第2个图案中需要6个基本图形，第3个图案中需要8个基本图形……按此规律拼接下去，第n个图案中需要__________个基本图形．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了图形类规律探索，根据图形发现一般规律是解题关键． 观察图形发现，第n个图案中需要个基本图形，即可得到答案． 【详解】解：第1个图案中需要个基本图形， 第2个图案中需要个基本图形， 第3个图案中需要个基本图形， …… 观察发现，第n个图案中需要个基本图形， 故答案为：． 题型四、类比 10．我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： … 以上的系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式系数和为________． 【答案】256 【分析】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解． 根据给出的展开式系数和总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：由“杨辉三角”的规律可知， 展开式系数和为， 展开式系数和为， 展开式系数和为， 展开式系数和为， …… 展开式系数和为， 展开式系数和为． 故答案为：． 11．哥德巴赫在教学中发现：，，，，，，，…，，，……由此归纳出了“哥德巴赫猜想”：任一大于2的偶数都可写成两个___之和． 【答案】 质数 【分析】本题考查归纳与类比． 根据题干通过多个偶数分解为两个质数之和的例子，即可归纳出哥德巴赫猜想的内容． 【详解】解：根据题干所给例子，如，，，，，，，，，， 这些偶数均被分解为两个质数的和， ∴“哥德巴赫猜想”：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和． 故答案为：质数． 12．十进制整数转化为二进制整数通常采用除二取余法，即用2连续除十进制数，直到商为0，逆序排列余数即可得到二进制数，简称除二取余法． 同样，十进制数转化为六进制数可用除六取余法．如图是将十进制数13和500转化为二进制数和六进制数的方法，参照该方法将十进制数2000转化为八进制数为_____．    【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据题意列式计算后取余数即可． 【详解】解：……0， ……2， ……7， ……3， 则将十进制数2000转化为．八进制数为， 故答案为：． 题型五、演绎 13．某届“新希望杯”竞赛临近前，有10所学校向组委会申请增加参赛名额，组委会同意增加29个参赛名额，每所学校至少增加一个名额． (1)求证：不管怎样分配，至少有3所学校增加的参赛名额相同： (2)求证：如果增加相同参赛名额的学校少于4所，那么增加的29名参赛选手中至少有5名选手来自于同一所学校． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了反证法． （1）假设没有3所学校得到相同的名额，而每所学校至少要有1名，推出总人数为30名，与增加29名参赛名额矛盾，据此证明原结论正确； （2）假设每所学校分得的名额都不超过4个，推出10所学校派出的选手人数最多不会超过28名，与增加29名参赛名额矛盾，据此证明原结论正确． 【详解】（1）解：假设没有3所学校得到相同的名额，而每所学校至少要有1名， 则人数最少的分配方案是： 每两所学校一组依次各得1，2，3，4，5个名额， 总人数为， 矛盾， 故不管如何分配，都至少有3所学校分得的名额相同； （2）解：假设每所学校分得的名额都不超过4个，并且每所学校的名额不少于1，则在分到相同名额的学校少于4所的条件下， 选手人数最多的分配方法是：3所学校各分4个名额，3所学校各分3个名额，3所学校各分2个名额，还有一所学校分一个名额， 这样10所学校派出的选手人数最多不会超过， 矛盾，所以至少会有一所学校派出的选手人数不少于5． 14．湖的周围有一条环行的公共汽车线路．从路上一点A乘车向右绕湖一周时，从A到B地是平路，B地到C地是上坡路，C地到A地是下坡路．11 时正，汽车甲从A出发向右开，同时汽车乙从A地出发向左开．途中两车在11时28分相遇，然后甲在12时正，乙在11时48分，分别回到A地．公共汽车走平路、上坡路和下坡路的速度分别为20公里/小时、15公里/小时和30公里/小时，不考虑途中停车的时间．问： (1)相遇处在哪一段路上：、还是，说明理由； (2)求平路的长． 【答案】(1)相遇处在上，理由见解析 (2)平路的长为千米 【分析】（1）假设相遇处在上，根据相等长度的平路上两车所需时间应该相等推出矛盾，可得相遇处不可能在上；假设相遇处在上，求出时间比，推出与假设矛盾，可得相遇处不可能在上，则相遇处在上； （2）由题意可知时间差来自于相同路程的上下坡之分，根据时间差和上坡和下坡所需时间的比求出甲车相遇前上坡段所用时间，然后可得平路上所用时间，进而可得答案． 【详解】（1）解：相遇处在上； 理由：假设相遇处在上，则甲车前28分钟都在走平路，乙后20分钟在走平路， 因为相等长度的平路上两车所需时间应该相等， 所以与假设矛盾，相遇处不可能在上； 假设相遇处在上，则乙车前28分钟在走上坡路，甲车后32分钟在走下坡路，时间比为， 因为上坡速度和下坡速度之比为， 所以相等路程的时间比为，与假设矛盾，相遇处不可能在上； 所以相遇处在上； （2）解：由（1）知，两车相遇在上，不妨设相遇点距离点B的距离为S， 甲车从出发到相遇，28分钟内走的路程为， 乙车相遇后，20分钟内走的路程为， 因为平路上所用时间相等， 所以时间差来自于相同路程的上下坡之分， 因为路程相同时，上坡和下坡的速度之比为， 所以上坡和下坡所需时间的比为， 则甲车相遇前上坡段所用时间为（分钟）， 所以平路上所用时间为（分钟）， 所以平路的长为千米． 【点睛】本题考查了反证法，有理数混合运算的实际应用，掌握路程、速度与时间之间的数量关系是解题的关键． 15．在一个圆周上任意写上9个1和10个0，然后进行如下的操作：在两个相同的数之间写上0，在两个不同的数之间写上1，并擦掉原有的数字，接着进行同样的操作．如此继续，问能否经过有限次这种操作，使圆周上的19个数字都变成0？ 【答案】不能 【详解】解  假设进行第步第1次得到19个数字都是0，于是第步后得到的19个数字不能都是0，也不能既有0又有1，而只能都是1，从而第步后得到的19个数字应是0与1相间的，于是0的个数应等于1的个数，即一共有偶数个数，这与一共有19个数矛盾．因此，不论操作多少次，都不能使所有的数字都变为0. 题型六、证明 16．把下面的推理过程补充完整，并在括号内注明理由． 如图，点，，在同一条直线上，已知平分，，，求证． 证明：∵（已知） ∴______（______） ∴______， ∵平分（已知） ∴____________（角平分线定义） ∵（已知） ∴______（______）， ∴（______）． 【答案】，垂直的定义，，，，，内错角相等，两直线平行． 【分析】根据垂直的定义及角平分线的定义得出，根据内错角相等，两直线平行即可得出结论． 【详解】解：∵（已知） ∴（垂直的定义） ∴， ∵平分（已知） ∴（角平分线定义） ∵（已知） ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 17．高速列车为了方便乘客放置小件物品，在座椅的后方都安装了可折叠的小桌板（如图）．将小桌板放下后，桌面与车厢的底部平行，从侧面观察得到如图2所示的示意图，，垂足为A，．有同学认为，与的度数和是一个定值，下面是小林同学计算的过程，请你将解答过程补充完整． 解：如图3，过点B作． 因为（已知）， 所以________ （________）， 所以（________）． 因为， 所以________（垂直的定义）． 因为， 所以________（两直线平行，同旁内角互补）， 所以， 所以________． 【答案】；平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；； 【分析】根据平行公理的推论，平行线的性质和垂直的定义补全解答过程即可． 【详解】解：如图3，过点B作． 因为（已知）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）， 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 因为， 所以（垂直的定义）． 因为， 所以（两直线平行，同旁内角互补）， 所以， 所以． 18．如图是小志在一次野外拓展训练活动中的行动路线，从A地出发沿北偏东方向到补给地B，从补给地B沿北偏西方向到C地与伙伴汇合，小志通过指南针确定：从C地出发沿着与BC垂直的方向前进，就可以保持与AB的方向一致，到达目的地D，并且距离最短。小志解释理由如下，请你填空： 因为（已知）， 所以（①_______），且CD最短． 因为（已知）， 所以②_______，（③_______） 因为， 所以④_______°． 因为（已知）， 所以⑤_______°， 所以⑥________， 所以⑦________（⑧________）． 【答案】①垂直的定义，②，③两直线平行，同旁内角互补，④，⑤，⑥，⑦，⑧内错角相等，两直线平行 【分析】根据垂直的定义和平行的判定和性质解答即可． 【详解】略． 题型七、余角、补角的计算 19．如图1，与互为补角，，且． (1)求的度数； (2)如图2，若平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，以及，即可求解； （2）根据与互为补角可得，再根据角平分线的定义可得，，最后根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵与互为补角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 20．（1）一个角的补角比这个角的倍大，求这个角的度数． （2）如图，与互余，平分．若，求的度数． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）设这个角的度数为，根据一个角的补角比这个角的倍大，列方程求解即可； （2）利用角平分线可得，接着根据与互余得到，进而可得的度数； 【详解】（1）解：设这个角的度数为， 由题意得：， 解得：， 答：这个角的度数； （2）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴. 21．如图，点是直线上一点，射线和射线分别平分和． (1)求的度数； (2)图中有几对互余的角？请写出所有互余的角． 【答案】(1)； (2)共有对互余的角，分别是和、和、和、和． 【分析】本题考查的知识点是角平分线定义、余角性质，解题关键是熟练掌握角平分线定义． （1）根据射线和射线为角平分线，和互补，易求得的度数； （2）根据余角性质及（1）中所得，，，易得所有互余角． 【详解】（1）解：点是直线上一点， ， 射线和射线分别平分和， ，， ； （2）解：，，， ， ， ， ， 即共有对互余的角，分别是和、和、和、和． 题型八、同（等）角的余（补）角相等的应用 22．如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（   ） A．同角的余角相等 B．等角的余角相等 C．同角的补角相等 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】本题考查了垂直定义，等角的余角相等，由，所以，即，，又，根据等角的余角相等得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即，， 又∵反射角等于入射角即， ∴， 所以这一步推理的依据是等角的余角相等， 故选：． 23．中国汉字形意相生，方寸之间横竖藏乾坤，如图1是一个“九”字，如图2是由图1抽象出的几何图形，其中，且，．求证：． 在下列括号内填写推理过程或依据： 证明：（已知）， （____________）， （已知）， ____________（等量代换）， （已知） （____________） ____________（平角的定义）， （等角的补角相等）． 【答案】两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补； 【分析】本题主要考查了平行线的性质、补角的性质，根据平行线的性质可知，，根据平角的定义可知，根据等角的补角相等，可证结论成立． 【详解】证明：（已知）， （两直线平行，内错角相等）， （已知）， （等量代换）， （已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （平角的定义）， （等角的补角相等）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同旁内角互补；． 24．小明在观看台球比赛的过程中对小球的运动轨迹产生浓厚的兴趣，她将这一问题抽象为数学模型进行研究． 【探索模型】如图1所示，一个台球桌桌面，桌子两边视为两条挡板，分别为，，且，小球从点滚向挡板，碰着上的点后进行第一次反弹滚向挡板（、为定点），碰着上的点后进行第二次反弹滚向点．经过多次测量．她进一步发现，，且，． 【解决问题】发现小球经过两次反弹后的路径平行于原来的路径，请你借助图2帮助小明完善证明过程． (1)因为， 所以． 所以，， 又因为， 所以____________________（____________________）， 同理，，又因为， 所以（____________________）， 所以（等量代换）， 又因为， 所以， 所以________， 所以（____________________）． 【引申拓展】 (2)如图3，小明把挡板固定，将挡板绕点逆时针旋转至直线，若，球从打到挡板和球从打到挡板均按照【探索模型】中的规律反弹． ①则___________（用含的代数式表示）； ②当___________时，． 【答案】(1)；等角的余角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行 (2)①；② 【分析】（1）利用等角的余角相等得到；再由得到，进而推出，最后根据内错角相等判定． （2）①根据平行线性质及反弹规律可求得结果； ②利用则同旁内角互补，可求出的表达式，再根据反弹规律与平行线性质可写出与的表达式，最后通过平角为建立方程求解． 【详解】（1）略 （2）①解：如图， ， ，即， 根据“反弹规律”，， ∴， ． ②解：当时，， 由反弹规律，， ∴． 由，并结合反弹规律得， ∵， ∴， 解得，符合的范围． 题型九、对顶角 25．如图，直线，相交于点，，，则________． 【答案】/30度 【分析】根据对顶角相等可得，即可求解． 【详解】解：∵直线，相交于点，， ∴， ∵， ∴． 26．如图，直线与相交于点，是的平分线，，． (1)如果，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据对顶角相等，余角的定义求解即可； （2）先证明．．再根据余角的性质，得到，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴，． ∵， ∴． ∵是的平分线， ∴，即：． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 27．如图，直线，相交于点O，直线经过点，，分别平分，，在内部，． (1)若，求的度数； (2)若，，求与的数量关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，设，则，根据平角的定义列方程求出，根据对顶角相等，结合垂直的定义即可求出； （2）由平角的定义得出，根据角平分线的定义得出，根据垂直的定义得出，根据即可得答案． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型十、用直尺、三角板画平行线 28．在如图的方格纸中（网格线的交点叫格点），按要求画图、填空． (1)过点作的垂线，垂足为点，该垂线经过的一个格点记为点． (2)过点作的平行线，该平行线经过的一个格点记为． (3)过点作的平行线，该平行线经过的一个格点记为． (4)与的位置关系为________________． (5)线段的长度是点到直线________的距离；线段、的大小关系为________（用“”连接）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)， 【分析】（1）作出的矩形的对角线即可； （2）根据平移特点即可完成作图； （3）根据平移特点即可完成作图； （4）根据平移的性质即可求解； （5）根据点到直线的距离，垂线段最短，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示 （2）如图所示 （3）如图所示 （4）∵ ∴； （5）线段的长度是点A到直线的距离；根据垂线段最短可得：， 29．如图，直线与直线相交于点C，P点在直线外． (1)根据下列语句画图：过点P作，交于E；过点P作，垂足为点F，交于O点． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）过点作 ，由垂线的定义得到．根据 ， ，得到 ， ，由 即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：过点作 ， ， ． ∵ ， ， ， ， ． 30．如图所示，在的方格纸中，点均在格点上，仅用直尺完成： (1)在图中过点作线段的垂线段，垂足为． (2)在图中过点作线段的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格的特点、垂线的定义求解即可； （2）根据网格的特点和平行线定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求. 题型十一、平行公理及其应用 31．如图，，，有下列4个结论：①；②；③；④中．则正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴，故③正确； ∵ ∴，故②正确； ∴，故①正确； 根据题意无法证明，故④错误． 综上所述，正确结论的个数是3． 32．如图，直线与直线平行，直线与直线、分别交于点、，平分，直线与直线交于点．若，，则______． 【答案】 【分析】如图，过作，交于，而，可得，进一步利用平行线的性质求解即可. 【详解】解：如图，过作，交于，而， ∴， ∵，， ∴，，， ∵平分， ∴， ∴， ∴. 33．如图，已知，那么和平行吗？为什么？ 【答案】平行；见解析 【分析】由平行线的性质得出，由垂直的定义得出，结合题意得出，进而可得出，最后由平行线的公理即可得出． 【详解】解：平行．理由如下： ， ， ， ， ， ， ． 题型十二、同位角、内错角、同旁内角 34．如图所示，平分角的仪器源自几何原理，兴于工匠应用，定型于现代数学教学的便捷分角工具，下列说法不正确的是（     ） A．与是同旁内角 B．与是内错角 C．与是同位角 D．与是同旁内角 【答案】C 【分析】对每个选项，先找到对应两个角的边，确定截线与被截直线，再根据三类角的位置特征判断是否符合定义，选出不符合对应角定义的选项． 【详解】解：本题考查三线八角（同位角、内错角、同旁内角）的定义，三类角都要求两个角各有一条边在同一条公共截线上，再根据位置判断： 选项A：与，是直线、被直线所截，两个角在截线同侧，且夹在、之间， 属于同旁内角，A说法正确． 选项B：与，是直线、被直线所截，两个角在截线两侧，且夹在、之间， 属于内错角，B说法正确． 选项C：与，不满足同位角的位置关系， 不存在公共截线使二者构成同位角，C说法错误． 选项D：与是直线、被直线所截，两个角在截线同侧，且在被截线、之间， 属于同旁内角，D说法正确． 35．如图，两条直线，被直线所截．构成8个角．简称为“三线八角”，下面对各个角的描述正确的是（    ） A．与互为同位角 B．与互为同旁内角 C．与互为内错角 D．与互为对顶角 【答案】B 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角及对顶角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A．与不是同位角，故A错误； B．与在截线右侧，且在直线、之间，互为同旁内角，故B正确； C．与在截线左侧，且在直线、上方，互为同位角，故C错误； D． 与没有公共顶点，不是对顶角，故D错误． 36．如图，在中，，过点B作三角形的边上的高，过D点作三角形的边上的高． （1）的同位角是_______ ． （2）的内错角是_______ ． （3）点B到直线的距离是线段_______ 的长度． （4）点D到直线的距离是线段_______ 的长度． 【答案】 【分析】本题考查了同位角、内错角、点到直线的距离，熟练掌握基础概念是解题的关键． 根据同位角、内错角的概念，点到直线的垂线段的长度是点到直线的距离可得答案． 【详解】解：的同位角是， 的内错角是， 点B到直线的距离是线段 的长度， 点D到直线的距离是线段 的长度， 故答案为：； ； ；． 题型十三、平行线的判定 37．如图，已知，，在不添加任何辅助线和字母的情况下，要使，则需添加条件：_____．（只写出一个即可） 【答案】 【分析】根据内错角相等两直线平行即可得到答案． 【详解】根据内错角相等两直线平行， 所以当时，，则． 38．某次几何课上，老师借助字母M，命制了如下两小题，请你帮老师写出试题的证明过程． (1)如图1，已知，，求证：． (2)如图2，若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用得内错角相等，结合，推出内错角相等，从而证明； （2）过点作，过点作，两线交于点；由得，由得；再利用两直线平行，内错角相等，完成角的等量代换，证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）证明：过点作，过点作，两线交于点． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴， 即． 39．如图，点、分别在、上，于点，，，求证：． 证明：∵（已知）， ∴（_______）， 又∵（_______）， ________（_______）， ∴（_______）， ∴， 又∵（平角的定义） ∴（_______）， 又∵（已知）， ∴（_______）， ∴．（_______） 【答案】垂直的定义；已知；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】根据垂直的定义得，根据平行线的判定推出，继而得到，结合平角的定义推出，再得到，最后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（垂直的定义）， 又∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴， 又∵（平角的定义） ∴， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 题型十四、平行线的性质 40．如图，直线，相交于点B，直线，相交于点E，于点P，连接，，． (1)若，请求出的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由得，，故； （2）由得，，故，因为，所以，故． 【详解】（1）解：， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， ∴． 41．已知：如图，，，，求的度数． 小明的解题过程如下： 解：过点作， ∵（已知）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴． 请仿照小明的解法，解答下列问题： 如图，，点在与之间，且，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，仿照题干的解法作答即可． 【详解】解：如图，过点作， ∵（已知）， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∴． 42．如图，，直线分别与直线，相交于点E，F，M是和之间的一点，N在上，连接，． (1)求证：平分； (2)延长交于点G，当时，求的度数； (3)在（2）条件下，当______时，． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据，得到，进而推出，即可得证； （2）结合（1），利用平行线的性质解答即可； （3）根据两直线平行，同位角相等解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，． 题型十五、根据平行线的性质探究角的关系（压轴） 43．如图，点在直线上，点在直线上，点在之间，且满足． (1)试说明：； (2)如图，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图，若，点在线段上，连接，若，请直接写出与的等量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）过点作，可得，即得，即得到，即可求证； （）作，设，则，，根据平行线的性质可得，，进而得到，即可求证； （）作，设，则，，同理（）解答即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，作， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （3）解：，理由如下： 如图，作， 设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 44．利用平行线的相关知识，七年级的聪聪做了一个潜望镜，潜望镜中的两面镜子，光线经过镜子反射后，得到光线；光线经过镜子反射后，得到光线进入聪聪的眼中，根据光的反射原理，始终有，． (1)如图1，光线与光线互相平行吗？请说明理由； (2)如图2，受聪聪影响，明明思考后发现，当时，镜子和的位置可以发生改变，且，和有不变的数量关系，请求出，和之间的数量关系； (3)如图3，受启发的丹丹，对聪聪设计的潜望镜上方的镜筒和镜子进行改造，使其成为可调节的潜望镜了，以便更灵活地上下观察，此时，若入射光线和反射光线的夹角为，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)数量关系为： (3)与的数量关系是： 【分析】（1）先证明，再证明，即可得到； （2）过P作．则，得到； （3）过P作，过作，即可得到，，， 再根据，，，得到，代入 ，整体代入求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ，， ， ，， ， ； （2）解：过P作． ， ， ， ， ， ∴数量关系为：，理由如上； （3）解：与的数量关系是：． 由题意得，， 过P作，过作， ，，，， ，， ∵，， ∴， 整理得， ∴， 整理得． 45．已知直线被直线所截，交点分别为点、，平分交于点，且． (1)如图1，试说明； (2)点是射线上一交点，（不与重合），平分、交于点，过点作，交于点． ①如图2，当点在线段上时，若．求的大小； ②在点运动过程中，设，试探索之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)解：平分， ， ， ， ； (2)①； ②与之间的数量关系为或，理由如下： 当点在线段的延长线上时，设， 平分，平分， ，， ， ，即， ， ，即， ； 当点在线段上时，设， 平分，平分， ， ， ，即， ， ，即， ； 综上，与之间的数量关系为或． 【分析】（1）根据角平分线的定义结合已知条件推出，即可得证； （2）①根据平行线的性质，角平分线的定义，以及角的和差关系进行求解即可；②分点在线段的延长线上和点在线段上两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）略 （2）解：①，， ， 平分， ， ，平分， ， ， ； ②略 题型十六、根据平行线的性质求角的度数（压轴） 46．如图，已知，点是直线上一个定点，点在直线上运动，设，在线段上取一点，射线上取一点，使得．    (1)当时， ； (2)当时，求； (3)过点M作，垂足为M，交直线于点K，直接写出的角度 【答案】(1) (2) (3)的角度为或． 【分析】（1）根据平行线的性质求解，即可得到答案； （2）过点作直线，根据平行线的性质，得到的度数，进而得到的度数，再利用平行线的性质，即可求出； （3）分三种情况，当点N在线段上，点F在线段上时；当点N在线段上，点F在直线右侧时；当点N在射线上，点F在直线左侧时，分别画出图形，利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， ，， ， ， （2）解：如图1，过点作直线， ， ， 又， ， ， ， ， ， ； （3）解：当点N在线段上，点F在线段上时，如下图： 过点M作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 当点N在线段上，点F在直线右侧时，如下图： ∵， ∴， 过点M作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 当点N在射线上，点F在直线左侧时，如下图： 过点M作， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：的角度为或． 47．如图1，平分，． (1)求证：． (2)若是线段上一点，，平分交于点． ①求的度数． ②如图2，平分交于点．当时，求的度数． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． (2)①；②的度数为 【分析】（1）由角平分线定义得，结合已知，通过等量代换得，由内错角相等判定； （2）①设，由得，进而；由平分得；过作，利用平行线性质得，与无关； (2)②由得，平分得；由得内错角，又，解得． 【详解】（1）略 （2）①如图，过点作． 设， 则． 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． ∵平分交于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ②由①可知， ∴． ∵平分交于点， ∴． 设， 由①可知，， ∴当时， ， 即， 解得， 即的度数为． 48．已知． (1)如图1，点是，之间的一点，连接，，求证：． (2)如图2，点，是，之间的两点，当时，请直接写出和之间的数量关系． (3)如图3，线段平分．交直线于点，的平分线交于点且，已知，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过M作，则，根据平行线的性质得出，，结合即可得证； （2）过M作，过N作，根据平行线的判定与性质得出，，，结合，得出，根据，，得出，即可求解； （3）设，，根据平行线的性质得出，，过M作，过N作，过G作，根据平行线的判定与性质得出，，，，，，，，，则，，解方程组即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过M作， ∵， ∴， ∴，， 又， ∴； （2）解：， 理由：如图，过M作，过N作 ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：设，， ∵线段平分．交直线于点，的平分线交于点， ∴，， 如图，过M作，过N作，过G作， ∵， ∴， ∴，，，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， 解得，， ∴． 题型十七、平行线的性质在生活中的应用（压轴） 49．按要求完成下列各题： (1)如图1：潮潮用三根木棍a，b，c制作了如图所示的模型，固定c不动，转动a和b，使得__________时，可以使得，其依据是______________________． (2)潮潮的孪生兄弟实实，偶然间在数学教材上看见一幅神奇的平行线图如图2，为了验证这些直线是否互相平行，请你帮助实实同学设计一个方案，在只使用一个含的直角三角板的情况下，验证直线互相平行，并说明设计依据． (3)据此，潮潮实实，在晚上回家写作业的时候，为了转动台灯的灯管面（线段）与桌（线段）面平行，已知，，，请求出图3中的应该为多少？（用含x，y的式子表示），并说明理由． 【答案】(1)；同位角相等，两直线平行 (2)将三角板角的一边与第一条直线重合，标记出角另一边的位置；再移动三角板到第二条直线处，让角的一边与第二条直线重合，若角的另一边与标记位置重合，则两条直线平行．依据：同位角相等，两直线平行（方案合理即可，也可利用内错角相等、同旁内角互补设计） (3)， 理由： 如图，过点作，过点作， ， ． ，，； 又， ，即； ， ． 【分析】（1）因为a、b、c所截形成同位角、内错角或同旁内角，所以根据平行线的判定定理，找到对应角满足的数量关系即可． （2）如果用直角三角板构造截线，测量待验证直线被截线所截的同位角、内错角或同旁内角，那么根据平行线判定定理即可判断平行． （3）因为，所以过F、G分别作的平行线，利用平行线的性质传递角度关系，结合已知角的度数推导的表达式． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 50．问题情境： 某农业科技园设计了一款智能温室，其屋顶结构由一块可调节的遮光板构成．已知，，．为了均匀采光，设计师在屋顶上安装了一条平行于的可移动轨道，并在轨道上设置一个可移动的光传感器．初始时，传感器满足，其中是上的一个固定支架点（如图1）． 知识初探： (1)设计师测量了初始状态下传感器与遮光板的夹角的度数，请你直接写出__________； 深入探究： (2)在实际运行中，轨道会沿的方向平移（即线段沿射线方向平移），平移后的传感器的位置记为，点的位置记为，为固定传感器，连接．设计师研究了两种位置情况，请你帮忙解决，并写出解答过程． ①如图2，当点在线段上时，若，求的度数； ②如图3，当点在线段上时，若，求的度数． 拓展延伸： (3)设计师发现：在上述平移过程中，当系统调节到某一理想光照状态时，满足，请直接写出的度数为__________． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】（1）利用平行线的性质得， ， 根据同角的补角相等可得答案； （2）过点作，根据平移的性质得到，进而得到，根据平行线的性质可得答案； 过点作，根据平移的性质得到，进而得到，根据平行线的性质可得答案； （3）分两种情形：按照图2，图3分别求解即可． 【详解】（1）解：， ． ， ， ； （2）解：过点作，则， 线段是由线段平移得到， ， ， ， ； 过点作，则， 线段是由线段平移得到， ， ， ； ； （3）解：如图2，当时， 由知，， 即，解得， ； 如图3，当时， 由知，， 即，解得， ． 综上，或． 51．某市为了美化某景点，在两条笔直的景观道，上分别放置了两盏激光灯，如图所示，A灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转；灯发出的光束自逆时针旋转至便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒旋转，灯每秒旋转，已知这两条景观道是平行的，即． (1)如果灯先旋转16秒，A灯才开始旋转，当A灯旋转4秒时，两灯发出的光束和到达如图所示的位置，请判断与的位置关系并说明理由． (2)如果灯先旋转12秒，A灯才开始旋转，当灯发出的光束第一次到达之前，两灯的光束互相平行时，请直接写出A灯转动的时间． (3)若两灯同时旋转，A灯发出的光束逆时针旋转至然后回转到时，两灯同时停止旋转，在此期间所在直线与所在直线能否互相垂直？如果能，请求出此时A灯旋转的时间；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)，见解析 (2)3秒，58秒，93秒，118秒 (3)能垂直，A灯旋转秒或45秒 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决此题的关键是分类讨论、由平行的性质列出每种情况的等量关系； （1）求出，，根据得，即可得出结论； （2）先计算出第一次到达需要时间，设A灯旋转时间为t秒，分类讨论列出一元一次方程，再分情况讨论求解即可； （3）设A灯旋转秒时，分类列出一元一次方程讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ∵， ， ， ． （2）设A灯旋转时间为秒，灯光束第一次到达需要（秒）， ，即． 由题意可知，满足以下条件时，两灯的光束能互相平行， ①，解得； ②，解得； ③，解得； ④，解得； ⑤，解得（不符合题意，舍去）； 综上所述，满足条件的的值为3秒，58秒，93秒，118秒． （3）设A灯旋转秒时，与互相垂直， ①，解得； ②，解得； 即当A灯旋转秒或45秒时，与互相垂直． 题型十八、根据平行线的判定与性质证明（压轴） 52．如图，点，分别在直线，上，点是直线与外一点，且点，，三点不在同一直线上，连接，． 【问题提出】 (1)如图1，若，，，探究直线，的位置关系． 小明在组内经过合作交流，得到解题方法：如图2，过点作，由平行线的性质，得，再求得的度数即可判断．则直线，的位置关系是__________； 【问题迁移】 (2)如图3，直线、平分交的延长线于点，平分交的延长线交于点，交于点，若，，求的度数； 【问题拓展】 (3)如图4，直线在上方，且，若点在直线上运动，平分，平分交直线于点，连接，试探究与之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用平行线的判定和性质进行证明； （2）根据平行线的性质以及角平分线的定义求出相关角的度数，过点作，得出，然后根据平行线的性质以及角平分线的定义求解； （3）根据角平分线的定义得出相等的角，设，，表示出相关的角，过点作，得出，分两种情况进行讨论，利用平行线的性质进行求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：因为， 所以，， 因为平分， 所以，． 所以． 如图③，过点作，且， 所以． 所以，． 因为平分， 所以． 因为． 所以． 所以． 所以； （3）解：因为平分，平分， 所以，． 设，． 所以， ． ①当点在直线左侧时，如图，过点作，且， 所以． 所以， ， ，． 所以，． 所以； ②当点在直线右侧时，如图，过点作，且， 所以． 所以， ， ， ． 所以， ． 所以． 综上所述，与之间存在的数量关系为或． 53．综合与实践 问题背景：图1是一种弹弓模型，在支架两端挂上弹力绳，拉动弹力绳可形成如图2所示的图形，弹弓支架的两边． (1)猜想与证明：如图2，当点在，之间时，请写出，与之间的数量关系，并说明理由． (2)问题解决：如图3，点在的上方，且，过点作直线交直线于点，使，过点作的平行线交的延长线于点，①找出图3中的弹弓模型，直接写出由（1）可以得到的结论．②求证：平分．（可直接使用①的结论） 【答案】(1) (2)①②见解析 【分析】（1）过点作，利用平行线的性质及判定论证即可； （2）①过点作，利用平行线的性质及判定论证即可；②利用，可得，再结合平行线的性质及等量代换得到，即可得出结论. 【详解】（1）答：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①解：，理由如下： 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即：； ②证明：∵，， ∴， ∵，（对顶角相等）， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即：平分． 54．如图1，直线与直线，分别交于C，D两点，点M在直线上，射线平分交直线于点Q，． (1)试说明． (2)如图2，射线交直线于点F，交线段于点P，且． ①若，直接写出的度数． ②点N在射线上，满足，连接，请补全图形，探究与满足的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)平分， ， 又，． ， ； (2)①； ②或， 理由：如图3， ， ， ， ， ， ； 如图4， 由①可得， ，， ， ， 即：， ， ， ， 综上所述，与满足的等量关系为或． 【分析】（1）根据角平分线的定义以及平行线的判定进行解答即可； （2）①根据平行线的性质进行计算即可；②分两种情况画出相应的图形，根据图形中角的大小关系得出结论． 【详解】（1）略 （2）解：①， ，，， 平分， ， 又， ； ②略 题型十九、生活中的平移现象 55．甲骨文是中国的一种古代文字，是汉字的早期形式．下列甲骨文中，能大致看成用其中一部分平移得到的是（    ） A．明 B．立 C．从 D．鼎 【答案】C 【详解】解：A、不能大致看成用其中一部分平移得到，不符合题意； B、不能大致看成用其中一部分平移得到，不符合题意； C、能大致看成用其中一部分平移得到，符合题意； D、不能大致看成用其中一部分平移得到，不符合题意． 56．下列现象不属于平移的是（   ） A．人们乘电梯从一楼到三楼 B．小朋友坐滑梯下滑 C．一个铁球从高处自由下落 D．秒针在转动 【答案】D 【分析】根据平移的定义，平移是指图形上的所有点都沿着同一方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，据此逐一判断选项． 【详解】解：A．人们乘电梯从一楼到三楼，沿直线移动，方向不变，属于平移； B．小朋友坐滑梯下滑，此运动的轨迹若为直线，则属于平移； C．一个铁球从高处自由下落，沿直线向下移动，方向不变，属于平移； D．秒针绕中心点转动，方向不断变化，属于旋转，不属于平移． 57．有下列现象：①在游乐场荡秋千；②转动的电扇叶片；③正在上升的电梯；④行驶的自行车后轮；⑤水平传送带上的物体；⑥飞机在跑道上滑行，直至停止．其中，可以看作平移的是_____（填序号）． 【答案】③⑤⑥ 【分析】本题考查生活中的平移，根据平移的定义，进行判断即可．熟练掌握平移的定义是解题的关键． 【详解】解：①在游乐场荡秋千是旋转，不是平移； ②转动的电扇叶片是旋转，不是平移； ③正在上升的电梯是平移； ④行驶的自行车后轮是旋转，不是平移； ⑤水平传送带上的物体是平移； ⑥飞机在跑道上滑行，直至停止是平移； 故答案为：③⑤⑥ 题型二十、图形的平移 58．如图，沿方向平移后得到，已知，，则______． 【答案】 【分析】根据平移的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 59．如图，是由沿射线方向平移得到的，若的周长为，则四边形的周长为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了平移的性质，熟知图形平移的性质是解题的关键．根据图形平移的性质，可得出等于的长度，则四边形的周长可转化为的周长与和的长度和，据此可解决问题． 【详解】解：由平移可知， ，， 的周长为16cm， ， ， 即四边形的周长为． 故答案为：． 60．“骐骥驰骋纹”是将“骐、骥、驰、骋”四个马字旁汉字的笔意，与中国传统云纹、雷纹、回纹融合，勾勒出“四马齐驱、拾级而上”的视觉意象，寓意开拓进取、生生不息． 小明想自己绘制一个“骐骥驰骋纹”图案．为此，他先绘制出一个横距为，纵距为的“小马”图案（如图1），然后将图1中的“小马”图案以相同的方式连续平移三次，得到了一个由匹“小马”组成的“骐骥驰骋纹”图案（如图2）． 已知小明每次平移图案时，先水平向右平移，再竖直向上平移，并且水平方向平移距离是竖直方向平移距离的倍．若图2中“骐骥驰骋纹”图案的横距是纵距的倍，求小明每次平移图案时竖直方向的平移距离． 【答案】 【分析】设竖直平移距离为，则水平平移距离为，再根据平移次后的总横距与总纵距的倍数关系列方程求解． 【详解】解：设小明每次平移图案时，竖直方向的平移距离为，则水平方向的平移距离为， 根据题意，可得， 解得， 故小明每次平移图案时，竖直方向的平移距离为． 题型二十一、利用平移的性质求解 61．如图，将一块直角三角尺沿着所在的直线向右平移了一段距离，点C与点F对应．请仅用无刻度直尺完成以下作图． (1)在图（1）中，过点F作直线的平行线； (2)在图（2）中，过点A作直线的垂线段，垂足为点G． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平移可知，对应点的连线互相平行，直线为对应点、之间的连线，则连接即可得到直线的平行线； （2）延长、交于点，由平移可得，进而得到，即，垂足为点，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，线段即为所求； 62．如图，将沿射线方向平移得到，点位于点和点之间． (1)如果，，求移动的距离的长． (2)与是否平行？并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据平移的性质可得，再由边长的关系求解即可． （2）根据平移的性质判断即可． 【详解】（1）解：∵将沿方向平移得到， ， ， 即， 又，， ， ． （2）解：，理由如下： 是将沿方向平移得到的， ． 63．已知大正方形的边长为，小正方形的边长为，起始状态如图所示．大正方形固定不动，把小正方形以1的速度沿水平方向向右平移，设平移的时间为，两个正方形重叠部分的面积为．完成下列问题： (1)平移时，________； (2)根据小正方形向右平移的运动过程中，两正方形重叠部分的面积表示不同，可以把整个运动过程分为四种，请填写下表： 运动状态 平移时间的范围 两正方形重叠部分的面积 第一种运动状态 ________ 第二种运动状态 ________ 第三种运动状态 ________ ________ 第四种运动状态 ________ 0 (3)当时，小正方形平移的时间为________秒． 【答案】(1)3 (2)答案见解析 (3)1或5 【分析】（1）根据路程速度时间求出平移的距离，再根据重叠部分是长方形，列式计算即可得； （2）分四种情况计算所得图形面积即可； （3）小正方形的高不变，根据面积即可求出小正方形平移的距离． 【详解】（1）解：平移时，小正方形向右移动，； （2）解：当时，重叠面积； 当时，此时小正方形完全在大正方形内部，重叠部分就是小正方形的面积， 当时，小正方形逐渐离开大正方形，重叠部分的长为，所以； 当时，两正方形无重叠，则； 填表如下： 运动状态 平移时间的范围 两正方形重叠部分的面积（） 第一种运动状态 第二种运动状态 4 第三种运动状态 第四种运动状态 0 （3）解：，重叠部分宽为， 重叠部分在大正方形的左边时，秒， 重叠部分在大正方形的右边时，秒 所以小正方形平移的时间为1或5秒． 题型二十二、利用平移解决实际问题 64．如图，在宽为、长为的长方形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地，根据图中数据，计算耕地的面积． 【答案】 【分析】利用长方形的面积减去两条小路的面积，然后再加上两条路的重叠部分，进行计算即可求解． 【详解】解：耕地的面积为：． 65．某商场在开业前装修，准备在大厅的楼梯上铺设红地毯，已知楼梯的竖直高度为，水平跨度为，且． (1)至少需要多长的地毯？ (2)若所铺设的地毯每平方米售价为50元，楼梯的宽度为，则至少需要多少元钱去购买地毯？ 【答案】(1) (2)1890元 【分析】（1）根据平移性质得到地毯的长度至少为的长，求得的长度即可解答； （2）求得地毯的面积即可求解． 【详解】（1）解：∵为，， ∴，则， 由平移性质，地毯的长度至少为； （2）解：（元）， 答：至少需要1890元钱去购买地毯． 66．光明中学现有一块长方形的草地，长为，宽为．现要在草地上规划一条小路，小路右侧边均为左侧边向右平移得到，现需要用鹅卵石给小路铺地面，鹅卵石铺地面的费用大约为150元/平方米． (1)若设计公司设计了以下三种方案（中间阴影部分为小路），如果仅从经济角度考虑，运用数学知识，你将如何选择方案？请写出你的理由并算出你所选小路的预算费用； (2)小颖想知道设计图2中和是否真正平行，她度量出，，，她就得出了，你认为她的思考正确吗？为什么？ (3)如图3，猜想之间有什么关系，请直接写出你的结论． 【答案】(1)方案任选一种，小路的预算费用约为6000元，理由见解析 (2)小颖的思考正确．理由见解析 (3) 【分析】本题考查了长方形的性质，平行线的判定及性质的实际应用． （1）由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为，所以小路的面积是固定的，所以三种方案的费用是一样的，根据预算费用面积每平米的费用计算即可； （2）过点C作，根据两直线平行，内错角相等得，进而得，再得，再由内错角相等得两直线平行即可； （3）过点C作，过点D作，过点E作，根据平行线的判定及性质可得结论． 【详解】（1）解：三种方案的预算费用都是6000元，故任选一种即可，理由如下： 由题意可知，小路的宽固定为，宽上的高都为， ∴小路的面积为：， ∴小路的预算费用为：（元）， 即三种方案，小路的预算费用都约为6000元； （2）解：小颖的思考正确，理由如下： 如图，过点C作， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点C作，过点D作，过点E作， ∴，，， ∵草地为长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $