第七章 概念、命题与证明（单元自测·基础卷）数学新教材北京版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 概念、命题与证明·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 B A B C B D B A 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．如果一个数是负数，那么这个数没有平方根 10．或或 11．/80度 12．26 13． 14．15° 15．25 5 16．或 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质的应用，证明得，推出，得，继而得到，再根据对顶角相等即可得证．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，·········································2分 ∴， ∴，·········································4分 ∵， ∴．··········································5分 18．（5分） 【答案】直线与平行，理由见详解 【分析】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，平角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 由垂直的定义得到，由平角的定义求出，由对顶角的性质得到，因此，推出． 【详解】解：直线与平行，理由如下： ∵于点F， ∴， ∵， ∴，·········································2分 ∵， ∴，·········································4分 ∴．·········································5分 19．（6分） 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直定义；60 【分析】由平行于同一条直线的两条直线平行得；由两直线平行同旁内角互补得；由垂直定义得，由两直线平行，内错角相等得；由平角定义得． 【详解】解：过点作平行于， ，， （平行于同一条直线的两条直线平行），·········································1分 （两直线平行，同旁内角互补），··································2分 ， ， （两直线平行，内错角相等），·········································3分 于点， （垂直定义），·········································4分 ， 60（平角的定义）．··································6分 20．（6分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解： ；·········································3分 （2）解：平分 、 ．·········································6分 21．（6分） 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2)见解析 (3)90；垂直的定义；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据同位角相等，两直线平行解决问题； （2）过点P作即可； （3）利用同旁内角互补，两直线平行证明即可． 【详解】（1）解：在小明的画法中，判定的依据是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行；·········································2分 （2）解：图形如图所示： ·········································3分 （3）证明：∵， ∴（垂直的定义）． ∵， ∴． ∴． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：90，垂直的定义，同旁内角互补，两直线平行．·········································6分 22．（8分） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解； （2）先求得，进而根据，即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴·········································4分 （2），理由如下·········································5分 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴．·········································8分 23．（8分） 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (2)120 (3) 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点O作，交于点E．根据，分别是和的平分线，得出，．结合，得出．即可得．根据，得出（两直线平行，内错角相等）．再根据得出．即可得． （2）过点H作，交于点E．同（1）解答即可． （3）过点P作，交于点E．同（1）解答即可． 【详解】（1）解：过点O作，交于点E． ∵，分别是和的平分线， ∴，． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴． ∴． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．·········································4分 （2）解：过点H作，交于点E． ∵，分别是和的三等分线（靠近边）， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ， ∴， ∴； ∴．·········································6分 （3）解：过点P作，交于点E． ∵，分别是和的n等分线（靠近边）， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ， ∴， ∴； ∴．································8分 24．（8分） 【答案】 （1）； （2）证明见解析； （3）或． 【分析】本题考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键； （1）通过补角和余角的定义直接计算差值； （2）利用补角和余角的定义和代数变换证明； （3）根据角的位置关系分情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵锐角的补角为钝角，的余角为锐角， ∴锐角的补角与的余角之差为， 故答案为：90．·········································2分 （2）证明：∵锐角的补角为， ∴， ∴， ∴是的余角．·········································5分 （3）解：设，则， 当在与之间时，， ∴，解得；·········································6分 当在与之间时，， ∴，解得，·········································7分 ∴的度数为或．·········································8分 25．（10分） 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴；·········································3分 （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴；·········································5分 （3）解：①时，由题意得， ∴ =， ∴； ②时， 由题意得， ∴ = ∴．·········································10分 26．（10分） 【答案】(1)； (2)①，是定值；②或或或或或 【分析】（1）根据平行线的性质，先求出，再结合角平分线的定义求解即可； （2）①先求出，然后同（1）的方法求解即可； ②分别画出两种情况的图形，根据角的和差关系写出答案即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 同理：， ∵和的角平分线相交于点， ∴，即·········································2分 （2）解：①，是定值，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∵与的角平分线相交于点， ∴， 同（1）可知：；·········································4分 ②情况一、如图所示： ，即； ，即； ，即；·········································6分 ，即；·········································7分 情况二、如图所示： ，即·········································8分 ，即·········································9分 ，即·········································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 概念、命题与证明·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·北京·期中）2026年是中国马年，马在中国文化中是刚健进取、忠诚可靠、成功吉祥的象征，更是自强不息的民族精神图腾．下面是一张联欢会吉祥马的图片，下列选项中可以由此图片平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知，则的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京·期中）已知：如图，，垂足为，则与的关系一定成立的是（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 4．（24-25七年级下·北京密云·期末）如图，直线、分别被和所截，下列结论错误的是（   ） A．与是一对内错角 B．与是一对同位角 C．与是一对内错角 D．与是一对同旁内角 5．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）如图是南湖公园里一处桃花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的正中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．84米 B．80米 C．61米 D．82米 6．（24-25七年级下·北京怀柔·月考）已知命题“如果，那么”，能说明该命题是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，直线，直线分别交于点平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在三角形中，，，，．将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点，连接．给出下面三个结论： ①； ②若，则四边形的周长为； ③若三角形的面积比三角形的面积大，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26七年级下·北京·期中）把命题“负数没有平方根”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 10．（25-26七年级下·北京·期中）如图，三角形ABC中，点D在BC的延长线上，以点C为端点画射线CE，要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是______． 11．（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为__________． 12．（24-25七年级下·北京·期末）如图是一块长方形的草地，宽为8米，长为12米，图中阴影部分为等宽的两条小道，小道汇合处的宽度是2米，其余部分宽度是1米，则图中小道（阴影部分）的占地面积是_______平方米． 13．（24-25七年级下·北京·期末）如图，已知直线，相交于点O，平分，若， 则________ 14．（24-25七年级下·北京·月考）把一副直角三角尺按如图方式摆放，60°角的顶点C与45°角的顶点E重合，边与边都在直线l上，若直线，且经过点D，则的度数为________． 15．（25-26九年级上·北京海淀·月考）某校为校庆做筹备工作，共有十项工序，筹备过程需满足以下要求： （1）只能在两项工序均完成后才能开始； （2）只能在两项工序均完成后才能开始； （3）只能在两项工序均完成后才能开始； （4）其余每项工序相互独立，无先后依赖关系； （5）一项工序只能由一名员工负责，该工序完成后员工才能接手其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 所需时间（天） 20 18 19 15 14 11 6 5 4 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名员工合作完成筹备工作，则至少需要___________天才能全部完成；若要在最短时间内合作完成筹备工作，则最少需要_______________名员工共同参与． 16．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为________． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，，求证． 18．（5分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 19．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）篮球架及侧面示意图如图所示．若，，于点，求的度数．由题意，可过点作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过点作平行于， ，， （______）， （______）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 于点， （______）， ， ______（平角的定义）． 20．（6分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 21．（6分）（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在学习了平行线后，小明和小芳分别给出了过直线外一点P画这条直线的平行线的方法． 小明的画法：如图a， ①过点P画一条直线与直线相交于点Q； ②测得； ③以P为顶点，射线为一边，画（点C在直线的右侧）． 直线即为所求． 小芳的画法：如图b， ①过点P画直线，垂足为Q； ②过点P画直线，垂足为P（点C，D分别在直线的两侧，且点C在直线的左侧）． 直线即为所求． 完成下面问题： (1)在小明的画法中，判定的依据是________； (2)用三角尺或量角器，依画法补全图b； (3)完成小芳的证明． 证明：∵， ∴________°（________）． ∵， ∴． ∴． ∴ （________）． 22．（8分）（24-25七年级下·北京·期末）自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． (1)求的度数； (2)与 平行吗？ 为什么？ 23．（8分）（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在四边形中，． (1)如图1，的平分线与的平分线相交于点O．完成下面求的过程． 解：过点O作，交于点E． ∵，分别是和的平分线， ∴，． ∵， ∴（______________）． ∴． ∵， ∴（______________）． ∵， ， ∴_______ （______________）． ∴． ∴． (2)如图2，的三等分线（靠近边）与的三等分线（靠近边）相交于点H，的度数为_______． (3)的n等分线（靠近边）与的n等分线（靠近边）相交于点P，直接写出的度数（用含n的代数式表示，n为大于1的正整数）． 24．（8分）（25-26七年级上·北京海淀·期末）小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 （1）锐角的补角与的余角之差为______°； （2）如果锐角的补角为，那么是的余角．请证明这个结论． 【问题思考】 （3）如果和互余，且，直接写出此时的度数． 25．（10分）（24-25七年级下·北京·月考）小明利用直角三角板进行数学探究活动：点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，OF平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系． 26．（10分）（25-26七年级下·北京·期中）学习了平行线的相关知识后，小明尝试将角平分线的内容与平行线知识相结合，自主创编了一道练习题：题目如下：如图1，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作3条直线使得． (1)如图2，和的角平分线相交于点，则的度数为_____． (2)如图3，与的角平分线相交于点． ①的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求出的大小． ②已知个是含有角的直角三角板，且其顶点与点重合，另一直角顶点在直线上时（假设三角板的边长可以随时调整长度），记为，为，请直接写出与满足的所有数量关系（用等式表示）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 概念、命题与证明·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·北京·期中）2026年是中国马年，马在中国文化中是刚健进取、忠诚可靠、成功吉祥的象征，更是自强不息的民族精神图腾．下面是一张联欢会吉祥马的图片，下列选项中可以由此图片平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由平移可知，选项符合题意． 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知，则的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了余角的定义及度分的换算，根据余角定义和进行计算，即可求解． 【详解】解：∵互为余角的两个角的和为， 故的余角为． 故答案为：A． 3．（24-25七年级下·北京·期中）已知：如图，，垂足为，则与的关系一定成立的是（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角，互补、互余的概念，掌握概念是解题关键．由对顶角相等可得，根据可得，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， ， 与互余， 故选：B． 4．（24-25七年级下·北京密云·期末）如图，直线、分别被和所截，下列结论错误的是（   ） A．与是一对内错角 B．与是一对同位角 C．与是一对内错角 D．与是一对同旁内角 【答案】C 【分析】本题主要考查了同位角，内错角和同旁内角的定义，两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；据此分别进行分析可得答案． 【详解】解：A、与是一对内错，原结论正确，不符合题意； B、与是一对同位角，原结论正确，不符合题意； C、与不是一对内错角，原结论错误，符合题意； D、与是一对同旁内角，原结论正确，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）如图是南湖公园里一处桃花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的正中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．84米 B．80米 C．61米 D．82米 【答案】B 【分析】根据平移的性质得出所走路程为即可． 【详解】解：∵是长方形， ∴米， 由平移的性质可知， 从入口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为（米）． 6．（24-25七年级下·北京怀柔·月考）已知命题“如果，那么”，能说明该命题是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．选取的a的值不满足“如果，那么”的即可． 【详解】解：选项A：时，，且，满足结论，不能作为反例； 选项B：时，，不满足，无法验证命题，不能作为反例； 选项C：时，，不满足条件，不能作为反例； 选项D：时，，满足条件，但，结论不成立，符合反例要求； 故选：D． 7．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，直线，直线分别交于点平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵平分交于点， ∴. 8．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在三角形中，，，，．将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点，连接．给出下面三个结论： ①； ②若，则四边形的周长为； ③若三角形的面积比三角形的面积大，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】根据平移的性质得出，，，即可判断①正确，②错误，利用三角形的面积公式求出，根据三角形的面积比三角形的面积大，得出平行四边形的面积比三角形的面积大，列方程求出，即可判断③正确；综上即可得答案． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移，得到三角形， ∴，，故①正确； ∵， ∴， ∴四边形的周长为；故②错误； 如图，过点作于， ∵，，，， ∴，即， 解得：， ∵三角形的面积比三角形的面积大， ∴平行四边形的面积比三角形的面积大， ∴，即， 解得：，故③正确； 综上所述：正确的结论为①③． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26七年级下·北京·期中）把命题“负数没有平方根”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 【答案】如果一个数是负数，那么这个数没有平方根 【详解】解：如果一个数是负数，那么这个数没有平方根． 10．（25-26七年级下·北京·期中）如图，三角形ABC中，点D在BC的延长线上，以点C为端点画射线CE，要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是______． 【答案】或或 【详解】解：根据平行线的判定方法， 当时，； 当时，； 当时，； 故添加条件可以是：或或. 11．（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为__________． 【答案】/80度 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，能熟练运用平行线的判定及性质是解题的关键． 过E作，由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，即可求解． 【详解】解：过E作， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 12．（24-25七年级下·北京·期末）如图是一块长方形的草地，宽为8米，长为12米，图中阴影部分为等宽的两条小道，小道汇合处的宽度是2米，其余部分宽度是1米，则图中小道（阴影部分）的占地面积是_______平方米． 【答案】26 【分析】此题考查了生活中的平移，根据图形得出草坪正好可以拼成一个长方形是解题关键． 根据已知将道路平移，再利用长方形的性质求出长和宽，再进行解答． 【详解】解：由图可知：长方形中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的长方形，且它的长为：米，宽为米， ∴（平方米）． 则图中小道（阴影部分）的占地面积是26平方米， 故答案为：26． 13．（24-25七年级下·北京·期末）如图，已知直线，相交于点O，平分，若， 则________ 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角，设，角平分线的定义，得到，根据平角的定义，列出方程求出，对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 14．（24-25七年级下·北京·月考）把一副直角三角尺按如图方式摆放，60°角的顶点C与45°角的顶点E重合，边与边都在直线l上，若直线，且经过点D，则的度数为________． 【答案】15° 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 利用平角定义可求出，然后利用平行线的性质，结合角度的和差关系即可解答． 【详解】解：，， ， ， ∴， ， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·北京海淀·月考）某校为校庆做筹备工作，共有十项工序，筹备过程需满足以下要求： （1）只能在两项工序均完成后才能开始； （2）只能在两项工序均完成后才能开始； （3）只能在两项工序均完成后才能开始； （4）其余每项工序相互独立，无先后依赖关系； （5）一项工序只能由一名员工负责，该工序完成后员工才能接手其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 所需时间（天） 20 18 19 15 14 11 6 5 4 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名员工合作完成筹备工作，则至少需要___________天才能全部完成；若要在最短时间内合作完成筹备工作，则最少需要_______________名员工共同参与． 【答案】 25 5 【分析】本题可通过分析各工序的先后依赖关系，理安排工序，分别计算出单独完成和合作完成时的最短时间与最少员工数． 工序A(20天)、B(18天)可并行这部分最长时间由 A 决定，为20天，之后H(5天)才能开始．工序C(19天)、D(15天)可并行最长时间由C决定，为19天，之后J(3天)才能开始． 工序E(14天)、G(6天)可并行最长时间由E决定，为14天，之后I(4天)才能开始． 工序 F(11天)可单独进行．然后，计算各部分的时间即可得出答案． 把各工序的时间相加然后除以最短的天数即可得出答案。 【详解】解：A、B并行后H所需时间∶(天)． C、D 并行后J所需时间∶(天)． E、G并行后I时间∶(天) F单独所需时间∶11天． 取各部分时间的最大值，即25天，所以单独完成最少需要25天． （人） 因为员工为整数， 所以人数取5， 所以，最少需5名员工共同参与． 故答案为：25；5 16．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的性质与角平分线的定义；解题的关键是利用平行线间的折线模型，推导角之间的数量关系，再结合角平分线计算．过点、分别作平行线，分两种情形讨论,利用平行线的“折线模型”，先由得到或，再根据角平分线定义，得到，从而求出的度数． 【详解】解：过点作，过点作，分两种情形讨论: 情形一:如图, ∵ ， ∴ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分，平分， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ． 情形二,如图, ∵ ， ∴ ， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分，平分， ∴ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：或。 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，，求证． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质的应用，证明得，推出，得，继而得到，再根据对顶角相等即可得证．掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．（5分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【答案】直线与平行，理由见详解 【分析】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，平角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 由垂直的定义得到，由平角的定义求出，由对顶角的性质得到，因此，推出． 【详解】解：直线与平行，理由如下： ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 19．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）篮球架及侧面示意图如图所示．若，，于点，求的度数．由题意，可过点作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过点作平行于， ，， （______）， （______）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 于点， （______）， ， ______（平角的定义）． 【答案】平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；垂直定义；60 【分析】由平行于同一条直线的两条直线平行得；由两直线平行同旁内角互补得；由垂直定义得，由两直线平行，内错角相等得；由平角定义得． 【详解】解：过点作平行于， ，， （平行于同一条直线的两条直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 于点， （垂直定义）， ， 60（平角的定义）． 20．（6分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． （1）根据题意可得，进而可知，结合可证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论； （2）根据平分线的定义及平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：平分 、 ． 21．（6分）（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在学习了平行线后，小明和小芳分别给出了过直线外一点P画这条直线的平行线的方法． 小明的画法：如图a， ①过点P画一条直线与直线相交于点Q； ②测得； ③以P为顶点，射线为一边，画（点C在直线的右侧）． 直线即为所求． 小芳的画法：如图b， ①过点P画直线，垂足为Q； ②过点P画直线，垂足为P（点C，D分别在直线的两侧，且点C在直线的左侧）． 直线即为所求． 完成下面问题： (1)在小明的画法中，判定的依据是________； (2)用三角尺或量角器，依画法补全图b； (3)完成小芳的证明． 证明：∵， ∴________°（________）． ∵， ∴． ∴． ∴ （________）． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2)见解析 (3)90；垂直的定义；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据同位角相等，两直线平行解决问题； （2）过点P作即可； （3）利用同旁内角互补，两直线平行证明即可． 【详解】（1）解：在小明的画法中，判定的依据是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行； （2）解：图形如图所示： （3）证明：∵， ∴（垂直的定义）． ∵， ∴． ∴． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：90，垂直的定义，同旁内角互补，两直线平行． 22．（8分）（24-25七年级下·北京·期末）自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． (1)求的度数； (2)与 平行吗？ 为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键； （1）根据平行线的性质，即可求解； （2）先求得，进而根据，即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴ （2），理由如下 ∵，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 23．（8分）（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在四边形中，． (1)如图1，的平分线与的平分线相交于点O．完成下面求的过程． 解：过点O作，交于点E． ∵，分别是和的平分线， ∴，． ∵， ∴（______________）． ∴． ∵， ∴（______________）． ∵， ， ∴_______ （______________）． ∴． ∴． (2)如图2，的三等分线（靠近边）与的三等分线（靠近边）相交于点H，的度数为_______． (3)的n等分线（靠近边）与的n等分线（靠近边）相交于点P，直接写出的度数（用含n的代数式表示，n为大于1的正整数）． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (2)120 (3) 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点O作，交于点E．根据，分别是和的平分线，得出，．结合，得出．即可得．根据，得出（两直线平行，内错角相等）．再根据得出．即可得． （2）过点H作，交于点E．同（1）解答即可． （3）过点P作，交于点E．同（1）解答即可． 【详解】（1）解：过点O作，交于点E． ∵，分别是和的平分线， ∴，． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴． ∴． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （2）解：过点H作，交于点E． ∵，分别是和的三等分线（靠近边）， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ， ∴， ∴； ∴． （3）解：过点P作，交于点E． ∵，分别是和的n等分线（靠近边）， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ， ∴， ∴； ∴． 24．（8分）（25-26七年级上·北京海淀·期末）小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 （1）锐角的补角与的余角之差为______°； （2）如果锐角的补角为，那么是的余角．请证明这个结论． 【问题思考】 （3）如果和互余，且，直接写出此时的度数． 【答案】 （1）； （2）证明见解析； （3）或． 【分析】本题考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键； （1）通过补角和余角的定义直接计算差值； （2）利用补角和余角的定义和代数变换证明； （3）根据角的位置关系分情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵锐角的补角为钝角，的余角为锐角， ∴锐角的补角与的余角之差为， 故答案为：90． （2）证明：∵锐角的补角为， ∴， ∴， ∴是的余角． （3）解：设，则， 当在与之间时，， ∴，解得； 当在与之间时，， ∴，解得， ∴的度数为或． 25．（10分）（24-25七年级下·北京·月考）小明利用直角三角板进行数学探究活动：点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，OF平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①时，由题意得， ∴ =， ∴； ②时， 由题意得， ∴ = ∴． 26．（10分）（25-26七年级下·北京·期中）学习了平行线的相关知识后，小明尝试将角平分线的内容与平行线知识相结合，自主创编了一道练习题：题目如下：如图1，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作3条直线使得． (1)如图2，和的角平分线相交于点，则的度数为_____． (2)如图3，与的角平分线相交于点． ①的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求出的大小． ②已知个是含有角的直角三角板，且其顶点与点重合，另一直角顶点在直线上时（假设三角板的边长可以随时调整长度），记为，为，请直接写出与满足的所有数量关系（用等式表示）． 【答案】(1)； (2)①，是定值；②或或或或或 【分析】（1）根据平行线的性质，先求出，再结合角平分线的定义求解即可； （2）①先求出，然后同（1）的方法求解即可； ②分别画出两种情况的图形，根据角的和差关系写出答案即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 同理：， ∵和的角平分线相交于点， ∴，即 （2）解：①，是定值，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴ ∵与的角平分线相交于点， ∴， 同（1）可知：； ②情况一、如图所示： ，即； ，即； ，即； ，即； 情况二、如图所示： ，即 ，即 ，即 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 概念、命题与证明·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·北京·期中）2026年是中国马年，马在中国文化中是刚健进取、忠诚可靠、成功吉祥的象征，更是自强不息的民族精神图腾．下面是一张联欢会吉祥马的图片，下列选项中可以由此图片平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·北京海淀·期末）已知，则的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·北京·期中）已知：如图，，垂足为，则与的关系一定成立的是（    ） A．相等 B．互余 C．互补 D．互为对顶角 4．（24-25七年级下·北京密云·期末）如图，直线、分别被和所截，下列结论错误的是（   ） A．与是一对内错角 B．与是一对同位角 C．与是一对内错角 D．与是一对同旁内角 5．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）如图是南湖公园里一处桃花观赏区（长方形），米，米．为方便游人观赏，特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分）．小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的正中间从入口到出口所走的路线（图中虚线）的长为（   ） A．84米 B．80米 C．61米 D．82米 6．（24-25七年级下·北京怀柔·月考）已知命题“如果，那么”，能说明该命题是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·北京怀柔·期中）如图，直线，直线分别交于点平分交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·北京·期中）如图，在三角形中，，，，．将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点，连接．给出下面三个结论： ①； ②若，则四边形的周长为； ③若三角形的面积比三角形的面积大，则． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①② C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（25-26七年级下·北京·期中）把命题“负数没有平方根”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 10．（25-26七年级下·北京·期中）如图，三角形ABC中，点D在BC的延长线上，以点C为端点画射线CE，要使，还需要添加一个条件，这个条件可以是______． 11．（24-25七年级下·北京海淀·期中）空竹在我国有悠久的历史，明代《帝京景物略》一书中就记载了空竹的玩法和制作方法．抖空竹是靠四肢配合完成的运动项目，被誉为“中华传统体育文化的瑰宝”．年5月20日，抖空竹被列入第一批国家级非物质文化遗产名录．在观察抖空竹时发现，可以从运动员某一时刻的姿势中抽象出数学问题：如图，，，，则的度数为__________． 12．（24-25七年级下·北京·期末）如图是一块长方形的草地，宽为8米，长为12米，图中阴影部分为等宽的两条小道，小道汇合处的宽度是2米，其余部分宽度是1米，则图中小道（阴影部分）的占地面积是_______平方米． 13．（24-25七年级下·北京·期末）如图，已知直线，相交于点O，平分，若， 则________ 14．（24-25七年级下·北京·月考）把一副直角三角尺按如图方式摆放，60°角的顶点C与45°角的顶点E重合，边与边都在直线l上，若直线，且经过点D，则的度数为________． 15．（25-26九年级上·北京海淀·月考）某校为校庆做筹备工作，共有十项工序，筹备过程需满足以下要求： （1）只能在两项工序均完成后才能开始； （2）只能在两项工序均完成后才能开始； （3）只能在两项工序均完成后才能开始； （4）其余每项工序相互独立，无先后依赖关系； （5）一项工序只能由一名员工负责，该工序完成后员工才能接手其他工序．各项工序所需时间如表所示： 工序 所需时间（天） 20 18 19 15 14 11 6 5 4 3 在不考虑其他因素的前提下，若由若干名员工合作完成筹备工作，则至少需要___________天才能全部完成；若要在最短时间内合作完成筹备工作，则最少需要_______________名员工共同参与． 16．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，直线，点E，F分别在直线，上，点P为直线与间一动点，连接，，且，的平分线与的平分线交于点Q，则的度数为________． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，，求证． 18．（5分）（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 19．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）篮球架及侧面示意图如图所示．若，，于点，求的度数．由题意，可过点作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过点作平行于， ，， （______）， （______）， ， ， （两直线平行，内错角相等）， 于点， （______）， ， ______（平角的定义）． 20．（6分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，直线与被直线所截，与，分别交于点P，O，且，． (1)试说明：； (2)若平分，，求的度数． 21．（6分）（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在学习了平行线后，小明和小芳分别给出了过直线外一点P画这条直线的平行线的方法． 小明的画法：如图a， ①过点P画一条直线与直线相交于点Q； ②测得； ③以P为顶点，射线为一边，画（点C在直线的右侧）． 直线即为所求． 小芳的画法：如图b， ①过点P画直线，垂足为Q； ②过点P画直线，垂足为P（点C，D分别在直线的两侧，且点C在直线的左侧）． 直线即为所求． 完成下面问题： (1)在小明的画法中，判定的依据是________； (2)用三角尺或量角器，依画法补全图b； (3)完成小芳的证明． 证明：∵， ∴________°（________）． ∵， ∴． ∴． ∴ （________）． 22．（8分）（24-25七年级下·北京·期末）自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心、增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．小辰的自行车示意图如图，其中，，，． (1)求的度数； (2)与 平行吗？ 为什么？ 23．（8分）（24-25七年级下·北京朝阳·期末）在四边形中，． (1)如图1，的平分线与的平分线相交于点O．完成下面求的过程． 解：过点O作，交于点E． ∵，分别是和的平分线， ∴，． ∵， ∴（______________）． ∴． ∵， ∴（______________）． ∵， ， ∴_______ （______________）． ∴． ∴． (2)如图2，的三等分线（靠近边）与的三等分线（靠近边）相交于点H，的度数为_______． (3)的n等分线（靠近边）与的n等分线（靠近边）相交于点P，直接写出的度数（用含n的代数式表示，n为大于1的正整数）． 24．（8分）（25-26七年级上·北京海淀·期末）小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 （1）锐角的补角与的余角之差为______°； （2）如果锐角的补角为，那么是的余角．请证明这个结论． 【问题思考】 （3）如果和互余，且，直接写出此时的度数． 25．（10分）（24-25七年级下·北京·月考）小明利用直角三角板进行数学探究活动：点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，OF平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系． 26．（10分）（25-26七年级下·北京·期中）学习了平行线的相关知识后，小明尝试将角平分线的内容与平行线知识相结合，自主创编了一道练习题：题目如下：如图1，任意摆放含角的直角三角板，，，分别过三角板的三个顶点作3条直线使得． (1)如图2，和的角平分线相交于点，则的度数为_____． (2)如图3，与的角平分线相交于点． ①的大小是否为一个定值？若不是定值，请说明理由：若是定值，请求出的大小． ②已知个是含有角的直角三角板，且其顶点与点重合，另一直角顶点在直线上时（假设三角板的边长可以随时调整长度），记为，为，请直接写出与满足的所有数量关系（用等式表示）． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $