基本功专练(2)解直角三角形的应用（周测小卷）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

基本功专练（二） 解直角三角形的应用 (时间：40分钟满分：60分) 1.(10分)某临街店铺在窗户上方安装遮阳3.(10分)如图，某同学通过定滑轮O拉动 棚，其侧面示意图如图所示，遮阳棚展开 静止在水平地面上的高为0.5m的长方 长度AB=200cm,遮阳棚与墙面的夹角 体重物，开始时与重物相连的绳子和水平 ∠BAD=72°，求遮阳棚前端B到墙面 面的夹角为37°，拉动一段距离后，绳子与 AD的距离.（结果精确到1cm,参考数 水平面的夹角为53°，绳子的自由端（用手 据：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309， 拉的一端)竖直向下移动了1.5m(绳子 tan72°≈3.078) 伸缩不计)，求定滑轮O到地面的距离 OH.(结果精确到1m,参考数据：sin37°≈ 0.6,cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) 华定滑轮 2.(10分)某大桥采用H型斜拉桥结构，其 平面图如图所示，测得拉索AB与水平桥 面的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的 夹角是65°，两拉索顶端的距离AC为 2m,两拉索底端的距离BD为10m,求 立柱AH的高.（结果精确到0.1m,参考 数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42， tan65°≈2.14) 4.(10分)为增强学生体质，某校组织了一 65X45≥B D 次定向越野拉练活动.如图，点A为出发 点，途中设置两个检查点，分别为点B和 点C,行进路线为A→B→C→A.点B在 点A的南偏东25°方向3√2km处，点C 在点A的北偏东80°方向，行进路线AB 和BC所在直线的夹角∠ABC为45°. (1)行进路线BC和CA所在直线的夹角 ∠BCA的度数为 ·11 (2)求检查点B和C之间的距离.（结果保6.(10分)我国古代在公元前2世纪就制成 留根号) 了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的 北 《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜 809 高悬，置水盆于其下，则见四邻矣.”如图 ①所示，其工作方法主要利用了光的反射 原理.如图②，AB呈水平状态，AE,CD 为法线，∠BCD=∠ACD=41°，∠CAE= 37°，AE⊥AB.已知AB=11√2m,求镜面 上点C到水盆A的距离.（结果精确到 0.1m,参考数据：sin82°≈0.99，cos82°≈ 0.14,tan82°≈7.12) 大镜 镜面 5.(10分)如图，某中学依山而建，校门A处 D 有一坡角a=30°的斜坡AB,长度为30m, 在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C处 图① 图② 的仰角∠CBF=45°，离点B4m远的E 处有一个花台，在点E处测得楼顶C处的 仰角∠CEF=60°，CF的延长线交水平线 AM于点D,求CD的长 学 校 DM ·12·长边与A4纸的短边重合，A5纸的短边等于A4纸的长边的一半，∴.A5纸的长边为a, 短边为号。∴A5纸的长边与短边的比为a:2 Q=√2：1.·A4纸长边与短边的比= A5纸长边与短边的比.又，A4纸与A5纸的四个角均为直角，.A4纸与A5纸为相似 图形. 基本功专练（一）与相似三角形的判定有关的计算与证明 1.证明：，∠BDC+∠ADC=180°，∠BDC+∠ACB=180°，.∠ADC=∠ACB.,'∠A =∠A,∴△ADC∽△ACB. 2证期：根据勾股定理，得AB=V公+=后.：BD=1,BC=5,能-停，器 怎.0-器又：∠ABD=∠CBA△ABD△CBA 3.证明：选择①∠E=∠A.DE∥BC,.∠EDB=∠ABC.∠E=∠A,△EDB∽ △ABC选择@R器-0.：DE∥BC,∠BDB=∠ABC,:R沿-0△EDB) △ABC.(任选一个即可) 4.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.AB∥CD,AD∥BC.∴∠B=∠ECF, ∠DAE=∠AEB.又∠DAE=∠F,∠AEB=∠F.∴△ABE∽△ECF.(2)解：，四 边形ABCD是平行四边形，∴.BC=AD=7..EC=BC-BE=5.,△ABE∽△ECF, 器-瓷m÷景c℉-号 3 5.证明：DE∥AB,DF∥AC,∴△ODE△OAB,△ODF∽OAC.OE=OD=DE, OB OA AB' 8咒-8R-装÷8-8E.“∠B0P=∠B0C,∴△0EFn△0BC∴8器-既 器E-既△DEFn△MBC 6.(1)证明：：AB=AC,∴∠B=∠C.∠DEC=∠B+∠BDE=∠DEF+∠CEF, ∠DEF=∠B,∴.∠BDE=∠CEF..△BDE∽△CEF.(2)解：：△BDE∽△CEF, 808器-器BE=CE,BD=,CF=2BE=CE=器-器-9 7.(1)证明：D是BC的中点，DE⊥BC,BE=CE..∠B=∠DCF.'AD=AC, ∠FDC=∠ACB.∴.△ABC∽△FCD.(2)解：过点A作AG⊥CD于点G.:D是BC 的中点，BD=CD.:AD=ACDG=CG=合CD=言BD,小器=号.：DEL BC,DE∥AG△BDBn△BGA2=8船即危=景AG=6.∴Sa= 2BC·AG=30, 8.(I)证明：：四边形ABCD是正方形，∴.∠B=90°，AD∥BC.∴.∠AMB=∠EAF. EF⊥AM,∴∠AFE=90°.∴.∠B=∠AFE.∴△ABM∽△EFA.(2)解：∠B= 90,AB=8,BM=6,AM=√AB+BF=10.:F是AM的中点，AF=号AM= 5.:△ABMD△EFA-2,即号-是AE=罗 3 阶段微测试（二） 1.C2,B3.C4.C5.B6.C7.∠A=∠BcDc答案不唯-)899.1,0) 10.号 11.证明：，△ABC是等腰三角形，AD是顶角∠BAC的平分线，∴AD⊥BC.∴∠ADC -52- =90°.BE是腰AC上的高，.∠BEC=90°..∠ADC=∠BEC.又，∠C=∠C, .△ACD∽△BCE. 12.(1)证明：∠BAC=∠EAF,∴∠BAE=∠CAF.∠ABE=∠ACF,∴.△ABEn △ACF.(2)解：∠ABE=∠ACF,∠AOB=∠COF,△AOB△FOC.AOE= SAFOC (2}=是：Sem=9Sax=16 13.证明：1)：0D=20A,0C=20B,∴8器-哭=合又“∠A0B=∠D0C, .△AOB∽△DOC.(2)由(1)得△AOB∽△DOC,.∠ABO=∠DCO.,AB∥DE, .∠ABO=∠EDO.∴.∠DCO=∠EDO.:∠DOC=∠EOD,∴.△DOC∽△EOD. ÷8B8%0D-0c0E 14.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，.AB∥CD,∠A=∠BCD.∠AFD=∠FDG. 由折叠的性质，得∠DFG=∠BCD,∴.∠A=∠DFG.∴.△DFG∽△FAD.(2)解：由折 叠的性质，得DPF=DC=5.△DPGO△FAD,Be-F,即9-=号.DG= CG=DG-DC=9AB=5,AF=3,BF=2.CG∥BR,△CGEO△BFE 10 ÷器-器=哥=号BC=5BB=是C=5 阶段微测试（三） 1.A2B3.B4D5B6.A7.1:48.5,2)9.1410.2或9 1解：AB/cD,80-80即是-4=景.0A=6cm,0c=4m CE 号8%-号.CD/EF8P-8即0-是-号0E=0F=10mBE 2 =OB+OE=16 cm,AF=0A+OF=16 cm. 12.解：(1)如图，△A'B'C'即为所求.(2)A'(一1,0)，B(2,0),C(1,2). A A'O BBX 1B,解：CD/EF,△ACD△AEF.架-保-是-号品-是：AB1 BC,FH⊥BC,∴∠ABD=∠FHD=90°.，∠ADB=∠FDH,.△ABD∽△FHD. “铝-品∴铝=是AB=24m.答：这段河流的宽度为24m 141)证明：BE=AB=3,BC=4小眨=是：DG=BD,BG=号BD,小部 -既-子.：∠EBG=∠CBD△BBG△BCD.(2)￥：△BGn△BCD,0 -既-子，∠BGE=∠BDC..G/CD,:四边形ABCD是平行四边形，AB= CD,AB/CD.AB∥BG.△BG△ABR÷器-器-器=是FG=号BG 53 阶段微测试（四） 1 1.C2.B3.A4.D5.C6.D7.50°8.(1W3)9.210.7或17 √3 1解，原式=2x号9=19.(2)原式=高+9-9+9-语 12.解：在△ABC中，，∠C=90°，∠A=30°，.∠B=90°-∠A=60°.又：b=√3，.a= b.tan A=1,c=6 cos A=2. 13.解：过点A作AH⊥BC于点H,则∠AHB=∠AHC=90°.在Rt△ACH中，.AC =2,osC=亭，∴CH=AC·cosC=月.∴AH=VAC-CF=号.在R△ABH 中，：∠B=30°，AB=2AH=9 14.解：由题意，得点A,F,C在同一条直线上.在Rt△ABC中，BC=2,∠A=30°，∴.AC anA=2V3.EF=AC=2V3.在Rt△CEF中，∠E=45°，.CF=EF·sinE ∴.AF=AC-CF=2√3-W6, 15.解：)CDLAB,∠ADC-∠BDC=90,在Rt△BCD中，BD=6,amB=号， ∴.CD=BD·tanB=4.∴.AC=√CD2+AD=25.(2)过点E作EF⊥AB于点F. LAB,EF⊥AB,∴CD∥ER,∴△BEF∽△BCD,E是边BC的中点， 5-器=合六DF=合BD=3,EP=合CD=2AP=AD+DF=i5AE= VAF+E-VA.∴∠BAB-需-2零 基本功专练（二）解直角三角形的应用 1.解：过点B作BE⊥AD于点E,则∠AEB=90°.在Rt△AEB中，∠BAD=72°，AB= 200cm,∴.BE=AB·sin∠BAD≈190cm.答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为 190cm. 2.解：设AH=xm,则CH=(x-2)m.在Rt△ABH中，∠B=45°，BH=AH tan B xm..DH=BH-BD=(x-l0)m.在Rt△CDH中，CH=DH·tan65°，∴.x-2≈ 2.14(x-10),解得x≈17.0..AH=17.0m.答：立柱AH的高约为17.0m. 3.解：过点B作BC⊥OH于点C.∴∠ACO=90°，CH=0.5m.由题意，得OA-OB= 1.5m.设OB=xm,则OA=(x+1.5)m.在Rt△AOC中，∠OAC=37°，.OC=OA· sin∠OAC≈(0.6x+0.9)m.在Rt△OBC中，∠OBC=53°，∴∠BOC=90°-∠OBC= 37°..0C=OB·cos∠B0C≈0.8xm..0.6x+0.9=0.8x,解得x=4.5.OC= 3.6m..OH=OC+CH≈4m.答：定滑轮O到地面的距离OH约为4m. 4.解：(1)60°(2)过点A作AD⊥BC,垂足为D.在Rt△ABD中，AD=AB· sin∠ABC=3km,BD=AB·cos∠ABC=3km.在Rt△ADC中，CD=an∠ACB AD √3km,.BC=BD+CD=(3十√3)km.答：检查点B和C之间的距离为(3十√3)km. 5.解：过点B作BG⊥AM于点G,易得四边形BFDG为矩形，∴，∠CFB=∠AGB= 90,DF=BG,在R△ABG中，∠BAG=30°，∴BG=号AB=15m∴DF=BG=15m 设BF=xm,则EF=(x-4)m.在Rt△CBF中，∠CBF=45°，∴.CF=BF·tan∠CBF —54- =xm.在Rt△CEF中，∠CEF=60°，.CF=EF·tan∠CEF=√3(x-4)m.∴.x= √3(x-4),解得x=6+2√3..CF=(6+2√3)m..CD=DF+CF=(21+2√3)m. 6.解：过点A作AF⊥BC于点F,则∠AFB=∠AFC=90°.，∠BCD=∠ACD=41°， ∴∠ACB=82.AE⊥AB,∠EAB=90°.∠CAE=37°，.∠CAB=∠EAB- ∠CAE=53°.，∴.∠B=180°-∠CAB-∠ACB=45°.在Rt△ABF中，∠B=45°，AB= 11W2m,AF=AB·sinB=11m.在Rt△ACF中，∠ACB=82”,AC=sn∠ACB AF ≈11.1m.答：镜面上点C到水盆A的距离约为11.1m. 阶段微测试（五） 1.C2.A3.C4.C5.D6.A7.28.x2-x=0(答案不唯一)9.610.4 11.解：(1)根据平方根的意义，得2x一1=13或2x一1=一13.因此，原方程的根为x =7,x2=-6.(2)把方程左边因式分解，得(3x十2+2x)(3x十2-2x)=0.由此得5x+ 2=0或x十2=0，解得西=-号a=-2.(3)这里a=1,6=-2,=-2.因而公-4c =(一-2)2-4×1×(-2)=12>0，“x=2生)应-1士.因此，原方程的根为=1十 2 3,x=1-.(④)将二次项系数化为1，得x2-4x+号=0.配方，得2-4红+2-22 十号=0，因此红一2=名由此得x一2=空或x一2=-平解得=+平 x2=2V4 2 12.解：(1)配方法二(2)这里a=1,b=8,c=-9.因而b2-4ac=82一4×1×(-9) =100>0,x=二8y100=一4士5.因此，原方程的根为=1，x2=-9. 2×1 13.解：a是方程2x2-7x-1=0的一个根，.2a2-7a-1=0.∴2a2-7a=1.∴.a(2a -7)+5=2a2-7a+5=1+5=6. 14.(1)解：根据题意，得(2x2+5x-3)-(x2+x-8)=2.原方程可化为x2+4x+3=0, 解得x=-1,x2=-3..当x=-1或-3时，代数式A的值比B的值大2.(2)证明： A-B=(2x2+5x-3)-(x2+x-8)=(x+2)2+1.(x+2)2≥0，.(x+2)2+1>0, 即A一B>0..对于任意x的值，代数式A一B的值恒为正数. 15.解：(1)3(2)是一元二次方程.由题意，得(t十2)2-(t+2)(2t+1)=0,把方程左边 因式分解，得(t十2)(t十2-2t-1)=0.由此得t十2=0或1-t=0,解得t=一2，t2=1. (3)不是.理由如下：由题意，得(x十2)2-(x十2)=3.整理，得x2十3x一1=0.这里a= 1,6=3,c=-1.因而2-4ac=32-4X1X(-1）=13>0.x=二3±压.方程(x 2 +2)*1=3的根不是x=一35 2 阶段微测试（六） 1.A2.C3.C4.B5.C6.B7.↓8.-29.110.3 11.解：由题意知△=b2一4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=1,解得m1=0,m2=2. :m≠0，m=2∴原方程为2x-5x+3=0,解得x=1a=受 12.解：设彩色纸带的宽度为xcm.根据题意，得(100一5x)(40一2x)-640×4,解得x1 =4,x2=36(不合题意，舍去).答：彩色纸带的宽度为4cm. 13.解：1由题意，得△=32-4X(m-1)×2=17-8m>0,解得m<号“m-1≠0， 55 ∴m≠1.∴m的取值范围是m<号且m≠1.(2)由(1)知m<号且m≠1，m的最大正 整数值为2.当m=2时，该方程为x2十3x十2=0,1十x2=一3，x1x2=2.∴xx2十 x1x3-5=x1x2(x1十x2)-5=2X(-3)-5=-11. 14.解：(1)3300(2)设每套毛绒玩具降价x元.根据题意，得(60-x)(50十2x)= 3500,解得x1=10,2=25.,该商场是为了尽快减少库存，.x=25.答：每套毛绒玩 具应降价25元. 15.解：(1)设经过xs以后，△PBQ的面积为4cm(0<x3.5),此时AP=xcm,BP =(5-x)cm,BQ=2xcm.:Sam=号BP·BQ=4,号(5-x)·2x=4,整理，得x2 -5x+4=0,解得x1=1,x2=4(舍去).答：1s后，△PBQ的面积为4cm2.(2)设经过 ts后，PQ的长为2/10cm.在Rt△PBQ中，PQ=BP2+BQ,即(2√10)2=(5一t)2+ (2t)2,解得1=一1（舍去），t2=3.答：3s后，PQ的长为2√10cm 阶段微测试（七） 1.C2.D3.D4.B5.D6.A7.y=x2+2(答案不唯-)8.a<19.-4 10.②③④ 11.解：(1)由题意，得m-2<0,解得m<2.(2)由题意，得m-2=一1，解得m=1. 12.解：(1)(1,1)(2)不经过.理由如下：·抛物线4的函数表达式为y=2x2-4x十 3=2(x一1)2+1，.抛物线l2的函数表达式为y=2x2十3.令x=2,则y=2×22+3= 11≠3，∴.抛物线l2不经过点P(2,3). 13.解：(1)把(3,0)代入y=x2+bx+3,得9+3b+3=0,解得b=-4..二次函数的表 达式为y=x2一4x+3.(2)如图所示.(3)一1≤y<3 14.解：(1)，抛物线y=一x2+bx十c经过点A(一1,0)，B(5,0),∴.对称轴为直线x= 2.心一2x（-D=2,解得6=4.y=-工+4x+c.把A(-1,0)代入，得0=-1-4+ c,解得c=5.(2)由(1)，得抛物线的表达式为y=-x2十4x十5=-(x-2)2+9..点P 的坐标为(2,9.∴SAA=2AB·p=号×[5-(-1]X9=27, 15.解：(1)把(1，-6)代人y=-x2-x十c,得-6=-12-1十c,解得c=-4.∴.二次函 数的表达式为y=一x2一x一4.(2)设该函数图象上的“三倍点”坐标为(t,3t).把(t,3t) 代入y=一x2一x一4，得3t=一t一t一4，解得=2=一2，∴.该函数图象上的“三倍 点”坐标为（一2，一6）.(3)由(1)可知y=一x2一x一4，.抛物线开口向下，对称轴为直 线x=一合中计2=+1.分同种特况讨论：①当计1长-子，即≤一号时y在x =t处取得最小值-6，即-t2一t-4=-6,解得=-2，t2=1(舍去)；②当t+1> -7,即>-号时，y在+2处取得最小值-6，即一(+2)2-(+2)-4=-6，解得 t=一1,2=一4（舍去）.综上所述，t的值为一2或1. 基本功专练（三）二次函数的应用 1.解：(1)S=40×30-4x(x-5)=-4x2+20x+1200.(2)由(1)，得S=-4x2+20x -56 +120=-4(x-号)°+125.：-4<0,6≤≤10，∴当x=6时，S有最大值，最大 值为-4×(6-号)）'+125=1176，答：能身活动区域的最大面积为1176m配 2.解：(1)设抛物线的函数表达式为y=ax2+3.5.4-2.5=1.5(m),.抛物线过点 (1.5,3.05).把(1.5,3.05)代人y=ax2+3.5,得2.25a+3.5=3.05,解得a=-0.2. 抛物线的函数表达式为y=-0.2x2+3.5.(2)在y=-0.2x2十3.5中，当x=-2.5 时，y=-0.2×(-2.5)2+3.5=2.25.答：球出手时离地面的高度是2.25m. 40k+b=164,. k=-4, 3.解：(1)设y关于x的函数关系式为y=kx十b,则{ 解得 y 50k+b=124,6=324. 关于x的函数关系式为y=一4x+324(30≤x≤80，且x是整数).(2)根据题意，得w= x(一4x十324)一2000=一4(x一40.5)2十4561.30≤x≤80，且x是整数，.当x= 40或41时，w有最大值，最大值为4560.答：该影院将电影票的售价定为40元/张或 41元/张时每天获利最大，最大利润是4560元. 4.解：(1)由题意，得当t=0时，h=0,∴.设h与t之间的函数关系式为h=at2十bt.将 1,32),20)代入，得/+6=3 0,解得=-32， “h与：之间的函数关系式为h 4a+2b=0 b=64. -32t2+64t.(2)由(1)得h=-32t2+64t=-32(t-1)2+32.:-32<0,.当t=1时， h有最大值，最大值为32.答：膝盖能达到的最大高度为32cm,对应的时间为1s. (3)当h=24时，-32+64t=24,解得=0.5,2=1.5.其中4=0.5s对应上升过程， t=1.5s对应下降过程.t2一t=1s.答：在上升过程中0.5s时和下降过程中1.5s时 触发闪光，时间间隔为1s 5.解：（任务一）由题意，得B(10,0),C(0,5).设抛物线的函数表达式为y=ax2+5.将 B(10,0)代人，得0-10a十5，解得a-一0抛物线的函数表达式为y-一02十 5.(任务二)设E(m,一六m2+5）,且0<m<10,则EF=2m,EH=一20m2+5.由题 1 意，得2(EF+EHD=27.5,即2(2m-20m+5)-27.5,解得m=5,m:=35(不符合 题意，舍去).EH=一20×52+5=3.75.3.75-3.5=0.25<0.35，该“脚手架” 的安装不符合要求，脚手架至少应调低0.35-0.25=0.1(m). 阶段微测试（八） 1.C2.B3,D4.C5C6A71.28y=-号+x+49.=10.80 11.解：(1)设二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.将A(0,3),B(一1,6)，C(2,3)代入， c=3, a=1, 得a-b+c=6,解得b=一2，∴.这个二次函数的表达式为y=x2-2x十3.(2)y= (4a+2b+c=3, (c=3. x2一2x十3=(x一1)2十2，.这个二次函数图象的顶点坐标为(1,2). 12.解：(1)当k=2时，y=x2-4x十3.当y=0时，x2-4x+3=0,解得x=1,x2=3, ∴.图象与x轴的交点坐标为(1,0)和(3,0).(2)同意.理由如下：令y=0,则x2一（十 2)x+2k-1=0.,△=[-(k+2)]2-4×1×(2k-1)=k2-4k+8=(k-2)2+4>0, .这个二次函数的图象与x轴一定有两个交点.·小明的说法正确. 13.解：(1)易得抛物线的顶点坐标为(2,3).设抛物线的函数表达式为y=a(x一2)2+ 3.把A(8,0)代入，得a(8一2)+3=0，解得a=一立抛物线的函数表达式为y= 一 57