第14讲 二次函数表达式及一元二次方程关系 (知识精讲+典例+针对练习)2026-2027学年湘教版九年级数学上册

第13讲 二次函数表达式及一元二次方程关系 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握三种二次函数解析式：一般式、顶点式、交点式 · 会用待定系数法求二次函数解析式 · 理解抛物线与x轴交点和一元二次方程根的关系 · 会用图像法求一元二次方程的近似根 · 能根据二次函数图像解一元二次不等式 📚 知识梳理 ☆ 1.三种解析式 一般式：y=ax2+bx+c（已知任意三点用） 顶点式：y=a(x-h)2+k（已知顶点用） 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（已知与x轴交点用） 三种形式可互相转化 概念辨析例题：抛物线顶点(1,-2)且过(3,10)，求解析式 解析：设y=a(x-1)2-2，代入(3,10)得4a=12，a=3 ☆ 2.待定系数法 根据已知点选择合适解析式 代入已知点列方程（组） 解方程组求系数 最后写出解析式并验证 概念辨析例题：抛物线过(0,2)、(1,0)、(2,0)，求解析式 解析：由(1,0)(2,0)设y=a(x-1)(x-2)，代入(0,2)得2a=2，a=1 ☆ 3.抛物线与x轴交点 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标即方程ax2+bx+c=0的根 Δ>0：两个交点；Δ=0：一个交点（顶点在x轴）；Δ<0：无交点 两交点距离=|x1-x2|= 抛物线与y轴交点恒为(0,c) 概念辨析例题：二次函数y=x2+4x-5与坐标轴有几个交点？ 解析：与y轴交(0,-5)；与x轴解方程x2+4x-5=0得x=1或-5，故共3个交点 ☆ 4.三个二次关系与不等式 ax2+bx+c>0的解集：图像在x轴上方对应的x范围 ax2+bx+c<0：图像在x轴下方对应的x范围 结合开口方向与x轴交点写解集 二次函数与一次函数比较：看图像上下位置 概念辨析例题：二次函数与一次函数交于A(-2,4)、B(8,2)，求y1>y2的x范围 解析：看图像：抛物线上方部分对应x<-2或x>8 📋 知识总结表 【考点1】待定系数法求二次函数解析式（第1-12题） · 已知三点选一般式 · 已知顶点选顶点式 · 已知与x轴交点选交点式 · 代入已知点列方程组求解 1．（2026秋•南岗区校级月考）顶点坐标为（﹣2，3），开口方向和大小与抛物线y＝﹣2x2相同的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x﹣2）2+3 B．y＝﹣2（x+2）2﹣3 C．y＝﹣2（x+2）2+3 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 【分析】先求出抛物线二次项系数a的值，再根据其顶点坐标即可得出解析式． 【解答】解：设抛物线解析式为y＝a（x﹣k）2+h， ∵抛物线开口方向和大小与y＝﹣2x2相同， ∴二次项系数a＝﹣2， ∵顶点坐标为（﹣2，3）， ∴抛物线解析式为y＝﹣2（x+2）2+3． 故选：C． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数解析式的求法是解题的关键． 2．若抛物线的顶点为（2，﹣1），且过点（0，3），则其表达式是（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B． C．y＝（x﹣2）2﹣1 D． 【分析】利用顶点式求函数的解析式即可． 【解答】解：∵抛物线的顶点为（2，﹣1）， ∴设解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1， 将点（0，3）代入y＝a（x﹣2）2﹣1， ∴4a﹣1＝3， 解得a＝1， ∴y＝（x﹣2）2﹣1， 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 3．（2025•龙华区三模）如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣1），C（3，﹣1）．抛物线经过点D，顶点坐标为（1，0），将此抛物线在正方形ABCD内（含边界）的部分记为图象G．若直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（　　） A．k＞2或 B．或0＜k＜2 C．k＞1或k＜﹣3 D．k＞1或k＜﹣3或k＝﹣2 【分析】先求出抛物线解析式为y＝（x﹣1）2，再求出抛物线与正方形边界另一个交点为E（﹣1，4），再根据直线y＝kx﹣2k+2＝（x﹣2）k+2过定点F（2，2），结合函数图象解题即可． 【解答】解：设抛物线与正方形边界另一个交点为E， 由条件可知D（3，4）， ∴设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2， 把D（3，4）代入得到4＝a（3﹣1）2，解得a＝1， ∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）2， 当y＝（x﹣1）2＝4时，解得x1＝3，x2＝﹣1， ∴E（﹣1，4）， ∵直线y＝kx﹣2k+2＝（x﹣2）k+2， ∴直线y＝kx﹣2k+2＝（x﹣2）k+2过定点F（2，2）， 当x＝2时y＝（x﹣1）2＝（2﹣1）2＝1＜2， ∴直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与y＝（x﹣1）2必有两个交点， ∵直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与图象G有唯一交点， ∴当x＝3时，抛物线过D（3，4），y＝kx﹣2k+2＞4，即3k﹣2k+2＞4，解得k＞2， 当x＝﹣1时，抛物线过E（﹣1，4），y＝kx﹣2k+2＞4，即﹣k﹣2k+2＞4，解得， 综上所述，k＞2或， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，数形结合是关键． 4．（2026•寿县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，﹣2），B（4，﹣2），C（6，0），D（8，﹣2）四个点中的其中三个点，则符合要求的所有函数表达式中a+b+c的最小值是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先确定二次函数可能经过A、B、C或者B、D、C或者A、D、C，画出图象后，只有经过B、D、C三点的二次函数，当x＝1时，y＝a+b+c的值最小，然后用待定系数法求出二次函数解析式，求出当x＝1时的函数值即可． 【解答】解：∵A、B、D的纵坐标相同， ∴二次函数不会同时经过A、B、D三点， ∴分三种情况讨论：①经过A、B、C；②经过B、D、C；③经过A、D、C； 三种图象如图所示， 很明显，经过B、D、C三点的二次函数，当x＝1时，y＝a+b+c的值最小， 将B（4，﹣2），C（6，0），D（8，﹣2）代入y＝ax2+bx+c可得： ， 解得， 所以二次函数的表达式为yx2+6x﹣18， 令x＝1得y， 故a+b+c的最小值为， 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式以及求函数值等知识，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 5．（2025秋•江岸区校级同步）已知二次函数图象过（1，0），（3，0），其图象的开口和形状均与y＝x2的图象一致，那么该二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2﹣4x+3 B．y＝2x2﹣4x+3 C．y＝x2+4x+3 D．y＝2x2+4x+3 【分析】由开口和形状与y＝x2一致得二次项系数a＝1，然后由过点（1，0），（3，0）求解即可． 【解答】解：∵图象开口和形状与y＝x2一致， ∴a＝1． 又∵图象过（1，0），（3，0）， ∴该二次函数的表达式为y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3． 故选：A． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是掌握待定系数法，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2025秋•赛罕区校级期中）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线，则该二次函数的表达式为y＝x2+x+3　 ． 【分析】利用二次函数的对称轴公式求出参数b，再代入已知点坐标求出参数c． 【解答】解：由二次函数的对称轴公式，其中a＝1，对称轴为直线得：， 解得：b＝1， 将b＝1和点A（﹣2，5）代入函数解析式y＝x2+bx+c得：5＝（﹣2）2+1×（﹣2）+c， 解得：c＝3， ∴y＝x2+x+3， 故答案为：y＝x2+x+3． 【点评】本题考查了y＝ax2+bx+c的图象与性质，待定系数法求二次函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，2），△AOB的面积是2，则过点A，O，B的抛物线所对应的函数表达式为 y　 ． 【分析】根据点A的坐标及△AOB的面积得出点B的坐标，再利用待定系数法即可解决问题． 【解答】解：∵点A的坐标为（1，2），且△AOB的面积是2， ∴， 解得OB＝2， ∴点B的坐标为（﹣2，0）． 又∵抛物线经过点A，O，B， 则令抛物线的解析式为y＝ax（x+2）， 将点A（1，2）代入得， a， ∴抛物线的函数表达式为y． 故答案为：y． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键． 8．（2025秋•天津校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … ﹣2 0 2 4 6 … y＝ax2+bx+c … 0 6 m n 0 … 该二次函数解析式为　　 ． 【分析】由表格可知二次函数的图象与x轴交于（﹣2，0）和（6，0）两点，故设解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），再代入点（0，6）求出a的值，最后展开得一般式即可求解． 【解答】解：由表可知，当x＝﹣2和x＝6时，y＝0， ∴二次函数的图象与x轴交于点（﹣2，0）和（6，0）， 设二次函数解析式为y＝a（x+2）（x﹣6），由条件可得6＝a×2×（﹣6）， 解得， ，即， 故答案为：． 【点评】本题考查了求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题的关键． 9．（2026•临平区二模）已知抛物线C1：yx2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，﹣4），抛物线C2：y＝ax2﹣2x（a为常数，且a≠0）． （1）求抛物线C1的解析式，并求出它的对称轴； （2）点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）分别在C1，C2上． ①若a＝1，x1＝x2＝t（0＜t＜2），试判断y1与y2的大小，并说明理由； ②若点P，Q的横坐标始终满足x2＝x1+d，其中d为非零常数，且y2﹣y1的值是一个与x1无关的定值，求这个定值． 【分析】（1）利用待定系数法即可求得抛物线C1的解析式，然后利用对称轴公式即可求得它的对称轴； （2）①由题意则，即可求得y2﹣y1，结合0＜t＜2即可得到y2﹣y1＞0，即可得到y2＞y1； ②由题意，，则y2﹣y1，又根据y2﹣y1的值是一个与x1无关的定值，即可得到，解得，即可求得． 【解答】解：（1）∵经过点A（2，0）和B（0，﹣4）， ∴， 解得， ∴抛物线C1的解析式为， ∴对称轴为直线x1； （2）①若a＝1，x1＝x2＝t，则， ∴， 又∵0＜t＜2， ∴， ∴y2＞y1； ②∵点P，Q的横坐标始终满足x2＝x1+d， ∴， 又∵， ∴ ， 又∵y2﹣y1的值是一个与x1无关的定值， ∴， ∴， ∴， ∴定值为． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 10．（2025秋•许昌校级月考）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）． （1）求二次函数的解析式； （2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【分析】（1）将两点坐标代入解析式，解得b，c的值，求出二次函数的解析式即可； （2）将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，得出顶点坐标和对称轴即可． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）， 将A（0，1）、B（1，﹣5）代入y＝﹣2x2+bx+c得： ， 解得：， ∴y＝﹣2x2﹣4x+1． （2）y＝﹣2x2﹣4x+1＝﹣2（x+1）2+3， ∴顶点式为：y＝﹣2（x+1）2+3，顶点坐标为（﹣1，3）；对称轴为直线x＝﹣1． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，正确求出函数解析式． 11．（2025秋•西湖区校级期中）已知二次函数y＝x2+bx+5的对称轴为直线x＝﹣1． （1）求二次函数的表达式； （2）当﹣2＜x＜5时，求函数y的取值范围． 【分析】（1）根据对称轴求出b的值，即可求解析式； （2）求出﹣2＜x＜5时，函数y的取值即可． 【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴1， 解得b＝2， ∴y＝x2+2x+5； （2）当x＝﹣1时，函数有最小值4， 当x＝5时，函数有最大值40， ∵﹣2＜x＜5， ∴4≤y＜40． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 12．（2026•佳木斯校级三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标； 【分析】（1）将A（4，0），C（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系数法确定函数解析式； （2）根据图形得到：S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5，即S△APC＝S△ABC+5．运用三角形的面积公式求得点P的纵坐标y＝6，然后由二次函数图像上点的坐标特征求得点P的横坐标即可； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4； （2）∵S1﹣S2＝5， ∴S1+S△AQC＝S2+S△AQC+5 ∴S△ACP﹣S△ABC＝5． 令x＝0，则y＝4， ∴B（0，4）． ∵C（﹣1，0），A（4，0）， ∴AC＝5，OB＝OA＝4， ∴， ∴S△ACP＝15． 设P（t，﹣t2+3t+4）， ∴， ∴t＝1或t＝2， ∴设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，则P（1，6）或P（2，6）． 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质，以及三角形面积公式等知识点． 【考点2】抛物线与x轴的交点（第13-22题） · 令y=0解方程求交点 · 用Δ判断交点个数 · 两交点距离公式 · 注意与y轴交点(0,c) 13．（2025春•丰城市校级月考）抛物线y＝x2+2x与x轴的左侧交点坐标是（　　） A．（0，﹣2） B．（2，0） C．（0，0） D．（﹣2，0） 【分析】在y＝x2+2x中，令y＝0，则x2+2x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣2，由此即可得出答案． 【解答】解：在y＝x2+2x中，令y＝0，则x2+2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝﹣2， ∴抛物线y＝x2+2x与x轴的左侧交点坐标是（﹣2，0）， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 14．（2026•柳江区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54）为图象上的两点，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解可能是（　　） A．2.75 B．2.68 C．2.45 D．2.18 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【解答】解：当x＝2.18时，y＝﹣0.51；当x＝2.68时，y＝0.54， 当y＝0时，2.18＜x＜2.68，只有选项C符合， 故选：C． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，用到的知识点为：点在函数解析式上，点的横纵坐标适合这个函数解析式；二次函数值为0，就是函数图象与x轴的交点，跟所给的接近的函数值对应的自变量相关． 15．（2026•仓山区校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根m，n，抛物线y＝ax2+bx+c上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），下列条件中，一定能判断y1＝y2的是（　　） A．x1＝m+2，x2＝n+2 B．x1＝m﹣2，x2＝n﹣2 C．x1＝m+2，x2＝n﹣2 D．x1＝2m，x2＝2n 【分析】根据二次函数的对称性判断即可． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根m，n， ∴m+n， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x， ∴点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，当时，y1＝y2， ∴选项C符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数与一元二次方程的关系，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的对称性是解题的关键． 16．（2026秋•长沙月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的正半轴交于点A（3，0），与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x＝1．则方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣1，x2＝3　 ． 【分析】利用抛物线的对称性可以求得抛物线与x轴的另一个交点坐标，再利用二次函数与一元二次方程的关系即可求解． 【解答】解：由图象知，对称轴为：x＝1， ∵抛物线与x轴的交点关于对称轴对称，其中一个交点为（3，0）， ∴另一个与x轴的交点为（﹣1，0）， ∴解是x1＝﹣1，x2＝3． 故答案为：x1＝﹣1，x2＝3． 【点评】本题考查抛物线的对称性，二次函数与一元二次方程的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． 17．（2025秋•武威期中）如图，二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣2，则关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1　 ． 【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，然后求出函数图象的对称轴，即可得到该函数图象与x轴的另一个交点的横坐标，从而可以得到一元二次方程x2+x﹣m＝0的解． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+x﹣m＝（x）2m， ∴该函数的对称轴为直线x， ∵二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣2， ∴二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的另一个交点的横坐标为2﹣（﹣2）＝1， ∴关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0的解是x1＝﹣2，x2＝1， 故答案为：x1＝﹣2，x2＝1． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 18．（2026•河南模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）两点，交y轴于C． （1）求这个二次函数的解析式． （2）取这个二次函数图象上一点P，将点P沿x轴方向平移至点Q，要求点P的横坐标为n，点Q的横坐标为﹣2n． ①当点Q也在二次函数的图象上，求n的值； ②当线段PQ与二次函数的图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）根据解析式得抛物线的对称轴为直线x＝1，①若点Q也在二次函数的图象上，根据PQ∥x轴，得出P，Q关于直线对称，即可得，求解即可； ②当线段PQ与二次函数的图象有两个公共点时，根据点P的横坐标为n，PQ∥x轴，得出点P关于对称轴的对称点的横坐标为1﹣n，分为当时，当时，分别求解即可． 【解答】解：（1）由题意可得： ∴， 解得， ∴这个二次函数的解析式为y＝2x2﹣2x﹣4； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①若点Q也在二次函数的图象上， 根据平移可得PQ∥x轴， ∴P，Q关于直线对称， ∴， ∴n＝﹣1； ②当线段PQ与二次函数的图象有两个公共点时， ∵点P的横坐标为n，PQ∥x轴， ∴点P关于对称轴的对称点的横坐标为1﹣n， 当时，则﹣2n≥1﹣n，解得n≤﹣1； 当时，则﹣2n≤1﹣n，解得n≥﹣1，故， ∴n的取值范围是n≤﹣1或． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算解题关键． 19．（2026•乌鲁木齐模拟）已知二次函数（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，求m的值； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有不重合的两点A（m+1，y1），B（m+p，y2），且y1＝y2，直接写出p的值． 【分析】（1）将（2，﹣1）代入计算即可； （2）根据根的判别式证明即可； （3）求出对称轴，再根据二次函数的对称性作答即可． 【解答】（1）解：∵点（2，﹣1）在该函数图象上， ∴， 解得：m＝1； （2）证明：∵， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 即二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）解：二次函数的对称轴为直线， ∵该函数图象上有不重合的两点A（m+1，y1），B（m+p，y2），且y1＝y2， ∴， 解得：p＝﹣1． ∴若该函数图象上有不重合的两点A（m+1，y1），B（m+p，y2），且y1＝y2，则p＝﹣1． 【点评】本题考查二次函数与抛物线的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．（2025秋•雷州市月考）已知抛物线y＝ax2+2x+b（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）若点C是直线AB下方抛物线上一点，过点C作CD⊥AB于点D，当线段CD取得最大值时，求点C的坐标和△ABC的面积． 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，再把解析式转化为顶点式即可求解； （2）求出直线AB的解析式，过点C作直线l∥AB，当直线l与抛物线只有1个交点时，点C到直线AB的距离最大，设直线l的解析式为y＝﹣x+n，利用Δ＝0求出n的值，即得直线l的解析式，联立函数解析式求出点C坐标，再根据S△ABC＝S△ACE+S△BCE即可求解． 【解答】解：（1）把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝ax2+2x+b得， ， ∴a＝1，b＝﹣3， ∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣4）； （2）设直线AB的解析式为y＝kx+m，把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+m得， ， ∴k＝﹣1，m＝﹣3， ∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3， 如图，过点C作直线l∥AB，当直线l与抛物线只有1个交点时，点C到直线AB的距离最大， ∴可设直线l的解析式为y＝﹣x+n， 由x2+2x﹣3＝﹣x+n，得x2+3x﹣（n+3）＝0， ∵Δ＝32﹣4×1×[﹣（n+3）]＝0， ∴， ∴直线l的解析式为y＝﹣x， 由， ∴x，y， ∴， 过点C作CH⊥x轴于H，交直线AB于点E， 把代入y＝﹣x﹣3，得， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的几何应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 21．（2025春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣1时，y有最小值﹣4，它的图象与x轴交点的横坐标分别为x1和x2，且10，求该二次函数的解析式． 【分析】先设此抛物线的解析式y＝a（x+1）2﹣4＝ax2+2ax+a﹣4，然后由根与系数关系，x1+x22，x1•x2，然后根据10，求出a的值即可． 【解答】解：设此抛物线的解析式y＝a（x+1）2﹣4＝ax2+2ax+a﹣4， 由根与系数关系：x1+x22，x1•x2， ∴xx（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（﹣2）2﹣2， 依题意得：10， 解得a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣3． 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，抛物线与x轴的交点，熟练运用根与系数关系是解题的关键． 22．（2026秋•五华区校级月考）如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出点P的坐标． 【分析】（1）把点A和原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式即可得出答案； （2）把二次函数的解析式化为顶点式，即可得解； （3）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可． 【解答】解：（1）二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）． ， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣4x； （2）∵y＝﹣x2﹣4x＝﹣（x+2）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，4）； （3）∵A（﹣4，0）， ∴AO＝4， 设点P到x轴的距离为h，则， 解得h＝4， ①当点P在x轴上方时，﹣x2﹣4x＝4， 解得x＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣2，4）； ②当点P在x轴下方时，﹣x2﹣4x＝﹣4， 解得，， ∴点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标是（﹣2，4）或或． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，正确进行计算是解题关键． 【考点3】图像法求一元二次方程近似根（第23-29题） · 画函数图像 · 看图像与x轴交点横坐标 · 近似根精确到要求的小数位 · 也可看与水平线y=k交点 23．（2026•建华区三模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间；④若m为任意实数，则a（m﹣1）（m+1）≤b（1﹣m）；⑤．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， 又∵b＝﹣2a， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c＞0， ∴bc＞0，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线x＝1， ∴， ∴b＝﹣2a， ∴2a+b＝0，故②正确，符合题意； ∵y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在﹣1和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间，故③正确，符合题意； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，y＝ax2+bx+c（a≠0）的最大值为a+b+c， ∴对于任意实数m，都有am2+bm+c≤a+b+c， ∴对于任意实数m，am2﹣a≤b﹣bm，即a（m+1）（m﹣1）≤b（1﹣m），故④正确，符合题意； ∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间， ∴a﹣b+c＜0， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴c＝2， ∴a﹣b+2＜0， 又b＝﹣2a， ∴a﹣（﹣2a）+2＜0， ∴，故⑤正确，符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 24．（2025秋•潮安区期末）如图，点A（2.26，﹣0.32），B（2.56，0.41）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 【分析】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.32和0.41，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【解答】解：由题意可得：当x＝2.26时，y＝﹣0.32，当x＝2.56时，y＝0.41， ∴当y＝0时，2.26＜x＜2.56， ∴选项C符合， 故选：C． 【点评】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，正确进行计算是解题关键． 25．（2023秋•福田区校级同步）已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的部分对应值如表： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y 5.6 3.1 1.5 ﹣0.9 ﹣1.8 若其图象的对称轴为直线x＝﹣2，则ax2+bx+c＝0的较小的根的取值范围是（　　） A．0.12＜x＜0.13 B．﹣0.13＜x＜﹣0.12 C．﹣4.13＜x＜﹣4.12 D．﹣3.89x＜﹣3.88 【分析】由表格可发现y的值﹣1.5和0.9最接近0，再看对应的x的值即可得． 【解答】解：由表格可以看出， 当x取0.12与0.13之间的某个数时，y＝0， 又∵二次函数图象的对称轴为 x＝﹣2， ∴当x取﹣4.13 与﹣4.12之间的某个数时，y＝0． ∴ax2+bx+c＝0的较小的根的取值范围是﹣4.13＜x＜﹣4.12， 故选：C． 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解，正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 26．根据下列表格中的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为（　　） x 1.43 1.44 1.45 1.46 y ﹣0.0129 ﹣0.0044 0.0045 0.0138 A．1.40＜x＜1.43 B．1.43＜x＜1.44 C．1.44＜x＜1.45 D．1.45＜x＜1.46 【分析】仔细看表，可发现y的值﹣0.0044和0.0045最接近0，再看对应的x的值即可得． 【解答】解：由表可以看出，当x取1.44与1.45之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根． ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为1.44＜x＜1.45． 故选：C． 【点评】本题考查了同学们的估算能力，对题目的正确估算是建立在对二次函数图象和一元二次方程关系正确理解的基础上的． 27．（2026•银川三模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程x2+2x﹣2＝0的实数根时，先画出函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程x2+2x﹣2＝0的负的实数根可能是　﹣2.7　 （结果保留小数点后一位）． 【分析】先根据图象求出抛物线的对称轴，再根据其对称性求出另一个交点的横坐标，即可得出方程的解． 【解答】解：函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7， 根据图象可知抛物线与x轴的交点的横坐标是x＝0.7，且对称轴是直线x＝﹣1， 则抛物线与x轴的另一个交点得横坐标是x＝﹣1×2﹣0.7＝﹣2.7， 所以方程x2+2x﹣2＝0的负实数根可能是﹣2.7． 故答案为：﹣2.7． 【点评】本题考查图象法求一元二次方程的近似根，正确进行计算是解题关键． 28．（2025秋•岑溪市期末）如图是函数y＝x2﹣4x+3的图象，则方程x2﹣4x+3＝0的近似解是x1＝1，x2＝3　 ． 【分析】根据函数图象与x轴交点的横坐标是方程的解，可得答案． 【解答】解：观察函数y＝x2﹣4x+3的图象，得图象与x轴的交点分别是（1，0），（3，0）， 方程函数x2﹣4x+3＝0的解是x1＝1，x2＝3． 故答案为：x1＝1，x2＝3． 【点评】本题考查了图象法求方程的近似解，函数图象与x轴交点的横坐标是方程的解． 29．（2025秋•东明县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是　1.2＜x＜1.3　 ． x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 … 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解，从而利用二次函数的性质确定方程的解的范围． 【解答】解：从表中可以看出， ∴当y＝0对应的x的值一定有1.2＜x＜13， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解x的范围是1.2＜x＜1.3． 故答案为：1.2＜x＜1.3． 【点评】本题考查了用二次函数确定一元二次方程的近似根，解题的关键是找到y由正变为负时自变量的取值即可． 【考点4】二次函数与不等式（第30-37题） · 开口向上：>0取两边、<0取中间 · 开口向下：<0取两边、>0取中间 · 结合与x轴交点写解集 · 与一次函数比较看图像上下 30．（2024秋•河东区期中）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　） x … ﹣1 0 2 4 5 … y1 … 0 1 3 5 6 … y2 … 0 ﹣1 0 5 9 … A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞5 【分析】由表格可知一次函数过 （﹣1，0）、（0，1）两点，得出一次函数y1解析式为：y1＝x+1，二次函数与x轴交点为（﹣1，0）、（2，0），得出二次函数解析式为：， 因为y2＞y1，从而得到当y2＞y1时，自变量x的取值范围． 【解答】解：由表格可知一次函数过 （﹣1，0）、（0，1）两点， ∴， ∴， ∴一次函数y1解析式为：y1＝x+1， ∴二次函数与x轴交点为（﹣1，0）、（2，0）， ∴y2＝a（x+1）（x﹣2）， ∵二次函数经过点（0，﹣1）， ∴a（0+1）×（0﹣2）＝﹣1， 解得 ， 则二次函数解析式为：， 当y2＞y1时， ∴y2﹣y1x﹣1﹣（x+1）， ∴（x﹣4）（x+1）＞0， ∴或， 解不等式得：x＞4或x＜﹣1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数与不等式：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系，利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 31．（2026•和县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，抛物线与x轴交于点（m，0），（n，0），其中0＜n＜1．下列结论中错误的是（　　） A．1＜m＜2 B．若关于x的方程a（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1有实数根，则b2﹣4ac≥4a C．b+2c＞0 D．不等式的解集是0＜x＜m 【分析】利用对称轴性质、交点式、不等式变形逐一判断选项即可． 【解答】解：对于A选项，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）对称轴为x＝1，与x轴交于（n，0），（m，0）， ∴，即 m+n＝2，得n＝2﹣m． ∵0＜n＜1， ∴0＜2﹣m＜1，即1＜m＜2，A正确； 对于B选项，原抛物线可写为y＝a（x﹣m）（x﹣n），方程 a（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1 即抛物线与直线 y＝﹣1有交点； ∵顶点纵坐标为， ∴， ∵a＞0，不等式变形得 4ac﹣b2≤﹣4a，即 b2﹣4ac≥4a，B正确； 对于C选项，由对称轴 得b＝﹣2a； ∵抛物线与x轴有两个交点，顶点在x轴下方， ∴x＝1时，y＝a+b+c＜0；代入b＝﹣2a得 a﹣2a+c＝c﹣a＜0，即 c＜a； ∴b+2c＝﹣2a+2c＝2（c﹣a）＜0，C错误； 对于D选项，整理不等式 ：即 ； ∵（m，0）在抛物线上， ∴am2+bm+c＝0，两边除以m得 ，即 ；代入得 x•a（x﹣m）＜0， ∵a＞0， ∴x（x﹣m）＜0解集为0＜x＜m，D正确． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，根的判别式，根的判别式，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 32．（2026春•浦东新区校级期中）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（3，0），此时一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣1，x2＝3；由此观察图象可知：不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；类似地：不等式﹣2x2﹣4x+7≥1的解集是　﹣3≤x≤1　 ． 【分析】由﹣2x2﹣4x+7≥1，得x2+2x﹣3≤0．画出抛物线y＝x2+2x﹣3的图象，观察图象可得答案． 【解答】解：由﹣2x2﹣4x+7≥1，得x2+2x﹣3≤0． 画出抛物线y＝x2+2x﹣3的图象如图所示， 可知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣3，0），B（1，0）， 则x2+2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣3，x2＝1． 由此观察图象可知：不等式x2+2x﹣3≤0的解集为：﹣3≤x≤1． 故答案为：﹣3≤x≤1． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组）、抛物线与x轴的交点，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 33．二次函数y＝ax2+bx+c和一次函数y＝kx+m的图象如图所示，两交点分别为，N（2，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx+c﹣kx﹣m＜0的解集是　x＜2　 ． 【分析】根据二次函数与不等式的关系以及二次函数与一次函数图象的交点坐标与不等式的解集之间的关系进行解答即可． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c和一次函数y＝kx+m的图象相交于点为，N（2，﹣2）， ∴关于x的不等式ax2+bx+c﹣kx﹣m＜0，即关于x的不等式ax2+bx+c＜kx+m的解集为x＜2， 即当x＜2时，二次函数的值小于一次函数的值， 故答案为：x＜2． 【点评】本题考查二次函数与不等式，理解二次函数与不等式的关系以及二次函数与一次函数图象的交点坐标与不等式的解集之间的关系是正确解答的关键． 34．（2023秋•青山区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），且0＜x1＜1，下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式的解集为0＜x＜2．其中一定正确的是 　①③④　 （填写序号）． 【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴， ∴a＞0，b＜0，c＞0， ∴abc＜0， ∴①正确． ∵当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， ∴②错误． ∵抛物线过点（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣2a，abc， ∵a+b+c＜0， ∴a﹣2ac＜0， ∴2a﹣c＞0， ∴﹣bc﹣c＞0， ∴﹣2b﹣3c＞0， ∴2b+3c＜0， ∴③正确． 如图： 设y1＝ax2+bx+c，y2x+c， 由图知，y1＜y2时，0＜x＜2， 故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键． 35．（2023秋•江岸区校级同步）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围x　≥　 1（填“≥”或“≤”）； （2）写出二次函数y＝ax2+bx+c的顶点 　（1，4）　 ； （3）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集 　﹣1＜x＜3　 ； （4）当0＜x＜5时，y的取值范围是 　﹣12＜y≤4　 ． 【分析】（1）根据图象即可得到结论； （2）利用待定系数法求得函数的解析式，利用顶点式即可求得顶点坐标； （3）观察图象即可求解； （3）求得x＝5时的函数值，结合图象即可求解． 【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向下， ∴当y随x的增大而减小时，自变量x的取值范围是x≥1． 故答案为：≥； （2）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）， ∴y＝a（x+1）（x﹣3）， 代入（0，3）得，3＝﹣3a，解得a＝﹣1， ∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点坐标为（1，4）． 故答案为：（1，4）； （3）由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集为﹣1＜x＜3； 故答案为：﹣1＜x＜3； （4）∵x＝5时，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣12，x＝1时，y＝4， ∴当0＜x＜5时，y的取值范围是﹣12＜y≤4． 故答案为：﹣12＜y≤4． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，数形结合是解题的关键． 36．（2026春•海淀区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（2，8），C（4，0），直线y＝mx+n（m≠0）经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线x＝1　 ； （2）关于x的方程ax2+bx+c＝8的解为x＝0或x＝2　 ； （3）关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解为　2＜x＜4　 ； （4）若关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是　﹣9＜k≤﹣5　 ． 【分析】（1）依据题意，由抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），C（4，0），则根据对称性可得，对称轴是直线x1，从而得解； （2）依据题意，方程ax2+bx+c＝8的解可以看作是抛物线y＝ax2+bx+c的函数值为8的自变量的值，结合抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点B（2，8），从而根据对称性可得，另一个纵坐标为8的点为（0，8），进而可以得解； （3）依据题意，设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣4）（x+2），又抛物线过B（2，8），则a×（﹣2）×4＝8，可得a＝﹣1，故y＝﹣（x﹣4）（x+2）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9，又直线y＝mx+n（m≠0）经过点B（2，8），C（4，0），可得该直线为y＝﹣4x+16，然后同一坐标系作出y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n的图象，结合图象可以判断得解； （4）依据题意，由关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则直线y＝﹣k与抛物线y＝ax2+bx+c（﹣1≤x≤5）有两个交点，进而结合图象可得，5≤﹣k＜9，则﹣9＜k≤﹣5，即可得解． 【解答】解：（1）由题意，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），C（4，0）， ∴根据对称性可得，对称轴是直线x1． 故答案为：x＝1； （2）由题意，方程ax2+bx+c＝8的解可以看作是抛物线y＝ax2+bx+c的函数值为8的自变量的值， 又∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点B（2，8）， ∴根据对称性可得，另一个纵坐标为8的点为（0，8）， ∴方程ax2+bx+c＝8的解是x＝0或x＝2． 故答案为：x＝0或x＝2； （3）由题意，设y＝ax2+bx+c＝a（x﹣4）（x+2）， 又∵抛物线过B（2，8）， ∴a×（﹣2）×4＝8． ∴a＝﹣1． ∴y＝﹣（x﹣4）（x+2）＝﹣x2+2x+8＝﹣（x﹣1）2+9， ∵直线y＝mx+n（m≠0）经过点B（2，8），C（4，0）， ∴该直线为y＝﹣4x+16． 同一坐标系作出y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝mx+n的图象如下： 又∵不等式ax2+bx+c＞mx+n的解集是y＝ax2+bx+c（a≠0）图象在直线y＝mx+n的图象上方对应的自变量的取值范围， ∴结合图象可得，不等式ax2+bx+c＞mx+n的解是2＜x＜4． 故答案为：2＜x＜4； （4）由题意，∵关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根， ∴直线y＝﹣k与抛物线y＝ax2+bx+c（﹣1≤x≤5）有两个交点， ∴结合图象可得，5≤﹣k＜9，则﹣9＜k≤﹣5． 故答案为：﹣9＜k≤﹣5． 【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与x轴的交点坐标、二次函数图象上点的坐标特点、一次函数图象上点的坐标特点，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 37．（2026•石狮市模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1．若点A（a，y1），B（b，y2）都是该二次函数图象上的点． （1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）； （2）若m＝﹣3，a+b＝﹣4，求证：y1+y2≥﹣30； （3）若a＝p+1，b＝2m﹣p，且点A在对称轴的左侧，求证：y1＜y2﹣1． 【分析】（1）根据所给解析式，用含m的代数式表示出顶点坐标即可； （2）将m＝﹣3代入二次函数解析式，再用a和b分别表示出y1和y2，结合a+b＝﹣4，用a表示出y1+y2，据此进行证明即可； （3）根据题意，用p和m表示出y1与y2﹣1的差，再结合点A在对称轴的左侧进行证明即可． 【解答】（1）解：由题知， 因为y＝x2﹣2mx+2m﹣1＝（x﹣m）2﹣m2+2m﹣1， 所以该二次函数图象的顶点坐标为（m，﹣m2+2m﹣1）； （2）证明：当m＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2+6x﹣7． 因为点A（a，y1），B（b，y2）都是该二次函数图象上的点且a+b＝﹣4， 则b＝﹣4﹣a， 所以，， 所以2（a+2）2﹣30． 因为2＞0， 所以当a＝﹣2时，y1+y2取得最小值﹣30， 所以y1+y2≥﹣30； （3）证明：由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝m． 因为点A在对称轴的左侧且a＝p+1， 所以p+1＜m，即p﹣m＜﹣1． 则y1﹣（y2﹣1）＝y1﹣y2+1＝（p+1）2﹣2m（p+1）+2m﹣1﹣[（2m﹣p）2﹣2m（2m﹣p）+2m﹣1]+1， 整理得，y1﹣（y2﹣1）＝2（p﹣m）+2． 因为p﹣m＜﹣1， 所以2（p﹣m）+2＜0， 所以y1＜y2﹣1． 【点评】本题主要考查了二次函数与不等式（组）及二次函数图象与系数的关系，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+6ax+6的图象与x轴交于点A和点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，△ABC是以BC为底的等腰三角形，则a的值为　　 ． 【分析】依据题意，令二次函数y＝ax2+6ax+6＝0，可得含参数a的A、B点的公式，再由△ABC是以BC为底的等腰三角形，可知|AB|＝|AC|，根据两点间距离公式可算出a的值． 【解答】解：由题意，a≠0， 令y＝ax2+6ax+6＝0， ∴Δ＝36a2﹣24a＞0， ∴a＜0或a， 又∵对称轴是直线x3， ∴a时，不合题意， ∴，， 再令x＝0，y＝6，则可以得出点C（0，6）， ∵△ABC是以BC为底的等腰三角形， ∴AB＝AC，则|AB|＝|AC|， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【练习 2】（2026•静安区）如果抛物线y＝a（x+m）2+k（其中a、m、k是常数，且a≠0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），那么抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标是 　（0，0），（4，0）　 ． 【分析】先利用抛物线的变换规律得到抛物线y＝a（x+m）2+k先右平移1个单位得到抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k，然后把点A、B向右平移1个单位得到抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标． 【解答】解：∵抛物线y＝a（x+m）2+k先右平移1个单位得到抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k， 而抛物线y＝a（x+m）2+k与x轴的交点坐标为A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标是（0，0），（4，0）． 故答案为：（0，0），（4，0）． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． 【练习 3】（2026•宁夏模拟）二次函数y＝x2+4x﹣5的图象与坐标轴有　3　 个交点． 【分析】分别求出二次函数图象与x轴和y轴的交点坐标即可判断． 【解答】解：将x＝0代入y＝x2+4x﹣5， 得y＝﹣5， ∴二次函数y＝x2+4x﹣5与y轴的交点坐标为（0，﹣5）． 令x2+4x﹣5＝0， ∴x1＝﹣5，x2＝1， ∴二次函数y＝x2+4x﹣5与x轴的交点坐标为（﹣5，0），（1，0）， ∴二次函数图象与坐标轴交点有3个． 故答案为：3． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【练习 4】（2023秋•阿荣旗期末）如图，二次函数与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则使y1＞y2成立的x的取值范围是 x＜﹣2或x＞8　 ． 【分析】根据抛物线与直线交点坐标，结合图象求解即可． 【解答】解：∵抛物线与直线交点坐标为A（﹣2，4），B（8，2）， ∴x＜﹣2或x＞8时，抛物线在直线上方， ∴使y1＞y2成立的x的取值范围是x＜﹣2或x＞8． 故答案为：x＜﹣2或x＞8． 【点评】本题考查了二次函数与不等式，此类题目利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【练习 5】（2026•东平县二模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则不等式ax2+kx+c＜b的解集是 　﹣1＜x＜3　 ． 【分析】先确定直线y＝kx+b关于y轴对称的直线解析式为y＝﹣kx+b，再确定点A、B关于y轴的对称点的坐标，然后写出直线y＝﹣kx+b在抛物线上方所对应的自变量的范围即可． 【解答】解：∵直线y＝kx+b关于y轴对称的直线解析式为y＝﹣kx+b， ∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣kx+b的交点坐标为（3，m），（﹣1，n）， ∴当﹣1＜x＜3时，ax2+c＜﹣kx+b， ∴不等式ax2+kx+c＜b的解集是﹣1＜x＜3． 故答案为：﹣1＜x＜3． 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集． 💯 课后巩固 复习建议 · 三种解析式按需选择：三点→一般、顶点→顶点、交点→交点 · 抛物线与x轴交点横坐标即对应方程的根 · Δ>0两交点、Δ=0一切点、Δ<0无交点 · 二次不等式解集看图像在x轴上下的位置 · 两个函数大小比较看图像上下 【作业 1】（2025•沈阳模拟）二次函数y＝（x+1）（x﹣m+1）（m是常数），当0≤x≤2时，y＞0，则m的取值范围为（　　） A．m＜0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＞1 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，利用分类讨论的方法可以得到m的取值范围． 【解答】解：∵二次函数y＝（x+1）（x﹣m+1）， ∴当y＝0时，x＝﹣1或x＝m﹣1，该函数图象开口向上， 当﹣1＜m﹣1时，得m＞0， ∵当0≤x≤2时，y＞0， ∴m﹣1＜0， 解得m＜1， ∴0＜m＜1； 当﹣1＞m﹣1时，得m＜0， 则当0≤x≤2时，y＞0； 当m﹣1＝﹣1时，得m＝0， 则当0≤x≤2时，y＞0； 由上可得，m的取值范围为m＜1， 故选：B． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 【作业 2】（2025秋•上海校级月考）老师出示了下面方框内的题后．甲说：过点（3，0）；乙说：过点（4，3）；丙说：a＝1；丁说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的回答中，正确的有（　　） 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于（1，0），试再添加一个条件，由此条件可得抛物线对称轴为直线x＝2，这个条件可以是什么？ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【分析】分析题目信息，要判断每个人的说法是否正确，不妨分别计算在四种说法下抛物线的对称轴，看其是否是直线x＝2． 【解答】解：当添加的条件为甲的说法时， ∵抛物线y＝ax2+bx+3过点（3，0）、（1，0）， ∴根据对称性可知对称轴为，与题目中结论一致； 故甲的说法正确； 当添加的条件为乙的说法时， ∵抛物线过（4，3）、（1，0）， ∴， 解得a＝1、b＝﹣4， ∴y＝x2﹣4x+3， 因此对称轴为，与题目中结论一致； 故乙的说法正确； 当添加的条件为丙的说法时，y＝x2+bx+3， ∵抛物线过点（1，0）， ∴1+b+3＝0， 解得b＝﹣4， ∴y＝x2﹣4x+3，此时对称轴为x＝2，与题目中结论一致； 故丙的说法正确； 当添加的添加为丁的说法时， ∵抛物线被x轴截得的线段长为2，抛物线与x轴的一个交点为（1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0）或（3，0），所以对称轴为y轴或直线x＝2，与题目中的结论不符； 故丁的说法错误． 因此前面三个人的说法正确，只有丁的说法错误． 故选：A． 【点评】本题考查二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，对称轴，与x轴的交点坐标，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 3】（2025秋•金华期末）抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，对称轴为直线，抛物线与x轴的两个交点分别为（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，则（　　） A．c﹣4b≥0 B．c﹣4b＞0 C．c﹣4b＜0 D．c﹣4b≤0 【分析】由抛物线开口向上知a＞0，由对称轴得 ，结合根与系数的关系表示 c﹣4b，进而求解． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵对称轴为直线 ， ∴， ∴， 由题意可得： ，， ∴c＝ax1x2， ∴， ∵a＞0， ∴c﹣4b的符号取决于 ， ∵1＜x2＜2， ∴， 解得， 又﹣1＜x1＜0， ∴； 设， 可将t看作是关于x1的二次函数，其图象开口向下，对称轴为， 当时，， ∴， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质、根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【作业 4】（2026•秦都区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A（1﹣m，0）、B（m+1，0）两点，在﹣2≤x≤3的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若3≤c≤4，则n的取值范围是（　　） A．﹣4≤n≤4 B．n≤﹣4或n≥4 C．﹣5≤n≤5 D．n≤﹣5或n≥5 【分析】利用抛物线的对称性求得对称轴，进一步求得a＝﹣1，即可求得y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，结合在﹣2≤x≤3的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，且3≤c≤4利用二次函数的性质即可求解． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A（1﹣m，0）、B（m+1，0）两点， ∴抛物线的对称轴为直线x1， ∴1， ∴a＝﹣1， ∴y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1， ∴顶点为（1，c+1）， ∵在﹣2≤x≤3的抛物线上有一点P，其纵坐标为n， ∴x＝﹣2时，n＝﹣8+c， 当x＝3时，n＝﹣3+c， ∵3≤c≤4， ∴4≤c+1≤5，﹣5≤﹣8+c≤﹣4， ∴n的取值范围是﹣5≤n≤5． 故选：C． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【作业 5】（2022秋•惠城区校级期中）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为（　　） A．x＜﹣2或x＞1 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．x＜﹣2 【分析】关键是从图象上找出两函数图象交点坐标，再根据两函数图象的上下位置关系，判断y2＞y1时，x的取值范围． 【解答】解：从图象上看出，两个交点坐标分别为（﹣2，0），（1，3）， ∴当有y2＞y1时，有﹣2＜x＜1． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数与不等式组，掌握借助图象求不等式的解是解题关键． 【作业 6】（2026•静安区校级模拟）设抛物线y＝x2+k的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果△ABC是直角三角形，那么k的值为　﹣1　 ． 【分析】根据抛物线的解析式，它的开口向上，由于与x轴分别交于B、C两点，得k＜0，△ABC是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的纵坐标的绝对值与点A横坐标的绝对值相等，以此作为等量关系来列方程解出的值． 【解答】解：∵抛物线解析式为y＝x2+k， ∴该抛物线的顶点（0，k），对称轴为y轴， ∴AB＝AC， ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC是直角顶点为A的等腰直角三角形， ∵抛物线和x轴有两个交点， ∴﹣4k＞0， ∴k＜0， 令y＝0，得， 又∵抛物线y＝x2+k与x轴的两个交点以及顶点围成的△ABC是直角三角形， ∴． 解得k＝﹣1或k＝0（不合题意，舍去）， 即k的值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，以及勾股定理，解题的关键是熟练运用以上知识点． 【作业 7】（2023秋•临沭县校级月考）抛物线y＝ax2﹣1图象经过点（﹣1，3），则函数的解析式为 y＝4x2﹣1　 ． 【分析】把点（﹣1，3）代入二次函数y＝ax2﹣1中，求出a的值即可得出答案． 【解答】解：把点（﹣1，3）代入y＝ax2﹣1中， 得3＝a×（﹣1）2﹣1， 解得a＝4， ∴该函数的解析式为y＝4x2﹣1． 故答案为：y＝4x2﹣1． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解二次函数解析式方法进行求解是解决本题的关键． 【作业 8】（2025秋•浦东新区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，2），其部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝2的根是x1＝0，x2＝1　 ． 【分析】根据对称轴得到（0，2）关于直线x＝0.5的对称点为（1，2），结合函数图象作答即可． 【解答】解：由图可知对称轴为直线x＝0.5， 则（0，2）关于直线x＝0.5的对称点为（1，2）， 可知根是x1＝0，x2＝1， 如图所示的图象，则关于x的方程ax2+bx+c＝2的根是x1＝0，x2＝1， 故答案为：x1＝0，x2＝1． 【点评】本题考查了根据函数图象求一元二次方程的根，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 9】（2022秋•湖里区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x2＜1＜x1，那么实数m的取值范围是 m＜﹣1　 ． 【分析】求出方程的两个实数根，进行求解即可． 【解答】解：∵x2+（m+2）x+2m＝0， ∴（x+m）（x+2）＝0， ∴x＝﹣m或x＝﹣2， ∵x2＜1＜x1， ∴x1＝﹣m， ∴m＜﹣1． 故答案为：m＜﹣1． 【点评】本题考查解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解方程，是解题的关键． 【作业 10】（2025•宿城区一模）已知二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）且0＜x1＜x2＜1，若A（0，m），B（1，n）在此图象上，设t＝mn，则t的取值范围是　0＜t　 ． 【分析】利用图象上点的坐标特征得到m＝（0﹣x1）（0﹣x2）＝x1x2＞0，n＝（1﹣x1）（1﹣x2）＞0，即可得到0＜t． 【解答】解：∵A（0，m），B（1，n）在二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）的图象上， ∴m＝（0﹣x1）（0﹣x2）＝x1x2，n＝（1﹣x1）（1﹣x2）， ∴t＝mn＝x1x2•（1﹣x1）（1﹣x2）＝x1（1﹣x1）•x2（1﹣x2）， 令y＝x（1﹣x）＝﹣x2+x＝﹣（x）， ∵0＜x1＜x2＜1， ∴0＜x1x2＜1，0＜1﹣x1＜1，0＜1﹣x2＜1， ∴x1（1﹣x1）的最大值为，x2（1﹣x2）最大值为， ∴0＜t＝x1x2•（1﹣x1）（1﹣x2）， 故答案为：0＜t． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，图象上点的坐标满足解析式是解题的关键． 【作业 11】（2026•卫滨区模拟）在二次函数y＝ax2+bx﹣3中，x与y的几组对应值如下所示． x … ﹣1 0 2 … y … 0 ﹣3 ﹣3 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象． （3）当二次函数y＝ax2+bx﹣3的自变量x满足m≤x≤m+3时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3，请直接写出m的值． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先由y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则二次函数的顶点坐标为（1，﹣4），再通过画函数图象的方法即可画出函数图象； （3）由二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1，然后分①当m≥1时；②当m+3≤1，即m≤﹣2时；③当，即时；④当，即时，四种情况分析求解即可． 【解答】解：（1）由条件可得： ， 解得：， ∴二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4， ∴顶点坐标为（1，﹣4）， 列表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 … 描点，连线， ∴二次函数的图象如图所示： （3）由二次函数y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则对称轴为直线x＝1， ①当m≥1时，x＝m时，q＝m2﹣2m﹣3；x＝m+3时，p＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3＝m2+4m， ∴p﹣q＝m2+4m﹣（m2﹣2m﹣3）＝6m+3＝3， 解得m＝0（舍去）； ②当m+3≤1，即m≤﹣2时，x＝m时， p＝m2﹣2m﹣3；当x＝m+3时，q＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3＝m2+4m， ∴p﹣q＝m2﹣2m﹣3﹣（m2+4m）＝﹣6m﹣3＝3， 解得m＝﹣1（舍去）； ③当，即时，x＝1时，q＝﹣4，当x＝m+3时，p＝（m+3）2﹣2（m+3）﹣3＝m2+4m， ∴p﹣q＝m2+4m﹣（﹣4）＝（m+2）2＝3， 解得或（舍去）； ④当，即时，x＝1时，q＝﹣4；当x＝m时，p＝m2﹣2m﹣3， 则p﹣q＝（m﹣1）2＝3， 解得或（舍去）； 综上所述：m的值或． 【点评】本题考查了二次函数的性质与图象，熟练掌握该知识点是关键． 【作业 12】（2023秋•河东区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标． 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式； （2）先用待定系数法求出直线AB的解析式，再设P（m，m2﹣3m﹣4），则PD＝﹣m2+3m+4，求出点C坐标，再求出PC+PD，由二次函数的性质求最值，并得出点P坐标． 【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝x2+bx+c得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣3x﹣4； （2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得： ， 解得， ∴直线AB解析式为y＝x﹣4， 设P（m，m2﹣3m﹣4），则PD＝﹣m2+3m+4， 在y＝x﹣4中，令y＝m2﹣3m﹣4得x＝m2﹣3m， ∴C（m2﹣3m，m2﹣3m﹣4）， ∴PC＝m﹣（m2﹣3m）＝﹣m2+4m， ∴PC+PD＝﹣m2+4m﹣m2+3m+4＝﹣2m2+7m+4＝﹣2（m）2， ∵﹣2＜0， ∴当m时，PC+PD有最大值，最大值为， 此时点P坐标为（，）． ∴PC+PD的最大值为，此时点P的坐标是（，）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，二次函数的最值等问题，关键是利用二次函数的性质求最值． 【作业 13】（2025秋•徐汇区校级月考）二次函数y＝a（x﹣2）2+c的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是（6，0）． （1）填空： ①抛物线的对称轴为直线 x＝2　 ； ②图象与x轴的另一个交点坐标为 　（﹣2，0）　 ． （2）如果该函数图象经过点（0，﹣3），求它的顶点坐标． 【分析】（1）①根据所给解析式可直接得出答案． ②根据抛物线的对称性可得答案． （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可得答案． 【解答】解：（1）①∵y＝a（x﹣2）2+c， ∴抛物线的对称轴为直线x＝2． 故答案为：x＝2． ②∵抛物线的对称轴为直线x＝2，它与x轴的一个交点坐标是（6，0）， ∴图象与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． （2）将（6，0），（0，﹣3）代入y＝a（x﹣2）2+c， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y（x﹣2）2﹣4， ∴它的顶点坐标为（2，﹣4）． 【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【作业 14】（2026•驻马店校级四模）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，3）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点（x1＜x2）且x2﹣x1＝4，求该抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+3（t为任意实数）时，二次函数y＝ax2+bx+3有最大值为3，直接写出t的值． 【分析】（1）根据二次函数性质进行解答即可； （2）利用抛物线对称轴结合一元二次方程根与系数的关系可得到a的值，从而求得b的值，进而推导出二次函数解析式； （3）理解二次函数在特定区间上取得最大值的几何意义，分情况讨论：当t≤x≤t+3时，y有最大值为3，可得t≤1≤t+3不成立，则t＞1或者t+3＜1，再进一步求解即可． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，3）． ∴把点（2，3）代入y＝ax2+bx+3， 得4a+2b+3＝3， 整理得：b＝﹣2a， ∴对称轴为直线． （2）由（1）可得，b＝﹣2a，而抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）， 当y＝0时，ax2+bx+3＝0， ∴，， ∴， ∴a＝﹣1， ∴b＝2， ∴解析式为y＝﹣x2+2x+3． （3）由（2）可得：二次函数解析式为y＝﹣x2+2x+3， ∴当x＝1时，y有最大值为4， ∵当t≤x≤t+3时，y有最大值为3， ∴t≤1≤t+3不成立， ∴t＞1或者t+3＜1： 当t+3＜1，即t＜﹣2时，y随x的增大而增大， 当x＝t+3时，y有最大值为3， 把x＝t+3，y＝3代入y＝﹣x2+2x+3得：﹣（t+3）2+2（t+3）+3＝3， 解得t＝﹣3或﹣1， ∵t＜﹣2， ∴t＝﹣3， 当t＞1时，y随x的增大而减小， 当x＝t时，y有最大值为3， 把x＝t，y＝3代入y＝﹣x2+2x+3得：﹣t2+2t+3＝3， 解得t＝0或2， ∵t＞1， ∴t＝2， 综上所述，t＝2或﹣3． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 15】（2026春•柘城县校级月考）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式x2﹣x﹣6＞0，我们构造函数y＝x2﹣x﹣6，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为（﹣2，0）和（3，0），结合图象易得不等式x2﹣x﹣6＞0的解集为x＞3或x＜﹣2，同时易知函数与x轴交点的横坐标﹣2和3为方程x2﹣x﹣6＝0的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为　﹣1≤x≤3　 ； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 【分析】（1）根据【特例感知】结合图象解答即可； （2）根据一元二次方程恒有两个不等的实数根，得到判别式并化简，即b2﹣4a（b﹣1）＞0，然后令y＝b2﹣4a（b﹣1）＝b2﹣4ab+4a，看成y关于b的二次函数，结合图象求解即可． 【解答】解：（1）解不等式﹣x2+2x+3≥0，我们构造函数y＝﹣x2+2x+3， 作出它的图象如图所示，可知它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0）和（3，0）， 结合图象可知不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为﹣1≤x≤3； 故答案为：﹣1≤x≤3； （2）∵对于任意实数b，关于x的方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根， ∴方程ax2+bx+b﹣1＝0恒有两个不等实数根对任意的b恒成立． ∴b2﹣4a（b﹣1）＞0对任意的实数b恒成立． 令y＝b2﹣4a（b﹣1）＝b2﹣4ab+4a，则有（﹣4a）2﹣4×4a＜0，即a2﹣a＜0． 令y＝a2﹣a作出其函数图象如图所示， 对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，当a2﹣a＜0时，实数a的取值范围为0＜a＜1． 【点评】本题考查二次函数与不等式（组），抛物线与x轴的交点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 二次函数表达式及一元二次方程关系 优等生讲义 (知识精讲+典例+针对练习) 2026-2027学年湘教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握三种二次函数解析式：一般式、顶点式、交点式 · 会用待定系数法求二次函数解析式 · 理解抛物线与x轴交点和一元二次方程根的关系 · 会用图像法求一元二次方程的近似根 · 能根据二次函数图像解一元二次不等式 📚 知识梳理 ☆ 1.三种解析式 一般式：y=ax2+bx+c（已知任意三点用） 顶点式：y=a(x-h)2+k（已知顶点用） 交点式：y=a(x-x1)(x-x2)（已知与x轴交点用） 三种形式可互相转化 概念辨析例题：抛物线顶点(1,-2)且过(3,10)，求解析式 解析：设y=a(x-1)2-2，代入(3,10)得4a=12，a=3 ☆ 2.待定系数法 根据已知点选择合适解析式 代入已知点列方程（组） 解方程组求系数 最后写出解析式并验证 概念辨析例题：抛物线过(0,2)、(1,0)、(2,0)，求解析式 解析：由(1,0)(2,0)设y=a(x-1)(x-2)，代入(0,2)得2a=2，a=1 ☆ 3.抛物线与x轴交点 抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标即方程ax2+bx+c=0的根 Δ>0：两个交点；Δ=0：一个交点（顶点在x轴）；Δ<0：无交点 两交点距离=|x1-x2|= 抛物线与y轴交点恒为(0,c) 概念辨析例题：二次函数y=x2+4x-5与坐标轴有几个交点？ 解析：与y轴交(0,-5)；与x轴解方程x2+4x-5=0得x=1或-5，故共3个交点 ☆ 4.三个二次关系与不等式 ax2+bx+c>0的解集：图像在x轴上方对应的x范围 ax2+bx+c<0：图像在x轴下方对应的x范围 结合开口方向与x轴交点写解集 二次函数与一次函数比较：看图像上下位置 概念辨析例题：二次函数与一次函数交于A(-2,4)、B(8,2)，求y1>y2的x范围 解析：看图像：抛物线上方部分对应x<-2或x>8 📋 知识总结表 类型 解析式 适用条件 一般式 y=ax2+bx+c 已知任意三点 顶点式 y=a(x-h)2+k 已知顶点(h,k) 交点式 y=a(x-x1)(x-x2) 已知与x轴交点 与x轴交点 方程ax2+bx+c=0的根 Δ决定个数 两交点距离 |x1-x2|= Δ>0 y1>y2 图像上下位置 看交点之间/之外 ⚠️ 核心考点 【考点1】待定系数法求二次函数解析式（第1-12题） · 已知三点选一般式 · 已知顶点选顶点式 · 已知与x轴交点选交点式 · 代入已知点列方程组求解 1．（2026秋•南岗区校级月考）顶点坐标为（﹣2，3），开口方向和大小与抛物线y＝﹣2x2相同的解析式为（　　） A．y＝﹣2（x﹣2）2+3 B．y＝﹣2（x+2）2﹣3 C．y＝﹣2（x+2）2+3 D．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 2．若抛物线的顶点为（2，﹣1），且过点（0，3），则其表达式是（　　） A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B． C．y＝（x﹣2）2﹣1 D． 3．（2025•龙华区三模）如图，正方形ABCD的顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣1），C（3，﹣1）．抛物线经过点D，顶点坐标为（1，0），将此抛物线在正方形ABCD内（含边界）的部分记为图象G．若直线y＝kx﹣2k+2（k≠0）与图象G有唯一交点，则k的取值范围是（　　） A．k＞2或 B．或0＜k＜2 C．k＞1或k＜﹣3 D．k＞1或k＜﹣3或k＝﹣2 4．（2026•寿县模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）过A（0，﹣2），B（4，﹣2），C（6，0），D（8，﹣2）四个点中的其中三个点，则符合要求的所有函数表达式中a+b+c的最小值是（　　） A． B． C． D． 5．（2025秋•江岸区校级同步）已知二次函数图象过（1，0），（3，0），其图象的开口和形状均与y＝x2的图象一致，那么该二次函数的表达式为（　　） A．y＝x2﹣4x+3 B．y＝2x2﹣4x+3 C．y＝x2+4x+3 D．y＝2x2+4x+3 6．（2025秋•赛罕区校级期中）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（﹣2，5），对称轴为直线，则该二次函数的表达式为_____________ ． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（1，2），△AOB的面积是2，则过点A，O，B的抛物线所对应的函数表达式为 ____________________ ． 8．（2025秋•天津校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表： x … ﹣2 0 2 4 6 … y＝ax2+bx+c … 0 6 m n 0 … 该二次函数解析式为____________________ ． 9．（2026•临平区二模）已知抛物线C1：yx2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，﹣4），抛物线C2：y＝ax2﹣2x（a为常数，且a≠0）． （1）求抛物线C1的解析式，并求出它的对称轴； （2）点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）分别在C1，C2上． ①若a＝1，x1＝x2＝t（0＜t＜2），试判断y1与y2的大小，并说明理由； ②若点P，Q的横坐标始终满足x2＝x1+d，其中d为非零常数，且y2﹣y1的值是一个与x1无关的定值，求这个定值． 10．（2025秋•许昌校级月考）已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c经过点A（0，1）、B（1，﹣5）． （1）求二次函数的解析式； （2）用配方法把该二次函数的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 11．（2025秋•西湖区校级期中）已知二次函数y＝x2+bx+5的对称轴为直线x＝﹣1． （1）求二次函数的表达式； （2）当﹣2＜x＜5时，求函数y的取值范围． 12．（2026•佳木斯校级三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（4，0），C（﹣1，0）两点，与y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1﹣S2＝5时，求点P的坐标； 【考点2】抛物线与x轴的交点（第13-22题） · 令y=0解方程求交点 · 用Δ判断交点个数 · 两交点距离公式 · 注意与y轴交点(0,c) 13．（2025春•丰城市校级月考）抛物线y＝x2+2x与x轴的左侧交点坐标是（　　） A．（0，﹣2） B．（2，0） C．（0，0） D．（﹣2，0） 14．（2026•柳江区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，A（2.18，﹣0.51），B（2.68，0.54）为图象上的两点，则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解可能是（　　） A．2.75 B．2.68 C．2.45 D．2.18 15．（2026•仓山区校级模拟）一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根m，n，抛物线y＝ax2+bx+c上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），下列条件中，一定能判断y1＝y2的是（　　） A．x1＝m+2，x2＝n+2 B．x1＝m﹣2，x2＝n﹣2 C．x1＝m+2，x2＝n﹣2 D．x1＝2m，x2＝2n 16．（2026秋•长沙月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的正半轴交于点A（3，0），与y轴的负半轴交于点B，对称轴为直线x＝1．则方程ax2+bx+c＝0的解是_______________ ． 17．（2025秋•武威期中）如图，二次函数y＝x2+x﹣m的图象与x轴的一个交点的横坐标为﹣2，则关于x的一元二次方程x2+x﹣m＝0的解是_______________ ． 18．（2026•河南模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2x+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）两点，交y轴于C． （1）求这个二次函数的解析式． （2）取这个二次函数图象上一点P，将点P沿x轴方向平移至点Q，要求点P的横坐标为n，点Q的横坐标为﹣2n． ①当点Q也在二次函数的图象上，求n的值； ②当线段PQ与二次函数的图象有两个公共点时，请直接写出n的取值范围． 19．（2026•乌鲁木齐模拟）已知二次函数（m为常数）． （1）若点（2，﹣1）在该函数图象上，求m的值； （2）证明：该二次函数的图象与x轴有两个不同的公共点； （3）若该函数图象上有不重合的两点A（m+1，y1），B（m+p，y2），且y1＝y2，直接写出p的值． 20．（2025秋•雷州市月考）已知抛物线y＝ax2+2x+b（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B（0，﹣3）． （1）求抛物线解析式和顶点坐标； （2）若点C是直线AB下方抛物线上一点，过点C作CD⊥AB于点D，当线段CD取得最大值时，求点C的坐标和△ABC的面积． 21．（2025春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c在x＝﹣1时，y有最小值﹣4，它的图象与x轴交点的横坐标分别为x1和x2，且10，求该二次函数的解析式． 22．（2026秋•五华区校级月考）如图，二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（﹣4，0）． （1）求二次函数的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标； （3）在抛物线上存在点P，满足S△AOP＝8，请直接写出点P的坐标． 【考点3】图像法求一元二次方程近似根（第23-29题） · 画函数图像 · 看图像与x轴交点横坐标 · 近似根精确到要求的小数位 · 也可看与水平线y=k交点 23．（2026•建华区三模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，该函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①bc＜0；②2a+b＝0；③方程ax2+bx+c＝0一定有一个根在2和3之间；④若m为任意实数，则a（m﹣1）（m+1）≤b（1﹣m）；⑤．其中正确结论的个数为（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 24．（2025秋•潮安区期末）如图，点A（2.26，﹣0.32），B（2.56，0.41）在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，则方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（　　） A．2.67 B．2.56 C．2.39 D．2.26 25．（2023秋•福田区校级同步）已知二次函数y＝ax2+bx+c中x和y的部分对应值如表： x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 y 5.6 3.1 1.5 ﹣0.9 ﹣1.8 若其图象的对称轴为直线x＝﹣2，则ax2+bx+c＝0的较小的根的取值范围是（　　） A．0.12＜x＜0.13 B．﹣0.13＜x＜﹣0.12 C．﹣4.13＜x＜﹣4.12 D．﹣3.89x＜﹣3.88 26．根据下列表格中的二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的自变量x与函数y的对应值，判断ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为（　　） x 1.43 1.44 1.45 1.46 y ﹣0.0129 ﹣0.0044 0.0045 0.0138 A．1.40＜x＜1.43 B．1.43＜x＜1.44 C．1.44＜x＜1.45 D．1.45＜x＜1.46 27．（2026•银川三模）数学探究课上，“善思”学习小组利用函数图象求方程x2+2x﹣2＝0的实数根时，先画出函数y＝x2+2x﹣2的图象如图所示，该图象与x轴的公共点A的横坐标大约是0.7，由此可以估计方程x2+2x﹣2＝0的负的实数根可能是_________ （结果保留小数点后一位）． 28．（2025秋•岑溪市期末）如图是函数y＝x2﹣4x+3的图象，则方程x2﹣4x+3＝0的近似解是______________ ． 29．（2025秋•东明县月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是______________ ． x … 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 … y … ﹣1 ﹣0.49 0.04 0.59 1.16 … 【考点4】二次函数与不等式（第30-37题） · 开口向上：>0取两边、<0取中间 · 开口向下：<0取两边、>0取中间 · 结合与x轴交点写解集 · 与一次函数比较看图像上下 30．（2024秋•河东区期中）已知一次函数y1＝kx+m（k≠0）和二次函数部分自变量和对应的函数值如表：当y2＞y1时，自变量x的取值范围是（　　） x … ﹣1 0 2 4 5 … y1 … 0 1 3 5 6 … y2 … 0 ﹣1 0 5 9 … A．﹣1＜x＜2 B．4＜x＜5 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞5 31．（2026•和县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是直线x＝1，抛物线与x轴交于点（m，0），（n，0），其中0＜n＜1．下列结论中错误的是（　　） A．1＜m＜2 B．若关于x的方程a（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1有实数根，则b2﹣4ac≥4a C．b+2c＞0 D．不等式的解集是0＜x＜m 32．（2026春•浦东新区校级期中）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的两个交点分别是A（﹣1，0），B（3，0），此时一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0有两个不相等的实数根x1＝﹣1，x2＝3；由此观察图象可知：不等式x2﹣2x﹣3＞0的解集为x＜﹣1或x＞3；类似地：不等式﹣2x2﹣4x+7≥1的解集是___________ ． 33．二次函数y＝ax2+bx+c和一次函数y＝kx+m的图象如图所示，两交点分别为，N（2，﹣2），则关于x的不等式ax2+bx+c﹣kx﹣m＜0的解集是____________________ ． 34．（2023秋•青山区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），且0＜x1＜1，下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式的解集为0＜x＜2．其中一定正确的是 ________ （填写序号）． 35．（2023秋•江岸区校级同步）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题： （1）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围x _____ 1（填“≥”或“≤”）； （2）写出二次函数y＝ax2+bx+c的顶点 __________ ； （3）写出不等式ax2+bx+c＞0的解集 ___________ ； （4）当0＜x＜5时，y的取值范围是 ____________ ． 36．（2026春•海淀区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0），B（2，8），C（4，0），直线y＝mx+n（m≠0）经过点B，C，则： （1）该抛物线的对称轴为直线________ ； （2）关于x的方程ax2+bx+c＝8的解为____________ ； （3）关于x的不等式ax2+bx+c＞mx+n的解为__________ ； （4）若关于x的方程ax2+bx+c+k＝0在﹣1≤x≤5的范围内有两个不相等实数根，则k的取值范围是____________ ． 37．（2026•石狮市模拟）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1．若点A（a，y1），B（b，y2）都是该二次函数图象上的点． （1）求该二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）； （2）若m＝﹣3，a+b＝﹣4，求证：y1+y2≥﹣30； （3）若a＝p+1，b＝2m﹣p，且点A在对称轴的左侧，求证：y1＜y2﹣1． 📝 随堂检测 【练习 1】（2026春•虹口区校级期末）已知二次函数y＝ax2+6ax+6的图象与x轴交于点A和点B（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，△ABC是以BC为底的等腰三角形，则a的值为___________________ ． 【练习 2】（2026•静安区）如果抛物线y＝a（x+m）2+k（其中a、m、k是常数，且a≠0）经过点A（﹣1，0）、B（3，0），那么抛物线y＝a（x+m﹣1）2+k与x轴的交点坐标是 ________________ ． 【练习 3】（2026•宁夏模拟）二次函数y＝x2+4x﹣5的图象与坐标轴有_____ 个交点． 【练习 4】（2023秋•阿荣旗期末）如图，二次函数与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象相交于点A（﹣2，4），B（8，2），则使y1＞y2成立的x的取值范围是 _____________ ． 【练习 5】（2026•东平县二模）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+b交于A（﹣3，m），B（1，n）两点，则不等式ax2+kx+c＜b的解集是 ___________ ． 💯 课后巩固 【作业 1】（2025•沈阳模拟）二次函数y＝（x+1）（x﹣m+1）（m是常数），当0≤x≤2时，y＞0，则m的取值范围为（　　） A．m＜0 B．m＜1 C．0＜m＜1 D．m＞1 【作业 2】（2025秋•上海校级月考）老师出示了下面方框内的题后．甲说：过点（3，0）；乙说：过点（4，3）；丙说：a＝1；丁说：抛物线被x轴截得的线段长为2，你认为四个人的回答中，正确的有（　　） 已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于（1，0），试再添加一个条件，由此条件可得抛物线对称轴为直线x＝2，这个条件可以是什么？ A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【作业 3】（2025秋•金华期末）抛物线y＝ax2+bx+c开口向上，对称轴为直线，抛物线与x轴的两个交点分别为（x1，0），（x2，0），且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，则（　　） A．c﹣4b≥0 B．c﹣4b＞0 C．c﹣4b＜0 D．c﹣4b≤0 【作业 4】（2026•秦都区校级模拟）已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于A（1﹣m，0）、B（m+1，0）两点，在﹣2≤x≤3的抛物线上有一点P，其纵坐标为n，若3≤c≤4，则n的取值范围是（　　） A．﹣4≤n≤4 B．n≤﹣4或n≥4 C．﹣5≤n≤5 D．n≤﹣5或n≥5 【作业 5】（2022秋•惠城区校级期中）如图是二次函数y1＝ax2+bx+c和一次函数y2＝mx+n的图象，观察图象可知，当y2＞y1时，x的取值范围为（　　） A．x＜﹣2或x＞1 B．x＞1 C．﹣2＜x＜1 D．x＜﹣2 【作业 6】（2026•静安区校级模拟）设抛物线y＝x2+k的顶点为A，与x轴分别交于B、C两点，如果△ABC是直角三角形，那么k的值为_______ ． 【作业 7】（2023秋•临沭县校级月考）抛物线y＝ax2﹣1图象经过点（﹣1，3），则函数的解析式为 ____________ ． 【作业 8】（2025秋•浦东新区校级期末）二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点（0，2），其部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c＝2的根是______________ ． 【作业 9】（2022秋•湖里区校级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（m+2）x+2m＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且有x2＜1＜x1，那么实数m的取值范围是 _________ ． 【作业 10】（2025•宿城区一模）已知二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）的图象与x轴交于（x1，0），（x2，0）且0＜x1＜x2＜1，若A（0，m），B（1，n）在此图象上，设t＝mn，则t的取值范围是____________________ ． 【作业 11】（2026•卫滨区模拟）在二次函数y＝ax2+bx﹣3中，x与y的几组对应值如下所示． x … ﹣1 0 2 … y … 0 ﹣3 ﹣3 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系（如图）中画出二次函数的图象． （3）当二次函数y＝ax2+bx﹣3的自变量x满足m≤x≤m+3时，此函数的最大值为p，最小值为q，且p﹣q＝3，请直接写出m的值． 【作业 12】（2023秋•河东区期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与直线AB交于点A（0，﹣4），B（4，0）． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标． 【作业 13】（2025秋•徐汇区校级月考）二次函数y＝a（x﹣2）2+c的部分图象如图所示，已知它与x轴的一个交点坐标是（6，0）． （1）填空： ①抛物线的对称轴为直线 ________ ； ②图象与x轴的另一个交点坐标为 ___________ ． （2）如果该函数图象经过点（0，﹣3），求它的顶点坐标． 【作业 14】（2026•驻马店校级四模）已知抛物线y＝ax2+bx+3经过点（2，3）． （1）求该抛物线的对称轴； （2）若抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（x1，0）和B（x2，0）两点（x1＜x2）且x2﹣x1＝4，求该抛物线的解析式； （3）在（2）的条件下，当t≤x≤t+3（t为任意实数）时，二次函数y＝ax2+bx+3有最大值为3，直接写出t的值． 【作业 15】（2026春•柘城县校级月考）数形结合是一种重要的数学思想，在中学有着极为广泛的应用，很多复杂的问题结合图形能够快速直观得到结论．在中学阶段，一元二次函数、一元二次方程和一元二次不等式简称为“三个二次”，它们之间有着密切的联系，其中一元二次函数居于核心地位，利用一元二次函数的图象能够很方便地解决很多一元二次方程和一元二次不等式问题． 【特例感知】 如解不等式x2﹣x﹣6＞0，我们构造函数y＝x2﹣x﹣6，作出它的图象，易得它与x轴的两个交点分别为（﹣2，0）和（3，0），结合图象易得不等式x2﹣x﹣6＞0的解集为x＞3或x＜﹣2，同时易知函数与x轴交点的横坐标﹣2和3为方程x2﹣x﹣6＝0的两个根． 【理解运用】 结合上述知识请解决下面的问题： （1）不等式﹣x2+2x+3≥0的解集为___________ ； （2）对任意实数b，关于x的一元二次方程x＝ax2+（b+1）x+（b﹣1）恒有两个不等的实数根，求实数a的取值范围． 复习建议 · 三种解析式按需选择：三点→一般、顶点→顶点、交点→交点 · 抛物线与x轴交点横坐标即对应方程的根 · Δ>0两交点、Δ=0一切点、Δ<0无交点 · 二次不等式解集看图像在x轴上下的位置 · 两个函数大小比较看图像上下 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $