第3章 一元二次方程 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

第3章综合评价 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出 鲜 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 2 3 6 7 9 10 答案 1.下列方程是一元二次方程的是 A.x2=x(x-1) B.x2-x=0 C.x2-y2=0 D.x2+1=0 安2.把一元二次方程x(2x-1)=4x化成一般形式后，一次项系数 是 A.4 B.-5 C.3 D.-2 3.用配方法解下列方程，其中应在两边同时加上1的是( A7-2x=5 B.2x2-4x=5 C.x2+4x=5 D.x2+2x=5 4.方程x2+√5x一2=0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 5.下列一元二次方程最适合用因式分解法的是 A.(x-1)(x-2)=3 B.3(x-3)2=x2-9 C.x2+2x-1=0 D.x2+4x=2 6.若关于x的方程x2十5x十m=0的一个根为一2，则另一个 根为 A.-6 B.-3 C.3 D.6 7.我国古代数学著作《九章算术》中有一题：“今有二人同所立.甲 行率七，乙行率三.乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会.问甲、 乙行各几何？”题目大意：如图，甲、乙两人同时从同一地点出 螂 发，甲的速度为7，乙的速度为3.乙一直向东走，甲先向南走10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇.那么相遇时， 甲、乙各走了多远？若设甲、乙两人相遇时所用时间为x,根据 题意可列方程为 A.(3x)2+102=(7x)2 B.(7x)2+102=(3x-10)2 C.(3x)2十(7x)2=102 D.(3x)2+102=(7x-10)2 19 8.已知关于x的一元二次方程x2+10x+2a+6=0,其中一根是 另一根的4倍，则a的值为 A.8或5 B.号或-5 5 C. D.5 9.若关于x的一元二次方程ax2十bx+5=0(a≠0)有一个根为 2036,则方程a(x十1)2十b(x+1)=-5必有一个根为() A.2036 B.2035 C.2034 D.2033 10.将关于x的一元二次方程x2-px十q=0变形为x2=px一q, 就可以将x表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的 目的，又如x3=x·x2=x(px一q)=…,我们将这种方法称为 “降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.已知 x2-x一1=0，且x>0,则x4一2x3+3x的值为 ) A.1-√5 B.3-5 C.1+5 D.3+√5 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. 11.方程(x一3)(x一9)=0的根为 12.写出一个一元二次方程，使它有一个根为2，则该方程可以为 13.若关于x的一元二次方程(x一2)2=n十1有实数根，则n的 取值范围是 14.若关于x的一元二次方程x2十ax十a=0有两个相等的实数 根，则a2+1一4a的值是 15.若关于x的一元二次方程x2十(1一a)x十a2=0的两个实数 根互为倒数，则a的值为 16.如图，在等腰三角形ABC中，AC=BC,CD为 AB边上的高，AB=CD=10cm,点P从点A 出发，以2cm/s的速度向点B运动，同时，点 Q从点D出发，以1cm/s的速度向点C运动.AP→D 当其中一个点到达终点时，两个点同时停止运动，设运动时间 为ts. (1)当0≤≤号时，PD的长为 cm;(用含t的式子 表示) (2)当号<≤5时，若△DPQ的面积恰好等于1cm,则1的 值为 20 三、解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤， 17.(6分)解方程：4x2-12x=7. 18.(8分)若关于x的方程(a-3)x-5a+8+(a十2)x十5=0是一 元二次方程，求a的值. 19.(8分)在解方程(2x一1)2=5(2x一1)时，小睿的解题过程如下： 解：两边同时约去2x一1，得2x一1=5.（第一步） 移项、合并同类项，得2x=6.（第二步) 两边同时除以2，得x=3.(第三步) (1)小睿的解题过程是从第 步开始出现错误的； (2)请你写出正确的解答过程. —21 20.(9分)某中学开展以“为校园增添一点绿色”为主题的植树活 动，组织七年级、八年级、九年级学生分别在12日、13日、14日 进行植树活动.七年级学生在12日种植了25棵树苗，九年级 学生在14日种植了49棵树苗.已知每天植树棵数的增长率 相同 (1)求平均每天植树棵数的增长率； (2)求此次活动三个年级种植树苗的总棵数， 21.(9分)已知关于x的一元二次方程x2一(k十3)x十2k十2=0. (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根小于2，求的取值范围. 22.(10分)已知□ABCD的两边AB,AD的长是关于x的方程 m+罗}-0的两个实数根 (1)当m为何值时，四边形ABCD是菱形？ (2)若这个方程的两个实数根分别是x1,x2,且(x1一3)(x2 3)=5m,求m的值. —22 23.（10分)综合与实践：探索果园土地规划和销售利润问题， 素材1：某农户承包了一块长方形果园ABCD,果园的平面图 如图所示，其中AB=100m,BC=150m,准备在果园的四周 铺设道路，上下两条横向道路（沿BC方向）的宽度都为2xm, 左右两条纵向道路（沿AB方向）的宽度都为xm,道路围合 的中间矩形区域为种植园区（阴影区域）.出于货车通行等因 素的考虑，道路宽度x不超过7m,且不小于3m, 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培 育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为40元，每月 可销售出800m2种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖 800m2的种植面积).受天气原因，农户决定降价促销，若每 平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售502种植 面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为1000元. 问题解决： (1)种植园区的长为 m,宽为 m.（用含x的 代数式表示) (2)若种植园区的面积为11200m,道路设置的宽度x是否 符合要求？请说明理由. (3)若农户预期一个月的总利润为35000元，为让客户得到 实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利 润=销售利润一承包费) 100m 种植园区 -150m —23 24.（12分)阅读材料： 法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程x2+ bx+c=0根的特征时发现，此时根与系数的关系可表述为 x1十x2=一b,x1x2=c,借此结论，小明对“倍根方程”和“方根 方程”定义如下： 倍根方程：如果关于x的一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)有两 个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的3倍，则称这 样的方程为“倍根方程”. 方根方程：如果关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两 个实数根（都不为0），且其中一个根的平方等于另外一个根，则称这 样的方程为“方根方程” 根据上述材料，解答下列问题： (1)方程x2-8x+12=0是“ ”;(填“倍根方程”或 “方根方程”) (2)若关于x的一元二次方程x2一6x十c=0是“倍根方程”， 求c的值； (3)若关于x的一元二次方程x2十bx十c=0既是“倍根方程” 又是“方根方程”，求2b十c的值. -2489器号.h=号0G=48cm:72+48=120<126,小红的连衣裙会碰到地面。 23.解：(1)过点A作AF⊥BC,交CB的延长线于点F,则AF∥MN∥MN'.∴∠BAF =∠ABM=30°，∠CAF=∠ACM=60°.：AF=6m,.BF=AF·tan∠BAF= 2V3m,CF=AF·tan∠CAF=6√3m..BC=CF-BF=4√3m.(2)设水池内的水深 为xm,则BN=CN'=xm.由题意可知∠DBN=22°，∠ECN'=40.5°，NN=BC= 4V5m,.DN-BN·tan∠DBN≈0.4xm,N'E=CN'·tan∠ECN'≈0.85xm. DN+DE=NN+NE,.0.4x+8.72=4√3+0.85x,解得x=4.∴.水池内的水深 约为4m. 24.解：(1)E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”.理由如下：：∠BED=∠A十 ∠ADE=∠BEC+∠CED,∠A=∠CED,∴∠ADE=∠BEC.:∠A=∠B,∴·△ADE ∽△BEC.∴.E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”.(2)如图，点E,E即为所求. (画出一个即可)(3)E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”，∴△BCE∽ △ECM.∴.∠BCE=∠ECM.由折叠的性质，得∠ECM=∠DCM,CE=CD,'.∠BCE =∠ECM=∠DCM.四边形ABCD是矩形，.AB=CD,∠B=∠BCD=90°.∴CE= AB,∠BCE=了∠BCD=0S-器-ms∠BcE-9. E'B 第3章综合评价 1.B2.B3.D4.A5.B6.B7.D8.D9.B 10.C【解析】x2-x-1=0,∴x2=x+1.x3=x·x2=x(x+1)=x2+x=x+1+ x=2x+1,x=x·x3=x(2x+1)=2x2+x=2(x+1)+x=3x+2..x4-2x3+3x= 3x+22(2z+1)+3x=2x解方程r-工1=0，得五-1，w=,5>0, 2 x=1+5.x-2x+3x=2×1+5=1+5.故选C. 2 2 11.x1=3,x2=912.x2-2x=0(答案不唯一)13.n≥-114.115.-1 16.(1)(5-2)(2)5+g 4 17.解：将=次项系数化为1，得2-3z=子配方，得2-3x+()广'-冬+（是）， 因此(：一）”=4由此得x一号-2或x一是-=一2解得名=名函=-合 18.解：，关于x的方程(a-3)x2-5a+8+(a十2)x十5=0是一元二次方程，a2-5a十 8=2,且a-3≠0，解得a1=2,a2=3(舍去).∴.a=2. 19.解：(1)一(2)移项，得(2x-1)2一5(2x一1)=0.将方程左边因式分解，得(2x 1)(2x-1-5)=0.由此得2x-1=0或2x-6=0,解得x=2z2=3. 20.解：(1)设平均每天植树棵数的增长率为x.根据题意，得25(1十x)2=49,解得x1= 0.4=40%,x2=一2.4（不合题意，舍去）.答：平均每天植树棵数的增长率为40%. (2)25十25×(1十40%)+49=109（棵.答：此次活动三个年级种植树苗的总棵数为109. 21.(1)证明：，a=1,b=-(k+3),c=2k+2,.△=b-4ac=[-(k+3)]-4×1× (2k十2)=(k一1)2≥0.此方程总有两个实数根.(2)解：由(1)，得△=(-1)2，∴.x= +3-卫，即=k+1,x2=2.“方程有一个根小于2，∴+1<2，解得<1. 2×1 一 40 2.解：(1)当AB=AD时，四边形ABCD是菱形，即方程2-m十受-冬-0有两个 相等的实数根.∴△=m-4(受-）=0，解得m=m:=1.:当m=1时，四边形 ABCD是菱形.(2)由根与系数的关系，得十=，西=受-子：(a一3)( 3)=-3(a+z)+9=5m,∴受-子-3m+9=5m,解得m=日 7 23.解：(1)(150-2x)(100-4x)(2)符合要求.理由如下，根据题意，得(150一 2x)(100-4x)=11200,解得x1=95(不合题意，舍去)，x2=5.道路宽度x不超过 7m,且不小于3m,∴.x=5符合要求，即道路设置的宽度x符合要求.(3)设每平方米 草莓的月利润应该下调y元.根据题意，得(40-y)(800+50y)-1000=35000,解得 y1=20,y2=4.让客户得到实惠，.每平方米草莓的月利润应该下调20元. 24.解：(1)倍根方程(2)由方程x2一6x+c=0是“倍根方程”，设x1=3x2.由根与系 数的关系，得五十=6函=c,3十=6,3=c,解得。=号，c=翠的 值为翠.(3)方程2十x十c=0既是“倍根方程”又是“方根方程”，∴西=3，- x或x=x2.由根与系数的关系，得x十x2=一b,xx2=c.分两种情况讨论：①当x =3x2,号=x1时，x号=3.x2,解得x2=3或x2=0(舍去)..x1=9.b=-12,c=27. ∴26十c=2×(-12)+27=3.②当4=3=时，1=3，解得=号或4=0 (合去.=日6=一号c=726+=2X(-号)十7器综上所述，2b 十：的值为3或一器 第4章综合评价 1.C2.B3.A4.B5.D6.D7.B8.C9.B10.C 11.(0,-3)12.y=-2(x+2)2+513.m>214.1715.220 16.a不是(2)a>号或a<-号 17.解：(1)由题意，得m2-3m-2=2,m-3≠0，解得m1=4,m2=-1.,该函数图象的 开口向下，.m一3<0，解得m<3.∴.m=一1.(2)当m=一1时，二次函数的表达式为y =一4x2,.这个二次函数图象的对称轴为y轴. 8.解：(1)由题意，得一221，解得a=1.(2)由(1)可知，抛物线的函数表达式为y归 x2一2x十1=(x一1)2.结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，点距离对称轴越远， 值越大，yh>y2 19.解：(1)5(2)如图所示.(3)-1<x<3 20.解：(1)由题意，设该抛物线的函数表达式为y=a(x-1)2-2.把(0,0)代入，得a-2 =0,解得a=2.∴.该抛物线的函数表达式为y=2(x-1)2一2.(2)联立 (y=2(x-1)2-2, y=x-n, 得22-5z十n=0.由题意，得△=（一59-4X2m=0,解得n-复。 一 41 21.解：(1)=(x十100一90)(100一4x)=一4x2+60x+1000.由题意，得100一4x 80,解得x≤5.x>0,.0<x≤5.(2)由(1)，得w=-4x2+60x十1000=-4(x-7. 5)2十1225.-4<0,0<x≤5，.当x=5时，w有最大值，最大值为-4×(5-7.5)2 +1225=1200.答：水果商每周销售冰糖橙可获得的最大利润为1200元. 9+3b+c=1,. 22.解：(1)把A(3,1),B(0,-2)代入y=x2+bx+c,得 c2,解得 b=一2：己 c=-2. 次函数的表达式为y=x2-2x-2.(2)由(1)，得y=x2-2x一2=(x-1)2-3,∴.新函 数的表达式为y=(x-1十n)2-3..它的对称轴为直线x=1一n,最小值为-3.n> 0,.1一n<1.,当0≤x≤3时，新函数的最小值是一2，.新函数的图象的对称轴在y 轴左侧，当x=0时，新函数取得最小值一2.∴.一2=(0一1十n)2一3，解得1=0（舍 去)，n2=2..n的值为2. 23.解：（任务1）如图，以地面为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则 N(0,9),Q(12,3).设抛物线的函数表达式为y=ax2+k.将N(0,9),Q(12,3)代入，得 1k=9, 解得 144a+k=3, 0一方'：抛物线的函数表达式为y=一立+9.（任务2）由题 k=9. 意，得点B的横坐标为-12+3=-9.当x=-9时，y=一立×(-9)+9=智≈ 5.6(m).答：机动车道一的限高高度约为5.6m y/m N M 9m Q 0 A 24m P x/m 24.解：(1)C(0,4),.OC=4.OA=OC=4OB,.OA=4,OB=1..A(4,0), B(-1,0).设抛物线的函数表达式为y=a(x十1)(x一4).把C(0,4)代入，得-4a=4, 解得a=一1.∴抛物线的函数表达式为y=一(x十1)(x一4)=一x2+3x十4.（2)存在. 过点P作PD∥y轴，交AC于点D.易得直线AC的函数表达式为y=一x十4.设P(m, -m2+3m+4)(0<m<4),则D(m,-m+4).∴.PD=-m2+3m+4-(-m+4)= -m2+4m.∴5aMc=号0A·PD=号×4(-m2+4m)=-2m+8m=-2(m-2)2+ 8.:一2<0，.当m=2时，S△ac有最大值，最大值为8，此时点P的坐标为(2,6). (3)存在.点Q的坐标为(0,0)或(-4,0)或(4+4√2,0)或(4一4√2,0).【解析】，OA= OC=4,∴.AC=√OA2+OC=4√2.分三种情况讨论：①当QA=QC时，点Q与原点重 合，即Q(0,0);②当CQ=CA时，点Q与点A关于y轴对称，则Q(-4,0);③当AQ= AC=4√2时，点Q的坐标为(4十4√2,0)或(4-4√2,0).综上所述，点Q的坐标为(0,0) 或(-4,0)或(4+4√2,0)或(4-4√2,0). 期末综合评价 1.D2.D3.A4.A5.B6.D7.D8.D9.A10.D 1.DE/BC(答案不唯-）2.kK-113.75°14915.只 16.(1)-10(2)m<2 17.解：整理，得2y2一6y+2=0.这里a=2,b=-6,c=2.因而b-4ac=（-6)2-4×2 X2=20>0,3生因此原方程的根为为=3，%=35 2 2 18.解：(1)如图，△A'B'C'即为所求.(2)(-2m,-2n) 42