1.4 第2课时 相似三角形的判定定理1（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

参考答案 第1章图形的相似 1.1线段的比 1.1.1比例的基本性质 新知导学 ②bc 【例1】B 【例2据：g-多2+6y=3江-3y=90原式-y=9.(2)原式 y 2×9y+y_19y=19 9y-3y6y6 1.B2.x,74,y3.C4.A 5.解：(1)根据题意，得a:b=c:d,即3：6=4：d..3d=6×4,解得d=8.(2)根据题 意，得a:6=cd,即-4：V2=3:d.-4d=3V2,解得d=-3y2 4 6.14(2g7. 4 2c+5c 8解=号=a-号6-晋-。=是 9.B10.D11.12 12.解：(1)设a=k,则b=3k,c=5k.a-b+c=6,∴.k-3k十5k=6,解得k=2..a= 2,b=6,c=10.(2)由题意，得m2=ab=12,解得m=±2V3.,m>0,.m=2√3. 13.解：根据题意，设a=3k,b=2k,c=5k,其中k≠0.(1)原式=张-6十20=17 6k+2k-5k3 (2)由题意，得4×3k一2×2k+5×5k=66,解得k=2.,∴.a=3k=6,b=2k=4,c=5k=10. 14.解：：a+b_+c=+a=k,a+b=kc,b十c=a,c十a=b.∴a+b十b十c+c+a C b =kc十ka十b.整理，得k(a十b+c)=2(a十b十c).分两种情况讨论：①当a十b十c≠0 时，k=2:②当a十6十c=0时，则a十6=一c,k=a+b=二=-1，综上，k的值为2 C 或-1. 1.1.2成比例的线段 新知导学 ①%③51 2 【例1】B 【例2】D 1D2号993c41:80900 22 5.解：设号-台=号=则。=3x,65,6=红：△A8C的周长为24,3z+5x十 4x=24,獬得x=2..a=3x=6,b=5x=10,c=4x=8.a2+2=100=b,∴△ABC 是直角三角形. 6D7.188.D9.B10.1811或2或号 12.解：线段AD,CD,CD,BD是成比例线段.理由如下：在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=3,BC=4,AB=VAC+BC=5.:S6Ac=2AB·CD=号BC·AC,∴CD 一1 BC:AC=2.4,在Rt△ACD中，AD=VAC-CD=1.8.∴BD=AB-AD=3.2. AB .AD:CD=CD:BD=3:4..线段AD,CD,CD,BD是成比例线段 13.解：a)5+1(2)矩形DCEF为“黄金矩形”.证明如下：：四边形ABEF为正方 2 形，AF=EF=AB=1.由(IDAD=BC=5生，DF=AD-AP=5号.器 2 =Y52矩形DCEF为“黄金矩形 1.2平行线分线段成比例 新知导学 ①相等②成比例③成比例 【例1】A 【例2】6或12 1.42.1.23.B 4解：14/%，骠-铝，即=告DE=6.(2)/说 8器=号BC=号AB=9AC=AB+BC=1i. 5.号647.C810 9.(L震：EF/CD,-8器DF=AD-AF=22-品CE=号(2)证 明：DE/BC品甍由1蜘景-荒二-品 10解，1设CB=AD-则AF=一-8.：EF∥AC,8咒-票2=己解得 x=7.5..AD=7.5.(2)AD=7.5,DF=3,∴AF=AD-DF=4.5.EF∥BD, 能祭=是 1.1解：如图，点Q即为所求.(2)证明：PD/AB,部-票=2.：AC∥HD, 器-B=2.∴CP=CD.P是CD的三等分点. H D B 1.3相似图形 新知导学 ①相等成比例∽②相等成比例③对应边1④相等成比例相等 成比例 【例1】C 【例2】B 1.C2.号203C4B5B 6.解：由题意，得10：5=8：y=x：3,a=85°，85°+75°+B+145°=360°，解得y=4,x =6,3=55° 7.C8.D9.D 10山懈铝了能日瓷-号-日@证明：由知铝是 一2 E.DE∥BC,∴∠D=∠B,∠E=∠C,又：∠DAE=∠BAC,△ADE与△ABC 相似， 11.解：(1)不相似.理由如下：AB=20m,AD=30m,小路的宽度为2m,∴.EF=20 +2X2=24m.EH=80+2X2=34(m.景-音铝-吕铝≠铝矩形 ABCD与矩形EFGH不相似.(2)由题意，得EF=(20十2y)m,EH=(30十2x)m..矩 形EG矩形ABCD,需-器即2O是2_0，∴号-号小路的宽度之 20 y 与y的比值为 1.4相似三角形的判定 第1课时利用平行线判定三角形相似 新知导学 相似 【例1】B 【例2】解：DE∥BC,△ADE∽△ABC,△DEF∽△CBR..AD=DE,DE=DE 'AB-BC'CB-CF· 裙-器=合品-1 1.A2.B3.B4.C 5.证明：DE∥BC,EF∥AB,∴.△ADE∽△ABC,△EFC∽△ABC.∴.△ADE∽ △EFC. 6.A7.B8.C 9.证明：，D,E分别是AB,AC的中点，∴DE是△ABC的中位线.DE∥BC. ÷△ADB△ABC器=裙：点F在DE上DF∥BG怎-铝荒= DE BC 10.证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴.AB∥CD,AB=CD..△AMEC∽△DMC, △DNF△ANB÷能-袋，RE-器：AM=DN,AM+MN=DN+NM AN=DM-小5-器AE=DF 11.解：，四边形CDEF是正方形，.DE∥BC,CD=DE=CF..△ADE∽△ACB. 器A是设正方形CDEF的边长是x,则CD=DE=x,AD=15一x:AC=15, BC=10,若-155，解得x=6.AD-15-x=9.:DG/CR,△ADC△ACR 8-0即29-是DG=3.66E-DE-DG=24 第2课时相似三角形的判定定理1 新知导学 相似 【例】(1)证明：：CD⊥AB,∠ADC=∠CDB=90°.∴.∠B+∠BCD=90°.∠ACB= 90°，∴∠A+∠B=90°.∠A=∠BCD..△ACD∽△CBD.(2)解：'△ACD∽ △CBD,鄂部即5-4PAD=3. 13 1.B2.B3.A4.∠C=∠E(答案不唯一) 5.(1)证明：∠C=90°，DE⊥AB,∠AED=∠C=90°.：∠A=∠A,∴.△ADE 3 △ABC,(②解：由1得△ADBn△ABC是-铝即5=高AE=4, 6.B7.D8.17 9.证明：由尺规作图的痕迹得CD=CB,AD=CD.∴.∠DCA=∠A=36°.∴.∠CDB= ∠A+∠DCA=72°.：CD=CB,∴∠B=∠CDB=72°.∴.∠BCD=180°-∠B- ∠CDB=36°.∴.∠A=∠BCD.∠ABC=∠CBD,∴△ABC△CBD. 10.(1)证明：四边形ABCD为菱形，∴∠ACD=∠ACB.:∠ACD=∠ABE, ∴∠ACB=∠ABE.∠BAC=∠EAB,.△ABCn△AEB.(2)解：△ABC∽ △MEB26即是音AE-9.CE-AE-AC-5 11.(1)证明：，∠A=∠B=∠DPC=90°，∠APD+∠BPC=90°，∠APD+∠ADP =90∠ADP=∠BPC△ADP△BPCa0-AD,BC=AP·BP (2)解：成立.理由如下：∠A=∠B=∠DPC=0,∴∠APD+∠BPC=180°-0， ∠APD+∠ADP=1S0-R∠ADP=∠BPC∴△ADPD△BPC.∴gP-AC ∴AD·BC=AP·BP. 第3课时相似三角形的判定定理2 新知导学 成比例相等 【例1】证明：AD=5,BD=3,AE=4,CE=6,∴.AB=AD十BD=8,AC=AE十CE= 10小铝=告=合是=品=合铝-是又：∠A=∠A,△ADB△ACB 【例2】不相似 1.C2.C3.B4.25.65° 6证明：光=品=2.8咒=告=2,82-8器又：∠A0D=∠c0B,△A00∞ △COB. 7.B8.C 9.(1)证明：，AD,BE是△ABC的两条高，∴.∠ADC=∠BEC=90°.又∠C=∠C, ∴△ACD△BCE器-器即CE·CA=CD.CB(2)懈：器-器需 器又：∠C=∠C,acDB△cAa器器-是 10.(1)证明：正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，.∠A=∠D=90°，AD= AB=D0=BC=4,AE=DE=专AD=2,DF=DC=1是-音=2,8器-是=2， :2架.：∠A=∠D=90,△ABE△DEF.(2)解：四边形ABCD为正方 形，ED/BG,△DEFO△CGR0器-8SDF=1,DE=2,CP=DC-DF=3, CG=DECP=6.∴ACrG的面积=CG·CF=9. DF 11.2.5或4 第4课时相似三角形的判定定理3 新知导学 成比例 【例1】证明：由图可知，AB=4,AC=√12十1=√2，BC=√32+1=√10，DE=8,DF -平7=22.-6+-2v瓜提-言言品-易器- 一4 票-0-祭-器DF.2C∠E 【例2】号em,号m或号cm,号cm或号cm,号cm 10 5 1.A2.c3.罗 15(2)128 4证明：AD-2BD,AE-2CE裙-号能-号又既-号小品-能- B器.△ABCAADE. 5解：8-S-铝△ABC△ADE∠BAC=∠DAE∠DAE-∠DAC =∠BAC-∠DAC,即∠CAE=∠BAD=15°. 6.C7.C 8解：△AD0C△ADC.理曲知下：铝沿品-滑又：品=瓷 =滑器=瓷=0△ADCAADC 9,.(1)解：∠CBD=∠A,∠BCD=∠ACB,△BDCn△ABC÷8器-怨即罗- 2 是.CD=1.BD=VCD+BC=5.(2)证明：E,F分别是R△ABC,R1△BCD 斜边上的中点，∴CF=号BD,CE=号AB.“E,F分别是AB,BD的中点，EF= 名AD.品-器-器-△CEF∽△BAD, 10.解：(1)△ABC△DEF.理由如下：根据勾股定理，得AB=2√5，AC=√5，BC=5, Dg=4g.D=2E,EF-2而是-平架=器=平是-祭 =S∴△ABC△DER.(2)如图，△P,PR即为所求. 专题一相似三角形的五大基本模型【热点】 1.C2.4 3.(证法-)证明：DH∥BF,∴開-品，能-器又：AD是BC边上的中线， DnCH=PHcR提-荒号 CF. (证法二)证明：AD是BC边上的中线，BD=号BC.:DK∥AC,△BDK∽ △BcF,△DEKO△MEP0-祭景-是∴DK=cR,∴'-景 AF2AF CF 4.√2 5.(1)证明：DH∥AB,∴∠A=∠HDC.∠CBD=∠A,∴∠HDC=∠CBD.又 ∠H=∠H,∴.△HCDn△HDB.(2)解：2 -5 6.1：3 7.(1)证明：，'△ABC是等边三角形，.∠B=∠C=60°=∠DFE.,∠CFD=∠CFE +∠DFE=∠B+∠BDF,∴∠BDF=∠CFE.∴.△DBF∽△FCE.(2)解：DE⊥EF, .∠DEF=90°.∠DFE=60°，∠EDF=90°-∠DFE=30°.∴.DF=2EF.由(1)知 △DFAPCE.8器-2F=2BF=2CE=4 81)证明：△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，易得C-票-E,∠ACB ∠ECF=45°.∠ACE=∠BCF.∴.△CAE∽△CBF.(2)解：：'△CAE∽△CBF, ÷∠CAE-∠CBF,s-瓷-反.：AE=2品=EBF=E.又：∠CAE+ 2 ∠CBE=90°，∴.∠CBF+∠CBE=90°.∠EBF=9O°.∴在Rt△EBF中，EF= √BE+BF=√3..CF=EF=√5.∴.CE=√EF2+CF=√6. 1.5相似三角形的性质 第1课时相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 新知导学 相似比相似比 【例I】B 【例2】解：，'AD:DB=4:3,.AD:AB=4:7.,DE∥BC,.△ADEc∽△ABC :Cr,EC分别是△ABC与△ADE对应边上的中线，器-铝即六=号CF- 7 cm. 1.A2.C3.D4.1:34.5 5.解：.∠CBD=∠A,∠C=∠C,.△BDC∽△ABC.E,F分别为AC,BC的中点， 小-E即音=品BE=48, 6.B7.√3-18.3：4 9.解：(1)·AC平分∠BAD,BC⊥AC,CD⊥AD,∴.∠BAC=∠CAD,∠BCA=∠CDA =90△ABC△AcD.六是-品即8-品AD=&(②)由(I)知△ABC☑ △ACD.,'DE⊥AC,CF⊥AB,即DE,CF分别为△ACD和△ABC的边AC,AB上的 商器-号 10.解：结论品=k成立.证明如下：△ABCn△AB'C,且△ABC与△ABC的相 似比为，∠BAC=∠BAC,∠C=∠C,8=点∠EAB=∠EA'g,AD. AD'分别是△ABC,△AB'C'的外角平分线，∠BAD=号∠BAE,∠BA'D'- 合∠BA'E.∠BAD=∠BA'D.∠DAC=∠DA'C.△DACn△DA'C. 品怨-® 第2课时相似三角形面积和周长的性质 新知导学 ①相似比的平方②相似比 【例1】D 【例2】(1)证明：∠B=∠ACD,∠A=∠A,∴.△ACDC∽△ABC.(2)解：：△ACDC∽ △ABc提-胎-号S-号c=4 —6第2课时 【新知导学 >◆预习新知 同新知梳理 两角分别相等的两个三角形 ☑例题引路 【例】如图，在Rt△ABC中，∠ACB= 90°，CD⊥AB于点D. (1)求证：△ACDp△CBD; (2)若CD=√3，BD=1,求AD的长. D B 【思路分析】(1)由∠ACB=90°，CD⊥ AB,可得∠ADC=∠CDB=90°，∠A ∠BCD,即可判定△ACD∽△CBD; (2南△ACD△CBD可得品-8品， 即可求出AD的长. 【学生解答】 11数学九年级上册(X) 相似三角形的判定定理1 基础过关 ◆··逐点击破 知识点两角分别相等的两个三角形相似 1.在△ABC和△A'B'C中，∠A=58°，∠B=50°，∠A'= 58°，∠C=72°，则这两个三角形 A.不一定相似 B.一定相似 C.全等 D.无法判定 2.如图，D是BC边上的点，∠ADB=∠BAC,则下列结论 正确的是 A.△ABCP△DAC B.△ABCp△DBA C.△ABD∽△ACD D.以上都不对 0 (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，AE交BC于点D,∠C=∠E,AD=3,DE=5, BD=4,则CD的长为 A号 B号 c. D 4.半开放性题新趋势（郴州苏仙区期末）如图，已知∠1一 ∠2，添加一个条件使△ABCp△ADE: 5.(汨罗期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC 上，DE⊥AB于点E. (1)求证：△ADE∽△ABC; (2)若AC=8,AB=10,AD=5,求AE的长. 口能力提升 >>◆整合运用 6.下列条件中的两个等腰三角形不一定相似 的是 () A.都含有60°的角 B.都含有45°的角 C.都含有90°的角 D.都含有120°的角 7.(河北中考)如图，在五边形ABCDE中，AE∥ BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点M, N.添加下列条件后，仍无法判定△MAE∽ △DCN的是 A.∠B+∠4=180° B.CD∥AB C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 M D 4 B (第7题图) (第8题图) 8.如图，在△PAB中，点C,D在边AB上，且 PC=PD,∠APC=∠B.若AC=4,CD=5, BD=9,则△PCD的周长为 9.(长沙雨花区模拟)如图，在△ABC中，BC< AB,∠A=36°，以点C为圆心，线段CB的长 为半径画弧，交线段AB于点D,以点D为 圆心，线段CD的长为半径画弧，恰好经过点 A.求证：△ABC∽△CBD. 10.如图，四边形ABCD为菱形，点E在AC的 延长线上，∠ACD=∠ABE: (1)求证：△ABC∽△AEB; (2)当AB=6,AC=4时，求CE的长. 【思维拓展 ◆>◆强化素养 11.类比思想新理念（教材P25练习T2变式） (1)如图①，在四边形ABCD中，P为AB 上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求 证：AD·BC=AP·BP (2)如图②，在四边形ABCD中，P为AB 上一点，当∠DPC=∠A=∠B=0时， 上述结论是否依然成立？请说明理由. D 图① 图② 第1章图形的相似12