第七章 概念、命题与证明（知识清单）数学新教材北京版七年级下册

该初中数学知识清单系统梳理了第七章“概念、命题与证明”核心内容，涵盖命题与证明、余角补角、对顶角、三线八角及平行线的定义判定与性质等知识范畴，搭建了从基础概念辨析到逻辑推理应用的递进式学习支架。 清单通过“知识点-错误分析-题型应用”三级结构呈现知识体系，如三线八角用“F”“Z”“U”型图形结构特征辅助识别培养几何直观，证明题标注每步推理依据强化推理意识，错误分析针对性指出“混淆判定与性质”等问题，不同基础学生可高效掌握要点，教师能据此设计精准教学活动提升课堂实效。

第七章 概念、命题与证明 知识点一、命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 注意：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 注意： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 知识点二、余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等. 知识点三、对顶角 1.两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 2.对顶角的性质：对顶角相等. 知识点四、同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 知识点五、平行线的定义、画法、公理 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3. 公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 知识点六、平行线的判定与性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 一、命题 1.命题的题设与结论 错误：常混淆题设结论位置，改写语句时遗漏关键词；把反问、祈使句误判为命题；省略 “如果那么” 后分不清因果，假命题只看结论忽略条件对错。 注意：改写统一成 “如果… 那么…” 句式，“如果” 后为题设，“那么” 后为结论；先判断语句是否为判断句，拆分时不增减原意，逐句梳理因果关系。 1．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查命题的组成，命题由题设和结论两部分构成，题设是命题中的已知条件，结论是由已知条件推出的结果，掌握命题题设与结论的区分方法是解题关键． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”可改写为“如果同位角相等，那么两直线平行”． ∴该命题的题设是“同位角相等”． 2.命题真假 错误：仅凭个别实例判定真命题，举反例意识薄弱；混淆定理与普通命题，误将正确结论当作恒真；条件残缺时仍草率判断真假，忽略前提限制范围。 注意：真命题需严密推理证明，假命题只需举出一处反例；先完整看清题设条件，限定前提范围，定理均为经过证实的真命题。 2．下面命题为真命题的是（    ） A．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等； C．过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】D 【详解】解：选项A、两个角的两边互相平行时，这两个角相等或互补，故A是假命题； 选项B、只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，选项未说明两直线平行，故B是假命题； 选项C、点P到直线m的距离是这条垂线段的长度，不是垂线段本身，故C是假命题； 选项D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂直的基本性质，故D是真命题． 二、证明 1.定理与证明 错误：混淆定理、公理、命题概念；推理跳步、理由乱写，乱用判定与性质；证明因果颠倒，无依据凭空推导，书写步骤逻辑顺序混乱。 注意：公理无需证明，定理要严谨推导；每一步标注对应依据；分清判定（由角推线）和性质（由线推角），步骤条理完整不缺漏。 3．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查公理和定理的定义，解题的关键是明确公理与定理的核心区别（是否需要证明）及相互关系． 根据公理和定理的定义，逐一分析各选项的正确性． 【详解】公理是公认的真命题，无需证明，可作为证明其他定理的依据；定理是经过公理或已有定理证明的真命题． A：公理和定理都是真命题，此说法错误； B：公理与定理定义不同，并非等价概念，此说法错误； C：公理可作为证明其他定理的依据，此说法正确； D：公理无需证明即可使用，此说法错误． 故选：C． 2.代数为背景的推理与证明 错误：随意套用公式不看取值范围，等量代换跳步骤；正负符号、去括号计算失误；仅凭几组数值下结论，缺少严谨推导，混淆充分必要条件。 注意：代入公式先限定变量范围，每步演算规范详实；多用严谨恒等变形推导，不可举例代替证明，符号运算仔细核对正负与括号。 4．将12张卡片分给甲、乙、丙、丁4个人，每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分，结果甲得6分，乙得11分，丙得9分，已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，那么下列判断错误的是（       ） A．乙同学没有拿绿卡 B．丁同学可能得4分 C．丁同学可能同时拿三种花色卡片 D．绿卡的数量一定多于红卡的数量 【答案】D 【分析】根据甲乙丙三位同学的得分情况分析，只能是1,2,5的组合，且必须是三个数字的和，得到唯一组合，根据黄卡片的张数不超过红卡片的张数，分析可得黄卡数量可能是3张或2张或1张，逐项判断分析可得结论． 【详解】解：每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分， 结果甲得6分，， 甲同学拿了3张绿卡， 乙得11分，， 乙同学拿了2张红卡和一张黄卡，故A选项正确； 丙得9分，， 丙同学拿了2张绿卡和一张红卡， 已经分得9张卡片，分别是5张绿卡，3张红卡，1张黄卡，还有3张卡片给丁同学， 已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，则黄卡数量可能是3张或2张或1张， 若剩余卡片中全部是红卡，则红卡共6张，大于绿卡数量，故D选项不正确； 若剩余卡片中2张黄卡，1张绿卡，则丁通行可能得4分，故B选项正确； 若剩余卡片中红，黄，绿各一张，则丁同学可能同时拿三种花色卡片，故C选项正确， 故选：D. 【点睛】本题考查了有理数的加法，逻辑推理，根据已知数据推理是解题的关键． 3.几何为背景的推理与证明 错误：识图判断角度线段相等无依据，判定性质混用；推理步骤跳跃漏理由，等量代换逻辑颠倒；自行添加图中不存在的相等、平行等条件。 注意：每一步推理标注公理定理依据，严格区分线推角、角推线；不臆造条件，书写条理清晰，图形仅作参考，一切以题干文字条件为准。 5．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 三、简单几何图形的推理 1.余角补角计算 错误：分不清互余和互补的度数和，计算时常算错加减；审题漏看 “一个角”“它的” 指代；列方程时等量关系写错，倍数关系列式颠倒。 注意：牢记互余和为 90°、互补和为 180°；遇倍数大小关系优先设未知数列方程；算出结果后带回验算，核对角度和是否匹配定义。 6．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先根据对顶角相等和已知条件，求出，从而求出即可； （2）先根据垂直定义和已知条件求出，再根据已知条件求出，进而求出即可证明． 【详解】（1）解：，， ， ， ； （2）证明：， ． ， ， ∴， ， ， 与互余． 2.对顶角 错误：误把相邻角当作对顶角，认为只要相等就是对顶角；两条直线未相交就判定对顶角；计算时忽略邻补角，等量代换逻辑步骤简略无依据。 注意：对顶角需共顶点、两边互为反向延长线；对顶角一定相等，相等角未必是对顶角；计算搭配邻补角 180° 列式，推理标注对顶角相等依据。 7．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对顶角相等得到，再由角平分线的定义得到，进而根据即可求解； （2）设 ，由角平分线的定义得到，因此 ．由，得到，即可列出方程，求得，因此，根据对顶角相等即可解答． 【详解】（1）解：和是对顶角， ． 平分， ， （2）解： ， 设 ． 平分， ， ． ， ， ， ， 解得， ， ， ． 3.平行公理 错误：忽略 “直线外一点” 前提，随意说过一点作平行线；混淆平行公理与推论，误将垂直等同平行；判定时乱用公理，缺少两直线位置前提条件。 注意：牢记过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行，书写推理标注公理依据。 8．已知：如图，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）利用平行公理的推论得到，再由“两直线平行，内错角相等”可推出； （2）由和推出，再结合，即可求出． 【详解】（1）解：，理由： ，， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 4.三线八角 错误：分不清截线与被截直线，错判角的位置；仅凭外形随便归类；只看角度相等就判定同位、内错角，忽略两直线位置关系。 注意：先找准一条截线、两条被截线；按内外、左右方位区分三类角；相等或互补不能直接定平行，仅为位置名称，无必然等量关系。 9．如图所示，直线，被直线所截： ①和是同位角； ②和是对顶角； ③与是内错角； ④和是同旁内角．则结论正确的是_______（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角；两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角；如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；依此逐一判断即可． 【详解】解：和是同位角，故①正确， 和是对顶角，故②正确， 与不都在两直线之间，不是内错角，故③错误， 和是同旁内角，故④正确， ∴结论正确的是①②④． 5.平行线的判定 错误：颠倒角相等推平行的逻辑，错用性质当判定；找错三线八角对应角；同旁内角只看相等，忘记需互补；推理不写判定定理依据，步骤跳脱。 注意：判定是由角的数量关系推出两直线平行；先精准识别同位、内错、同旁内角；每一步标注判定依据，同旁内角求和验证是否为 180°。 10．如图，在四边形中，点在边上，连接，点在上，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是通过同旁内角互补和平行线的判定定理推导平行关系，并结合平行线的性质与三角形内角和定理求解角度． （1）先由推出，再利用平行线的性质和已知，得到，从而证明； （2）根据，结合已知，求出，再由，设，列方程求出，最后由得到结果． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ， 又， ． 故答案为：． 6.平行线的性质 错误：混淆性质与判定逻辑，拿平行证角相等时乱套判定定理；找错对应角，误判同旁内角相等；推理省略依据，无平行前提直接认定角度相等。 注意：性质由两直线平行推导角度等量或互补；精准匹配三线八角位置；推理开头必须有平行条件，每一步写明平行线性质依据。 11．如图，点为延长线上的一点，点为延长线上的一点，交于点，交于点，若，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)请说明与相等的理由． 【答案】(1)；见解析 (2)见解析 【分析】（1）由，，即可证明； （2）根据，可得，结合，可证明，进而得到． 【详解】（1）解：，理由如下： ，， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ． 7.平移 错误：误以为平移改变图形大小形状；错把旋转、翻折当成平移；计算距离时点到点连线不垂直对应边；画图时方向、长度把控不准，对应线段看错。 注意：平移只变位置，长宽角度完全不变；平移距离看对应点线段长；作图定点平移后连线，推理可利用平行且相等的对应线段关系。 12．如图，已知中，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平移的性质得出的长度与的长度相等，据此可解决问题． （2）根据平移的性质得出，再结合的度数及平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：由平移可知，； （2）由平移可知，， 所以． 因为， 所以． 又因为平分， 所以． 因为， 所以． 1．如图所示，将三角形沿方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移的性质：平移前后图形的形状和大小不变，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行（或共线）且相等，对各选项进行判断即可； 【详解】解：∵三角形沿方向平移得到三角形， ∴对应点连线平行且相等，即，，故A，B选项正确，不符合题意； ∴对应线段相等，即，故D选项正确，不符合题意； ∴对应角相等，即，而是的对应角， ∴不一定成立，故C选项不正确，符合题意． 2．如图，，平分交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 3．如图，直线，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为，根据平行线内错角相等的性质，可得与的数量关系，求出的度数．因为平分，根据角平分线的定义，可得到的度数．结合平行线的性质，得到的对顶角与已知角的关系，进而推导的度数． 【详解】解：∵ ， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ， ∴． 4．已知与互余，则下列说法错误的是（    ） A．是锐角，也一定是锐角 B．若与互补，则 C．若是的补角，是的补角，则 D．若是的余角，是的补角，则 【答案】C 【详解】解：A、∵与互余， ∴ ∵是锐角， ∴也一定是锐角，说法正确，不符合题意； B、∵ ∴ ∵与互补， ∴ ∴ ∴，说法正确，不符合题意； C、∵是的补角，是的补角， ∴， ∴，说法错误，符合题意； D、∵是的余角，是的补角 ∴， ∴，说法正确，不符合题意． 5．如图，下列条件，不能判断的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对于选项A：可利用“内错角相等，两直线平行”来判断，故A不符合题意； 对于选项B：∵， ∴， ∴可利用“同旁内角互补，两直线平行”来判断，故B不符合题意； 对于选项C：可利用“同旁内角互补，两直线平行”来判断，故C不符合题意； 对于选项D：只能判断，不能判断，故D符合题意． 6．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③两点之间，线段最短．④点到直线的垂线段叫做点到直线的距离：其中真命题的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 【答案】A 【分析】根据初中几何的基本概念和定理，逐个判断四个命题的真假，统计真命题的个数即可得到结果． 【详解】解：①对顶角相等，符合对顶角的性质，是真命题.； ②内错角相等，因为只有两条平行线被第三条直线所截得到的内错角才相等，命题缺少前提条件，所以是假命题.； ③两点之间，线段最短，是几何基本事实，是真命题.； ④点到直线的垂线段叫做点到直线的距离，因为点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段本身，概念描述错误，所以是假命题.； 综上，真命题共个． 7．糖画是中国民间传统手工艺，亦糖亦画、可观可食，俗称“倒糖人儿”，“糖灯影儿”．目前糖画被列入国家级非物质文化遗产，如图1糖画师傅正在制作糖画．如图2是从糖画线条中抽象出的几何图形，已知，，垂足为点B，的平分线交于点F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形两锐角互余求出 的度数，利用角平分线的定义求出 的度数，在 中求出 的度数，最后根据平行线的性质（两直线平行，同位角相等）即可求出 的度数． 【详解】解： ， ， ∵， ， 平分 ， ， 在 中， ， ， ． 8．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形对边平行，得，故；由折叠的性质得，再结合以及平角的定义，列方程求解得出，进而求得的度数． 【详解】解： 四边形是长方形， ， ． 由折叠的性质可知，， ． ，且， ， 即， ， ， ， ∴ ∴． 9．如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质解答即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 又由题意可知，， ∴． 10．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，，当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，则，根据平行线的性质得到，进行求解即可． 【详解】解：过点作，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．如图1是某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一条腿直立于地面，另一条腿的小腿刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点B，，于点A．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．若，那么（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂线的定义得到，再证明，由平行线的性质可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点A作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．如图，将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数是________． 【答案】/162度 【分析】作直线，由题得；再说明可得，即，最后再根据平行线的性质即可解答． 【详解】解：如图：作直线，由题得， ，， ． ， ． ， ． ． 13．如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的倍多，则这两个角中较大的角的度数为________ 【答案】 【分析】若两个角的两条边分别平行，则这两个角相等或互补，据此分两种情况设未知数列方程求解，即可得到较大角的度数． 【详解】解：两个角的两条边分别平行， 这两个角相等或互补， 设较小角的度数为，则另一个角的度数为 ， 若两角相等，则 解得，不符合角度的定义，舍去； 若两角互补，则 解得，则另一个角为， ∵， ∴较大角的度数为 ． 14．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_______，________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】只需找到满足，但不满足的一组实数即可． 【详解】解：当，时， 可得：，满足条件， ，， ，即， 不满足， 可以说明该命题是假命题． 15．如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，交于，已知，，则阴影部分的面积为_______． 【答案】14 【分析】由平移得，于是阴影部分面积等于梯形的面积，求得梯形的面积即可得出结果． 【详解】解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 16．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 【答案】 【分析】过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．能正确作出辅助线是解题关键． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．将一块三角板（，）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①，；②；③；④；⑤．能判断直线的有______（填序号）． 【答案】①⑤ 【分析】根据平行线的判定和性质及角的和差逐一判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴不能得出，从而不能得出， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵， ∴， ∴，故符合题意． 18．如图，，的平分线交于点，是上的一点，连接，的平分线交于点，且．若，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】由角平分线和平行线的性质可得，结合可得．利用角平分线的性质可推出，最后利用平行线的性质求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 19．按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在中，于点，是上一点，且． 请说明：． 解：（已知）， _____（___________）． ， _____（等式的基本性质）． （已知）， _______（__________）， （____________________）． 【答案】；垂直的定义；；；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行 【分析】由，，可证得，进一步证得． 【详解】解：（已知）， （垂直的定义）． ， （等式的基本性质）． （已知）， （同角的余角相等）， （内错角相等，两直线平行）． 20．篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，求的度数．由题意，可过点C作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（ ① ）， ∴（ ② ） ∴， ∵， ∴（ ③ ）． ∵于点B， ∴（ ④ ）， ∴， ∴ ⑤ （平角的定义）． 【答案】①平行于同一条直线的两条直线平行；②两直线平行，同旁内角互补；③两直线平行，内错角相等；④垂直的定义；⑤60 【分析】本题主要考查根据推理过程填写逻辑关系，由平行于同一条直线的两条直线平行得，两直线平行，同旁内角互补得，两直线平行，内错角相等得，垂直的定义得，最后计算结果． 【详解】解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， ∴， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵于点B， ∴（垂直的定义）， ∴， ∴（平角的定义）． 21．如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得到，进而得到，从而得出结论； （2）根据垂线的性质得到，再利用平行线的性质得到及，最后利用角平分线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ． 平分， ． ， ． 22．老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是嘉嘉和淇淇的探究思路． 【猜想与证明】 (1)完成嘉嘉的证明过程； 【发现与探究】 (2)根据淇淇的反例，探索与之间的数量关系，并证明； 【思考与结论】 (3)综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3)相等或互补 【分析】（1）根据平行线的性质进行证明即可； （2）根据图形以及平行线的性质进行证明即可； （3）由（1）（2）的结论可得结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： ∵， ∴ ∵， ∴， ∴． （3）解：结合（1）（2），可知：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补． 23．小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 （1）锐角的补角与的余角之差为______°； （2）如果锐角的补角为，那么是的余角．请证明这个结论． 【问题思考】 （3）如果和互余，且，直接写出此时的度数． 【答案】 （1）； （2）证明见解析； （3）或． 【分析】本题考查余角和补角，熟练掌握余角和补角的定义是解题关键； （1）通过补角和余角的定义直接计算差值； （2）利用补角和余角的定义和代数变换证明； （3）根据角的位置关系分情况讨论，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵锐角的补角为钝角，的余角为锐角， ∴锐角的补角与的余角之差为， 故答案为：90． （2）证明：∵锐角的补角为， ∴， ∴， ∴是的余角． （3）解：设，则， 当在与之间时，， ∴，解得； 当在与之间时，， ∴，解得， ∴的度数为或． 24．小明利用直角三角板进行数学探究活动：点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，OF平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查角的计算，角平分线的定义，补角的定义等知识的综合运用，分类讨论是解题的关键． （1）由补角及直角的定义可求得的度数，结合角平分线的定义可求解的度数； （2）由角平分线的定义可得，进而可求解； （3）可分两种情况：①时，时，分别计算可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵是直角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：①时，由题意得， ∴ =， ∴； ②时， 由题意得， ∴ = ∴． 25．如图，点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线上，且点在点的右侧， ，设． (1)填空： ． (2)若的平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当 秒时，． 【答案】(1)90 (2)①；②20或80 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，添加辅助线是解题的关键，第（2）②问是动点问题，找到模型即可解答． （1）先作辅助线构造平行，然后根据平行线的性质即可解答； （2）①利用两次平行线的性质，找到等量关系， ②动点问题，先画出图形，然后数形结合找到角之间的数量关系，列出方程，从而求出t． 【详解】（1）解：如图1，过点G，作， ， ， ，， ， ， 故答案为：90； （2）解：①， ， 平分， ， 又， ，， ， 解得； ②如图2，当射线旋转到时，旋转至,延长至点Q， ， ， ， ， 由题意知，， 未旋转前，， ， ， 解得：； 当与在直线同侧且平行时， 由，得， 故答案为：20或80． 26．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小轻将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．    (1)填空：________（填“>”“<”或“=”）； (2)若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小轻将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，三角板的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）过点P作，交于点Q，利用平行线的判定和性质，解答即可． （2）①利用平行线的性质，角的平分线的定义，等量代换思想解答即可．②根据平移性质，平行线的性质，分类思想解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作，交于点Q， 则， ，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①，， ， ， 的平分线交直线于点， ， ， ， ， ； ②当点N在点G的右侧时． ，， ， ， ， ， 的平分线交直线于点， ， 又， ； 当点N在点G的左侧时，如图： ，， ， ， ， ，， ， 的平分线交直线于点， ， ， 综上可知，的度数为或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 概念、命题与证明 知识点一、命题、定理、证明 1.命题：判断一件事情的语句，叫做命题． 注意：（1）命题的结构：每个命题都由题设、结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项. （2）命题的表达形式：“如果……，那么…….”，也可写成：“若……，则…….” （3）真命题与假命题： 真命题：题设成立结论一定成立的命题，叫做真命题. 假命题：题设成立而不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题. 2.定理：定理是从真命题（公理或其他已被证明的定理）出发，经过推理证实得到的另一个真命题，定理也可以作为继续推理的依据. 3.证明：在很多情况下，一个命题的正确性需要经过推理，才能作出判断，这个推理过程叫做证明. 注意： （1）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据可以是已知条件，学过的定义、基本事实、定理等. （2）判断一个命题是正确的，必须经过严格的证明；判断一个命题是假命题，只需列举一个反例即可． 知识点二、余角、补角 1.互补与互余的概念 互补：如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角，也称互补.互余：如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角，也称互余. 2.互补与互余的性质：同角或等角的补角相等；同角或等角的余角相等.知识点三、对顶角 1.两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 1 2 ∠1与∠2 有公共顶点 ∠1的两边与∠2的两边互为反向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 2.对顶角的性质：对顶角相等. 知识点四、同位角、内错角与同旁内角 角的名称 位置特征 图形结构特征 同位角 既在截线的同侧，又在两条被截线的同侧 形如字母“F”（或倒置、反转、旋转） 内错角 既位于被截两直线之间，又位于截线两侧，即被截线“错开” 形如字母“Z”（或倒置、反转、旋转） 同旁内角 既位于接线的同侧，又位于被截两直线之间. 形如字母“U”（或倒置、反转、旋转） 知识点五、平行线的定义、画法、公理 1.定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“//”表示. 2.画法 一“落”：把三角尺一边落在已知直线上； 二“靠”：用直尺紧靠三角尺的另一边； 三“移”：沿直尺移动三角尺，使三角尺与已知直线重合的边过已知点； 四“画”：沿三角尺过已知点的变化直线. 3. 公理 （1）平行公理：经过直线过一点，有且只有一条只限于这条直线平行. （2）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 知识点六、平行线的判定与性质 1.平行线的判定 判定方法1 判定方法2 判定方法3 两条直线平行的判定 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行，即同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位内角相等，那么这两条直线平行，即内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行，即同旁内角互补，两直线平行 符号语言 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1=∠2 那么AB//CD 那么∠1+∠2=180° 那么AB//CD 2.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，即两直线平行，同位角相等. 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，即两直线平行，同旁内角互补. 一、命题 1.命题的题设与结论 错误：常混淆题设结论位置，改写语句时遗漏关键词；把反问、祈使句误判为命题；省略 “如果那么” 后分不清因果，假命题只看结论忽略条件对错。 注意：改写统一成 “如果… 那么…” 句式，“如果” 后为题设，“那么” 后为结论；先判断语句是否为判断句，拆分时不增减原意，逐句梳理因果关系。 1．命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 2.命题真假 错误：仅凭个别实例判定真命题，举反例意识薄弱；混淆定理与普通命题，误将正确结论当作恒真；条件残缺时仍草率判断真假，忽略前提限制范围。 注意：真命题需严密推理证明，假命题只需举出一处反例；先完整看清题设条件，限定前提范围，定理均为经过证实的真命题。 2．下面命题为真命题的是（    ） A．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等； C．过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 二、证明 1.定理与证明 错误：混淆定理、公理、命题概念；推理跳步、理由乱写，乱用判定与性质；证明因果颠倒，无依据凭空推导，书写步骤逻辑顺序混乱。 注意：公理无需证明，定理要严谨推导；每一步标注对应依据；分清判定（由角推线）和性质（由线推角），步骤条理完整不缺漏。 3．下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理可作为证明其他定理的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 2.代数为背景的推理与证明 错误：随意套用公式不看取值范围，等量代换跳步骤；正负符号、去括号计算失误；仅凭几组数值下结论，缺少严谨推导，混淆充分必要条件。 注意：代入公式先限定变量范围，每步演算规范详实；多用严谨恒等变形推导，不可举例代替证明，符号运算仔细核对正负与括号。 4．将12张卡片分给甲、乙、丙、丁4个人，每人3张，卡片分三种，红卡片值是5分、绿卡片值是2分、黄卡片值是1分，结果甲得6分，乙得11分，丙得9分，已知黄卡片的张数不超过红卡片的张数，那么下列判断错误的是（       ） A．乙同学没有拿绿卡 B．丁同学可能得4分 C．丁同学可能同时拿三种花色卡片 D．绿卡的数量一定多于红卡的数量 3.几何为背景的推理与证明 错误：识图判断角度线段相等无依据，判定性质混用；推理步骤跳跃漏理由，等量代换逻辑颠倒；自行添加图中不存在的相等、平行等条件。 注意：每一步推理标注公理定理依据，严格区分线推角、角推线；不臆造条件，书写条理清晰，图形仅作参考，一切以题干文字条件为准。 5．如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 三、简单几何图形的推理 1.余角补角计算 错误：分不清互余和互补的度数和，计算时常算错加减；审题漏看 “一个角”“它的” 指代；列方程时等量关系写错，倍数关系列式颠倒。 注意：牢记互余和为 90°、互补和为 180°；遇倍数大小关系优先设未知数列方程；算出结果后带回验算，核对角度和是否匹配定义。 6．如图，直线，交于点，已知，在右侧，． (1)若，求的度数； (2)若，试说明与互余． 2.对顶角 错误：误把相邻角当作对顶角，认为只要相等就是对顶角；两条直线未相交就判定对顶角；计算时忽略邻补角，等量代换逻辑步骤简略无依据。 注意：对顶角需共顶点、两边互为反向延长线；对顶角一定相等，相等角未必是对顶角；计算搭配邻补角 180° 列式，推理标注对顶角相等依据。 7．直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 3.平行公理 错误：忽略 “直线外一点” 前提，随意说过一点作平行线；混淆平行公理与推论，误将垂直等同平行；判定时乱用公理，缺少两直线位置前提条件。 注意：牢记过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行，书写推理标注公理依据。 8．已知：如图，在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且． (1)与相等吗？请说明理由． (2)若，求的度数． 4.三线八角 错误：分不清截线与被截直线，错判角的位置；仅凭外形随便归类；只看角度相等就判定同位、内错角，忽略两直线位置关系。 注意：先找准一条截线、两条被截线；按内外、左右方位区分三类角；相等或互补不能直接定平行，仅为位置名称，无必然等量关系。 9．如图所示，直线，被直线所截： ①和是同位角； ②和是对顶角； ③与是内错角； ④和是同旁内角．则结论正确的是_______（填序号）． 5.平行线的判定 错误：颠倒角相等推平行的逻辑，错用性质当判定；找错三线八角对应角；同旁内角只看相等，忘记需互补；推理不写判定定理依据，步骤跳脱。 注意：判定是由角的数量关系推出两直线平行；先精准识别同位、内错、同旁内角；每一步标注判定依据，同旁内角求和验证是否为 180°。 10．如图，在四边形中，点在边上，连接，点在上，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 6.平行线的性质 错误：混淆性质与判定逻辑，拿平行证角相等时乱套判定定理；找错对应角，误判同旁内角相等；推理省略依据，无平行前提直接认定角度相等。 注意：性质由两直线平行推导角度等量或互补；精准匹配三线八角位置；推理开头必须有平行条件，每一步写明平行线性质依据。 11．如图，点为延长线上的一点，点为延长线上的一点，交于点，交于点，若，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)请说明与相等的理由． 7.平移 错误：误以为平移改变图形大小形状；错把旋转、翻折当成平移；计算距离时点到点连线不垂直对应边；画图时方向、长度把控不准，对应线段看错。 注意：平移只变位置，长宽角度完全不变；平移距离看对应点线段长；作图定点平移后连线，推理可利用平行且相等的对应线段关系。 12．如图，已知中，，将沿射线方向平移后，得到，连接． (1)若，求的长度； (2)若恰好平分，求的度数． 1．如图所示，将三角形沿方向平移一定的距离得到三角形，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，平分交于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，直线，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．已知与互余，则下列说法错误的是（    ） A．是锐角，也一定是锐角 B．若与互补，则 C．若是的补角，是的补角，则 D．若是的余角，是的补角，则 5．如图，下列条件，不能判断的是（     ） A． B． C． D． 6．下列四个命题：①对顶角相等；②内错角相等；③两点之间，线段最短．④点到直线的垂线段叫做点到直线的距离：其中真命题的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．1个 7．糖画是中国民间传统手工艺，亦糖亦画、可观可食，俗称“倒糖人儿”，“糖灯影儿”．目前糖画被列入国家级非物质文化遗产，如图1糖画师傅正在制作糖画．如图2是从糖画线条中抽象出的几何图形，已知，，垂足为点B，的平分线交于点F，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，把一张长方形纸条沿着（在上，在上）向上方翻折，点落在点处，点落在边上点处，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 10．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，，当时，的大小为（     ） A． B． C． D． 11．如图1是某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一条腿直立于地面，另一条腿的小腿刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点B，，于点A．是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．（这里的小腿，都包括脚面部分，上身包括头部部分）．若，那么（     ） A． B． C． D． 12．如图，将一块含角的三角尺按如图所示的方式放置，其中直线．若，则的度数是________． 13．如果两个角的两条边分别平行，而其中一个角比另一个角的倍多，则这两个角中较大的角的度数为________ 14．能说明命题“若，则”是假命题的一组实数，的值为_______，________． 15．如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，交于，已知，，则阴影部分的面积为_______． 16．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 17．将一块三角板（，）按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上．对于给出的四个条件：①，；②；③；④；⑤．能判断直线的有______（填序号）． 18．如图，，的平分线交于点，是上的一点，连接，的平分线交于点，且．若，则的度数为_____． 19．按要求完成下列说明过程． 已知：如图，在中，于点，是上一点，且． 请说明：． 解：（已知）， _____（___________）． ， _____（等式的基本性质）． （已知）， _______（__________）， （____________________）． 20．篮球架及侧面示意图如图所示，若，，于点B，求的度数．由题意，可过点C作的平行线，请在图中画出辅助线，补全依据并完成解题过程． 解：过C作平行于， ∵，∴， ∴（ ① ）， ∴（ ② ） ∴， ∵， ∴（ ③ ）． ∵于点B， ∴（ ④ ）， ∴， ∴ ⑤ （平角的定义）． 21．如图，在中，点E在上，点F在上，点D、G在上，，且． (1)证明：； (2)若，平分，求的度数． 22．老师提出问题：已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请探究这两个角的关系．下面是嘉嘉和淇淇的探究思路． 【猜想与证明】 (1)完成嘉嘉的证明过程； 【发现与探究】 (2)根据淇淇的反例，探索与之间的数量关系，并证明； 【思考与结论】 (3)综上所述，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角__________． 23．小明在学习“余角和补角”这一小节的内容时，发现了一些有趣的结论和问题： 【规律探索】 （1）锐角的补角与的余角之差为______°； （2）如果锐角的补角为，那么是的余角．请证明这个结论． 【问题思考】 （3）如果和互余，且，直接写出此时的度数． 24．小明利用直角三角板进行数学探究活动：点O为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，是直角，平分钝角． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，OF平分，求的度数； (3)当时，绕点O以每秒沿逆时针方向旋转t秒（），请探究和之间的数量关系． 25．如图，点为直线外一点，过点作直线．现将一个含角的三角板按如图1放置，使点F、E分别在直线上，且点在点的右侧， ，设． (1)填空： ． (2)若的平分线交直线于点，如图2． ①当时，求的度数； ②在①的条件下，将三角板绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，同时射线绕点以每秒的转速进行顺时针旋转，射线旋转一周后停止转动，同时三角板也停止转动．在旋转过程中，当 秒时，． 26．如图，直线，直线与、分别交于点、，．小轻将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点、分别在直线、上，且在点、的右侧，，．    (1)填空：________（填“>”“<”或“=”）； (2)若的平分线交直线于点，如图②． ①当，时，求的度数； ②小轻将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含的式子表示）． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $